绝对值的化简
三个绝对值化简题型
三个绝对值化简题型1. 绝对值的定义和性质在数学中，绝对值是一个常见的函数，它表示一个数与零的距离。
绝对值函数通常用符号”|“表示，如|a|表示数a的绝对值。
绝对值的定义如下： - 如果a是一个正数或零，则|a| = a。
- 如果a是一个负数，则|a| = -a。
绝对值函数具有以下性质： - 非负性：对于任意实数a，有|a| ≥ 0。
- 零的绝对值为零：|0| = 0。
- 正负性：如果a > 0，则|-a| = a；如果a < 0，则|-a| = -(-a) = a。
2. 绝对值化简题型在高中数学中，我们经常遇到需要化简含有绝对值的表达式的题目。
这些题目可以通过运用绝对值的性质和一些基本等式来进行化简。
以下是三个常见的绝对值化简题型：题型一：两个变量之差的绝对值问题描述：给定两个实数x和y，求表达式|x - y|解决思路：根据绝对值函数的定义，我们可以将|x - y|分为两种情况讨论： 1. 当x - y ≥ 0时，有|x - y| = x - y。
2. 当x - y < 0时，有|x - y| = -(x - y) = y - x。
综上所述，我们可以得到以下等式： |x - y| = { x - y, 当x ≥ y； y - x, 当x < y。
}题型二：两个变量之和的绝对值问题描述：给定两个实数x和y，求表达式|x + y|解决思路：类似于题型一，我们可以将|x + y|分为两种情况讨论： 1. 当x + y ≥ 0时，有|x + y| = x + y。
2. 当x + y < 0时，有|x + y| = -(x + y) = -(x) - (y)。
综上所述，我们可以得到以下等式： |x + y| = { x + y, 当x ≥ -y； -(x) - (y), 当x < -y。
}题型三：一个变量的绝对值与一个常数的比较问题描述：给定一个实数a和一个正常数c，求表达式|a| > c的解集合。
初一数学绝对值的化简
变式训练1、已知x ＜﹣1，（1）化简22x －－；（2）化简222x －－－2、已知﹣2≤x ＜3，化简1312x x －－＋题型二、利用数形结合的方法化简绝对值根据数轴，我们可以确定未知数的取值范围和大小关系，进而可以判断相关代数式的正负性，从而根据绝对值的意义去掉绝对值的符号。
例题：（1）已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a ﹣﹣（2）已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a b a b a ﹣﹣＋＋﹣＋要点提示：1．零点的左边都是负数，右边都是正数；2．右边点表示的数总大于左边点表示的数；3．离原点远的点表示的数的绝对值较大；4．在一个数的前面添加一个负号就可以得到这个数的相反数。
变式训练：1．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a ＋＋a b ﹣2．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：b c b a ﹣﹣＋题型三、零点分段讨论法例题：化简224x x －－＋分析：本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于x －2、x ＋4的正负不能确定，由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论。
解：令x －2＝0得零点：x ＝2 ；令x ＋4＝0得零点：x ＝﹣4 ，把数轴上的数分为三个部分（如图）①当x ≥2时，②当﹣4≤x ＜2时，③当x ＜﹣4时，综上所述，归纳总结：虽然x －2、x ＋4的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，运用此方法的一般步骤是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）；2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定；3．在各区段内分别考察问题；4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案。
绝对值的化简求值问题的几种类型及解法解析
