数学：4.1正弦和余弦课件(湘教版九年级上)
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湘教版九年级数学上册第4章4.1《正弦和余弦》精品PPT教学课件
AB DE
α
α
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∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
万向思维精品图书
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
万向思维精品图书
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
万向思维精品图书
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
万向思维精品图书
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
α
α
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∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
万向思维精品图书
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
万向思维精品图书
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
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新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
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∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
万向思维精品图书
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
湘教版-数学-九年级上册 4.1正弦和余弦 精品课件
11
数，它等于
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成 任意 α
一个锐角 ，则这个角的对边与斜边的比 值是否
探
究
如图，△ABC和△DEF都是直角三
角形， α
BC EF AB DE
其中∠A=∠D= . ∠C=∠F=90°，则
成立吗？为什么？
α
α
∵ ∠A=∠Dα= ， ∠C=∠F= 90° ，
∴ Rt△A ∽Rt△DEF.
∴
BCBCAB .
EF DE
即BC DE AB EF .
∴
BC EF . AB DE
α
α
这说明，在有一个锐角等于 的所有直角三
α
角α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三
大小无关.
结
论
如图，在直角三角形中，我α们把锐角 的对边与斜边α 的比叫作角 α的正弦，记作
sin ，即
sin
角的对边
（1）
（2）
小算明出量：出∠（A1的）对边BC=3cm，（斜2）边AB=3.3cm，
A的对边 斜边
3 3.3
10 11
.
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边
A′B′=2.2cm，A算'的出对：边
斜边
2 2.2
10 11
.
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有
三角形中，10 .65°角的对边与斜边的比值是一
斜边
α
根据 “在直角三角形中， 30°角所对的直
等于斜边的一半”， 容易得到
sin30
=
1 2
.
°
例1
如图所示，在直角三角形ABC中， ∠C=90°， （B1C）=3求，sAinBA=的5值.；
数，它等于
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成 任意 α
一个锐角 ，则这个角的对边与斜边的比 值是否
探
究
如图，△ABC和△DEF都是直角三
角形， α
BC EF AB DE
其中∠A=∠D= . ∠C=∠F=90°，则
成立吗？为什么？
α
α
∵ ∠A=∠Dα= ， ∠C=∠F= 90° ，
∴ Rt△A ∽Rt△DEF.
∴
BCBCAB .
EF DE
即BC DE AB EF .
∴
BC EF . AB DE
α
α
这说明，在有一个锐角等于 的所有直角三
α
角α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三
大小无关.
结
论
如图，在直角三角形中，我α们把锐角 的对边与斜边α 的比叫作角 α的正弦，记作
sin ，即
sin
角的对边
（1）
（2）
小算明出量：出∠（A1的）对边BC=3cm，（斜2）边AB=3.3cm，
A的对边 斜边
3 3.3
10 11
.
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边
A′B′=2.2cm，A算'的出对：边
斜边
2 2.2
10 11
.
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有
三角形中，10 .65°角的对边与斜边的比值是一
斜边
α
根据 “在直角三角形中， 30°角所对的直
等于斜边的一半”， 容易得到
sin30
=
1 2
.
°
例1
如图所示，在直角三角形ABC中， ∠C=90°， （B1C）=3求，sAinBA=的5值.；
湘教版九年级数学上册课件4.1.2余弦
解：过点 A 作 AF⊥BC，垂足为 F，则 DE∥AF，∴△CDE∽△CAF，
∴CCDA＝DAEF.又 AD＝2DC，∴AF＝3DE.在 Rt△ABF 中，sin B＝AABF＝
34DDEE＝34.设 AF＝3k，则 AB＝4k，∴BF＝ AB2－AF2＝ 7k，∴cos B
＝
7 4.
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午12时35分25秒00:35:2522.4.13
②sin
45°＝
2 2
cos 45°＝ 22；
③sin
60°＝
3 2
cos 30°＝
3 2
…
根据上述规律，计算 sin2α＋sin2(90°－α)＝___1___．
17．(12 分)求下列各式的值：
(1)cos260°－ 2cos 45°＋cos230°； 解：原式＝(12)2－ 2× 22＋( 23)2＝0；
11．如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12，则 cos B 的值是( A )
3
4
5
3
A.5
B.5
C.6
D.4
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于点 D，已知 AC＝3，
BC＝4，则 cos∠BCD 的值为( D )
3
4
4
3
A.4
B.3
C.5
D.5
13．对于任意锐角α，下列等式：①sin α＝cos(90°－α)；②sin α
9．(3 分)已知 cos α＝0.632，用计算器求锐角α(精确到 0.1°)，以下 按键顺序正确的是( C )
4.1 正弦和余弦 (课件)2024-2025湘教版 数学九年级上册
字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度 数，如sin α，sin A，sin ∠ABC，sin ∠2，sin 70° .
