《信号与系统》第五章基本内容示例(含答案)
信号与系统第五章习题答案
∞
n− 6
1 − a n− 5 ε [n − 6 ] 1− a
故系统的零状态响应为
y zs [n ] = f [n] ∗ h[n] = a n ε [n] ∗ (ε [n] − ε [n − 6]) = a n ε [n] ∗ ε [n ] − a nε [n] ∗ ε [n − 6]
联立以上两式可解得： A1 = 1 ， A2 = 2 于是齐次解为
275
y h [n] = (− 3) + 2 n+1
n
5.10
如有齐次差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 4 y[n − 2] = 0 ， 已知 y[0] = y[1] = −2 ， 试求其齐次解。 【知识点窍】主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法。 【逻辑推理】首先通过差分方程得特征方程，由特征方程求得特征根，代入条件即可求得齐次
λ2 + 3λ + 2 = 0
y zi [n ] = A1 (− 1) + A2 (− 2)
n
n
将初始状态 y[− 1] = −
1 , 2
y[− 2] =
5 代入上式，有： 4
−1 −1
y[− 1] = y zi [− 1] = A1 (− 1) + A2 (− 2 ) = − y[− 2] = y zi [− 2 ] = A1 (− 1) + A2 (− 2 )
−2 −2
1 2 5 = 4
271
联立以上两式可解得： A1 = 2 ， A2 = −3 则系统的零输入响应为
y zi [n ] = 2(− 1) − 3(− 2)
n
n
5.4 设有离散系统的差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 3 y[n − 2] = 4 f [n] + f [n − 1] ，试画出其时域模拟 图。 【知识点窍】主要考察由系统的差分方程画出系统的直接模拟图，掌握直接模拟图的意义。 【逻辑推理】将差分方程各个环节分别用加法器及延时器来表示。 解：时域模拟图如图 5.1
随机信号与系统第五章习题部分答案
第五章 习题5-1 设某信号为1000||()t x t e -=（1）试求x (t )的傅里叶变换X (j ω)，并绘制X (j ω)曲线；（2）假设分别以采样频率为f s =5000Hz 和f s =1000Hz 对该信号进行采样，得到一组采样序列x k ，说明采样频率对序列x k 频率特性X (e j Ω)的影响。
解：（1）1000||622000()()10j t t j t X j x t e dt e e dt ωωωω∞∞----∞-∞===+⎰⎰. X (j ω)的曲线如下图所示：（2）设采样周期为T ，则采样输出为()()()()k k k x x t t kT x kT t kT δδ∞∞=-∞=-∞=-=-∑∑.由时域相乘等于频域卷积，有1122()()*[()]()*[()]22j k k X e X j t kT X j kT Tππδδππ∞∞Ω=-∞=-∞=Ω-=ΩΩ-∑∑F 121212()()()2k k X j k d X j jk T T T T Tπππωδωωπ∞∞∞-∞=-∞=-∞=⋅=Ω--=Ω-∑∑⎰. 即序列x k 频率特性X (e j Ω)是原信号频谱X (j ω)以2Tπ为周期进行延拓而成的，而采样频率1122s f T Tππ==⋅，所以采样频率越高，序列x k 频率特性的各周期越分散，越不容易发生频谱混叠。
5-2 假设平稳随机过程x (t )和y (t )满足下列离散差分方程11;k k k k k k k x ax e y ay x v ---=-=+式中，|a|<1；e k ，v k ～N (0，σ 2)分布，且二者互不相关。
试求随机序列y k 的功率谱。
解：对1k k k x ax e --=进行离散时间傅里叶变换（DTFT ），且记DTFT(x k )=X (e j Ω)，DTFT(e k )=E (e j Ω)，则有j j j ()(1)()X e ae E e ΩΩΩ--=式中，Ω=ωT s ，称为数字频率（rad ），ω为实际频率（rad/s ），T s 为采样周期（s ）。
第5章 北邮信号与系统课后习题解答
1 s2
e s 1
（4）
2
(t)
3e 2 t u (t )
2
s
3
2
（5）L
[
1 2a
3
(sin
at
at
cos at)]
1 2a3
(s2
a
a2
a
d ds
( s2
s
a2
))
1 2a2
( s2
1 a2
s2 a2 (s2 a2)2
)
1 (s2 a2)2
1)]
e(s2) s2
其波形题 5-3 解图所示。
f1 (t ) 1
f2 (t) 1
t
1
t
f3 (t) e2
t
f4 (t)
e-2
1
t
5-4 解：
题 5-3 解图
（a）L [ f1(t)] L [E[u(t t1) u(t t1 )] E[u(t t2) u(t t2 )]]
1[ (s2
s 1)2
]
1 2
t
sin
t
由拉氏变换的积分性质
L
1[
(
s
2
2
1)2
]
t
sin d
sin t
t cos t
，t
0
0
或：
s
1 2
1
sin
t
，
(s2
2 1)2
sin t *sin t
sin t t cos t
信号与系统课后习题答案第5章
y(k)=［2(－1)k+(k－2)(－2)k］ε(k)
76
