苏教版数学高二苏教版必修5学案 等差数列的概念
苏教版高中数学必修五《等差数列的概念和通项公式(第2课时)》教案
等差数列的概念和通项公式（第2课时）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用，掌握证明等差数列的方法；2.明确等差中项的概念和性质，会求两个数的等差中项；3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，体会等差数列与一次函数的关系，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
二、过程与方法通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
三、情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
【教学重点与难点】：重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。
难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。
【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1．复习等差数列的定义、通项公式（1）等差数列定义（2）等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=（=n a d m n a m )(-+或p dn a n +=(p 是常数)）。
（3）公差d 的求法：① =d n a -1-n a ；②=d 11--n a a n ；③=d mn a a m n --。
2．等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP ， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m-=-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》
等差数列复习目标：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；高考要求：C级一、知识梳理1.等差数列的概念：(1)如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母表示。
(2)假设成等差数列，那么叫做的等差中项，且=2.等差数列的通项公式及其前项和：(1)假设等差数列的首项是，公差是，那么其通项公式为=通项公式的推广：=+(2) 等差数列的前项和：= 〔其中，是首项，是公差，为第项〕3.等差数列的有关性质数列是等差数列，是的前n项和.(1)假设m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，那么有(2)数列…也是等差数列.(3)数列也是等差数列.二、根底自测1.(P39练习2改编)等差数列，那么该数列的第2021 ．2.(P39练习3改编)假设等差数列中，，公差，那么该数列的通项公式为．3.(P39例题3改编)假设，……, 是公差为d的等差数列,那么数列的公差为.4.〔P39练习3改编)等差数列，那么该等差数列的项数为．5．〔P44练习5改编)等差数列的前项和为，假设〔常数〕，那么．6．〔P48习题11改编)在数列中，，〔〕，那么数列的前项和的最小值为．三、典例精讲考点1 根本量的计算例1 在等差数列中，=1，〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设数列的前项和，求的值。
变式1:在数列中，=1，,那么数列的前9项和；变式2:在等差数列中，假设，那么；考点2 证明〔或判断〕等差数列例2数列{a n}中，a1＝0.6，,数列{b n}满足.(1)求证：数列{b n}是等差数列. (2)求数列{a n}的通项公式．变式3：数列{a n}中，a1＝5且a n＝2a n－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)求证：数列为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．变式4：数列{a n}的前n项和为S n,假设a1=2,n·a n+1=S n+n(n+1),试证明数列{a n}为等差数列,并求其通项公式.考点3 等差数列的性质与应用例3设等差数列的前项和为，其前6项和为36，=324，最后6项的和为180，，求该数列的项数及变式5：在等差数列中，假设,求变式6:等差数列和的前n项和分别为，且，求及的值.例4设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝12，且S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的范围；(2)该数列前几项的和最大？说明理由．变式7：等差数列{a n}中，a1＝－19，5a5＝11a8.(1)求数列{a n}的前n项和S n的最小值；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.思考题：设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足〔1〕求数列的通项公式及前项和；〔2〕试求所有的正整数，使得为数列中的项.四、反应训练1.(2021·苏北四市期末)在等差数列中,=11,那么的值为.2.(2021·南通、扬州、淮安、连云港二调)等差数列的首项为4,公差为2,前项和为.假设=44(k∈N*),那么k的值为.3.(2021·南昌模拟)数列的前项和为,假设(n≥2),且,那么的值为.4.(2021·苏州期中)等差数列的前项和为,假设,,那么= .5．在等差数列中，＝7，公差为d，前n项和为，当且仅当n＝8时取得最大，那么d的取值范围为______.6.设等差数列的前项和为．〔1〕假设，，求和；〔2〕假设，〔〕，求．五、课后作业1.极课作业2预习?等比数列?。
苏教版高中数学必修五第二学生教案第课时等差数列的概念和通项公式
