最新湘教版九年级数学(初三)上册4.1 正弦和余弦 第1课时正弦课件
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最新湘教版初三数学上册4.1正弦和余弦 课件
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
1 2. 在△ABC中，∠C=90°，如果 sinA = ，AB=6， 3 那么BC=___. 2
7 例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ， 25 求这个三角形的周长．
解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾 股定理得
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第1课时 正 弦
导入新课
情境引入 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房 沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面 绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为 使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
讲授新课
一 正弦的概念
合作探究
AC AB BC 25 BC 24x.
2 2 2 2
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).
方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般 需结合方程思想和勾股定理，解决问题.
练一练
1. 判断对错 BC sinA = AB BC sinA = AC
BC sinB = AB
(√ )
B
10m A 6m
(×) (×)
(×)
C
sinA =0.6 m
sinB =0.8 m
(√ )
2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 (C ) A. 扩大100倍 C. 不变
归纳： 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h， AB = c，则 BC = ck，AC = ch. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h， BC=a，则
1 2. 在△ABC中，∠C=90°，如果 sinA = ，AB=6， 3 那么BC=___. 2
7 例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ， 25 求这个三角形的周长．
解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾 股定理得
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第1课时 正 弦
导入新课
情境引入 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房 沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面 绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为 使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
讲授新课
一 正弦的概念
合作探究
AC AB BC 25 BC 24x.
2 2 2 2
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).
方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般 需结合方程思想和勾股定理，解决问题.
练一练
1. 判断对错 BC sinA = AB BC sinA = AC
BC sinB = AB
(√ )
B
10m A 6m
(×) (×)
(×)
C
sinA =0.6 m
sinB =0.8 m
(√ )
2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 (C ) A. 扩大100倍 C. 不变
归纳： 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h， AB = c，则 BC = ck，AC = ch. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h， BC=a，则
九年级数学(湘教版)上册课件：正弦和余弦
规律：不论三角板大小，30°、45°、60°角的对边与斜 边的比值是个固定值.
2.若是普通直角三角形，当一个锐角的度数固定时，这个 角的对边与斜边的比值是否也是固定值呢?
学生组内讨论探索 (学生画图并运用三角形类似知识加以证明) 规律：(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与 斜边的比值随之确定； (2)直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比 值越大.
动手实践，寻找规律
• 由推理可得：角度不变，比值不变
• 由动态演示：角度改B变’，比值改变
B D D’
A
αβ C C’
类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．
定义
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作: sin
即:
sin
角的对边
cos＝sin 90- ，
sin＝cos90 ．
例
题
求 cos30 ，cos 60 ，cos 45 的值．
cos30 sin 90 30 sin 60 3 ,
2
cos 60 sin 90 60 sin 30 1 ,
2
cos 45 sin 90 45 sin 45 2 .
2
35° 68°
88° 9° 30°18′
76°18′ 9°38′ 81°53′
cos
0.3746 0.3746 0.0349 0.9877 0.8634
0.2368 0.9859 0.1409
65角的对边
斜边
的值，
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？
结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中， 65º角的对边与 斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．
2.若是普通直角三角形，当一个锐角的度数固定时，这个 角的对边与斜边的比值是否也是固定值呢?
学生组内讨论探索 (学生画图并运用三角形类似知识加以证明) 规律：(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与 斜边的比值随之确定； (2)直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比 值越大.
动手实践，寻找规律
• 由推理可得：角度不变，比值不变
• 由动态演示：角度改B变’，比值改变
B D D’
A
αβ C C’
类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．
定义
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作: sin
即:
sin
角的对边
cos＝sin 90- ，
sin＝cos90 ．
例
题
求 cos30 ，cos 60 ，cos 45 的值．
cos30 sin 90 30 sin 60 3 ,
2
cos 60 sin 90 60 sin 30 1 ,
2
cos 45 sin 90 45 sin 45 2 .