数学篇解题指南绝对值在化简求值问题、解方程或不等式问题中都会涉及.解答含绝对值问题的关键就在于去掉绝对值符号.一般遵循的原则是：先判断绝对值符号中式子的正负，再根据法则去掉绝对值符号.单个绝对值的问题一般比较简单，但是有的题目会同时出现多个绝对值或多重绝对值，这样就使题目变得复杂了.下面介绍几类有关绝对值的化简求值问题，供大家参考.一、含单个绝对值问题一个题目中只含有一个绝对值是最基础的题目，此时只需考虑去绝对值符号的条件，即对于任意数|a |：（1）当a >0时，|a |=a ；（2）当a =0时|a |=0；（3）当a <0时；|a |=-a .同学们在解题时应根据题设条件或挖掘隐含条件，确定绝对值符号里代数式的正负.若题目对含绝对值代数式的字母没有限制条件，须运用分类讨论的方法来解答.例1若|x |=3，|y |=2，且|x -y |=y -x ，求x +y 的值.分析：此题中|x |=3，可知x =±3；|y |=2可知y =±2.由题中|x -y |=y -x 可知y ≥x .由此可以推断，当y =2时，x 可以为±3，此时x +y =-1或5；当y =-2时，x 只能为-3，此时x +y =-5.最后综合所有情况即可得解.解：∵|x |=3，∴x =±3；同理可得y =±2，∵|x -y |=y -x ，∴y ≥x ，①当y =2时，x =-3，x +y =-1.②当y =-2时，x =-3，则x +y =-5.综合①②得x +y 的值可能是-1、-5.评注：求解此题是利用|x -y |≥0挖掘了隐含条件y ≥x ，然后确定x 和y 的可能值，简化了分类讨论的种类.同学们在求解过程中一定要仔细观察，充分挖掘题目中的隐含条件.二、含多个绝对值问题有些含有绝对值的题目中往往不止一个含绝对值的代数式，可能是两个、三个甚至是更多个含绝对值的代数式，通过“+”“-”“×”“÷”等运算符号连接.此时，去绝对值符号就需要先找出每个绝对值的零点值，再把全体实数分段，然后在每一实数段中化去绝对值符号，最后分类讨论去绝对值的结果.例2化简：|3x +1|+|2x -1|.分析：此题含有两个绝对值，要想去绝对绝对值的化简求值问题的几种类型及解法解析盐城市新洋初级中学聂玉成19数学篇值符号就要将绝对值符号内的数或式与“0”比较，然后逐个去掉绝对值符号.令3x +1=0得x =-13，同理，令2x -1=0得x =12.所以，当x 取不同的值时，两个绝对值的正负是不同的，需要分类讨论来解答.x 的取值分布如图所示：---解：令3x +1=0，得x =-13，令2x -1=0，得x =12，所以，实数轴被-13和12分为如图所示的三个部分.当x <-13时，3x +1<0，且2x -1<0，则原式=-（3x +1）+[-（2x -1）]=-5x ；当-13≤x ≤12时，3x +1≥0，且2x -1≤0，则原式=（3x +1）+[-（2x -1）]=x +2；当x >12时，3x +1>0，且2x -1>0，则原式=（3x +1）+（2x -1）=5x ；综上所述，当x <-13，原式=-5x ；当-13≤x ≤12，原式=x +2；当x >12，原式=5x .评注：此题含有两个绝对值，即含有两个零点（x =-13和x =12），在去绝对值符号时需要借助“分类讨论思想”分情况解答.特别是第二种情况，去绝对值符号时两个代数式是一正一负，务必要注意符号问题.三、含多重绝对值问题有些较为复杂的问题中含有多重绝对值符号，即绝对值符号中还有绝对值符号，我们称这种形式为多重绝对值.在求解多重绝对来解答问题.例3已知x <-3，化简：|3+|2-|1+x |||.分析：这是一个含有多重绝对值符号的问题，在求解时需要根据“由内而外”的原则逐层去绝对值.首先根据x 的范围判断出1+x <0，所以最里层绝对值|1+x |=-（1+x ）.第二层|2-|1+x ||可以转化为|2-[-（1+x ）]|=|3+x |.因为x <-3，所以3+x <0，即|2-|1+x ||=-（3+x ）.最外层|3+|2-|1+x |||可转化为|3+[-（3+x ）]|=|-x |.这样根据x 的取值范围一步步利用绝对值的代数意义即可化简.解：①最内层：∵x <-3，∴1+x <-2<0，∴|1+x |=-（1+x ），②第二层：|2-|1+x ||=|2-[-（1+x ）]|=|2+（1+x ）|=|3+x |,∵x <-3，∴3+x <0，∴|3+x |=-（3+x ），∴|2-|1+x ||=-（3+x ），③最外层：|3+|2-|1+x |||=|3+[-（3+x ）]|=|-x |，∵x <-3，∴-x >3>0，∴|-x |=-x ，∴|3+|2-|1+x |||=-x ，综合①②③可得|3+|2-|1+x |||化简后为-x .评注：此题数值比较简单，但含有多重绝对值符号.在去绝对值符号时要由内而外逐层将3个层次的绝对值符号内部的数或式同“0”作比较，大于等于“0”的直接去绝对值；小于“0”的一定要添加“-”.绝对值是中学数学中的一个重要概念，常与其他知识结合起来考查.同学们只要牢牢掌握去绝对值的基本方法，结合“由内而解题指南。
初中数学绝对值的化简
绝 对 值 的 化 简
一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
即 ,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
显然，任何数的绝对值都是非负数，即a ≥0.
