[好]十字相乘法解一元二次方程专项练习题内附答案.doc
(完整版)解一元二次方程(十字相乘法)专项训练
解一元二次方程（十字相乘法）专项训练一、一元二次方程的解法归类：1.直接开平方法：适合)0()(2≥=+k k h x 的形式。
如：07)5(2=--x 解：57,57,75,7)5(212+-=+=±=-=-x x x x2.配方法：→万能方法（比较适合二次项系数等于1，而且一次项系数是偶数的方程）关键步骤：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
如：1562=+x x 解：362,362,623,24)3(,915962122--=-=±=+=++=++x x x x x x注：代数式的配方，应先提取二次项系数，将二次项系数变成1，再进行配方。
因为代数式没有两边，无法进行两边都加上一次项系数一半的平方，所以必须加多少再减多少，而且配方与常数项无关，所以常数项必须放到括号以外。
如：455)23(37427)23(37)49493(37)3(379322222+--=++--=+-+--=+--=++-x x x x x x x x 3.公式法：→万能方法（系数比较大的方程不太适合） 如：0122=-+x x 解：∵,1,1,2-===c b a ∴,9)1(24142=-⨯⨯-=-ac b ∴431±-=x 4.因式分解法：①提公因式法：如1)2)(1(+=-+x x x解：3,1,0)3)(1(,0)12)(1(,0)1()2)(1(21=-==-+=--+=+--+x x x x x x x x x②运用平方差公式：))((22b a b a b a -+=-如0)12(22=--x x 解：1,31,0)1)(13(,0)12)(12(21===--=--+-x x x x x x x x ③运用完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++， 222)(2b a b ab a -=+-如：016)1(8)1(2=++-+x x 解：3,0)3(,0)41(2122===-=-+x x x x④十字相乘法：如：0652=++x x 解：3,2,0)3)(2(21-=-==++x x x xx 2x 3x x x 523=+ 0)3)(2(=++x x又如：035682=-+x x 解：47,25,0)74)(52(21=-==-+x x x x x 2 5x 4 7-x x x 62014=+-0)74)(52(=-+x x二、十字相乘法专题练习：（1）01072=++x x （2）0672=++x x（3）0862=+-x x （4）01582=+-x x（5）01662=-+x x（6）0122=--x x（7）03722=++x x（8）071362=+-x x（9）0101962=++x x（10）0351162=--x x三、用恰当的方法解方程：（1）02732=-x（2）142=-x x （3）42)2(3-=-x x x（4）01522=+-x x （5）01492=+-x x （6）07252=--x x。
解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
解一元二次方程之十字相乘法专项练习题下面是修改后的文章：唐升教育数学为大家提供了解一元二次方程十字相乘法专项练题，包括以下题目：1.a2－7a+6=0；2.8x2+6x－35=0；3.18x2－21x+5=0；4.20－9y－20y2=0；5.2x2+3x+1=0；6.2y2+y－6=0；7.6x2－13x+6=0；8.3a2－7a－6=0；9.6x2－11x+3=0；10.4m2+8m+3=0；11.10x2－21x+2=0；12.8m2－22m+15=0；13.4n2+4n－15=0；15.5x2－8x－13=0；16.4x2+15x+9=0；17.15x2+x－2=0；18.6y2+19y+10=0；19.2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)2=0；20.7(x－1)2+4(x－1)－20=0.这些题目都可以使用十字相乘法来解决。
