数学研究性学习报告(二次函数)

班级：高二（6）班
课题组长：余杭银
课题成员：王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋
指导老师：***
研究性学习课题开题报告
1.二次函数的基本定义
一般地，把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

x为自变量，y为因变量。

等号右边自变量的最高次数是2。

二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

顶点坐标[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]交点式为y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x 轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。

“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。

在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。

2. 二次函数图象的特点及应用
二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中还作为重点学习。

在生活中，二次函数应用广泛，如杂技表演，在物理上业相当重要，如加速度。

此次，我们参加二次函数的研究课题，有利于我们对二次函数的进一步认识，有利于我们解释生活现象，有利于我们的自主探究能力。

二次函数图象的特点
一般地，自变量X和因变量Y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a,b,c为常数。

且a≠0）则称Y为X的二次函数。

①二次函数的三中表达形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（其中a,b,c为常数，且 a≠0）；
（2）顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a（x-h）2+k（其中a,h.k为常数，且a≠0）；（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（其中a≠0且 A( x1，0)和B(x2，0)
为二次函数图像与x轴的交点坐标。

）
②三中表达形式的关系
以上3种形式可进行如下进行转化：
（1）一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a
（2）一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式) ]
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对
称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为
y=ax^2+c(a≠0)
7.定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）
8.奇偶性：偶函数
9.周期性：无
二次函数图像的应用
二次函数可谓应用广泛。

在具有代表性的信息时代技术领域，计算机鼠标的每一举动，都会变为一系列的二次函数命令，于是荧幕上的箭头，才得摆动。

信息的传递，传递和存储也少不了二次函数。

在日常生活中。

许多常见事物中都有二次函数的身影。

如桥梁建设，篮球出手时的抛物线等。

典型题目如：
（一）、图像与性质问题：已知函数f（x）=x2-6x+8并且函数的最小值是f（a），则实数a的取值范围是？解得a的取值范围是（1,3].
利用图象可以直观的解决和图象有关的问题。

（二）、最值问题：已知函数分f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的表达式。

解的函数的表达式为h（t）=t2+5t-1……
运用函数与方程的思想方法。

（三）、实根问题：设二次
函数f（x）=x2+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x1和x2，满足0＜x1＜x2＜1，求a的取值范围。

解得0＜a＜3-2√（2）.
用数型结合的思想来做的。

（四）、综合应用问题：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和
一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c=o（a，b，c∈R且a≠0），求线段AB在x轴上的影射A1B1之长的取值范围。

解得A1B1的取值范围是（√3,2√3）.
二次函数和一次函数的共同问题。

生活实际运用如：
（一）、某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。

现在准备多种一些橙子树以提高质量，但若多种树，那么树之间的距离和每一棵树所受的阳光就会减少。

据经验分析，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。

假设果园增种x棵橙子树，果园橙子总产量为y个。

（1）请写出y与x之间的关系式；
（2）增种多少棵橙子树，可使果园的橘子总产量最高？最大值为多少？
解：（1）由题意得：y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+6000。

（2）由y=-5x2+100x+6000得当x=-b/2a=10时， Ymax=（4ac-b2）/2a=60500
所以增种10棵橙子树时，橙子的总产量最高，为50600个。

（二）、利用二次函数解决图形面积极值的问题。

已知矩形的周长为6，设矩形的一边长为x，它的面积为y，写出它们的关系式，并求出当x为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值。

解：关系式为y=-x2+3x（0＜x＜3） Y=-（x-3/2）2+9/4，又因为0＜x＜3 所以当x=3/2时，矩形的面积最大，为9/4。

（三、拱桥问题。

有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD宽为10米, 求抛物线的的关系式；现有一辆卡车需通过，汽车以每小时40千米
的速度从距此桥280千米的地方开来，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25米的速度上涨，卡车按原来的速度行驶，是否能安全通过此桥，请说明理由；如不能，卡车的速度应达到多少？
解：由题意可知，抛物线的关系式为y=-（1/25）x2 ；计算可知卡车不能安全通过，若要安全通过i，速度应超过60 千米/时。

……
二次函数在生活上具有非常广泛的应用，地位很高，所以我们要认真学习该部分知识。

3. 二次函数图象在古代建筑中的应用
赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。

赵州桥是入选世界纪录协会世界最早的敞肩石拱桥，创造了世界之最。

河北民间将赵州桥与沧州铁狮子、定州开元寺塔、正定隆兴寺菩萨像并称为“华北四宝”。

桥长50.82米，跨径37.02米，券高7.23米，两端宽9.6米,桥的设计完全合乎科学原理，施工技术更是巧妙绝伦。

唐朝的张嘉贞说它“制造奇特，人不知其所以为”。

根据相关数据，计算得出，赵州桥满足了y=（-28/1369）x2+（28/37）x，这就是二次函数图像的实际应用。

研究性学习课题结题报告（成果报告）。