化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号。
先根据所给的条件，确定绝对值符号内的a 的正负（即0,0,0a a a ><=还是）。
如果已知条件没有给出其正负，应该分类讨论（即分别讨论0,0,0a a a ><=还是的情形）。
分类思想是数学中一种非常重要的思想。
下面以一道例题来分析： 例：化简2324x x x x --
【解析】题目没有给出x 的正负，要去掉绝对值符号，必须讨论x 的取值。
显然，由于分母不能为0，因此0x ≠。
①当0x >时，
2324x x x x --=23124222x x x x x x x x
---===---
②当0x <时，
2324x x
x x --=235552(4)666x x x x x x x x ----===---
通过刚才例题的分析，想必大家对分类讨论的思想已有所了解了吧，下面两道绝对值化简的题目大家可以练习一下哦。
1.当0x <，化简
23x x x x --- （提示：x -）
2.试化简233a a
a a --
（提示：当0a >时，
233a a a a --=12-；当0a <时，233a a a a --=54-）。
第2讲 绝对值的化简(教师版)
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质 作业4
化简：
．
答案 原式
．
解析 ①当 原式
②当 原式
③当 原式
时
； 时
； 时
；
∴原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：零点分段法 作业5
化简：
．
答案 ．
解析 ①当 原式 ②当 原式 ③当 原式 ④当 原式
时， 时， 时，
时，
．
综上所得
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
已知 、 、 为有理数，且
A.
B.
，
，则
C. 或
的值为（ ）． D.
答案 B
解析
，
∵
，
，
∴ ， ， 为三个负数，或有其中两个为正数，一个为负数，
则原式
可能出现的结果为 ．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 题型：|a|/a的化简
二、课后创新培养
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
，
绝对值大全(零点分段法-化简-最值)
绝对值大全〔零点分段法、化简、最值〕一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的根本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法一样。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a 〞来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项〞绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，假如没有明确不等式两边均为非负数，需要进展分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：假设数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
绝对值化简的题目
绝对值化简的题目绝对值化简是指将一个复杂的绝对值表达式简化为更简单、更易处理的形式。
以下是一些绝对值化简的题目：1. 化简 |3x| - |2x|。
分析：根据绝对值的定义，|3x|表示3x的绝对值，即当x≥0时，|3x|=3x；当x<0时，|3x|=-3x。
同理，|2x|也可以根据x的取值进行分类讨论。
接下来我们将其化简：当x≥0时，此时|3x|=3x，|2x|=2x，所以|3x|-|2x|=3x-2x=x。
当x<0时，此时|3x|=-3x，|2x|=-2x，所以|3x|-|2x|=-3x+2x=-x。
综上所述，化简后的表达式为：x，当x≥0；-x，当x<0。
2. 化简 |5-2x| - |3x-2|。
分析：同样，我们根据绝对值的定义进行分类讨论。
当5-2x≥0时，即2x≤5，解得x≤2.5，此时|5-2x|=5-2x。
而|3x-2|则需要根据3x-2的正负情况进行讨论。
当3x-2≥0时，即3x≥2，解得x≥0.67，此时|3x-2|=3x-2。
当3x-2<0时，即3x<2，解得x<0.67，此时|3x-2|=2-3x。
综上所述，当x≤0.67时，化简后的表达式为：(5-2x)-(3x-2)=(5-2x)-(3x-2)=(5-2x-3x+2)=3-5x。
当x>0.67时，化简后的表达式为：(5-2x)-(3x-2)=(5-2x)-(3x-2)=(5-2x-3x+2)=-5x+3。
所以，化简后的表达式为：3-5x，当x≤0.67；-5x+3，当x>0.67。
请注意，这些是一些示例问题，实际上绝对值化简的题目形式多种多样，答案的具体形式也会随题目的不同而不同。
在解决问题时，需要根据绝对值的定义进行分类讨论，并进行有效的代数运算化简。
绝对值的化简与几何意义