下面对每个题目进行简单的解释和改写：1.a2－7a+6=0.这是一个标准的一元二次方程，使用十字相乘法可以得到解为(a－6)(a－1)=0，因此a=6或a=1.2.8x2+6x－35=0.使用十字相乘法可以得到解为(4x－7)(2x ＋5)=0，因此x=7/4或x=－5/2.3.18x2－21x+5=0.使用十字相乘法可以得到解为(6x－5)(3x－1)=0，因此x=5/6或x=1/3.4.20－9y－20y2=0.这是一个二元二次方程，使用十字相乘法可以得到解为(5－4y)(4y＋1)=0，因此y=5/4或y=－1/4.5.2x2+3x+1=0.这是一个标准的一元二次方程，使用十字相乘法可以得到解为(x＋1)(2x＋1)=0，因此x=－1或x=－1/2.6.2y2+y－6=0.使用十字相乘法可以得到解为(y＋2)(2y－3)=0，因此y=－2或y=3/2.7.6x2－13x+6=0.使用十字相乘法可以得到解为(2x－1)(3x －6)=0，因此x=1/2或x=2.8.3a2－7a－6=0.使用十字相乘法可以得到解为(3a＋2)(a－3)=0，因此a=－2/3或a=3.9.6x2－11x+3=0.使用十字相乘法可以得到解为(2x－1)(3x －3)=0，因此x=1/2或x=1.10.4m2+8m+3=0.使用十字相乘法可以得到解为(2m＋1)(2m＋3)=0，因此m=－1/2或m=－3/2.11.10x2－21x+2=0.使用十字相乘法可以得到解为(5x－2)(2x－1)=0，因此x=2/5或x=1/2.12.8m2－22m+15=0.使用十字相乘法可以得到解为(2m－3)(4m－5)=0，因此m=3/2或m=5/4.13.4n2+4n－15=0.使用十字相乘法可以得到解为(n＋3)(4n －5)=0，因此n=－3或n=5/4.15.5x2－8x－13=0.使用十字相乘法可以得到解为(5x＋3)(x－4)=0，因此x=－3/5或x=4.16.4x2+15x+9=0.使用十字相乘法可以得到解为(4x＋3)(x ＋3)=0，因此x=－3/4或x=－3.17.15x2+x－2=0.使用十字相乘法可以得到解为(5x－2)(3x ＋1)=0，因此x=2/5或x=－1/3.18.6y2+19y+10=0.使用十字相乘法可以得到解为(2y＋5)(3y＋2)=0，因此y=－5/2或y=－2/3.19.2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)2=0.这是一个二元二次方程，使用十字相乘法可以得到解为(2a－b＋3)(a＋b－2)=0，因此a=－b＋2/3或a=－b－3.20.7(x－1)2+4(x－1)－20=0.使用十字相乘法可以得到解为(7x－11)(x＋2)=0，因此x=11/7或x=－2.以上就是解一元二次方程十字相乘法专项练题的全部内容。
解一元二次方程之十字相乘法专项练习题
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解一元二次方程十字相乘法专项练习题（1) a2－7a+6=0； (2）8x2+6x－35=0；（3）18x2－21x+5=0；（4) 20－9y－20y2=0；(5)2x2+3x+1=0; （6)2y2+y－6=0；（7)6x2－13x+6=0; (8)3a2－7a－6=0；（9)6x2－11x+3=0；（10)4m2+8m+3=0;（11)10x2－21x+2=0；（12)8m2－22m+15=0；（13)4n2+4n－15=0；（14)6a2+a－35=0；（15）5x2－8x－13=0；（16）4x2+15x+9=0；（17）15x2+x－2=0；（18）6y2+19y+10=0;(19) 2（a+b） 2+（a+b)(a－b)－6(a－b） 2=0；(20)7(x－1） 2+4(x－1)－20=0参考答案:（1）(a-6)（a—1), （2）（2x+5)(4x—7）(3)(3x-1）(6x-5）, (4）-（4y—5)（5y+4）（5)(x+1）(2x+1），(6)（y+2)(2y—3)（7)（2x-3)（3x-2)，（8)(a—3)(3a+2) (9)（2x—3)（3x-1），(10)(2m+1)(2m+3) (11）(x-2）（10x-1)，(12）（2m—3)（4m—5)（13)(2n+5）（2n-3），(14）（2a+5）（3a-7) (15)（x+1）(5x-13)，（16)（x+3）（4x+3）(17）(3x—1）(5x=2)，（18）（2y+5)（3y+2) (19)（3a-b)（5b—a)，(20）(x+1）(7x-17)。
解一元二次方程-因式分解法-十字相乘法(贯穿中学代数几何应用)(解析版)25学年九年级数学上学期期末
解一元二次方程-因式分解法-十字相乘法（贯穿中学代数几何应用）1.因为一些原因，本篇主要以十字相乘法因式分解练习十字相乘法解一元二次方程(可加＝0改成方程)；2.本篇可能可以短时间提高分解十字相乘法能力，但还要长期在不同的情境的代数应用和几何应用题中去夯实它；3.最后篇章有11道与十字相乘法有关的一元二次方程的应用题。