2
35° 68°
88° 9° 30°18′
76°18′ 9°38′ 81°53′
cos
0.3746 0.3746 0.0349 0.9877 0.8634
0.2368 0.9859 0.1409
65角的对边
斜边
的值，
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？
结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中， 65º角的对边与 斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．
湘教版九年级数学上册第4章4.1《正弦和余弦》精品PPT教学课件
AB DE
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
万向思维精品图书
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
万向思维精品图书
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
万向思维精品图书
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
万向思维精品图书
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
万向思维精品图书
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
万向思维精品图书
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
万向思维精品图书
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
万向思维精品图书
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
湘教版九年级数学上册4.1正弦和余弦课件
5
6
6
C
6 A
2．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， BC=7，B=8．求
cos A, cos B, sin A，sin B 的值．
B
答案：
cos A
15 ,
8
cos B 7 , 8
7
8
sin A 7 , sin B 15 .
8
8
C
A
3 ．求下列各式的值．
（１） sin 30 cos 30,
0.3746 0.3746 0. 0349 0.9877 0.8634
0.2368 0.9859 0.1409
2．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐 练 习 角α （精确到1′）．
（1） sinα＝0.1087，则α≈ （2） sinα＝0.9358，则α≈
6°14′ 69°21′
（3） cosα＝0.7081，则α≈ 44°55′
cos AC ,
AB
AC＜AB
∴
C
A
0＜ cos ＜1．
4．求下列各式的值
（１）sin2 30 cos2 30; （２） sin2 45 cos2 45;
（３） sin2 60 cos2 60.
解 （１）sin2 30 cos2 30
（２）
sin
2
45
cos2
45
1 2
2 2
2 2
Sin160 sin Cos420 cos
按键的顺序
1
6
=
4
2
=
显示结果 0.275 637 355 0.743 144 825
由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.
湘教版九年级上4.1正弦和余弦(第一课时)课件(共14张PPT)
c
注意:(1).“ sin ”是一个完整的符号，不要误解为sin× ,
今后所学的其他的三角函数符号也是这样。
Ca B
sin (2).“
”的值与Rt△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，
如果锐角的大小固定，则这个比值固定；不同的锐角对应不同的比值。
布置作业
1、完成全效74页的当堂测评和75页 A组部分的题目。
猜想得到了证实：在有一个锐角等于α 的所有直角三角形中，角α的对边与斜 边的比值为一个常数．
预备知识
∠C（直角）的对边 AB(c)
∠A的对边 BC(a)
B
∠A的邻边 AC(b) ∠B的对边 AC(b)
∠A的对边a
A ∠A的邻边b C B
∠B的邻边 BC(a)
∠B的邻边a
A ∠B的对边b C
定义
。
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作: sin
即:
sin
角的对边
斜边
BC AB
a c
A
c
Ca B
如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB ＝c, AC ＝b, BC ＝a.
则
sinA ＝ BC a
AB c
sinB ＝ AC b AB c
正弦符号表示法：
sin A sin sin 1
理解概念
sin ABC sin 300
注意:(1).“ sin ”是一个完整的符号，不要误解为sin× ,
今后所学的其他的三角函数符号也是这样。
(2).“ sin ”的值与Rt△ABC的三边的大小无关，
只与锐角的大小有关，如果锐角的大小固定，则这个 比值固定；不同的锐角对应不同的比值。
4.1 正弦和余弦 第1课时正弦课件湘教版数学九年级上册
在直角三角形 中，30°角所对 的边等于斜边的 一半
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
问题1：根据前面的问题，我们知道在直角三角形中，
如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小
如何，这个角的对边与斜边的比都等于 1 。那么含
45°角的直角三角形呢？
2
A
45°
C
B
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
）B
A.sinA=
AC AB
B.sinA= BC
AB
C.sinA= AC
BC
D.sinA= BC
AC
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=1 ，BC
3
= 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
B
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
归纳：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不 管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个 固定值．
B
a 对边
c 斜边
C
A
b
定义：在 Rt△ABC 中，∠C
＝90°，我们把锐角 A 的对 边与斜边的比叫做∠A的正弦， 记作 sin A .