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 3
那么 sin B 的值是____2_____ ．
解题秘方：利用勾股定理求出 AC 的长，紧扣正 弦的定义，明确∠ B 的对边和斜边， 直接求得 sin B 的值 .
课堂新授
(1)a＝6，b＝8； 解：如图4.1-1，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，a＝6，b＝8， ∴ c＝ a2＋b2＝ 62＋82＝10. ∴ sin A＝ac＝160＝35，cos A＝bc＝180＝45.
课堂新授
(2)b＝2，c＝ 10. 解：如图4.1-2，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，b＝2，c＝ 10， ∴ a＝ 6.
∴ sin A＝ac＝
6＝ 10
515，cos A＝bc＝
2＝ 10
510.
4-1. [ 月考·晋江 ] 在△ ABC 中， ∠ C=90° ，a， b，
c 分别是 ∠ A，∠ B， ∠ C 所对的边，且 2b=a+c.
(1)求∠ B 的余弦值； 解：由题意得 b＝12(a＋c)．∵a2＋b2＝c2， ∴a2＋14(a＋c)2＝c2， (a＋c)(a－c)＋14(a＋c)2＝0， (a＋c)(54a－34c)＝0. ∵a＋c≠0，∴a＝35c，∴cosB＝ac＝35.
4.1 正弦和余弦
课堂新授
知识点 1 正弦
1. 正弦的定义：
文字语言
数学语言
图示
在直角三角形中，锐
角α的对边与斜边的 比叫作角α的正弦， 在Rt△ABC中， 记作sin α，即sin α＝ sin α＝ac 角α的对边
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 3
那么 sin B 的值是____2_____ ．
解题秘方：利用勾股定理求出 AC 的长，紧扣正 弦的定义，明确∠ B 的对边和斜边， 直接求得 sin B 的值 .
课堂新授
(1)a＝6，b＝8； 解：如图4.1-1，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，a＝6，b＝8， ∴ c＝ a2＋b2＝ 62＋82＝10. ∴ sin A＝ac＝160＝35，cos A＝bc＝180＝45.
课堂新授
(2)b＝2，c＝ 10. 解：如图4.1-2，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，b＝2，c＝ 10， ∴ a＝ 6.
∴ sin A＝ac＝
6＝ 10
515，cos A＝bc＝
2＝ 10
510.
4-1. [ 月考·晋江 ] 在△ ABC 中， ∠ C=90° ，a， b，
c 分别是 ∠ A，∠ B， ∠ C 所对的边，且 2b=a+c.
(1)求∠ B 的余弦值； 解：由题意得 b＝12(a＋c)．∵a2＋b2＝c2， ∴a2＋14(a＋c)2＝c2， (a＋c)(a－c)＋14(a＋c)2＝0， (a＋c)(54a－34c)＝0. ∵a＋c≠0，∴a＝35c，∴cosB＝ac＝35.
4.1 正弦和余弦
课堂新授
知识点 1 正弦
1. 正弦的定义：
文字语言
数学语言
图示
在直角三角形中，锐
角α的对边与斜边的 比叫作角α的正弦， 在Rt△ABC中， 记作sin α，即sin α＝ sin α＝ac 角α的对边
湘教版2020年初三上册数学4.1 正弦和余弦 课件
解：sin230°- 2sin45°+sin260°
1 2
2
2
2
2 2
3
2
1 1 3
4
4
0.
如图， △ABC和△DEF都是直角三角形， 其中 ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则 AC DF 成立吗？为什么？
AB DE
α
α
∵ ∠A=∠D= α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E.
课堂小结
1.锐角的余弦的概念. 2.熟记：30°,45°,60°这些特殊角的正弦余弦值 . 3.理解：0°~90°间正弦值、余弦值的变化规律：
（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1；
（2）正弦值随角度的增加而增大，余弦值随角度的增 加反而减小.
