第2讲 绝对值的化简(教师版)
绝对值（教案）
华师大版数学七年级绝对值教学设计课题绝对值单元 2.4 学科数学年级七年级学习目标1、借助数轴理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值；2、会利用绝对值的概念进行有关绝对值的计算；3、理解绝对值的非负性质，并能应用这一性质解决问题；重点借助数轴理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值；难点理解绝对值的非负性质，并能应用这一性质解决问题；教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、复习与练习1、汽车向东行驶5千米，记作+5千米，那么汽车向西行驶5千米，记作千米；+5的相反数是；如果汽车千米耗油0.2升，那么汽车向东行驶5千米耗油升，汽车向西行驶5千米耗油升。
2、如图所示：A点表示的数是；它在原点的旁，与原点相距单位长度；B点表示的数是，它在原点的旁，与原点相距单位长度；A点和B点表示的数互为，它们与原点的距离；二、提出问题有一些量的计算中，有时并不注重其方向，如何表示这些量呢？直接回答直接回答思考复习巩固引出新课讲授新课一、绝对值的概念1、绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.2、举例子：（1）在数轴上表示+3的点与原点的距离是，读并理解直接回答数形结合所以+3的绝对值是，记作；（2）在数轴上表示－6的点与原点的距离是，所以－6的绝对值是，记作；（3）在数轴上表示+2.5的点与原点的距离是，所以+2.5的绝对值是，记作；（4）在数轴上表示－7.2的点与原点的距离是，所以－7.2的绝对值是，记作；（5）在数轴上表示0的点与原点的距离是，所以0的绝对值是，记作；3、绝对值符号的理解（1）|+1.8|表示的绝对值，结果是；（2）|－1.8|表示的绝对值，结果是；（3）|0|表示的绝对值，结果是；（4）|a|表示的绝对值，结果是；二、绝对值法则1、完成课本P23页的试一试。
2、绝对值法则（1）文字表述：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数。
人教版七年级数学上册 讲义 第5节 绝对值化简 (PDF版 无答案)
模块四 零点分段法
知识精讲
零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．
典型例题
【例 12】阅读下列材料并解决相关问题：
xx 0
我们知道
x
0
x
0
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如
x x 0
化简代数式 x 1 x 2 时，可令 x 1 0 和 x 2 0 ，分别求得 x 1，x 2 （称 1，2 分
A.10 B.-10 C.10 或-10 D.-3 或-7 （3）若 x 1 x 1 0 ，则 x 的取值范围是
能力提升
【例3】 （1）如果有理数 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求 a b b 1 a c 1 c 的值．
a b 0c 1
（2）如果 0 m 10 并且 m x 10 ，化简 x m x 10 x m 10 ．
巅峰冲刺
【例 8】有理数 a ， b ， c ， d 满足 abcd 1，求 a b c d 的值．
abcd
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
abcd
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模块三 绝对值非负性
知识精讲
非负性：若有几个非负数的和为 0 ，那么这几个非负数均为 0 绝对值的非负性：若 a b c 0 ，则必有 a 0 ， b 0 ， c 0
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【巩固】（1）若 xyz<0，则 x y z xyz 的值为（ ） x y z xyz
A.0
B.-4
C.4
（2）若 ab>0,则 a b ab 的值是（ ） a b ab
绝对值化简-题库教师版
绝对值化简中考要求內容 基本要求 略咼要求较咼要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的 绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问例题精讲绝对值的几何意义： 一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离•数a 的绝对值记作a绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数： O 的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算 > 运算符号是“，求一个数的绝对值 > 就是根据性质去掉绝对值符号② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.⑷ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号•绝对值是5.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0 •那么这若干个非负数都必为0.例如：若 IalblCO ' WJ a 0 ∙ b 0 > c 0绝对值的其它重要性质：(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数 > 也不小于这个数的相反数 > 即 ⑵若Ia Ib •则a b 或a b ;(3)SbaI b ; b M (b 0);(4)Ia ∣2∣a 2∣a 2 ；(5)IIaIbll ≡b a ∣b,对于Ia b ∣ IaI Ib ，等号当且仅当a ・b 同号或a ・b 中至少有一个0时，等号成立;对于Ia blab •等号当且仅当a 、b 异号或a ・b 中至少有一个0时，等号成:⅛.板块一：绝对值代数意义及化简求字母a 的绝对值：a(a 0) 0(a 0) a(a 0)利用绝对值比较两个负有理数的大小： a(a 0) a(a 0) a(a 0)a(a 0)两个负数，绝对值大的反而小.【例1】(2级)(1)下列各组判断中，正确的是A•若Ia b >则一定有a b B .若I ab >则一定有a【巩固】已知X O 乙Xy O. y ∣Z ∣x ＞那么XZy 【例5] abcde 是一个五位自然数，其中a 、b ・c ・dy 为阿拉伯数码，且abed 侧ab Ib IC d ∣ Ide 的最大值是.