sin A =
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，BC=3，
则sinA的值为（ A ）
A. 3
5
B. 4
5
C. 3
4
D. 4
3
随堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则
sinA等于（ A ）
3
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
问题1：根据前面的问题，我们知道在直角三角形中，
如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小
如何，这个角的对边与斜边的比都等于 1 。那么含
45°角的直角三角形呢？
2
A
45°
C
B
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
）B
A.sinA=
AC AB
B.sinA= BC
AB
C.sinA= AC
BC
D.sinA= BC
AC
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=1 ，BC
3
= 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
B
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
归纳：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不 管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个 固定值．
B
a 对边
c 斜边
C
A
b
定义：在 Rt△ABC 中，∠C
＝90°，我们把锐角 A 的对 边与斜边的比叫做∠A的正弦， 记作 sin A .
sin A =
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，BC=3，
则sinA的值为（ A ）
A. 3
5
B. 4
5
C. 3
4
D. 4
3
随堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则
sinA等于（ A ）
3
最新湘教版九年级数学上册4.1正弦与余弦(1)
A
东
65º
B
C
上述问题就是：知道直角三角形的一个为65º 的锐角和这 个锐角的对边长度，想求斜边长度，为此，可以去探究直 角三角形中， 65º 角的对边与斜边的比值有什么规律？
每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角 为65º，量出65º 角的对边长度和斜边长度，计算： 做一做
65角的对边 斜边
的值，
D'
E F
E'
这说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的 对边与斜边的比值为一个常数，与三角形的大小无关．
结论
在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫 做角α的正弦，记作 sin 即: A 角的对边
α
注意： C
斜边
B
sin
（0 ＜
斜边
.
sin ＜1）
1.求一个锐角的正弦值的前提条件是直角三角形，要分清哪边是锐 角α的对边及斜边； 2.锐角的正弦值是一种比值，它只有大小没有单位，它的大小仅 与角的大小有关，与它所在三角形的边的长度无关，且锐角的度 数与它的正弦值是一、一对应的关系.
例1 在直角三角形ABC中， ∠C= 90º ， BC=3，AB=5．
（１）求∠A的正弦 sin A ； （２）求∠B的正弦 sin B ；
解： 3
B 5
（１） ∵∠A的对边BC=3，斜边 AB=5． C 4 BC 3 sin A ， AB 5 （２） ∵∠B的对边是AC．根据勾股定理，得: AC=4．
∟
对边
北
A
65º
东
?
65º
2000
B
C
现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距离约等于多 少米的问题． 解: ∵在Rt△ABC中，BC=2000m ，∠A= 65º ，
东
65º
B
C
上述问题就是：知道直角三角形的一个为65º 的锐角和这 个锐角的对边长度，想求斜边长度，为此，可以去探究直 角三角形中， 65º 角的对边与斜边的比值有什么规律？
每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角 为65º，量出65º 角的对边长度和斜边长度，计算： 做一做
65角的对边 斜边
的值，
D'
E F
E'
这说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的 对边与斜边的比值为一个常数，与三角形的大小无关．
结论
在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫 做角α的正弦，记作 sin 即: A 角的对边
α
注意： C
斜边
B
sin
（0 ＜
斜边
.
sin ＜1）
1.求一个锐角的正弦值的前提条件是直角三角形，要分清哪边是锐 角α的对边及斜边； 2.锐角的正弦值是一种比值，它只有大小没有单位，它的大小仅 与角的大小有关，与它所在三角形的边的长度无关，且锐角的度 数与它的正弦值是一、一对应的关系.
例1 在直角三角形ABC中， ∠C= 90º ， BC=3，AB=5．
（１）求∠A的正弦 sin A ； （２）求∠B的正弦 sin B ；
解： 3
B 5
（１） ∵∠A的对边BC=3，斜边 AB=5． C 4 BC 3 sin A ， AB 5 （２） ∵∠B的对边是AC．根据勾股定理，得: AC=4．
∟
对边
北
A
65º
东
?