让学生学会学习听课随笔2.2 等差数列第1课时【学习导航】知识网络学习要求1、体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；2、掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；【自学评价】1．等差数列：一般地，如果一个数列从____________，每一项与它前一项的差等于_____________，这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数就叫做_____________（common difference），常用字母“d”表示。
⑴公差d一定是由______________，而不能用前项减后项来求；⑵对于数列{na},若na－1-na=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N+，则此数列是等差数列，d 为公差2．等差数列的通项公式_______________；3．如果a,A，b成等差数列，那么A叫做a与b的____________；且A=__________.【精典范例】【例1】根据等差数列的概念，判断下列数列是否是等差数列；（1）1，1，1，1，1，1（2）4，7，10，13，16（3）-3，-2，-1，0，1，2，3【解】思考：如果一个数列{}n a的通项公式为bknan+=，其中bk,都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？__________【例2】求出下列等差数列中的未知项：（１）３，ａ，５；（２）３，ｂ，ｃ，－９．【解】【例3】（1）求等差数列8，5，2…的第20项？（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？【解】【追踪训练一】：１．判断下列数列是否为等差数列：（１）－１，－１，－１，－１，－１；（２）１，１２，１３，１４；（３）１，０，１，０，１，０；（４）２，４，６，８，１０，１２；（５）７，１２，１７，２２，２７．２．目前男子举重比赛共有１０个级别，除108公斤以上级外，其余的９个级别从小到大依次为（单位：ｋｇ）54，59，64，70，76，83，91，99，108，这个数列是等差数列吗？３．已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：（１）（），５，１０；（２）１，2，（）；（３）３１，（），（），１０．4．已知数列8,,2,,,7a b c-是等差数列，求未知项,,a b c的值。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》6
等差数列【教学目标】1．理解等差数列的定义，掌握等差数列通项公式的推导方法以及简单应用．2．在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维能力．3．通过自主的探索活动，获得新知识，感受到成功的喜悦，培养理性思维和创新意识．【学情分析】本节内容选自江苏教育出版社出版的?普通高中课程标准实验教科书?必修5第2章“数列〞第2节“等差数列〞第一课时．对于本节内容学生在小学和初中已有初步的浅层次的认识。
对于新学内容，学生容易理解是等差数列定义的数学文字语言表述及等差数列通项公式的简单运用．学生不容易理解的的等差数列定义的数学符号语言表述及等差数列通项公式的推导方法．为此，教学中需培养学生数学抽象能力和数学语言表达能力，在时间和空间上给予学生更多的探究时机．【教学重点】等差数列的定义，等差数列通项公式的推导及应用．【教学难点】等差数列通项公式的推导以及通项公式的函数意义的理解．【教学过程】一、问题情境1．情境：教材P29 2．1节开头第一个问题：某剧场有30排座位，第一排有2021位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20212，24，26，28，…．2．问题：说出第30排有多少个座位？设计意图：①从学生熟悉的问题情境引入实际生活中等差数列的模型．②让学生再次理解数列通项的概念．二、学生活动活动一：设计自主学习方式，引导学生对定义初步认识．问题1：观察以下数列有何共同特点？怎样用数学语言刻画你所观察出来的数列的特点？1 ；2 ；3 ；4 ．活动二：设计探究学习方式，引导学生对定义再认识．问题2：在等差数列中，假设公差为，请根据等差数列的定义，写出与相邻两项相关的等式．活动三：选择合作学习方式，引导学生对定义再拓展〔即等差数列通项公式的推导〕．问题3：设是一个首项为，公差为的等差数列，你们能得出更一般的结论，写出它的第项的表达式吗？设计意图：根据学生的身心特征，针对不同的教学内容，设计不同的学习方式，鼓励学生在参与的过程中获得体验，产生学习数学的积极情感．三、意义建构〔一〕关于等差数列定义的学习过程1、等差数列定义的初认识以问题1为背景，教师首先指出：“具有上述规律的数列，我们称之为等差数列，你能给出等差数列的定义吗？〞然后教师在学生归纳表达的根底上，完整揭示等差数列的定义，并对定义中关键字词进行重点说明，出示课题．再次提出新问题，引出公差的概念及符号表示，“以上四个等差数列从第2项起，每一项与前一项的差是多少？〞2、等差数列定义的再认识以问题2为载体，首先让学生就等差数列定义进行数学文字语言与符号语言的互译．课堂巡视发现学生大致会写出如下两种形式的等式：一是根据定义列出具体两项之间的等量关系，如：，，…；或，，…；或，，…；或，，…．二是能列出连续两项之间的一般关系，如或．然后教师选择有代表性的列式让学生进行自我投影展示，相互评述．得出等差数列定义的符号语言：．这就进一步加深了学生对定义的理解，并为等差数列通项公式的推导设好铺垫．〔二〕关于等差数列通项公式的学习过程以问题3为载体，对等差数列定义的进行再拓展．首先组织学生4人小组讨论，然后进行班级交流，学生展示不同的讨论结果．课堂实况大致有以下4种．状况一：，状况二：，，，……．．各式相加，得各式相加，得，．即．状况三：，状况四：，，……，，即．即．然后教师根据学生展示中的具体情况进行评价，选用两种或三种方法对等差数列通项公式的推导方法进行归纳总结，如不完全归纳法、累加法、迭代法等．