【例6】已知yxbx20xb20,其中0b20,b ＜x ＜20.那么y 的最小值为 __________________________________________ 【例71【巩 设a, b, C 为整数，且ab Ca求C ，那么 Ca ∂a b Cb IbC 的值已知a1,b ∣ 2,C3■且 a b【例 (68】级）（1）（第10届希望杯2试）已知X1999.则4x 2 5x94 X 2 2x 23x7(2) （第12届希望 2试）满足(a b)2(b a) a bab ( ab0）有理数 a 、b.疋不满足的矢系疋（A ab 0 B. ab 0 C. a b 0 D a b 0（3）（第7届希望杯2试）已知有理数a ・b 的和a b 及差a b 在数轴上如图所示，化简2a b 2 a b 7 ._ 3∙4∙b ・ θ∙b ・-1 0 1这道題冃体现了一种重要的 先估算+后化简+再代入求值”的思想•（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉＞若 a > b 时，(a b)2 (ba) a b (a b)2 (a b)2 0込 若 a b 时，(a b)2 (b a) a b (a b)2 (b a)2 2(a b)2 ab ,从平方的非负性我们如道abθ，且 ab 0.所以 ab O.则答案A —定不满足 （3）由图可知Oab1, a b1C∙若a b ，则一疋有abD ・b ,则一定有a 22b⑵如果a 2 > b?,则A. a bB. a >C.D a V b（3）下列式子中正确的是 A. a 3 B ."（4｝对于m 1，下列结论正确A. m 1 >∣ m | B . m (5喏 X 21 WImI Cx2 0,求X 的取值范围.【例2】已知：⑴ a5, b2，且 a b ：(2)1 WImI 1• b 的值【例3】已知2x【巩固】 【例 4】 3 3 2x ，求X 的取值范围（4级）若ab 且ab,则下列说法正确的是（A. a 一定：是正数B.a —定是负数C. .b求出所有满足条件非鑿 b ab 1的非负整数对a ,b） 一定是正数D・b 一定是负数n 5 O •所有这样的整数组 m,n 共有【巩 固】如果有理数a 、b y 在数轴上的位老如图所示，求 IabblaClC 的值.ZXy两式相加可得： 2a O ' a O 进而可判断出b O ，此时2a b O ∙ b 7 O •所以 2a b 2a b 7(2a b) 2( a) (b 7)7・【巩固】（8级）（第9届希望杯若m 1998，则m 2 11m 999∏√ 22m 999 20【解 m 2 Ilm999 m(m 11)999 1998 1987 9990 >析】m 22m999 m(m 22)999 1998 1976 9990 >故(m 211m999) (m 2 22m999) 20 20000 .【补V充】 (8 级)若X 0.239,求 X 1x3Lx 1997∣ IX2LX 1996 的值.【解法1： V X 0.239 > 贝 U原式 (XI)(X 3)Li (x 1997)x(x 2) L (X 1996X 1 X 3 X 5L X 1997 xx2 LX 19961 (3 2) (5 4)L(1997 1996)1 1 L 1 999法2 :由 x<ab >可得X bX a b a * 贝 U原式,<x 1 x) (x3x2) L(x 1997X 1996)1 1 L 1 999点评：解法二的这种思维方法叫做构造法・这种方法对于显示题冃中的矢系，简化解题步骤有着重 要作用・5a 1 3a 的值是一个定值，就必须使得 4 5a0.且1 3a < 0， 1 4原式 2a 4 5a (1 3a) 3 ,即.w a < —原式的值永远为3.35【巩固】（8级）若x4x2x3Lx 2008的值为常数•试求X 的取值范围.【解析】要使式子的值为常数，X 得相消完，当1004<x< 1005时 > 满足题意・【例“】（2级）数a,b 在数轴匕对应的点如右图所示•试化简a b b a b a a ∣aOb【解析】abbabaa ∣【例9](40 级)设 AIXb因为ObVXV 20,所以A X 2b > X20∣ IX b 20 ,其中 0 X b > 0, X 20 < 0 ,) 20 •所以A 的最小值为b<x<20.试证明A 必有屐小值b 20 0.进而可以得到： 20【例 （8 ）若2a 10] 级〕5a I 3a 的值是一个定值，求a 的取值范圉•【解析】要想使2aa b b a b 2a b .【巩固】（2级）实数a, be 在数轴上的对应点如图 > 化简【解 析】由题意可如：J a 0, c b O. a b 0, a c 0 ,所以原式 2c a【巩固】 O （级）若b 且・ ,化简abab 0a bab■【解析】若ab 且*b, a 0,b0, a b O,ab 0aba baba b a bab ab2a【例12】（8级）（北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试）设a,b,c 为非零实数，且aaθ t ab ab , CCO 简b a b∣c b a c .【解析】a a 0 ・ a a , a < 0； ab ab , ab > 0 ； CC0, cc, c > 0所以可以得到a 0, bθ. cO ；b a b IC b IababCbaCb .【例13】（6级）如果0 m 10并且mV χ< 10 *化简IX m x 10 x m 10・【巩固】（6级）若a b >求b a 1 ab5的值・ 【解析】ba 1 ab5ba1ab5【巩固】（8级）（第7届希望杯2试）若aθ , ab 0，那么b 5等于【巩固】〈2级）化简：（1）3 x（2）χ ι×23 X X 32x3x2【解析】⑴原式；⑵原式1 2 w X 1x3x>32x 3 X > 1【解析】aθ, ab 0 ,可得：b 0 ■所以b a【巩固】（2级）已知Kx5，化简1 xx5【解析】因为Kx 5，所以1 xwθ,x5 0•原式ICbabaC【解析】XmX10 IX m 10 XmIO XmlO X 20 x.【例14】（8级）已知X 3,化简3 2 1 X.(AftftM【解析】当X 3时，3 2 1 X] 32 1X3【巩固】（8级）（第16届希望杯培训试题）已知IXlXl【解析】由x1 x1 2的几何意义 > 我们容易判断出4 ∣3 43x ∣1【例16】（8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知abed 25，求 b a ∣ ∣d c 的值【解析】因 a b w 9. c d < 16 •故 a bl ∣c d < 925 abed abdcwabd c w 25 •所以 a b x2x9. cd16∙故原式【例 (8级4)若XOHL 简•⑸IX 3 Ixl X 2χX 2x 3x【解析】X 3 X 3 X X3板块二：矢于O 的探讨应用a【例仃】（6级切已如a 是非零有理数，求【解析】那么a2 33 诺 aθ > a a 23a讣11 1那么a; a 2...a 3 r11113 X 3 3 X X X.