专题3绝对值的化简与几何意义★知识模块●模块一绝对值的基本概念（1）非负性：||0a ≥（补充：20a ≥）．对应题型：绝对值的化简．方法：判断“||”里面整体的正负性．易错点：求一个多项式的相反数．对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数．①a b -的相反数是a b -+；②a b c ++的相反数是a b c ---；③132a b -+的相反数132a b -+-．（2）双解性：||(0)a b b =≥，则a b =±．（3）绝对值的代数意义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（常用）(0)||(0)a a a a a ⎧=⎨-<⎩≥或(0)||(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩变式结论：①若||a a =，则0a ≥；②若||a a =-，则0a ≤．●模块二零点分段法零点：使绝对值为0的未知数值即为零点．方法：①寻找所有零点，并在数轴上表示；②依据零点将数轴进行分段；③分别根据每段未知数的范围去绝对值．易错点：分类不明确，不会去绝对值．化简：|1||2|x x -+-．①零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即1x <，12x ≤<，2x ≥．②当1x <时，原式23x =-+；当12x ≤<时，原式(1)(2)1x x =---=；当2x ≥时，原式23x =-．●模块三几何意义||x 的几何意义：数轴上表示数x 的点与原点的距离；||x a -的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 的点之间的距离；举例：①|1|=|(1)|x x +--表示x 到1-的距离．②|1||2|x x +++表示x 到1-和x 到2-的点与数a 、b 两点的距离之和．③|1||2|x x +-+表示x 到1-和x 到2-的距离之差．基本结论：令123n a a a a ≤≤≤≤…，123||||||+||n x a x a x a x a -+-+-+-… ．方法：直接套用几何意义画数轴．①当n 为奇数时，当12n x a +=时取最小值；②当n 为偶数时，当122n n a x a +≤≤时取最小值．常见变形：①|1|2|3|3|4|x x x -+-+-在34x ≤≤时取得最小值．②()111113|2|2|3|236x x x x -+-=-+-在2x =时取得最小值．③|1||2|x x ---既有最小值也有最大值．★习题特训●模块一绝对值的基本概念特训1（1）已知2(3)|2|=0x y -++，则y x =___________．（2）若|3|x y -+与|1999|x y +-互为相反数，求x y x y +-的值是．（3）已知2()|5|5a b b b +++=+，且|21|0a b --=，那么ab =___________．【答案】（1）∵2(3)|2|0x y -++=，∴3x =，2y =-．∴原式19=．（2）原式19993=-．（3）∵2()|5|5a b b b +++=+，∴50b +≥，0a b +=又∵|21|0a b --=，∴210a b --=，解得13a =，13b =-，∴19ab =-．（1）若||3x =，||2y =，且x y >，求x y +的值是．（2）已知||5a =，||3b =，且||a b b a -=-，求a b -的值是___________．（3）若a ，b ，c 为整数，且20162016||||1a b c a -+-=，则||||||c a a b b c -+-+-的值是___________．【答案】（1）5或1；（2）8-或2-；（3）∵a 、b 、c 均为整数，∴||a b -，||a c -均为非负整数，∴只能有||0a b -=，||1a c -=或者||1a b -=，||0a c -=．当||0a b -=，||1a c -=时，a b =，||||1b c a c -=-=，此时，||||||0112a b b c c a -+-+-=++=．当||1a b -=，||0a c -=时，a c =，||||1b c b a -=-=，此时，||||||1102a b b c c a -+-+-=++=．故总有||||||2a b b c c a -+-+-=．特训3（1）化简：111111200420032003200210031002-+-++-= ___________．（2）若201522016x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-=．（3）a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：||||||||||||a b c b a c a b c -+--+---．（4）已知数a ，b ，c 的大小关系如图所示，则下列各式：③||1||||a b c a b c++=；④0bc a ->；⑤||||||2a b c b a c b --++-=-．其中正确的有．【答案】（1）原式=111111200320042002200310021003-+-++- 111100220042004=-=．（2）由于23x <<，故原式123459x x x x x x =+-+-+-+-+-=．（3）原式33a b c =-++．（4）②③⑤．●模块二零点分段法特训4化简：（1）|1||2|x x -+-（2）|5||23|x x +--（3）|1||2||3|x x x -+-+-（4）||1|2||1|x x --++【答案】（1）零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即1x <，12x ≤<，2x ≥．