设计意图：①由于学生较易理解等差数列的定义，而且也具备这方面的根底，所以首先设计自主学习的方式对定义进行初认识，逐步引导学生用数学语言刻画等差数列的共同特征，培养学生观察、分析的能力和语言表达能力．②为了突出重点，解决难点，选择探究学习的方式，通过数学文字语言与符号语言的互译，探究得出用符号语言表示等差数列定义的一般形式．一方面加深学生对等差数列定义的理解，另一方面尽可能的把学生头脑中的问题引出来，使他们探究问题的思维过程暴露出来，以便加以指导，激发学生学习数学的兴趣，培养他们自主探索的能力．③学生根据等差数列定义所列的等式中，已蕴含等差数列通项公式的推导方法，但有的学生的列式并不完善，学生自己可能也没意识到列式中所蕴含的方法，所以有些学生单凭自行探究还不能完成等差数列通项公式的推导，为此进一步采用组织学生合作学习的方式，以到达导出等差数列的通项公式的教学目的．引导学生在进一步认识等差数列定义的过程中，建构新的数学知识．四、数学运用选择例1〔教材P37例3：等差数列的通项公式为，求和公差．〕让学生自主完成解答，感受等差数列与一次函数的关系．而后联系“思考〞，引导学生合作探究等差数列通项公式反映的一些本质特征：如是以正整数为自变量的特殊的一次函数；这个特殊函数的图像是位于轴右半平面上的一些孤立的点，而且这些点都在直线上；等差数列的公差便是图像上各点所在直线的斜率，进一步还可得出公差与数列单调性的关系．通过例2〔教材P36例2：等差数列中=10，=28，求．〕的教学，先让学生自主运用方程〔组〕的思想方法解决此类问题，再启发学生发现，然后引导学生探究推广到等差数列通项公式更一般的形式：．设计意图：①充分挖掘教材中例题的内涵，以发挥例题的示范性，实现其开展性和培养性．如例1从函数观点出发，由特殊到一般，利用数形结合，加深学生对等差数列通项公式的理解．例2通过讨论，明确推广后的等式与通项公式的关系以及该等式的作用在于：Ⅰ．等差数列的某一项与公差可求出任意指定项；Ⅱ．等差数列的任意两项可求出公差．②在例题的教学中，让学生用不同的学习方式处理数列中不同能级要求的问题，这样既加深了学生对通项公式的理解，又让学生在应用过程中进一步体验数学，促进学生观察、归纳能力以及分析问题、解决问题的能力的提高．五、回忆反思请同学们交流本节课的学习收获．设计意图：①通过回忆，学生再次体会本课所学数学知识和涉及到的数学思想方法．感受从根本定义、概念出发，运用旧知，通过探索得出一些新的结论，这是学习数学常用的方法．②通过交流表述，培养学生的语言表达能力和理性思维．六、课外作业1、必做题：教材P35练习第4、5题；教材P37练习第2、5题；教材P38习题第2、3、4、题；2、选做题：教材P38习题第5、6、7题．设计意图：①进一步强化等差数列概念和通项公式的运用．②设计选做题实施分层作业，让学生尝试应用等差数列的模型解决实际问题．一方面减轻局部学生的学业负担，另一方面也让学有余力的同学发挥更大的潜能．。
苏教版学高中数学必修五数列等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的概念及通项公式讲义
学习目标核心素养１．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．（重点）２．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．（重点）３．等差数列的证明及其应用．（难点）１．通过等差数列的通项公式的应用，提升数学运算素养．２．借助等差数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.１．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．思考１：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？[提示] 第１项前面没有项，无法与前一项作差．思考２：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？[提示] 不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．２．等差数列的通项公式对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a１＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.思考３：已知等差数列{a n}的首项a１和公差d能表示出通项公式a n＝a１＋（n—１）d，如果已知第m项a m和公差d，又如何表示通项公式a n？[提示] 设等差数列的首项为a１，则a m＝a１＋（m—１）d，变形得a１＝a m—（m—１）d，则a n＝a１＋（n—１）d＝a m—（m—１）d＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.１．已知等差数列{a n}的首项a１＝４，公差d＝—２，则通项公式a n＝（）Ａ．４—２nＢ．２n—４Ｃ．6—２nＤ．２n—6C[a n＝a１＋（n—１）d＝４＋（n—１）×（—２）＝４—２n＋２＝6—２n.]２．等差数列—6，—３,0,３，…的公差d＝________.３[（—３）—（—6）＝３，故d＝３．]３．下列数列：１0,0,0,0；２0,１,２,３,４；３１,３,５,7,9；４0,１,２,３，….其中一定是等差数列的有________个．３[１２３是等差数列，４只能说明前４项成等差数列．]４．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．60°[因为三内角A、B、C成等差数列，所以２B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝１80°，所以３B＝１80°，所以B＝60°.]等差数列的判定与证明【例１】（１）在数列{a n}中，a n＝３n＋２；（２）在数列{a n}中，a n＝n２＋n.思路探究：错误!―→错误!―→错误![解] （１）a n＋１—a n＝３（n＋１）＋２—（３n＋２）＝３（n∈N*）．由n的任意性知，这个数列为等差数列．（２）a n＋１—a n＝（n＋１）２＋（n＋１）—（n２＋n）＝２n＋２，不是常数，所以这个数列不是等差数列．１．