所以 4 2x1]4∣2 1【巩固】 （8级）（四中）已知2a 4b4 4b 3 2a 3 a 2b2a 4b0,∙∙∙ 2a 4b(2 a 4 b) 2(a2b)..2a 4b (a 2b)22(a 2b) (a 2b)22 ~2b又∙ ∙ ∙ 2b4 a 2b(a 2b)4a2b 〒∙∙ ∙O鲁224b 3― a 34b 3 (2 a 3)2a 4b212a 4b a 2brs —μ2 4 J⅞χΛ a2b a 2bJ 3 a2b a2b点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子 X ,再去绝对值的符号.a t b,cd 是有理数.16 25,又因为5【巩固】（6级）当m3时，化简 【解析】m3，m3 Cb当m3,即m30时.当m3,即m30时，m3m3> 所以一_•1 m 3m 3 (m 3) 所以一」1 m 3【巩（2级）下列可能正确的是（)Aab1 BB b abcab£ A3 .a bC dDabed abed【解 选D.排除法比较好或特殊值法「「「1■【巩固】【解析】(6 级)如果 2ab0 JIJB1 H2 b 写I【例18】（10级）（2006年第二届••华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知 卫£农，且a be 都b C abc不等于0 ■求X 的所有可能值 【解析】4或0或4 【巩 （10级）（北京市迎春杯竞费试題）已知 a∙b,c 是非零整数，且a b固】 的值 因为a. be 是非零有理数，且abc 0 •所以a, b 1 C 中必有一正二负,则原式aA abc abc abc 0，求——C θ⅛c a bC I abC不妨设3【解析】1: Ial1 •重要结论一定要记得•【巩固】（2级）若aθ侧 ________________ ；若80•则Ua lb2a 1 b2 A. 0 B ・ Bb 的值是( a b 1 C ・ 3 ) D ・ 4 【解 ⑴C •特殊值法: 取 a 0.5, b 1.5代入计算即 析】 【例19】（8级）（2009年全国初中数学竞费黄冈市选拔费试题）若 A. 2B . 3 C ・ 4 DOa 1 >2002 2002 2002(AftftM【例 （8级）如果bcθ, abcθ ,贝 U —的值等于（）20】IaA. 1 B •C . 0D • 3200220022∞2【解 易知一 1b1 C1'所以原式1，故选择析】I-b∙ C（8级）a, b. c 为非零有理数，且a be Cb 则理里申的值等于多少？Ialb Ib C Iqa由abc 0可如a . b , c 里存在两正一负或者一正两负：空匹浬 a bb ICC 亘 a b ∣b c ∣c a a b Ib C IC a 若两正一负，那么a B b Ec 旦4 1 11 :Ial b IbI C 忖 aab ac be 的值.abc 0 , •••a ・b ・c 三个数都不为零 a ' b ・ C 三个数都是正数 > 则ab ^aC^bC 也都是正数 ,故原式值为；・ a ' b ・ C 中两正、一负 > 贝y ab acbc 中一正、两负• 故原式值为；・ a ' b ・ C 中一正、两负，贝y ab acbc 中一正、两负• 故原式值为中三a b ⅝C 中三负*贝U ab 、 ac 、 bc 正 ' 故原式值为3 ■（6级J若 a , b , C 均不为零，求I Ibl C EC全为正数 > 则原式 一正两负 > 则全为负数，则原式1 ；3. 【例22]（6级）（第13届希望杯1试）如果2ab由2a bθ得b的值.【解 析]2a ，进而有B*b 2a2 Ia2T0 >则石1凶2 b0侧石'冋2 b（6级）若* .A h c ∩C 均不为零，且CaUUu>求专专；•根据条件可得a.C 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为【巩 固】【例23]（8级）已知abcabBC右a >b∙ c 两正一负，则原式若若若若1 2若•正两负，那么:专羔综上所得壬壬辽ab I bCCa【巩固】（8级）（第13届希望杯培训试题）如果abcθ. abcθ＞ abcθ＞求（占严（吕严（占严的值.囘 I b l I C l【解析】由abcθl abcθ. abcO,两两相加可得：a 0, b 0. c 0.所以原式结果为1 •若将此题变形为：非零有理数a 、b 、c.求b 1等于多少？ 从总体出发：C a ）2008 「所以原式1111 .【巩 （8级）有理数a,b, C 均不为零，且abcθ,设X固】【例25】（8 级 ◎有理数a. be 均不为零，且a bcθ 设XIb a Cb a C＞则代数式a b200X 4X 2007的值为多少？【聲 由a b c 0易知a 1b, c 中必有「正两负或两正一负＞ 不妨设a0,b0, Co 或 a 0. b所以Xa b C 1或者X a b C仁所以x 1 ，所以原式2004a b a c a b b c a ca b0,c0当X 1时•原式2098所以X4或者X1.所以当）（1时，原式1902【例（8级）（“祖冲之初中数学邀请费试题）设实数a ,b ・c 满足ab C 0 •及 abc 0 C 八÷τ∙∙a b C XV a(l ±)b (丄 A) c(!1r \ ・ fir? Z zμ*⅛=⅛iV 3xy 的值为Ial Ibl ICl b Ca C ab【解 由 a b c 0 及 abc0.知实数a . b , c 中必有两个负数，一个正数 ＞从而有X 1 .■ K1 1 11 1 1 abc乂 y 3()b (-h rα C C(Ah )=abc3 •贝 U X 2y 3xy1 69 2・的值为多少？由abcθ易知a ,b, C 中必有一正两负或两正一负,,若 i 巩固】 （‘° 级）a b C abIaCL-X lab Cabac bc0，所以原式"…则代数式X 19 99x 2000b c a c a b不妨设 aθ, bθ. Co 或 aθ. bθ, CO（海口市竞费题）三个数B 小， 求 a ×3 bxcx 【解析】a , b , C 中必为• C 的积为负数，和为正数，且xa ： 1的值•负两正，不妨设a OJIJ b 0,c 0 ；［巩固］(8级)已知a 、b ・c 互不相等 > 求们b)(bC) ① C)(C a)(C 岬b)的值. (a b)(b C) (b C)(C a)(C a)(a b)【解析】由题意可得(a b)(b C)(C a) O 且(a b) (b C) (C a) 0,把a b. b c, c a 当成整体分类讨论：①两正一负，原式值为1;②两负一正•原式值为1・(8级)(第18届希望杯2试)若有理数 En 、P 满足1一2 1 ,求加叩的值m n P∣3mnp由匸£1可得：有理数m 5、p 中两正一负，所以mnp 0 >所以讪卩m n P ImnPl2mnp 2 mnp 2 3mnp3 mnp3・【巩固】(6级)已知有理数a, be 满足一,则舐(a b cIabCIA. 