亲爱的读者：
1、天盛生下年活兴不亡重相，来信匹，眼夫一泪有日，责难眼。再泪晨并20。不.7.及代14时表7.宜软14自弱.2勉。02，2002岁.07:.月2184不270.待1:24人8.2:。3002。J0u22l00-2:.2708.212040:72:2.8184:3.200J2u0l-20:2208:208:28:30Jul-2020:28
420、:2千敏87淘而.1万好4.浪学20虽，20辛不20苦耻:2，下87吹问.1尽。4.黄。20沙72.10始42.0到2:02金2802。707.:12.1484.:23.2002720.102470..:2120482.220002:2008:22807:2.1842:3.020:0228002:208:2:380:3020:28:30
∴
BC
AB .
EF DE
即 BC DE AB EF .
∴
BC EF . AB DE
正弦和余弦ppt-湘教版九上PPT课件
（2） sinα＝0.1436，则α≈ 8°15′
（3） cosα＝0.3279，则α≈ 70°52′
2020年10（月24日） cosα＝0.9356，则α≈
20°41′
5
1．用计算器求下列锐角的正弦值和余弦值
（精确到0.0001）：
练习
角度 ( )
sin
cos
35° 68°
88° 9° 30°18′
关键是要先按计算器左上角的“SHIFT”键 （有的型号的计算器写的是“2ndf”键）．
例题
SinA=0.9816 2ndf
按键的顺序
Sin 0 . 9 8 1 6 =
显示结果
Sin-1=0.9816 =78.991 840 39
3．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐角α （精 确到1′）． 操作（1） sinα＝0.8268，则α≈ 55°46′
（1） sinα＝0.1087，则α≈ （2） sinα＝0.9358，则α≈
6°14′ 69°21′
（3） cosα＝0.7081，则α≈ 44°55′
（4） cosα＝0.1396，则α≈ （5） sinα＝0.3152，则α≈ （6） cosα＝0.5168，则α≈
81°59′ 18°22′ 58°53′
76°18′ 9°38′ 81°53′
0.5736 0.9272 0.9994 0.1564 0.5045
0.9715 0.1673 0.9900
0.3746 0.3746 0. 0349 0.9877 0.8634
0.2368 0.9859 0.1409
2020年10月2日
6
2．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐 练 习 角α （精确到1′）．
湘教版九年级数学上册课件：4.1 正弦和余弦 (共25张PPT)
AB DE
α
α
∵ ∠A=∠D= α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E , 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
AB
2
=
3 4
AB2.
因此
sin60
=
AC AB
=
3 2
.
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）
的正弦值，而对于一般锐角 α 的正弦值，我们可以利用计算
器来求.
例如求 50°角的正弦值，可以在计算器上依次按
键
，显示结果为0.7660…
如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对 应锐角.
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
例3 求cos30°，cos60°，cos45°的值．
解：
cos30 = sin(90 -30)= sin60 =
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
α
α
∵ ∠A=∠D= α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E , 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
AB
2
=
3 4
AB2.
因此
sin60
=
AC AB
=
3 2
.
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）
的正弦值，而对于一般锐角 α 的正弦值，我们可以利用计算
器来求.
例如求 50°角的正弦值，可以在计算器上依次按
键
，显示结果为0.7660…
如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对 应锐角.
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
例3 求cos30°，cos60°，cos45°的值．
解：
cos30 = sin(90 -30)= sin60 =
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
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解 在直角三角形ABC中，BC=2000m ， ∠A= 65º ，
2000 0.91 ． AC
解得
2000 AC 2200(m)． 0.91
类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．
定义 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作:
sin
即:
角的对边 sin . 斜边
例 题
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º ， BC=3，AB=5． （１）求∠A的正弦 sin A ； （２）求∠B的正弦 sin B ． （１） ∠A的对边BC=3，斜边 AB=5．于是 B 3 C 5 A
解
3 sin A . 5
做一做
每位同学画一个直角三角形，其中一个锐 角为65º ，量出65º 角的对边长度和斜边长 度，计算：
65角的对边 斜边
的值，
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？ 结论：在有一个锐角为65º 的直角三角形中， 65º 角的对边与 斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．
E'
EF DF E F DF
于是E F ·D' F '＝ E F · D' F '．
∴
EF E F DF D F
因此:在有一个锐角为65º 的所有直角三角形中， 65º 角 的对边与斜边的比值是一个常数． 现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距 离约等于多少米的问题．
作业
1、习题4.1 A组第一题， 2、某人沿着坡脚为65º 的一斜坡从坡底向上走， 当他沿坡面走了45米时，人上升了多少米？ （精确到1m）。
（２） ∠B的对边是AC．根据勾股定理，得
AC 2 AB 2 BC 2 52 32 16.