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.23 求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
77
第5章 离散信号与系统的时域分析 78
第5章 离散信号与系统的时域分析
确定系统单位响应: 由H(E)极点r=－2, 写出零输入响应表示式: 将初始条件yzi(0)=0代入上式，确定c1=0, 故有yzi(k)=0。
题解图 5.6-1
16
第5章 离散信号与系统的时域分析
题解图 5.6-2
17
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此
18
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.7 各序列的图形如题图 5.2 所示，求下列卷积和。
题图 5.2
19
第5章 离散信号与系统的时域分析 20
第5章 离散信号与系统的时域分析 21
第5章 离散信号与系统的时域分析 46
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.16 已知离散系统的差分方程(或传输算子)如下，试求各 系统的单位响应。
47
第5章 离散信号与系统的时域分析 48
由于
第5章 离散信号与系统的时域分析
49
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此系统单位响应为
50
第5章 离散信号与系统的时域分析 51
5.21 已知LTI离散系统的单位响应为
试求： (1) 输入为
时的零状态响应yzs(k)； (2) 描述该系统的传输算子H(E)。
69
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 (1) 由题意知: 先计算:
70
第5章 离散信号与系统的时域分析
信号与系统课后习题答案第5章
yzi(k)=(－2)kε(k)
39
第5章 离散信号与系统的时域分析 40
第5章 离散信号与系统的时域分析 41
第5章 离散信号与系统的时域分析 42
第5章 离散信号与系统的时域分析 43
第5章 离散信号与系统的时域分析
(6) 系统传输算子:
22
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.9 已知两序列
试计算f1(k)*f2(k)。
23
解 因为
第5章 离散信号与系统的时域分析
所以
24
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.10 已知序列x(k)、y(k)为
试用图解法求g(k)=x(k)*y(k)。
25
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 首先画出y(k)和x(k)图形如题解图5.10所示, 然后结合 卷积和的图解机理和常用公式,应用局部范围等效的计算方法 求解。
题解图 5.10
26
第5章 离散信号与系统的时域分析 27
总之有
第5章 离散信号与系统的时域分析
28
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.11 下列系统方程中，f(k)和y(k)分别表示系统的输入和输 出，试写出各离散系统的传输算子H(E)。
29
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 由系统差分方程写出传输算子H(E)如下:
解 各序列的图形如题解图5.2所示。
题解图 5.2
5
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.3 写出题图 5.1 所示各序列的表达式。
题图 5.1
6
第5章 离散信号与系统的时域分析 7
第5章 离散信号与系统的时域分析
信号与系统课后习题答案
习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。
因此，公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。
因此，公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。
因此，公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
信号与系统第5章习题答案
第5章连续时间信号的抽样与量化5.1试证明时域抽样定理。
证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为T(t)(tnT)sn由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：1F s ()F()T 2()1 T snFns式中F()为原信号f(t)的频谱，T ()为单位冲激序列T (t)的频谱。
可知抽样后信 号的频谱()F 由F()以s 为周期进行周期延拓后再与1T s 相乘而得到，这意味着如果 s s2，抽样后的信号f s (t)就包含了信号f(t)的全部信息。
如果s2m ，即抽样m 间隔 1 Tsf2m，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 原信号。
因此必须要求满足1 Tsf2 m，f(t)才能由f s (t)完全恢复，这就证明了抽样定理。