1 B ・1 C ・OD •不能确定【解析】提示：其中两个字母为正数 > 一个为负数，即abc 0(8级)有理数a . b , c . d 满足兰巴abed若含有1个负数，贝U ・ 【例271(6 幺 及)已知abθ.求旦 abb的值【解÷C1(谐 a,b 异号，则.ab b(2帘 a, b 都是正数，则 A a b b 2(3帘 a, b 都是负数，则旦 b2b【例26］【巩 固】,abed ,由abed1 知 abed 0 ,所以 a , b ,d 里含有1个负数或3个负数:【巩固】 (6级) 已知abθ.求1 *a •的值・b【解分类讨论:当aθ,b 0时•a b 1 1 0.ab< 4 ta当a 0 ,b0时•1■ Il! a ∣ ∣b 1 12a b综上所述,1a b I的值为20 t 2当 a O. b 当 aθ.b1 a 0时» a1 11 B 0时，a b1(1)2 b1 1b1 ( 11Ωb(AftftM【例（6级切若a,b,c 均为非零的有理数'a b C 的值 — 28】 （1）当a ，b C 都是正数时，原式a b C b £3 【解析】 ⑵当a, b, C 都是负数时，原式' a b c 3⑶当a ，b, c 有两个正数一个负数时， 原式 1 （4）当a ，b, c 有两个负数一个正数时， 原式 1（6级）（第16届希望杯培训试题）若abcO,求abc 的值.冋坷ICl 由abcθ可得，a ・b ・c 中有3个负数或1个负数>［巩 当sb 、C 中有3个负数时，原式11 （1） 1 ; 当a 、b 中有1个是负数时，原式1 1 1 1;当C 是负数时，原式 Il （I ） 3・ 板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）【例29】（4级）（2005年云南省中考试題）阅读下列材料并解决相笑问題:xxθ我们知道X 0x0 •现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式•如化简代数式x1 X2时，可令x1 0和x2 0,分别求得×1,x2 （称4,2分别为x 1与x 1和x 2可将全 零点值），在有理数范围内'零点值X 情况：体有理数分成不重复且不易遗漏的如下■⑴当X 1时•原式Xl X2 2x1⑵当1 <x2时，原式 （3）当 x> 2 时，原式 X 1 X 2 2x 12x 1 X 1综上讨论，原式 3 1< x22x 1 X > 2通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1吩别求出X 2和X 4的零点值 ⑵化简代数式x2x42x2x2所以综上讨论 ' 原式6 2 Wx4 【解析】 （1另别令x2 0和X 4 0，分别求得X 2和x4>所以X 2和X 4的零点值分别为X2 和x4 ⑵当X 2时，原式x2 X4 X 2 X 4 2x 2 ； 当2Wx 4时，原式x2 x4 6 ；当x>4时，原式X 2 X 4 2x 2。
北师大数学七年级上册第二章绝对值
第02讲_绝对值知识图谱绝对值知识精讲一．非负性绝对值的定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作绝对值的代数意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即：对于一个数a，例：若，则k需要满足什么条件？k-6与6-k互为相反数，故k-6是负数，k<6绝对值的非负性绝对值具有非负性．即对于任意实数a，总有．如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如：若，则，，．*非负性的应用：1、若多个非负数之和为0，则它们都为0（1）若，则a、b的值为多少？绝对值是非负数，故a-3=0，b+2=0，即a=3，b=-2（2）若，则m、n的值为多少？绝对值和平方数都是非负数，故m+7=0，n-9=0，即m=-7，n=9 2、若有最大值，则c的值为多少？越小，原式值越大，，故当=0，即c=-8时，原式有最大值2二．绝对值的几何意义三点剖析一．考点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．绝对值的计算1、 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值． 即对于任意实数a ，2、乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商． 即对于任意实数a 、b ，，3、绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．例如：，绝对值的几何意义数轴上一个数所对应的点到原点的距离．即的 几何意义就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 推而广之：代数式的 几何意义就是数轴上数x 、数a 所对应的两点之间的距离． 例：表示数m 到7的距离；表示数n 到-5的距离几何含义的应用1、在数轴上到3的距离为8的数字是？，故x=11或-52、已知，求的值，x -y 的值为6或2二．重难点：绝对值的非负性、绝对值的几何意义．三．易错点：1．一个数的绝对值，一定不小于它本身，也不小于它的相反数．即对于任意有理数a ，总有a a ≥，a a ≥-．2． 一个数的绝对值等于它的相反数的绝对值．即对于任意实数a ，a a =-． 3． 乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．即对于任意实数a 、b ，ab a b =，a ab b =(0)b ≠．4． 绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面． 例如：22a a =，22a b a b =．非负性例题1、 ﹣2的绝对值是（ ）A.﹣2B.﹣12C.2D.12【答案】 C【解析】 因为|﹣2|=2例题2、 已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ． 【答案】 ±4【解析】 绝对值是4的数有两个，4或﹣4． 例题3、 设a 是实数，则|a|﹣a 的值（ ） A.可以是负数 B.不可能是负数 C.必是正数 D.