定义法是判定（或证明）数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：（１）作差a n＋１—a n；（２）对差式进行变形；（３）当a n＋１—a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋１—a n不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．２．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．提醒：当n≥２时，a n＋１—a n＝d（d为常数），无法说明数列{a n}是等差数列，因为a２—a１不一定等于d.１．已知函数f（x）＝错误!，数列{x n}的通项由x n＝f（x n—１）（n≥２且x∈N*）确定．（１）求证：数列错误!是等差数列；（２）当x１＝错误!时，求x２0１9.[解] （１）因为f（x）＝错误!，数列{x n}的通项x n＝f（x n—１），所以x n＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!，所以错误!—错误!＝错误!，所以错误!是等差数列．（２）x１＝错误!时，错误!＝２，所以错误!＝２＋错误!（n—１）＝错误!，所以x n＝错误!，所以x２0１9＝错误!.等差数列的通项公式【例２】已知数列{a n}是等差数列，且a５＝１0，a１２＝３１．（１）求{a n}的通项公式；（２）若a n＝１３，求n的值．思路探究：建立首项a１和d的方程组求a n；由a n＝１３解方程得n.[解] （１）设{a n}的首项为a１，公差为d，则由题意可知错误!解得错误!∴a n＝—２＋（n—１）×３＝３n—５．（２）由a n＝１３，得３n—５＝１３，解得n＝6．１．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n＝a１＋（n—１）d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．２．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n＝a m＋（n—m）d.２．已知递减等差数列{a n}前三项的和为１8，前三项的积为66．求该数列的通项公式，并判断—３４是该数列的项吗？[解] 依题意得错误!∴错误!解得错误!或错误!∵数列{a n}是递减等差数列，∴d<0．故取a１＝１１，d＝—５．∴a n＝１１＋（n—１）·（—５）＝—５n＋１6，即等差数列{a n}的通项公式为a n＝—５n＋１6．令a n＝—３４，即—５n＋１6＝—３４，得n＝１0．∴—３４是数列{a n}的第１0项．等差数列的应用[探究问题]１．若数列{a n}满足错误!＝错误!＋１且a１＝１，则a５如何求解？[提示] 由错误!＝错误!＋１可知错误!—错误!＝１．∴{错误!}是首项错误!＝１，公差d＝１的等差数列．∴错误!＝１＋（n—１）×１＝n，∴a n＝n２，∴a５＝５２＝２５．２．某剧场有２0排座位，第一排有２0个座位，从第２排起，后一排都比前一排多２个座位，则第１５排有多少个座位？[提示] 设第n排有a n个座位，由题意可知a n—a n—１＝２（n≥２）．又a１＝２0，∴a n＝２0＋（n—１）×２＝２n＋１8．∴a１５＝２×１５＋１8＝４8．即第１５排有４8个座位．【例３】某公司经销一种数码产品，第１年可获利２00万元．从第２年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少２0万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？思路探究：分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．[解] 由题设可知第１年获利２00万元，第２年获利１80万元，第３年获利１60万元，…，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第１年起，第n年的利润为a n，则a n—a n—１＝—２0，n≥２，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a１＝２00，公差d＝—２0．所以a n＝a１＋（n—１）d＝２２0—２0n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝２２0—２0n<0，得n>１１，即从第起，该公司经销此产品将亏损．１．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．２．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．３．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t（s）１２３...？ (60)距离s（cm）9．8１9．6２9．４…４9…？（２）利用建立的模型计算，甲虫１min能爬多远？它爬行４9 cm需要多长时间？[解] （１）由题目表中数据可知，该数列从第２项起，每一项与前一项的差都是常数9．8，所以是一个等差数列模型．因为a１＝9．8，d＝9．8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9．8t.（２）当t＝１min＝60 s时，s＝9．8t＝9．8×60＝５88 cm.当s＝４9 cm时，t＝错误!＝错误!＝５s.１．判断一个数列是否为等差数列的常用方法（１）a n＋１—a n＝d（d为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（２）２a n＋１＝a n＋a n＋２（n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（３）a n＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．２．由等差数列的通项公式a n＝a１＋（n—１）d可以看出，只要知道首项a１和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a１，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．