5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：2t （1）Sa(50t)（2）Sa(100)2t （3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)SatSa解：抽样的最大间隔 T s 12f 称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率f s 2f m 称为奈奎m斯特速率，最低采样频率s 2称为奈奎斯特频率。
m（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s ，则50)5025 f ， m由抽样定理得：最低抽样频率50 f s 2f m ，奈奎斯特间隔1 T 。
sf50s2t（2）)Sa(100)(1100200脉宽为400，由此可得radsm200/，则100f，由抽样定理得最低抽样频率m200f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
sf200s（3）Sa[(50)(50)]，该信号频谱的m50rad/s(50t)uu50Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100rad/s10050Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低m抽样频率100f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
信号与系统第5章习题答案
信号与系统第5章习题答案信号与系统是电子信息类专业中的一门重要课程，它研究信号的产生、传输和处理，以及系统对信号的响应和处理。
第5章是该课程中的一个重要章节，主要涉及离散时间信号与系统。
本文将为读者提供信号与系统第5章习题的详细解答。
1. 习题1：给定一个离散时间信号x(n) = {1, 2, 3, 4}，求其反序信号y(n)。
解答：反序信号即将原信号的元素按照相反的顺序排列。
所以，反序信号y(n)= {4, 3, 2, 1}。
2. 习题2：给定两个离散时间信号x(n) = {1, 2, 3, 4}和h(n) = {1, -1, 1, -1}，求它们的卷积y(n)。
解答：卷积运算公式为y(n) = ∑[x(k) * h(n-k)]，其中k为求和变量。
根据公式，我们可以得到y(n)的计算过程如下：y(0) = x(0) * h(0) = 1 * 1 = 1y(1) = x(0) * h(1) + x(1) * h(0) = 1 * (-1) + 2 * 1 = 1y(2) = x(0) * h(2) + x(1) * h(1) + x(2) * h(0) = 1 * 1 + 2 * (-1) + 3 * 1 = 2y(3) = x(0) * h(3) + x(1) * h(2) + x(2) * h(1) + x(3) * h(0) = 1 * (-1) + 2 * 1 + 3 * (-1) + 4 * 1 = 2所以，卷积结果为y(n) = {1, 1, 2, 2}。
3. 习题3：给定一个离散时间信号x(n) = {1, 2, 3, 4}，求其单位脉冲响应h(n)。
解答：单位脉冲响应是系统对单位脉冲信号的响应。
单位脉冲信号为δ(n)，即在n=0时取值为1，其他时刻取值为0。
根据系统的线性性质，我们可以通过输入单位脉冲信号得到输出信号，即h(n) = x(n)。
所以，单位脉冲响应h(n) = {1, 2, 3, 4}。
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e−4t
sin(0t)
(t)
（2）ℒ
(2t
−
5)
=
1
−5s
e2
s
（3）ℒ-1
1 1− e−s
=
k =0
(t
−
k)
（4）ℒ
cos(3t − 2) (3t − 2) =
s
2
s +
9
−
e
2 3
s
（5）ℒ
e−t (t)
− e−(t −3)
(t
−
3)
=
s
1 (1− +1
e−3s )
（6）ℒ-1
1 2
2. 已知系统的 H (s) = s +1 ，画出系统的零、极点分布图。
(s + 2)2 + 4
六、简单计算下列式子
ℒ 1、
-1
(s
+
0 4)2
+
02
2、ℒ (2t − 5)
ℒ-1
3、
1
1 − e−
s
4、ℒ cos(3t − 2) (3t − 2)
ℒ 5、 e−t (t) − e−(t −3) (t − 3)
系统并联后的复合系统的系统函数为（ ）。
A ． H1(s) + H2 (s)
B ． H1(s) H2(s)
C．无法确定
D． H1(s) // H2(s) 14、若 f (t) 1 ，Re[s] −3 ，根据终值定理，原函数 f (t) 的终值为
s+3
（ ）。
A．无穷小
B．无穷大
C． 1 D． 0
X (s) = F(s) + s X (s) + s2 X (s)
c Y(s) = X (s) + s2 X (s)
所以
H (s)
=
s2
s2 + c − as −
b
（4 分）
又
YZS
(s)
=
1 s
−
s
5 +
2
+
s
5 +
3
F(s) = 1 s
H (s) = s2 + 6 （5 分） s2 + 5s + 6
一、填空题
1．一个因果连续系统，其系统函数 H(s) 的极点都在 s 平面的左半开
平面，则系统是
。
2 ． 信 号 f (t) = (t − mT ) 的 单 边 拉 普 拉 斯_____。
3．拉普拉斯变换中的终值定理是取 s→0 的极限，因而_________的
对比，得 a = −5, b = −6, c = 6 （1 分）
3.
解：设 f (t) F(s), yzs (t) Y (s), g(t) G(s) ，可得
G(s) = 1 − 1 + 2 ，Y(s) = 1 − 2 + 3
s s+2 s+3
s +1 s + 2 s +3
又由 (t) 1 （1 分），因此 s
yzs (t) = (1− 5e-2t + 5e-3t ) (t) ，求系数 a 、 b 、 c 。
3、 已知某 LTI 系统的阶跃响应 g(t) = (1− e−2t + 2e−3t ) (t) ，欲使系统的零状态响 应 yzs (t) = (e−t − 2e−2t + 3e−3t ) (t) ，试求系统的输入信号 f (t) 。
①
系统函数为
H
(s)
=
U 2 (s) U1(s)
=
s2
+
(3
K − K)s
；
+1
② 当 K ＝4 时，系统是不稳定的。
参考答案：
一．1． 稳定系统
二．1．A 8.D
2．C 9.C
三． ×
２． 1 1− e−sT 3.C
10.A
３. s=0
4.B 11.D
5.B 12.E
４．时
6.A 13.A
5．共同
7、系统零状态响应的象函数与激励的象函数之比称为_______函数。（____） A、指数 B、冲激 C、系统 D、正弦
8、连续系统的 S 域分析是以____________信号作为基本信号，任意信号都可 以依此加以分解。（____）
A、 e−st
B、 e− jt
C、 e jt
D、 est
9、_____全部在________平面的系统是_______的系统。（____） A、零点、左半、因果 B、极点、右半开、稳定
4、 如图所示电路，若激励信号U1(t) = (3e−2t + 2e−3t ) (t) ，求响应U2 (t) ， 并指出响应中的强迫响应分量、自由响应分量、暂态分量和稳态分量。
+
U1(t)
-
1
1 0.5 F
+
U2(t)
-
八、证明题
下图所示系统，放大器是理想的， R1 = R2 =1 , C1 = C2 =1 F，试证明：
C、极点、左半开、稳定 D、零点、右半、反因果
10、根据系统的时域框图画出其相应的 s 域框图，就可直接按 s 域框图写出有 关____函数的代数方程，然后解出响应的象函数，取其逆变换求得系统的响
应，这将使运算简化。（____）
A、象 B、初等 C、超越 D、原
11、系统的冲激响应与系统函数是一_______变换对。（____） A、代数 B、希尔伯特 C、傅氏 D、拉氏
Z1 ( s )
=
1 sC1
•
(R2
+
1 sC2
C. 电容 C 在 s 域的串联形式模型可由U (s) = 1 I (s) + u C (0 −) 表示。由式子可见，
sC
s
电容上象电压U (s) 与象电流 I (s) 的关系可看成是由容抗 sC 与内部象电流源
u C (0 − ) 相串联组成。 s
D. 电感在 s 域的并联形式模型可由 I (s) = 1 U (s) + i L (0 −) 表示。由式子可见，
H (s) = G(s) 1 s
=1− s + 2s s+2 s+3
= 1− (s + 2) − 2 + 2(s + 3) − 6
s+2
s+3
=2+ 2 − 6 s+2 s+3
（2 分） （4 分）
进而可求，
F(s) = Y(s) H (s)
1− 2 + 3
= s +1 2+
s+2 2−
s+3 6
2、 若因果信号 f (t) 与其单边拉氏变换的关系为 f (t) F(s) 时，试证明
aeabtf(at) ←→ F(s/a-b), 式中 a>0。
五．画图题
１． 如下图所示电路,当 t=0 时,开关 K 闭合, 试画出 t>0 时的电路的复频域模
型。
1H 1H
5
i(t )
10
10
k t=0
+ - 20V
）
A．
B．-10
C． -11
D．1
3．因果系统转移函数 H (s) 的零极图如下图所示，此系统属于（ ）系统。
A．临界稳定的
B．不稳定的
j
C．无法判断稳定性 D．稳定的
-1 -1/2 0
4. 单边拉氏变换象函数 F(s)的收敛坐标σ< 0，则其收敛坐标在虚轴以左，在 这种情况下，___________________________。（____） A、 F(s)式在虚轴上不收敛，因此不能直接计算其傅里叶变换 B、F(s)式中，令 s=jω，就得到相应的傅里叶变换 C、 F(s)式在虚轴上收敛，但也不能直接计算其傅里叶变换 D、函数 f(t)的傅里叶变换不存在
t →
s→0
= lim H (s) s→0
= H (0)
（4 分）
式子得证。
2.证明：Q f (t) F(s)
根据拉普拉斯变换的尺度性质，可得，
f (at ) 1 F( s ) ；
aa
（4 分）
又根据拉普拉斯变换的 S 域平移性质有
eabt f (at ) 1 F ( s − b)
aa
aeabt f (at ) F( s − b)
s+2 s+3
1− 2 + 3
=
1
−
s +1 2(s + 2)
s −
+ 2
2 +
s 3(s
+3 + 3)
−
6
s+2
s+3
1− 2 + 3
=
s +1 1− 2(s
s+ + 1)
2 +
s 3(s
+3 +1)
s+2 s+3
=1 s +1
对上式取拉普拉斯逆变换，得 f (t) 为
（4 分）
f (t) = e−t (t)
a 式子得证。
（4 分） （2 分）
五．1.
解：
iL右 (0−
)
=
20 10 +10
=
1A
iL左(0− ) = 0
直流信号源 20 20
S
S
S1
- + I(s)
10
5
10
+ 20
-S