可以是正数也可以是负数 【答案】 B【解析】 （1）a ≥0时，|a|﹣a=a ﹣a=0； （2）a ＜0时，|a|﹣a=﹣a ﹣a=﹣2a ＞0． 故选B ．例题4、 当1＜a ＜2时，代数式|a ﹣2|+|1﹣a|的值是（ ） A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3 【答案】 B【解析】 当1＜a ＜2时， |a ﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a ﹣1=1．例题5、 已知|a+2|+|b ﹣1|=0，则（a+b ）﹣（b ﹣a ）=______． 【答案】 -4【解析】 ∵|a+2|+|b ﹣1|=0，∴a+2=0，b ﹣1=0，即a=﹣2，b=1， 则原式=a+b ﹣b+a=2a=﹣4．例题6、 已知245310a b c -++++=，求a 、b 、c 的值. 【答案】 2a =，5b =-，13c =-．【解析】 由绝对值的非负性知，245310a b c -=+=+=．随练1、 若|a|=﹣a ，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ） A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧【答案】 B【解析】 ∵|a|=﹣a ， ∴a 一定是非正数，∴实数a 在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．随练2、 12-的绝对值是（ ）A.12-B.12C.2D.2-【答案】 B【解析】 1122-=绝对值的几何意义例题1、 如果a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且1a c b c d b -=-=-=，那么a d -=__________． 【答案】 3【解析】 可通过数轴画出得a d -=3例题2、 （1）x 的几何意义是数轴上表示____的点与____之间的距离；x _____0x -（选填“>”，“=”或“<”） （2）3x -的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若31x -=，则x =__________ （3）2x +的几何意义是数轴上表示____的点与表示____的点之间的距离，若22x +=，则x =__________ （4）数轴上表示x 的点与表示1-的点之间的距离可表示为__________【答案】 （1）x ；原点；=（2）x ；3；2或4（3）x ；2-；0或4-（4）1x + 【解析】 x a -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示a 的点之间的距离例题3、 如果对于某一给定范围内的x 值，13p x x =++-为定值，则此定值为________，此时x 的取值范围是___________【答案】 4；13x -≤≤【解析】 利用绝对值的几何意义，结合数轴解题．当13x -≤≤时，13x x ++-为定值：()314--= 随练1、 若|a ﹣b|=b ﹣a ，且|a|=3，|b|=2，则（a+b ）3的值为（ ） A.1或125 B.﹣1 C.﹣125 D.﹣1或﹣125 【答案】 D【解析】 ∵|a ﹣b|=b ﹣a ， ∴a ＜b ，∴a=﹣3，b=±2．（1）a=﹣3，b=﹣2时，（a+b ）3=﹣125； （2）a=﹣3，b=2时，（a+b ）3=﹣1． 随练2、 探究题：（1）比较下列各式的大小：23-+______23-+，35-+-______()()35-+-，05+-______()05+-．（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳出当a 、b 为有理数时，a b +与a b +的大小关系． （3）根据（2）中你得出的结论，求当55x x +=-时，求x 的取值范围． 【答案】 （1）>；=；=．（2）a b a b +≥+（3）0x ≤ 【解析】 （1）235-+=，231-+=，所以2323-+>-+；358-+-=，()()358-+-=，所以()()3535-+-=-+-；055+-=，()055+-=，所以()0505+-=+-．（2）通过比较（1）中的结论，不难发现a b a b +≥+（当且仅当0ab ≥时取“=”）． （3）结合（2）中的结论，若55x x +=-，则应满足50x -≥，即0x ≤．随练3、 如图，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若|a|+|b|=3，则原点是（ ）A.M 或NB.M 或RC.N 或PD.P 或R【答案】B【解析】∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=3，所以，原点不可能在N或P点；②当原点在M、R时且|Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3；综上所述，此原点应是在M或R点．随练4、如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2．（1）A、B两点的距离AB= ，A 、C两点的距离AC= ；（2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE= ；（3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．【答案】（1）2，5；（2）|x+3|；（3）4【解析】（1）如图所示：AB=2，AC=5．故答案为：2，5；（2）根据题意可得：AE=|x+3|．故答案为：|x+3|；（3）利用数轴可得：|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4．故答案为：4．绝对值综合知识精讲一．绝对值的化简利用代数意义去绝对值号化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据题设所给的条件，判断绝对值符号内的数a（或式子a）的正负（即0a>，0a<还是0a=）；然后根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号．如：计算1b-=_____________()1b<．由于1b<，所以10b-<，根据绝对值的代数意义，应有()111b b b-=--=-+．*注意：去绝对值符号时，应将绝对值符号内的数（或式子）看做一个整体，并注意去括号时符号的变化．当题目中没有明确指出未知数的取值范围时，则需要将所有情况都分类列举出来．