１．判断正误（１）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（）（２）等差数列{a n}的单调性与公差d有关．（）（３）若三个数a，b，c满足２b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．（）[答案] （１）×（２）√（３）√[提示] （１）错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．（２）正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．（３）正确．若a，b，c满足２b＝a＋c，即b—a＝c—b，故a，b，c为等差数列．２．在等差数列{a n}中，若a１＝8４，a２＝80，则使a n≥0，且a n＋１<0的n为（）Ａ．２１Ｂ．２２Ｃ．２３Ｄ．２４B[公差d＝a２—a１＝—４，∴a n＝a１＋（n—１）d＝8４＋（n—１）（—４）＝88—４n，令错误!即错误!⇒２１<n≤２２．又∵n∈N*，∴n＝２２．]３．若数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝a n＋２，则a n＝________.２n—１[由a n＋１＝a n＋２，得a n＋１—a n＝２，∴{a n}是首项a１＝１，d＝２的等差数列，∴a n＝１＋（n—１）×２＝２n—１．]４．已知数列{a n}，a１＝a２＝１，a n＝a n—１＋２（n≥３），判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．[解] 因为a n＝a n—１＋２（n≥３），所以a n—a n—１＝２（常数）．又n≥３，所以从第３项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数２，而a２—a１＝0≠a３—a２，所以数列{a n}不是等差数列．。
高中数学2.2.1等差数列的概念教案苏教版必修5
等差数列的概念和通项公式 第 11课时一、学习目标 1.明确等差数列的定义，初步掌握等差数列的通项公式。
2.会解决知道a n ,a 1,d ,n 中的三个，求另外一个的问题.3.培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识.二．学法指导1.深刻理解等差数列中“等差”的含义.2.理解用“叠加法”证明等差数列通项公式的方法.三、课前预习1．等差数列的概念定义：一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做___________，这个常数叫做等差数列的__________，通常用字母______表示.2. .等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则通项公式为_________________注：由此可知：（1）一个等差数列总可以由首项和公差来唯一确定。
（2）在a n ,a 1,d ,n 中“知三求一”。
四、课堂探究探究1.什么叫等差数列？等差数列相邻两项的关系？探究2.设{}n a 是一个首项为1a ,公差为d 的等差数列,那它的通项公式是什么呢?五.数学应用例1判断下列数列是否是等差数列（1）1，1，1，1，1，（2）4，7，10，13，16（3）-3，-2，-1，1，2，3例2求出下列等差数列的未知项（1）3，a ，5 （2）3，b ，c ，—9例3.（1）在等差数列{}n a 中，是否有)2(211≥+=+-n a a a n n n ？ （2）在数列{}n a 中，如果对于任意的正整数)2(≥n n ，都有211+-+=n n n a a a ，那么数列{}n a 一定是等差数列吗？例4. (1)求等差数列8，5，2…的第20项.(2) －401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?六、巩固训练（一）当堂练习1.在数列{}n a 中，若,122,211=--=+n n a a a 则_________51=a 2. 等差数列{a n }的前三项分别是a-1, a+1, a+3,则它的通项公式是_____________.3.在1和100之间插入8个数，使它们与这两个数组成等差数列，则这个数列的公差是______________.(二)课后作业练习册第二课时六．反思总结。
苏教版高中数学必修五第二学生教案第课时等差数列的概念和通项公式(1)
听课随笔第2课时【学习导航】知识网络学习要求1、体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；2、掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；【自学评价】1．等差数列的通项公式：①普通式：1(1)na a n d=+-；②推广式：________________；③变式：1(1)na a n d=--；11na adn-=-；n ma adn m-=-；注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数n的次数不高于一次的多项式函数即a n=An+B(若{a n}为常数列时,A=0).2．等差数列的单调性：由等差数列的定义知a n+1－a n=d,当d＞0时，a n+1____a n即{a n}为递增数列；当d=0时，a n+1_____a n即{a n}为常数列；当d＜0时，a n+1____a n即{a n}为递减数列.注：等差数列不会是摆动数列.【精典范例】【例1】第一届现代奥运会于1986年在希腊雅典举行，此后每４年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．（１）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（２）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？