65º
2000
B
C
现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距离约等于多 少米的问题． 解: ∵在Rt△ABC中，BC=2000m ，∠A= 65º ，
九年级数学湘教版上册.1正弦和余弦课件
3.在直角三角形中，30º所对的的直角边等于斜边 的_一__半____.
动手操作
1.请大家把含30º角的直角三角板拿出来, 思考：
30º角的对边与斜边的比值等于多少？ 与你的直角三角板的大小有关吗？ A
结论：30º角的对边与斜边的比值
都是__0_.5____.
与直角三角板的大小无关
30º
C
B
2.每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为 65º，量出65º角的对边长度和斜边长度，计算：
BC ∴ AB =
EF DE
交流：由上说明了什么？请用语言表达出来.
在有一个锐角等于α的所有直角三角形中， 角α的对边与斜边的比值为一个常数．
→这个比值就叫做角α的正弦
知识方法归纳
正弦的定义： 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比
叫做角α的正弦. 记作:sinα
即：sinα=
角α的对边 斜边
斜边
Aα
交流理解：
B
角α的对边 C
锐角α的正弦是在____直__角三角形中来定义的 锐角α的正弦就是一个____比值，即____角__α_的__对边
与_斜__边__的比值. 与直角三角形的大小无关。
sinα是一个完整的符号，表示角α的正弦. （4）sinα表示一个比值，由于直角边小于斜边，
所以0＜sinα＜1；
BC EF
则 AB = DE
成立吗？为什么？ B
E
Aα
C Dα F
已知：如图，△ABC和△DEF都是直角三角形 ∠ A=∠D =α，∠C=∠F= 90º
则 BC = EF 成立吗？为什么？
AB DE
B
E
Aα
Dα F
C
∵ ∠ A=∠D =α，∠C=∠F= 90º
动手操作
1.请大家把含30º角的直角三角板拿出来, 思考：
30º角的对边与斜边的比值等于多少？ 与你的直角三角板的大小有关吗？ A
结论：30º角的对边与斜边的比值
都是__0_.5____.
与直角三角板的大小无关
30º
C
B
2.每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为 65º，量出65º角的对边长度和斜边长度，计算：
BC ∴ AB =
EF DE
交流：由上说明了什么？请用语言表达出来.
在有一个锐角等于α的所有直角三角形中， 角α的对边与斜边的比值为一个常数．
→这个比值就叫做角α的正弦
知识方法归纳
正弦的定义： 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比
叫做角α的正弦. 记作:sinα
即：sinα=
角α的对边 斜边
斜边
Aα
交流理解：
B
角α的对边 C
锐角α的正弦是在____直__角三角形中来定义的 锐角α的正弦就是一个____比值，即____角__α_的__对边
与_斜__边__的比值. 与直角三角形的大小无关。
sinα是一个完整的符号，表示角α的正弦. （4）sinα表示一个比值，由于直角边小于斜边，
所以0＜sinα＜1；
BC EF
则 AB = DE
成立吗？为什么？ B
E
Aα
C Dα F
已知：如图，△ABC和△DEF都是直角三角形 ∠ A=∠D =α，∠C=∠F= 90º
则 BC = EF 成立吗？为什么？
AB DE
B
E
Aα
Dα F
C
∵ ∠ A=∠D =α，∠C=∠F= 90º
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丽，感谢你的阅读。 二年7、〇七放二月眼〇十前年二方七日，月只十要二我日们继续，收获的季节就在前方。20.7.1220.7.1220.7.12。2020年7 8月、1熟勇2日读气星唐通期诗往日三天二百堂〇首，二，怯〇不懦年会 通七作往月诗地十也狱二会。日吟09。:050099:0:0550:90:3075.:1023.72.0120.2S0u2n0dSauyn, dJauyly, J1u2l,y21022,02020 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。09:0509:05:037.12.2020Sunday,
2
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
问题2：任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝
∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 BC 与 B'C' 有什么
AB A'B'
关系？你能解释一下吗？
A
A'
α
α
C
C'
B'
B
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
A
A'
α
α
C
C'
B'
B
由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此 BC ＝ AB B'C' A'B' 即 BC ＝ B'C' AB A'B'
丽生，活感像谢春你天的一阅样读阳。光，心情像桃花一样美 6Ju、莫ly吾愁1生前2,也路20有无20涯知7/，已12而，/2知天02也下0 无 谁涯人。不识9时君5。分99时时55分分91时2-5Ju分l-1220-7J.u1l2-2.20072.102.2020 丽，感谢你的阅读。 76、纸人生上生命得贵太来相过终知短觉，暂浅何，，用今绝金天知 与 放此钱弃事。了要明20躬天.7.行不12。一20定2.07能..71.得212到02.0。7..719.2时1。2522分00.792.时01年25。分7月210212-2J0日u年l星-72月0期71日.122日二.2星〇02期二0日〇