例如，计算3x-：当3x≥时，33x x-=-；当3x<时，()333x x x-=--=-．利用零点分段法去绝对值号对于含多个绝对值的情况，我们往往用零点分段法计算化简．例如：化简12x x+--．第一个绝对值内部为1x+，当1x=-时第一个绝对值为零；第二个绝对值内部为2x-，当2x=时第二个绝对值为零．我们将1-、2称为是零点，这两个零点将整个数轴分为三部分（如图），我们对这三个部分进行分类讨论．1、当1x <-时，1x +、2x -均为负值， 于是()()12123x x x x +--=-+---=-⎡⎤⎣⎦；2、当12x -≤<时，1x +为非负值、2x -为负值， 于是()121221x x x x x +--=+---=-⎡⎤⎣⎦；3、当2x ≥时，1x +、2x -均为非负值， 于是()()12123x x x x +--=+--=．零点是我们分类的依据，因为这些零点确定了每个绝对值内部的正、负．零点分段法的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．二．绝对值的最值问题 （一）和最小x a x b -+-的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和，其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点，数x 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．经过总结归纳我们发现了这样的规律： ①对于代数式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）：0 2如计算的最小值．（1）将使两个绝对值分别为时的值标在数轴上（如图），数轴被分为个区域；（2）假设代表动点的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即． （3）在个区域中分别画出线段并比较，可以发现当时，两线段和最小，为定值． *若将题目改为计算的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了．当为奇数时，在处取最小值，即在个点的中心点处；当为偶数时，在区域取最小值，即数轴被个点分成段的中心区域．②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++-的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤），然后通过上述方法求解．如：111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++． （二）差最大类比绝对值之和最小值问题，计算12x x ---的最大值求差的最大值，需要被减数越大1x -，减数2x -越小，从几何意义分析即x 与1距离远，与2距离近，当x 在1、2之间时，无论如何变化，距离之差始终不超过1；当x=2时，x 与2的距离最小，为0，此时原式结果恰好为1和2之间的距离，等于1；若x 继续增大，两距离之差依然为1。
第2讲 绝对值的化简(教师版)
，
①当 ， ， 都是正数时，
②当 ， ， 都是负数时，
③当 ， ， 有一个负数时，
④当 ， ， 有两个负数时，
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题5
若
，求
的值．
答案 -3或1
解析 当
中有三个负数或一个负数 中有三个负数时，
当 中有一个负数时，
； ；
； ．
或． 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
时，
．
答案
解析 由题：
，
，
∴ 、 、 两正一负，
∴
，
原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
作业8
已知 是非 有理数，求
．
答案
解析 若 是非 有理数，则 或 ； 当 时，
当 时，
∴
．
； ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
教师备选
若 、 、 为整数，且
，试计算
答案
解析 ， ， 均为整数，则 ， 也应为整数，且
华师大版七年级数学上册(课件)：专题课堂(一) 绝对值与数轴
解：(1)点A表示的数为－8，点B表示的数为24
(2)设A，B两点经过x秒相遇，则(1＋3)x＝32，即4x＝32，x＝8，∴A点 向右移动了1×8＝8个单位长度，∴点C表示的数为0
(3)设点C到原点的距离为y，①当点C在原点的右边时，则有y＋3y＝24 ，∴y＝6，即点C表示的数为6；②当点C在原点的左边时，则有3y－y＝ 24，∴y＝12，即点C表示－12，∴点C表示的数为6或－12
解：根据题意得：|x－5|＝0，|2y－1|＝0， ∴x－5＝0，2y－1＝0，解得x＝5，y＝12，∴x－2y＝5－2×12＝4
【对应训练】 5．若|m－2|＋|n－7|＝0，则|m＋n|＝( D ) A．2 B．7 C．8 D．9
6．(1)当a＝__4__时，2＋|3a－12|有最小值，这个最小值为_2__值，这个最大值为__9__.
7．已知|a－2|＋|b－3|＋|c－4|＝0，求abc－a－b－c的值．
解：根据题意得：|a－2|＝0，|b－3|＝0，|c－4|＝0， 即a－2＝0，b－3＝0，c－4＝0，∴a＝2，b＝3，c＝4， ∴abc－a－b－c＝2×3×4－2－3－4＝15
二、数轴与绝对值 类型Ⅰ：数轴上的动点问题 【例4】如图所示，数轴上一个动点P向右移动5个单位长度到达点A ，再向左移动8个单位长度到达点B.若点B表示的数为－5，则点P表示 的数为( B )
A．12 B．－2 C．3 D．－3 分析：∵点B表示的数为－5，∴由点B向右移动8个单位长度到达点 A，即为数3，再由A向左移动5个单位长度到达点P，即为数－2，∴点 P表示的数为－2.
【对应训练】 2．(2015·湘潭)在数轴上表示－2的点与表示3的点之间的距离是( A ) A．5 B．－5 C．1 D．－1
2019人教版七年级数学上册复习课件：培优专题(二) 绝对值的化简
培优专题(二) 绝对值的化简
方法管理
归类探究
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1．绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是 根据性质去掉绝对值符号． ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；(0 的绝对值是 0)．
变形 3 答图 解法二：由图知，a>0，b<0，c<0，且|a|＝|c|<|b|， ∴－b>a＝－c>－a＝c>b.