【解】【例2】在等差数列｛aｎ｝中，已知a３＝１０，a９＝２８，求a１２．【解】【例3】某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为１５ｃｍ和２５ｃｍ，求中间四个滑轮的直径．【解】【追踪训练一】：1．已知｛a n｝是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=（）A.36B.30C.24D.182.等差数列{}n a中，26a a与的等差中项为5，37a a与的等差中项为7，则na=______.３．诺沃尔（Ｋｎｏｗａｌｌ）在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出在１８２３年、１９０６年、１９８９年……人们都可以看到这颗彗星，即彗星每隔８３年出现一次．（１）从发现那次算起，彗星第８次出现是在哪一年？（２）你认为这颗彗星在２５００年会出现吗？为什么？【解】４．全国统一鞋号中，成年男鞋有１４种尺码，其中最小的尺码是２３．５ｃｍ，各相邻两个尺码都相差０．５ｃｍ，其中最大的尺码是多少？听课随笔５．一个等差数列的第４０项等于第２０项与第３０项的和，且公差是－１０，试求首项和第１０项．【选修延伸】【例4】等差数列｛a n ｝中，a 1=23，公差d 为整数，若a 6>0,a 7<0.（1）求公差d 的值; （2）求通项a n . 【解】【例5】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 请您根据提供的信息说明：⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；⑶哪一年的规模最大？请说明理由． 【解】【追踪训练二】：1.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ） A.d ＞38 B.d ＜3 C. 38≤d ＜3 D.38＜d ≤3 2.在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，则a 2+a 8等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.3003.如果等差数列{a n }的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第________项.4.已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为___________.5.已知数列{a n }满足a n +12=a n 2+4，且a 1=1,a n ＞0，求a n .6.若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，求2412b b a a --的值.学生质疑教师释疑。
苏教版必修5高中数学2.2.1等差数列的概念word教学设计
2.2.1 等差数列的概念教学目标：1.理解等差数列的概念，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要函数模型；2.能够利用等差数列的概念判断给定数列是不是为等差数列；3.在探索活动中培育学生的观察、分析能力，培育由特殊到一般的归纳能力．教学重点：等差数列的概念．教学难点：对等差数列“等差”的特点的理解 .教学方式：启发式、研讨式．教学进程：一、问题情境1．情境：第23届到第28届奥运会举行的年份依次为：1984，1988，1992，1996，2000，2004；2．问题：那个数列有什么特点？二、学生活动1．让学生回顾书上本章第节开始碰着的数列（初步体会等差数列的特点）；2．列举生活中的等差数列的实例（了解等差数列的概念）；3．分析、归纳各类等差数列实例的一路特征．三、建构数学1．引导学生自己总结给出等差数列的含义（描述性概念）；2．给出等差中项的概念．四、数学运用（1）1,1,1,1,1；（2）4,7,10,13,16；（3）-3，-2，-1, 1,2,3．例2 求出下列等差数列中的未知项：（1）3,,5a ；（2）3,,,9b c -．例3 （1）在等差数列{}n a 中，是不是有112n n n a a a -++=(2)n ≥？ （2）在数列{}n a 中，若是对于任意的正整数(2)n n ≥，都有112n n n a a a -++=，那么数列{}n a 必然是等差数列吗？2．练习.讲义P37练习 1，2，3，4．五、要点归纳与方式小结本节课学习了以下内容：1．等差数列的有关概念；2．等差数列的判断方式——概念法、等差中项法．。
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2．2.1 等差数列的概念明目标、知重点 1.理解等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列.2.能利用等差数列的定义求等差数列中的某一项.3.理解等差中项的概念，并能利用等差中项的概念判断一个数列是否为等差数列．1．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 2．等差中项的概念如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b2叫做a 与b 的等差中项．在等差数列{a n }中，a n ＝a n ＋1＋a n －12(n ≥2，n ∈N *)；反之，对于任意一个数列{a n }，若a n ＝a n ＋1＋a n －12(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列{a n }一定是等差数列． 3．等差数列的单调性等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列．[情境导学]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？本节我们就来一起研究这个问题． 探究点一 等差数列的概念思考1 下面我们来看这样的一些数列： (1)0,5,10,15,20，…. (2)48,53,58,63. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.