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第1课时 正弦
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
新知导入
看一看：观察下图中图形的特点，试着发现它们解决问题 的规律。
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管， 在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A ) 为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
因此sinA=
BC AB
=
3 5
sinB=
AC AB
=
4 5
如图(2)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
AC AB2 BC2 132 52 12
因此sinA=
BC AB
=
5 12
sinB= AC = 12 AB 13
课Байду номын сангаас讲授
1 正弦的定义及其简单应用
练一练：在△ABC中，∠C=90°，下列等式成立的是（
）B
A.sinA=
AC AB
B.sinA= BC
AB
C.sinA= AC
BC
D.sinA= BC
AC
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=1 ，BC
3
= 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
B
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
归纳：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不 管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个 固定值．
B
a 对边
c 斜边
C
A
b
定义：在 Rt△ABC 中，∠C
＝90°，我们把锐角 A 的对 边与斜边的比叫做∠A的正弦， 记作 sin A .
sin A =
A
45°
C
在 Rt△ABC 中，∠C=45°，因为∠A=45°，
所以Rt△ABC是等腰直角三角形. 由勾股定理得
AB2=AC2+BC2=2BC2.
AB= 2 BC
B
BC = AB
BC 2 BC
=
2 2
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那 么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与 斜边的比都等于 2 .
July 12, 2020
长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后
再利用勾股定理，求出 BC 的长度，
进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
A
C
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
练一练：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=9,sinB= 1 ， 2
则AB的长为( C )
A. 9
2
B.9
C.18
D. 9 3
随堂练习
生盛活开像的春地天方一，样在阳这光醉，人心芬情芳像的桃季花节一，样愿美你 57.、12少海.2壮内02不存07努知.1力已2.，20老天20大涯09徒若:0伤 比50悲邻9。:05S0u9n:d0a5y:0,3J0u9ly:0152:0, 32020July 20Sunday, July 12, 生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美 250、2生07命/1的2/2成0长20，需要吃饭，还需要吃苦，吃亏。Sunday, July 12, 2020July 20Sunday,
4.如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另 一边OA上有一点P（b,4），若sinα= 4 ，则b=___3____.
5
随堂练习
5.如图，在△ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC边上的高，
AD=4，求CD的长和sinC的值.
解：∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵AB=5，AD=4，∠ADB=90°， ∴BD= AB 2 AD 2 =3. ∵BC=13， ∴CD=BC-BD=10. ∵AD=4，∠ADC=90°， ∴AC= AD2 CD2 =2 29， ∴sinC= AD = 2 29. AC
在直角三角形 中，30°角所对 的边等于斜边的 一半
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
问题1：根据前面的问题，我们知道在直角三角形中，
如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小
如何，这个角的对边与斜边的比都等于 1 。那么含
45°角的直角三角形呢？
2
A
45°
C
B
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
随堂练习
6.如图，在△ABC中，∠C=90°,sinA= 3 ,AB=16,求△ABC
2
的周长.
解：在Rt△ABC中，
∠C=90°，AB=16，sinA=
BC AB
=
3,
2
∴BC=16×
3 2
=
8
3,
∴AC= AB2 BC2= 162 8 3 2=8,
∴△ABC的周长为8+8 3 +16=24+ 8 3 .