于是 因此 AC=4．
4 sin B . 5
练 习
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º ， BC=5， AB=13． B （１）求 （２）求
sin A sin B
的值； 的值．
5 C
结论证明
EF E F 求证： DF DF
证明：
已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'， ∠D =∠D ' =65º ，∠E =∠E'= 90º F' D
D'
∵ ∠E =∠E ' = 90º ， ∠D =∠D ' =65º ， ∴ △DEF ∽ △D'E'F ' ． ∴ E F
13
A
2．小刚说：对于任意锐角α，都有 0＜
sin
＜1
你认为他说得对吗？为什么？
3、在直角三角形ABC中，若三边长都扩大二倍， 则锐角A的正弦值（ )
A、扩大2倍
C、缩小2倍
B、不变
D、无法确定。
小结
这节课我们主要学习了哪些知识？有何 说一说 体会和收获？有哪些你认为最重要？
在直角三角形中，
角的对边 sin . 斜边
探 究 一艘帆船从西向东航行到 B处时，灯塔A在船的正北方向， 帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时 灯塔A在船的北偏西65º 的方向．试问：C处和灯塔A的 北 距离约等于多少米？（精确到1m） 东 分析 A 由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠B =90º ，∠A= 65º ， ∠A所对的边BC=2000m，求 65º 斜边AC=？ B C 上述问题就是：知道直角三角形的一个为65º 的锐角和这个锐 角的对边长度，想求斜边长度，为此，可以去探究直角三角 形中， 65º 角的对边与斜边的比值有什么规律？
2000 0.91 ． AC
解得
2000 AC 2200(m)． 0.91
类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．
定义 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作:
sin
即:
角的对边 sin . 斜边
例 题
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º ， BC=3，AB=5． （１）求∠A的正弦 sin A ； （２）求∠B的正弦 sin B ． （１） ∠A的对边BC=3，斜边 AB=5．于是 B 3 C 5 A
解
3 sin A . 5
做一做
每位同学画一个直角三角形，其中一个锐 角为65º ，量出65º 角的对边长度和斜边长 度，计算：
65角的对边 斜边
的值，
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？ 结论：在有一个锐角为65º 的直角三角形中， 65º 角的对边与 斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．
E'
EF DF E F DF
于是E F ·D' F '＝ E F · D' F '．
∴
EF E F DF D F
因此:在有一个锐角为65º 的所有直角三角形中， 65º 角 的对边与斜边的比值是一个常数． 现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距 离约等于多少米的问题．
作业
1、习题4.1 A组第一题， 2、某人沿着坡脚为65º 的一斜坡从坡底向上走， 当他沿坡面走了45米时，人上升了多少米？ （精确到1m）。
（２） ∠B的对边是AC．根据勾股定理，得
AC 2 AB 2 BC 2 52 32 16.
于是 因此 AC=4．
4 sin B . 5
练 习
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º ， BC=5， AB=13． B （１）求 （２）求
sin A sin B
的值； 的值．
5 C
结论证明
EF E F 求证： DF DF
证明：
已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'， ∠D =∠D ' =65º ，∠E =∠E'= 90º F' D
D'
∵ ∠E =∠E ' = 90º ， ∠D =∠D ' =65º ， ∴ △DEF ∽ △D'E'F ' ． ∴ E F
13
A
2．小刚说：对于任意锐角α，都有 0＜
sin
＜1
你认为他说得对吗？为什么？
3、在直角三角形ABC中，若三边长都扩大二倍， 则锐角A的正弦值（ )
A、扩大2倍
C、缩小2倍
B、不变
D、无法确定。
小结
这节课我们主要学习了哪些知识？有何 说一说 体会和收获？有哪些你认为最重要？
在直角三角形中，
角的对边 sin . 斜边
探 究 一艘帆船从西向东航行到 B处时，灯塔A在船的正北方向， 帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时 灯塔A在船的北偏西65º 的方向．试问：C处和灯塔A的 北 距离约等于多少米？（精确到1m） 东 分析 A 由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠B =90º ，∠A= 65º ， ∠A所对的边BC=2000m，求 65º 斜边AC=？ B C 上述问题就是：知道直角三角形的一个为65º 的锐角和这个锐 角的对边长度，想求斜边长度，为此，可以去探究直角三角 形中， 65º 角的对边与斜边的比值有什么规律？