当1x <时，原式(1)(2)23x x x =----=-+；当12x ≤<时，原式(1)(2)1x x =---=；当2x ≥时，原式(1)(2)23x x x =-+-=-．即原式231=112232x x x x x -+<⎧⎪≤<⎨⎪-≥⎩，，，．（2）零点为5-，32，故将数轴分为3个部分，即5x <-，352x -≤<，32x ≥．当5x <-时，原式(5)(23)8x x x =-++-=-；当352x -≤<时，原式(5)(23)32x x x =++-=+；当32x ≥时，原式(5)(23)8x x x =+--=-+．当1x <时，原式(1)(2)(3)36x x x x =------=-+；当12x ≤<时，原式(1)(2)(3)4x x x x =-----=-+；当23x ≤<时，原式(1)(2)(3)x x x x =-+---=；当3x ≥时，原式(1)(2)(3)36x x x x =-+-+-=-．（4）先找零点．由10x -=得1x =；由|1|20x --=得1x =-或3x =；由10x +=得1x =-．所以零点共有1-，1，3三个，故将数轴分为4个部分．当1x <-时，原式|(1)2|(1)1122x x x x x =----+=----=--；当11x -≤<时，原式|(1)2|(1)1122x x x x x =---++=+++=+；当13x ≤<时，原式|(1)2|(1)314x x x x =--++=-++=；当3x ≥时，原式|(1)2|(1)3122x x x x x =--++=-++=-．特训5求|1||5|y x x =--+的最大值和最小值．【答案】零点为5-，1．当5x ≤-时，(1)(5)6y x x =--++=；当51x -<<时，(1)(5)24y x x x =---+=--，有66y -<<；当1x ≥时，(1)(5)6y x x =--+=-．故最大值为6，最小值为6-．●模块三绝对值的几何意义特训6规律探究和应用：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示3-和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于；如果表示数a 和2-的之间的距离是3，那么a =．（2）若数轴上表示数a 的点位于4-与2之间，求|4||2|a a ++-的值．（3）当a 取何值时，|5||1||4|a a a ++-+-的值最小，最小值是多少？（4）求|1||2|100|a a a -+-+-……+|的最小值，并求出此时a 的取值范围．【答案】（1）3；5；||m n -；5-或1．（2）|4||2|6a a ++-=．（3）|5||1||4|a a a ++-+-最小值为9，在1a =时取得最小值．（4）当5051a ≤≤时，原式有最小值，代数式的值为2500．特训7已知759x -≤≤，求x 取何值时|1||3|x x --+取最大值与最小值．【答案】|1||3|x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴，可得当79x =时两者的距离差最小为329-，即min 32(|1||3|)9x x --+=-；当53x --≤≤时，两者的距离差最大为4，即max (|1||3|)4x x --+=．特训8（2）求3|1|2|4||2|x x x ++-+-的最小值及此时x 的取值．（3）求|1||23||34|x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．（4）求111|1||2||3|234x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．【答案】（1）中位项为|1|x -，故1x =，最小值为1．（2）中位项为|1|x +和|2|x -，故12x -≤≤，最小值为13．（3）原式34|1|2||3||23x x x =-+-+-，中位项为43x -，故43x =，最小值为23．（4）原式111|2||6||12|234x x x =-+-+-1(6|2|4|6|3|12|)12x x x =-+-+-，括号里的中位项为|6|x -，故6x =，最小值为72．★复习巩固演练1（1）已知|(2)||3|||0x y z +-+++=，则x y z ++=.（2）|1||2|0a b -++=，求201620152()()()a b a b a b a b +++++++= ．（3）已知222123420152016|1|(2)|3|(4)...|2015|(2016)=0x x x x x x -+-+-+-+-+-，求122334201520161111...x x x x x x x x ++++的值．【答案】（2）∵|1||2|0a b -++=，∴1a =，2b =-，1a b +=-，则原式0=．（3）由||0a ≥，20a ≥可知，11x =，2201622016x x == ，则122311x x x x ++ 201520161111122320152016x x +=+++⨯⨯⨯ 12015120162016=-=.演练2（1）已知||4x =，||6y =，则||x y +的值为．（2）已知||1a =，||2b =，||3c =，a b c >>，则2()a b c +-=．【答案】（1）2或10．（2）由a b c >>知只能有1a =±，2b =-，3c =-，故原式0=或4．演练3（1）a ，b ，c 在数轴上的位置如图3-1所示，化简：|||||||1||2|||a b c b a c a b c -+---+-+--．