课堂小结
定义
B
对边 a
sin A = c 斜边
∠A的对边
斜边
=
a c
正弦
C
b
A
正弦的应用
已知直角三角形的边长，求锐角 的正弦值
已知锐角的正弦值，求直角三角形的 边长
亲亲爱爱的的读读者者：： 1、学盛生而年活不思重相则来信罔，眼，一泪思日，而难眼不 再 泪学晨并则。不殆及代。时表宜软20自弱.7.勉。12，270.岁.172.月1.22不072.待1020人.92:。025。0099:0:055:0039J:0u5l-:20030J9u:l0-25009:05 春亲去爱春的又读回者，： 20、.7一世.1年上27之没.1计有2.在绝20于望20春的09，处:0一境50日 ，9:之只05计有:0在对3J于处ul晨境-20。绝0二望9:0〇的5二人〇。年二七〇月二十〇二年日七月20十20二年日7月201220日年星7月期1日2日 春去春又回，新新桃桃换换旧旧符符。。在在那那桃桃花花 32星、期莫千日等里闲之，行白，了始少于年足头下， 。空20悲20切年。7月12日星期日
∠A的对边
斜边
=
a c
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和sinB 的
值.
B
B
13
3
5
A
4C
（1）
C
A
（2）
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
解：如图(1)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
AB AC2 BC2 42 32 5
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，BC=3，
则sinA的值为（ A ）
A. 3
5
B. 4
5
C. 3
4
D. 4
3
随堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则
sinA等于（ A ）
3
A. 5 B. 4
5
C. 3
4
D. 4
3
随堂练习
2
3.在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,则sinA=____2 ___.
039、:0少成57年功.1易都2.学永20老远20难不09成会:0，言57一弃.1寸 ，2.光放20阴弃20不者09可永:0轻远50。不9。会:05成:0功37。.12.202009:057.12.2020
2
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
问题2：任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝
∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 BC 与 B'C' 有什么
AB A'B'
关系？你能解释一下吗？
A
A'
α
α
C
C'
B'
B
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
A
A'
α
α
C
C'
B'
B
由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此 BC ＝ AB B'C' A'B' 即 BC ＝ B'C' AB A'B'
丽生，活感像谢春你天的一阅样读阳。光，心情像桃花一样美 6Ju、莫ly吾愁1生前2,也路20有无20涯知7/，已12而，/2知天02也下0 无 谁涯人。不识9时君5。分99时时55分分91时2-5Ju分l-1220-7J.u1l2-2.20072.102.2020 丽，感谢你的阅读。 76、纸人生上生命得贵太来相过终知短觉，暂浅何，，用今绝金天知 与 放此钱弃事。了要明20躬天.7.行不12。一20定2.07能..71.得212到02.0。7..719.2时1。2522分00.792.时01年25。分7月210212-2J0日u年l星-72月0期71日.122日二.2星〇02期二0日〇
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第1课时 正弦
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
新知导入
看一看：观察下图中图形的特点，试着发现它们解决问题 的规律。
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管， 在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A ) 为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
因此sinA=
BC AB
=
3 5
sinB=
AC AB
=
4 5
如图(2)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
AC AB2 BC2 132 52 12
因此sinA=
BC AB
=
5 12
sinB= AC = 12 AB 13
课Байду номын сангаас讲授
1 正弦的定义及其简单应用
练一练：在△ABC中，∠C=90°，下列等式成立的是（
）B
A.sinA=
AC AB
B.sinA= BC
AB
C.sinA= AC
BC
D.sinA= BC
AC
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=1 ，BC
3
= 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
B
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
归纳：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不 管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个 固定值．
B
a 对边
c 斜边
C
A
b
定义：在 Rt△ABC 中，∠C
＝90°，我们把锐角 A 的对 边与斜边的比叫做∠A的正弦， 记作 sin A .
sin A =
A
45°
C
在 Rt△ABC 中，∠C=45°，因为∠A=45°，
所以Rt△ABC是等腰直角三角形. 由勾股定理得
AB2=AC2+BC2=2BC2.