(4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360.以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论．答共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．思考2具有思考1中这些数列特点的数列，我们把它叫做等差数列，那么，如何给等差数列下个定义？答如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．思考3如何用数学语言来描述等差数列的定义？答数学语言：a n－a n－1＝d(n≥2)或a n＋1－a n＝d(n≥1)．思考4思考1中的四个等差数列的公差分别是什么？答公差分别是5,5，－2.5,72.小结对于一个数列，当a n－a n－1＝d(n≥2)中的d为常数时，该数列为等差数列，否则不是等差数列．当d>0时，a n>a n－1，该数列为递增数列；当d＝0时，a n＝a n－1，该数列为常数列；当d<0时，a n<a n－1，该数列为递减数列．例1判断下列数列是否为等差数列：(1)1,1,1,1,1；(2)4,7,10,13,16；(3)－3，－2，－1,1,2,3.解(1)所给数列是首项为1，公差为0的等差数列．(2)所给数列是首项为4，公差为3的等差数列．(3)因为(－1)－(－2)≠1－(－1)，所以这个数列不是等差数列．反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断a n＋1－a n(n≥1)是不是一个与n无关的常数．跟踪训练1判断下列数列是不是等差数列：(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，…，a，….解由等差数列的定义，得(1)，(2)，(5)是等差数列，(3)，(4)不是等差数列．例2求出下列等差数列中的未知项：(1)3，a,5；(2)3，b，c，－9.解(1)根据题意，得a－3＝5－a，解得a ＝4.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －3＝c －b ，c －b ＝－9－c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－5.反思与感悟 应用方程的思想能求等差数列中未知的项，列方程的依据是等差数列的定义． 跟踪训练2 已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数： (1)( )，5,10； (2)1，2，( )； (3)31，( )，( )，10.解 (1)设所填的数为a ，由等差数列的定义， 得5－a ＝10－5，所以a ＝0.(2)设所填的数为b ，由等差数列的定义， 得2－1＝b －2，所以b ＝22－1. (3)设所填的数为x ，y ，由等差数列的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －31＝y －x ，y －x ＝10－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝17.探究点二 等差中项的应用思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0. 答 插入的数分别为3,2,0.思考2 如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，如何用a ，b 表示A?答 由a ，A ，b 组成等差数列，所以A －a ＝b －A ，∴2A ＝a ＋b ，∴A ＝a ＋b 2.小结 如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b2叫做a 与b 的等差中项．例3 (1)在等差数列{a n }中，是否有a n ＝a n －1＋a n ＋12(n ≥2)?(2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a n ＝a n －1＋a n ＋12，那么数列{a n }一定是等差数列吗？解 (1)因为{a n }是等差数列，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n －1＋a n ＋12.(2)在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)都有a n ＝a n －1＋a n ＋12，那么a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)．这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{a n }是等差数列．反思与感悟 判断一个数列是否为等差数列，除了利用定义外，还可以利用2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N*)来判定．跟踪训练3 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.1．已知等差数列{a n }前5项为7,12,17,22,27，则公差d 为________． 答案 5解析 由等差数列的定义，得d ＝12－7＝17－12＝22－17＝27－22＝5. 2.2－1与2＋1的等差中项是________． 答案2解析 设等差中项为a ，则有2a ＝(2－1)＋(2＋1)＝22，所以a ＝ 2.3．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab＝________.答案 13解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13.4．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23.∴a n ＝13＋(n －1)×23＝23n －13.由a n ＝23n －13＝33，解得n ＝50.[呈重点、现规律]1．