(2)∵a>0，b<0，c<0，且|a|＝|c|<|b|， ∴a＋b<0，a－b>0，b－c<0，a＋c＝0， ∴|a＋b|－|a－b|＋|b－c|＋|a＋c| ＝－(a＋b)－(a－b)－(b－c)＋0 ＝－a－b－a＋b－b＋c ＝－2a－b＋c.
(2)∵x＝－1，y＝2，
1 ∴x－3＋(xy－1)2 1 ＝－1－3＋(－1×2－1)2
4 ＝ ＋9 3 1 ＝10 . 3
a b c 如果 a，b，c 是非零有理数，求 ＋ ＋ 的值． |a| |b| |c|
解：对 a，b，c 的取值情况分类讨论如下： a b c ①当 a，b，c 都是正数时， ＋ ＋ ＝3； |a| |b| |c| a b c ②当 a，b，c 都是负数时， ＝ ＝ ＝－1， |a| |b| |c| ∴和为－3；
【点悟】
此类问题运用了数形结合思想，结合数轴确定绝对值符号内个式
子的正负，再去绝对值符号，去括号，合并同类项．
已知 xy<0，x<y，且|x|＝1，|y|＝2. (1)求 x 和 y 的值；
人教版七年级上册数学专题01 绝对值的三种化简方法(原卷版)(人教版)
专题01 绝对值的三种化简方法绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。
并且，在压轴题中，常见的题型是利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详细做出分析。
【知识点梳理】1.绝对值的定义一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |2.绝对值的意义①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
3.绝对值的化简： 类型一、利用数轴化简绝对值例1．有理数a 、b 、c 在数轴上位置如图，则a c a b b c --++-的值为（ ）．A ．2aB ．222a b c +-C ．0D ．2c -例2．有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式11a b a b a b a b -++--+的值是( )A ．-1B ．1C ．3D ．-3【变式训练1】已知，数a 、b 、c 的大小关系如图所示：化简||||2||3||a c b a a c b c +----+-=____．【变式训练2】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图．(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（1）判断正负，用“>”或“<”填空：b c - 0，a b + 0，a c -+ 0．（2）化简：||||c|b c a b a -+++-+∣【变式训练3】有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示：（1）填空：b a -______0；1b -______0；1a +______0；（填“＜”、“＞”或“＝”）（2）化简：11b a b a ---++【变式训练4】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)用“＞”或“＜”填空a _____0，b _____0，c ﹣b ______0，ab_____0．(2)化简：|a |+|b +c |﹣|c ﹣a |．类型二、利用几何意义化简绝对值例1.同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5-（-2）|=________；（2）同样道理|x +1008|=|x -1005|表示数轴上有理数x 所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则x =________；（3）类似的|x +5|+|x -2|表示数轴上有理数x 所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x ，使得|x +5|+|x -2|=7，这样的整数是__________．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x -3|+|x -6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【变式训练1】阅读下面的材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为∣AB ∣，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，∣AB ∣＝∣OB ∣=∣b ∣=∣a -b ∣；当A 、B 两点都不在原点时：①如图2，点A 、B 都在原点的右边：∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=b -a =∣a -b ∣；②如图3，点A 、B 都在原点的左边：∣AB ∣=∣OB ∣-∣OA ∣=∣b ∣-∣a ∣=-b -（-a ）=∣a -b ∣；③如图4，点A 、B 在原点的两边：∣AB ∣=∣OA ∣+∣OB ∣=∣a ∣+∣b ∣=a +（-b ）=∣a -b ∣，综上，数轴上A 、B 两点之间的距离∣AB ∣=∣a -b ∣．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；(2)数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是________，如果∣AB ∣=2， 那么x 为__________．(3)当代数式∣x +1∣+∣x -2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是__________．【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离可以表示为|m ﹣n |．那么，数轴上表示数x 与5两点之间的距离可以表示为 ，表示数y 与﹣1两点之间的距离可以表示为 ．（2）如果表示数a 和﹣2的两点之间的距离是3，那么a ＝ ；若数轴上表示数a 的点位于﹣4与2之间，求|a +4|+|a ﹣2|的值；（3）当a ＝ 时，|a +5|+|a ﹣1|+|a ﹣4|的值最小，最小值是 ．【变式训练3】（问题提出）1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值是多少？（阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a 的几何意义是a 这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么1a -可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1的距离；12-+-a a 就可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究12-+-a a 的最小值． 我们先看a 表示的点可能的3种情况，如图所示：（1）如图①，a 在1的左边，从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于1．（2）如图②，a 在1，2之间（包括在1，2上），看出a 到1和2的距离之和等于1．（3）如图③，a 在2的右边，从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a 在1，2之间（包括在1，2上）时，12-+-a a 有最小值1．（问题解决）（1）47a a -+-的几何意义是 ，请你结合数轴探究：47a a -+-的最小值是 ． （2）请你结合图④探究123a a a -+-+-的最小值是 ，由此可以得出a 为 ．（3）12345a a a a a -+-+-+-+-的最小值为 ．（4）1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值为 ．（拓展应用）如图，已知a 使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a 的取值范围是 ．类型三、分类讨论法化简绝对值例1.化简：214x x x --++-.【变式训练1】若0,0a b c abc ++<>，则23a ab abc a ab abc ++的值为_________．【变式训练2】（1）数学小组遇到这样一个问题：若a ，b 均不为零，求a b x a b =+的值． 请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a ，b 中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a ，b 中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a ，b 中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a ，b 均不为零，求x 的值为 ． （2）请仿照解答过程完成下列问题：①若a ，b ，c 均不为零，求a b c x a b c=+-的值． ②若a ，b ，c 均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式b c a c a b a b c +++++的值．。
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；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质 作业4
化简：
．
答案 原式
．
解析 ①当 原式
②当 原式
③当 原式
时
； 时
； 时
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：零点分段法 作业5
化简：
．
答案 ．
解析 ①当 原式 ②当 原式 ③当 原式 ④当 原式
时， 时， 时，
时，
．
综上所得
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
已知 、 、 为有理数，且
A.
B.
，
，则
C. 或
的值为（ ）． D.
答案 B
解析
，
∵
，
，
∴ ， ， 为三个负数，或有其中两个为正数，一个为负数，
则原式
可能出现的结果为 ．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：|a|/a的化简
二、课后创新培养
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
，
①当 ， ， 都是正数时，
②当 ， ， 都是负数时，
③当 ， ， 有一个负数时，
④当 ， ， 有两个负数时，
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题5
若
，求
的值．
答案 -3或1
解析 当
中有三个负数或一个负数 中有三个负数时，
当 中有一个负数时，
； ；
； ．
或． 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
；
②当 ， ， ， ，满足条件，
；
③若
，即
且
，
，
，
，故
矛盾．
所以，
或．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
，∴
，
，这与
第2讲 绝对值的化简
一、课堂思维碰撞
模块一 绝对值的有条件化简
知识导航
化简绝对值的核心是判断绝对值里面整体的正负，如果是正，直接去掉绝对值；如果是负，则需要变为 相反数． 利用取值范围化简绝对值本质还是利用未知数的取值范围，首先判断出绝对值里面代数式的正负，从而 去掉绝对值，对于有些难度比较大的题目，可以利用特值法，在取值范围内取一个合适的值，代入判断 正负即可．
考点： 的化简
知识导航
将无条件化简转变成有条件化简： ；
常见变形如下：
例题4
探究： （1） 若 ，
；若 ，
（2） 若
，则．（3） 若 、 、 Nhomakorabea有理数，且
，则
答案 （1） 1．
． ．
2． （2） （3） 或 或 或
解析 （1） ∵ ，
，
∵，
．
（2） ∵
，
∴ 异号，
，
∴
．
（3） ∵ ， ， 为有理数，
时，
．
答案
解析 由题：
，
，
∴ 、 、 两正一负，
∴
，
原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
作业8
已知 是非 有理数，求
．
答案
解析 若 是非 有理数，则 或 ； 当 时，
当 时，
∴
．
； ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
教师备选
若 、 、 为整数，且
，试计算
答案
解析 ， ， 均为整数，则 ， 也应为整数，且
作业1
如果有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，求
的值．
答案
．
解析 由题知，
，
，
，
，
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
作业2
若 ，试化简
．
答案 解析 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质 作业3
化简：
答案 原式
解析 ①当 原式
时，
；
②当
时，
原式
；
③当
时，
原式
已知
，且 、 、 都不等于 ，求 的所有可能值．
答案 或 ．见解析.
解析 根据题意，分 种情况，
若三个数都是正数，则
，
若三个数中有 个正数， 个负数，则
，
若三个数中有 个正数， 个负数，则
，
若三个数都是负数，则
．
故答案为： 或 ．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题6
有理数 ， ， 均不为零，且 的值为多少？
为，
所以只能是
且
，①
或
且
．②
由①知
且
，所以 ，于是
由②知
且
，所以 ，于是
无论①或②都有
且
，
所以
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
的值．
，
为两个非负整数，和
； ．
已知 、 、 、 都是整数，且
，则
．
答案 或
解析 四个非负整数和为 ，
只可能为 、 或 ． 讨论：
①当 ， ， ， ，满足条件，
，设
，则代数式
答案
解析 由
易知 ， ， 中必有一正两负或两正一负，不妨设 ， ， 或
，，，
∴
，
∴原式
．
考点 式 > 整式加减 > 整式的加减运算 > 题型：去绝对值化简整式
， ， 为非零有理数，且
，则
的值等于多少？
答案
解析 由
可知 ， ， 里存在两正一负或者一正两负； ．
①若两正一负，那么
；
②若一正两负，那么
∴原式
； ；
； ， ．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：|a|/a的化简 作业6
若
，则
．
答案
解析 由
，得
，，； ，，； ，，．
当 ， ， 时，
；
当 ， ， 时，
；
当 ， ， 时，
．
故答案为： ．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
作业7
三个有理数 、 、 之积是负数，其和是正数，当
化简：
．
． ；
答案 当 当 当
时，原式
；
时，原式
；
时，原式
．
解析 当 当 当
时，原式 时，原式
时，原式
； ；
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题3
计算：
（1）
．
（2）
．
答案 （1）
（2） ．
解析 （1） ．
（2） 当
时，
；
②当
时，
；
③当
时，
； ④当 时，
．
综上，可得
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
利用数轴，讨论整体的范围，进而进行绝对值化简的方法． ①零点：使绝对值为0的未知数的值 ②步骤：i、明确绝对值，找零点 ii、将零点标在数轴上，分段取范围 iii、分类讨论结果
例题2
化简下列各式： 答案
.
＜ ＜
解析 当 ＜ 时，原式
当
＜ 时，原式
当 时，原式
所以综上讨论，原式
；
. ＜ ＜
考点 数 > 有理数 > 绝对值