AB= 2 BC
B
BC = AB
BC 2 BC
=
2 2
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那 么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与 斜边的比都等于 2 .
July 12, 2020
长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后
再利用勾股定理，求出 BC 的长度，
进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
A
C
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
练一练：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=9,sinB= 1 ， 2
则AB的长为( C )
A. 9
2
B.9
C.18
D. 9 3
随堂练习
生盛活开像的春地天方一，样在阳这光醉，人心芬情芳像的桃季花节一，样愿美你 57.、12少海.2壮内02不存07努知.1力已2.，20老天20大涯09徒若:0伤 比50悲邻9。:05S0u9n:d0a5y:0,3J0u9ly:0152:0, 32020July 20Sunday, July 12, 生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美 250、2生07命/1的2/2成0长20，需要吃饭，还需要吃苦，吃亏。Sunday, July 12, 2020July 20Sunday,
4.如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另 一边OA上有一点P（b,4），若sinα= 4 ，则b=___3____.
5
随堂练习
5.如图，在△ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC边上的高，
AD=4，求CD的长和sinC的值.
解：∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵AB=5，AD=4，∠ADB=90°， ∴BD= AB 2 AD 2 =3. ∵BC=13， ∴CD=BC-BD=10. ∵AD=4，∠ADC=90°， ∴AC= AD2 CD2 =2 29， ∴sinC= AD = 2 29. AC
在直角三角形 中，30°角所对 的边等于斜边的 一半
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
问题1：根据前面的问题，我们知道在直角三角形中，
如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小
如何，这个角的对边与斜边的比都等于 1 。那么含
45°角的直角三角形呢？
2
A
45°
C
B
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
随堂练习
6.如图，在△ABC中，∠C=90°,sinA= 3 ,AB=16,求△ABC
2
的周长.
解：在Rt△ABC中，
∠C=90°，AB=16，sinA=
BC AB
=
3,
2
∴BC=16×
3 2
=
8
3,
∴AC= AB2 BC2= 162 8 3 2=8,
∴△ABC的周长为8+8 3 +16=24+ 8 3 .
课堂小结
定义
B
对边 a
sin A = c 斜边
∠A的对边
斜边
=
a c
正弦
C
b
A
正弦的应用
已知直角三角形的边长，求锐角 的正弦值
已知锐角的正弦值，求直角三角形的 边长
亲亲爱爱的的读读者者：： 1、学盛生而年活不思重相则来信罔，眼，一泪思日，而难眼不 再 泪学晨并则。不殆及代。时表宜软20自弱.7.勉。12，270.岁.172.月1.22不072.待1020人.92:。025。0099:0:055:0039J:0u5l-:20030J9u:l0-25009:05 春亲去爱春的又读回者，： 20、.7一世.1年上27之没.1计有2.在绝20于望20春的09，处:0一境50日 ，9:之只05计有:0在对3J于处ul晨境-20。绝0二望9:0〇的5二人〇。年二七〇月二十〇二年日七月20十20二年日7月201220日年星7月期1日2日 春去春又回，新新桃桃换换旧旧符符。。在在那那桃桃花花 32星、期莫千日等里闲之，行白，了始少于年足头下， 。空20悲20切年。7月12日星期日
∠A的对边
斜边
=
a c
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和sinB 的
值.
B
B
13
3
5
A
4C
（1）
C
A
（2）
课程讲授
1 正弦的定义及其简单应用
解：如图(1)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
AB AC2 BC2 42 32 5
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，BC=3，
则sinA的值为（ A ）
A. 3
5
B. 4
5
C. 3
4
D. 4
3
随堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则
sinA等于（ A ）
3
A. 5 B. 4
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C. 3
4
D. 4
3
随堂练习
2
3.在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,则sinA=____2 ___.
039、:0少成57年功.1易都2.学永20老远20难不09成会:0，言57一弃.1寸 ，2.光放20阴弃20不者09可永:0轻远50。不9。会:05成:0功37。.12.202009:057.12.2020