（2）已知a 、b 、c 在数轴上的对应点如图3-2所示，化简：||||||||a a b c a b c -++-++．图3-1图3-2【答案】（1）331a b c -+++；（2）32a c -．演练4化简：（1）|5||23|x x ++-（2）||1|3|x +-（1）先找零点.50x +=，5x =-；230x -=，32x =，零点可以将数轴分成三段．当32x ≥，50x +>，230x -≥，|5||23|32x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，|5||23|8x x x ++-=-；当5x <-，50x +<，230x -<，|5||23|32x x x ++-=--．（2）先找零点．由10x +=得1x =-；由|1|30x +-=得4x =-或2x =．所以零点共有4-，1-，2三个，故将数轴分为4个部分．当4x <-时，原式|(1)3||4|4x x x =-+-=--=--；当41x -≤<-时，原式|(1)3||4|4x x x =-+-=--=+；当12x -≤<时，原式|(1)3||2|2x x x =+-=-=-；当2x ≥时，原式|(1)3||2|2x x x =+-=-=-．演练5试求|1||2||1996|x x x -+-++- 的最小值．【答案】|1||2||1996|x x x -+-++- 表示x 到1，2，…，1996的距离和.中间的两点代表的数是998、999，所以当998999x ≤≤时，原式有最小值；我们可以取998x =，原式9979961012998996004=++++++++= ．演练6求|1|2|2|3|3|x x x -+-+-的最小值及此时x 的取值．【答案】中位项为|2|x -和|3|x -，故当23x ≤≤时，最小值为4．演练7已知2x ≤，求|3||2|x x --+的最大值与最小值．【答案】解法一：根据几何意义可以得到，当2x -≤时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．解法二：找到零点3，2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析：当22x -≤≤时，|3||2|3212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5；当2x <-时，|3||2|325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“绝对值的化简”例题解析
无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：无论a取任意有理数都有。
下面关于绝对值的化简题作一探讨。
一、含有一个绝对值符号的化简题
1. 已知未知数的取值或取值范围进行化简。
如，当时化简（根据绝对值的意义直接化简）
解：原式。
2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。
如，化简（必须进行讨论）
我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值，显然绝对值符号内代数式是，使的未知数的值是5，所以我们把5叫做此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论。
（1）当时，则是一个正数，则它的绝对值应是它本身，所以原式。
（2）当时，则，而0的绝对值为0，所以原式或。
（3）当时，则，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原
式。
又如，化简
此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x＋y看作一个整体未知数，找出界值，使
的整体未知数的值是，我们把6叫做此题的界值，这样又可分三种情况进行讨论。
（1）当时，
（2）当时
（3）当时
二、含有两个绝对值符号的化简题
1. 已知未知数的取值或取值范围，进行化简也应根据绝对值的意义直接化简。
如：当时，化简
解：原式
2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简也必须进行讨论
如：化简
的界值为－3，的界值为
所以对此类化简题，我们仍从三个方面进行讨论。
解：（1）当时（界值为较大界值，讨论的第（1）种情况为大于大的界值）
原式
（2）当时，（第（2）种情况为小于小的界值）
原式
（3）当时（第（3）种情况大于小界值小于大界值）
原式
又如，化简
此题含有两个绝对值符号，且每个绝对值符号内含有两个未知数，且未知数对应项系数相等或成比例，在这种情况下，我们把含有未知数较小的那个式子看作一个整体
即把看作一个整体分别求出每个绝对值符号内的界值，仍从三个方面进行讨论。
的界值为2，的界值为－2。
解：（1）当时，
原式
（2）当时，
原式
（3）当时，
原式
三、数形结合绝对值化简题
如：有理数a、b、c在数轴上的位置如图，试化简：。
解：由a、b、c在数轴上的位置可知且、、
所以原式
综上所述，含有绝对值符号的化简题，如已确定某些未知数的取值，就按这个未知数的取值根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，进而化简。
如没有告诉某些未知数的取值或取值范围，那么就找出这个绝对值（或两个绝对值）符号内的界值，然后分三种情况进行讨论。