如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列．2．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同．当这些常数不同时，此数列不是等差数列．3．d ＝a n －a n －1(n ≥2)或d ＝a n ＋1－a n 是证明或判断一个数列是等差数列的依据(d 是常数)．切记不可通过计算a 2－a 1，a 3－a 2等有限的几个式子的值后，发现它是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．一、基础过关1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是________．答案 b －a 3解析 由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.2．等差数列14,11,11,8，…中第一个负数项是第______项． 答案 7解析 由等差数列的前4项14,11,11,8知，公差为－3，所以第5项为8－3＝5，第6项为5－3＝2，第7项为2－3＝－1＜0.3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 39解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26.∴x ＋y ＋z ＝39.4．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项是________．答案3解析 由于a ＝13＋2＝3－2，b ＝13－2＝3＋2，所以a ＋b 2＝ 3.5．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B ＝________. 答案 60°解析 因为A 、B 、C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°， 从而B ＝60°.6．下列数列为等差数列的是________． ①4,7,10,13,16，…； ②31,25,19,13,7，…； ③0,0,0,0,0，…；④a ，a －b ，a －2b ，…； ⑤1,2,5,8,11，…. 答案 ①②③④解析 通过观察可知①②③④是等差数列，⑤不是等差数列，因为a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 2－a 1≠a 3－a 2.7．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5℃，5 km 高度的气温是－17.5℃，求2 km,4 km,8 km 高度的气温． 解 用{a n }表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a 1＝8.5，a 5＝－17.5，由a 5＝a 1＋4d ＝8.5＋4d ＝－17.5，解得d ＝－6.5，∴a n ＝15－6.5n .∴a 2＝2，a 4＝－11，a 8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃. 二、能力提升8．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．答案 43解析 n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13(n －m )14(n －m )＝43. 9．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 答案 15解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，∴⎩⎨⎧a 1＝－174d ＝74.∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0，解不等式得：83<d ≤3.11．已知a ，b ，c 成等差数列，那么a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )是否能构成等差数列？证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . ∴a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b )＝a 2b ＋a 2c ＋c 2a ＋c 2b ＝(a 2b ＋c 2b )＋(a 2c ＋c 2a ) ＝b (a 2＋c 2)＋ac (a ＋c )＝b (a 2＋c 2)＋2abc ＝b (a 2＋c 2＋2ac )＝b (a ＋c )2＝b ·(a ＋c )·(a ＋c ) ＝2·b 2(a ＋c )．∴a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )能构成等差数列．12(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ (2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t . (2)当t ＝1 min ＝60 s 时， s ＝9.8t ＝9.8×60＝588 cm.当s ＝49 cm 时，t ＝s 9.8＝499.8＝5 s.三、探究与拓展13．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列．证明 ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ，即2ac ＝b (a ＋c )． ∵b ＋c a ＋a ＋b c ＝c (b ＋c )＋a (a ＋b )ac＝c 2＋a 2＋b (a ＋c )ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac＝2(a ＋c )2b (a ＋c )＝2(a ＋c )b .∴b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋bc成等差数列．。