其他类型的二次型及矩阵
二次型及其矩阵
第五章 二次型在解析几何中，为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθc o s s i n s i n c o s y x y y x x把方程化为标准形式122='+'y c x m .这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题.第一节 二次型及其矩阵内容分布图示★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 线性变换★例6★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 ★返回内容要点：一、二次型的概念定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数nn n n n n n n nnn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122222221112122222),,,(--+++++++++++=称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型 2222211nn y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式).二、二次型的矩阵取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是∑==++++++++++++=nj i ji ij nnn n n n n nn nn n x x ax a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1,222112222221221112112211121),,,()()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++=.),,,(),,,(212122221112112122112222121121211121AX X x x x a a aa a aa a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n n a a a a a a a a a A x x x X 21222211121121,.称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系.三、线性变换定义2 关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c c c c c C212222111211 称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时，称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型，将其代入得AX X X f T =)(Y AC C Y CY A CY T T T )()()(==这里，Y AC C Y T T )(为关于n y y y ,,,21 的二次型，对应的矩阵为AC C T .注: 要Y AC C Y T T )(为标准型，即要AC C T 为对角矩阵。
6.1二次型的定义及其矩阵表示
• 例1 用矩阵形式表示下列二次型 • （1） f (x, y) 5x2 8xy 3y2 • 解： a11 5, a12 a21 4, a22 3
• 所以
f
(x,
y)
x,Байду номын сангаас
y
5 4
4 x
3
y
• （2） • 解：
f
(x1, x2 , x3
a11 0, a12
一、二次型的概念
定义4.11
含有n个变量 x1 ,
x2 ,
,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 简记为 f f (x1, , xn )
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
1/21
二、二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
)12x, 3a2 13
x1x2
0;
2 x2
x3
a21
1 2
, a22
0, a23
1;
a31 0, a32 1, a33 1
• 所以：
0
1 2
0
A
1 2
0
线性代数 二次型及其矩阵表示
记作 X PY , X x1 , x2 ,L xn , Y y1 , y2 ,L yn 注 非退化线性变换的逆变换仍为非退化的；连续多次 施行非退化线性变换其结果仍为一个非退化的线性变换，
T T
且系数矩阵等于非退化线性变换矩阵的乘积．
n
n
②
２、二次型 f ( x1 , x2 , 的矩阵表示
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2
a1n x1 xn
x1
x2
x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn an1 x1 an 2 x2 ann xn a11 a12 L a1n x1 a a22 L a2 n x2 ③ 21 L xn M M M M an1 an 2 L ann xn
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn 2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
aij xi x j
i 1 j 1
f称为对称矩阵Ａ的二次型； Ａ称为二次型f的矩阵； 练习 写出下列二次型的对称矩阵．
例１
2 2 1）实数域Ｒ上的２元二次型 f ax 2bxy cy
2）实数域上Ｒ的３元二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x2 4 x2 x3 3）复数域Ｃ上的４元二次型 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ix1 x2 3 x1 x4 5 x2 (3 i ) x2 x3 a b A 解： 1） b c
线性代数二次型
第五章 1二次型与对称矩阵一、 二次型及其矩阵1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数：22212111222(,,,)n nn nf x x x a x a x a x =+++12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --++++称为二次型。
为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为：212111121211(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x =+++ 2212122222n n a x x a x a x x +++++21122n n n n nn na x x a x x a x ++++ ,1nij i j i j a x x ==∑令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 12n x x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则 12(,,,)T n f x x x x Ax =，且A 为对称矩阵。
由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型f 的秩。
例1 设31322123222132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=.试求二次型矩阵A .解 111=a , 222=a , 333=a , 252112==a a , 273223==a a , 293113==a a .于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=327292722529251A ，1123235912257(,,)22297322x f x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭例2 已知三阶矩阵A 和向量X ,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=233110321A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X .求二次型AX X T 的矩阵.解 由于A 不是对称矩阵,故A 不是二次型AX X T 的矩阵.因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T321321233110321),,(x x x x x x AX X3231212322214622x x x x x x x x x -++++=, 故此二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--223211311.二、线性变换1 标准形定义：形如2222211n n x d x d x d +++ 的二次型称为二次型的标准形。
二次型矩阵形式
二次型矩阵形式二次型是数学中一个重要的概念，与矩阵紧密相关。
在接下来的文章中，我将详细介绍二次型及其矩阵形式，包括定义、性质、特征值和特征向量以及矩阵对角化等内容。
首先，我们来定义二次型。
给定一个n维向量x = (x1, x2, ..., xn)，我们可以定义一个二次型Q(x)如下：Q(x) = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2其中，x1, x2, ..., xn是向量x的分量。
上述二次型表示了一个向量x各个分量的平方和。
一般地，我们可以用一个n维向量x和一个实对称矩阵A来表示一个二次型，如下所示：Q(x)=x^TAx其中，x^T表示向量x的转置，表示行向量。
接下来，我们来探讨二次型的性质。
首先，我们看到二次型的系数矩阵A是实对称矩阵。
这是因为在二次型的定义中，我们可以通过转置操作将行向量x转换为列向量，从而使得系数矩阵A是对称的。
实对称矩阵有很多重要的性质，例如它总是可以对角化的。
另外，二次型对应的系数矩阵A也具有特殊的性质，即正定、负定或半正定、半负定。
如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么二次型Q(x)为正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<0，那么二次型Q(x)为负定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>=0，那么二次型Q(x)为半正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<=0，那么二次型Q(x)为半负定。
正定、负定、半正定和半负定是描述二次型的重要概念，它们在优化问题、凸优化和最小二乘等领域中有着广泛应用。
特征值和特征向量也是与二次型密切相关的概念。
给定一个二次型Q(x)=x^TAx，其中A是一个n阶实对称矩阵，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个实数，那么v是矩阵A的特征向量，λ是对应的特征值。
特征值和特征向量能够帮助我们更好地理解和分析二次型的性质。
矩阵对角化也是二次型的一个重要应用。
对于一个n阶实对称矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵D，那么我们称矩阵A可对角化。
1--二次型及其矩阵
例2.设二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为2。
1.求参数c; 2.写出二次型的矩阵。
1 0 2 A 0 1 2, 2 2 c
2 x1
x2 cx3 4 x1 x3 4 x2 x3
2
2
由f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 2 cx32 4 x1 x3 4 x2 x3的秩为2
B C AC B B,Y BY为二次型且A与B合同,
T
作可逆变 换X CY T
T
r( A) r( B).
由上讨论可得：
定理1 二次型f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 经可逆线性变换
X CY 变成新变元的二次型 f Y BY , 它的矩 阵B C AC且r ( A) r ( B ).
的矩阵
Cn n
c11 c12 c21 c22 c n1 cn 2
c1n c2 n cnn
可逆，则称线性变换为可逆 线性变换； 正交，则称线性变换为正交 变换。
定义5：设A，B为两个n阶矩阵，若有n阶可逆阵P， 使得PT AP B，则称矩阵A与B合同，记为 A ~ B.
X AX
a11 a12 a21 a22 A a n1 an 2
x1 x2 X x n
a1n a2n ann
二次型的矩阵 （显然这是实 对称阵）
T X AX , 则称对称矩阵 A 定义3：设二次型 f ( x1 , x2 , , xn )
的秩为二次型 f 的秩。
三、二次型经可逆变换后的矩阵：
§5.1 二次型及矩阵表示
B = C ′AC , | C |≠ 0 ， 则 A = (C −1 )′ BC −1 = P′BP, P = C −1 ≠ 0
若 则
A1 = C1′ AC1 , A2 = C2′ A1C2 , C1 ≠ 0, C2 ≠ 0 ，
（3）传递性：
A2 = (C1C2 )′ A(C1C2 ) = Q′AQ,
（5.1）
（5.2）
f ( x, y ) = a′x′2 + c′y′2
（5.3）
（5.1）的右边是一个二元齐次多项式，把它化为标准方程 用代数的语言来说，就是用变量替换（5.2）把二元齐次多项式 化为只含平方项的标准方程。
第五章 二次型
能不能把这个结果推广到一般的 n 元齐次多项式？ 这需要引入 n 元齐次多项式的概念。 定义1：F是一个数域，系数在F中的n个文字 x1 , x2 ," , xn 的二次齐次多项式
第五章 二次型
例如： f ( x1 ) = 3 x12 是一元二次型；
2 f ( x1 , x2 ) = 2 x12 − 6 x1 x2 + 5 x2 是二元二次型；
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x1 x2 + 3 x1 x3 + 2 x2 + 4 x2 x3 + 3 x3
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ a1 j x j ⎟ ⎜ jn=1 ⎟ ⎜ a x ⎟ n n n ∑ 2j j = ( x1 , x2 ,..., xn ) ⎜ j =1 ⎟ = x1 ∑ a1 j x j + x2 ∑ a2 j x j + " + xn ∑ anj x j ⎜ ⎟ j =1 j =1 j =1 # ⎜ n ⎟ ⎜ ⎜ ∑ anj x j ⎟ ⎟ ⎝ j =1 ⎠
线性代数第23讲 二次型及其矩阵
是一个含有4个 变量的实二次型.
(4) f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 2 x1 x3 4 x1 x4 3 x2 x4
是一个含有4个 变量的实二次型.
(5) f ( x , y ) x 2 xy y 2 5 x 1 不是一个实二 次型, 因为它含有一次项 5 x 及常数项1. (6) f ( x1 , x2 , x3 ) x13 x1 x2 x1 x3 不是一个实二
1 0 1 A 1 0 1 / 2 , 0 1/ 2 2
求 A 对应的实二次型. 解 A 是三阶阵, 故有3个变量, 则实二次型为
1 0 x1 1 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) 1 0 1 / 2 x2 0 1/ 2 x 2 3
2 2 2 f ( x , y , z ) 3 x 2 xy 2 xz y 4 yz 5 z ( 2) 2 2 2 2 2 3 x xy xz xy y 2 yz xz 2 yz 5 z 2 2
相应的实对称阵为
3 1 1 1 2/2 2
二次型及其矩阵
一、二次型的定义 二、二次型的矩阵形式
一、二次型的定义
定义1 含有 n 个变量 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次函数
f ( x1 , x2 ,, xn ) a11 x a22 x ann x 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
易见, 一个二次型与一个对称矩阵之间一一对应. 对称矩阵 A的秩叫做二次型 f的秩.
例 2 写出下列实二次型相应的对称阵.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其他类型的二次型及矩阵
（3）如果对于任意一个非零实向量 α=(a1,a2,…,an) T，均有αTAα≤0，但至少存在某一个 α0，使得αT0Aα0=0，则称f(x1,x2,…,xn)是一个半负定 二次型，此时相应的实对称矩阵A称为半负定矩阵.
将正定、半正定、负定和半负定二次型（或矩 阵）称为有定二次型（或有定矩阵），否则，称为不 定二次型（或不定矩阵）.
其他类型的二次型及 矩阵源自其他类型的二次型及矩阵与正定二次型和正定矩阵 相对应，有下面的定义.
其他类型的二次型及矩阵
定义7-10
设f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个实二次型. （1）如果对于任意一个非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有αTAα≥0，但至少存在某一个α0，使得αT0Aα 0=0， 则称f(x1,x2,…,xn)是一个半正c定二次型，此时相应的实对称 矩阵A称为半正定矩阵. （2）如果对于任意一个非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有αTAα<0，则称f(x1,x2,…,xn)是一个负定二次型，此时 相应的实对称矩阵A称为负定矩阵.
其他类型的二次型及矩阵
定理7-12
设A是一个n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的： （1) A是负定的. （2)二次型XTAX是负定的. （3) A合同于-E，即A -E. （4)存在可逆矩阵P，使得A=－PTP. （5) A的特征值λ1,λ2,…,λn全小于0. （6) A的奇数阶顺序主子式均小于0，偶数阶顺序主 子式均大于0.
其他类型的二次型及矩阵
定理7-13
设A是一个n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的： （1) A是半正定的. （2)二次型XTAX是半正定的. （3) A合同于diag{1,…,1,0,…,0}，其中总共r=R(A)个1. （4)存在不可逆矩阵C，使得A=CTC. （5) A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于等于0，但至少有一个为0. （6) A的所有主子式均大于等于0，但至少有一个为0.
其他类型的二次型及矩阵
思考正定矩阵A=(aij)的主对角元素 aii（i=1,2,…,n）是否必须全大于零？
谢谢聆听
并且，一个标准形式的实二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n
其他类型的二次型及矩阵
或者说一个对角矩阵
（1)半正定的，当且仅当di≥0,i=1,2,…,n，但至少存在某 一个dj=0.
（2)负定的，当且仅当di<0,i=1,2,…,n. （3)半负定的，当且仅当di≤0,i=1,2,…,n，但至少存在某 一个dj=0. 于是，类似于正定情形的证明，可以不加证明地给出其 他类型二次型和矩阵的判别方法.
其他类型的二次型及矩阵
显然，如果f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个正定二次型 （或A是一个正定矩阵）当且仅当－f(x1,x2,…,xn)=XT(A)X是一个负定二次型（或-A是一个负定矩阵）；如果 f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个半正定二次型（或A是一个半 正定矩阵）当且仅当－f(x1,x2,…,xn)=XT(-A)X是一个半负 定二次型（或-A是一个半负定矩阵）.