1．分解因式：(1)232x x -+；(2)2310x x +-．2．用十字相乘法解方程：(1)2560x x +-=；(2)2230x x --=．【答案】(1)6x =-或1x =(2)3x =或1x =-【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）．【解析】（1）解：2560x x +-=(6)(1)0x x +-=，60x +=或10x -=，6x =-或1x =；（2）解：2230x x --=，(3)(1)0x x -+=，30x -=或10x +=，3x =或1x =-．【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．3．分解因式：x 2﹣7x +12 =．【答案】(x-4)(x-3)【分析】因为（-3）×（-4）=12，（-3）+（-4）=-7，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解析】解：x 2-7x+12=（x-3）（x-4）．故答案为：（x-3）（x-4）．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．4．2536p p --=5．2718m m +-=【答案】(2)(9)m m -+【解析】试题分析：观察常数项及一次项系数，-18=-2×9，-2+9=7，由此即可进行因式分解.试题解析：m 2+7m-18=(m-2)(m+9).6．221118x xy y ++=【答案】(2)(9)x y x y ++【解析】试题分析：观察可知，原式=x 2+x(2y+9y)+2y·9y ，据此即可进行因式分解.试题解析：x 2+11xy+18y 2=(x+2y)(x+9y).7．分解因式(1)2412x x --；(2)245x x --；(3)3222620x x y xy -+-；(4)231914x x --．【答案】(1)()()62x x -+(2)()()51x x -+(3)()()252x x y x y -+-(4)()()732x x -+【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可；（4）利用十字相乘法分解因式即可．【解析】（1）解：2412x x --()()26262x x =+-++-´()()62x x =-+；（2）解：245x x --()()51x x =-+；（3）解：3222620x x y xy -+-()222310x x xy y =-+-()()252x x y x y =-+-；（4）解：231914x x --()()732x x =-+．【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握利用十字相乘法分解因式．8．分解因式：(1)232x x -+(2)2412x x +-(3)1xy x y-+-(4)222()8()12x x x x +-++【答案】(1)(1)(2)x x --；(2)(2)(6)x x -+；(3)(1)(1)x y -+；(4)(2)(1)(3)(2)x x x x +-+-．【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可；（2）根据十字相乘法因式分解即可；（3）将xy x +作为一组，1y --作为一组，利用分组分解法因式分解即可；（4）将2x x +作为一个整体先因式分解，再将所得结果因式分解即可【解析】（1）解：232x x -+()()12x x =--；（2）解：2412x x +-(2)(6)x x =-+；（3）解：1xy x y-+-()()1xy x y =+-+()()11x y y =+-+(1)(1)x y -+；（4）解：222()8()12x x x x +-++22(2)(6)x x x x =+-+-(2)(1)(3)(2)x x x x =+-+-．【点睛】本题考查的是因式分解的提公因式法、十字相乘法以及分组分解法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．9．2278a x ax +-=【答案】(1)(8)ax ax -+【解析】试题分析：观察所给二次三项式，可得：a 2x 2+7ax-8=(ax)2+(8-1)x+(-8)×1，由此即可得.试题解析：原式=(ax)2+(8-1)x+(-8)×1=（ax-1）(ax+8).10．多项式2426x x --分解因式得 【答案】()()2231x x -+【分析】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可．【解析】()()()224262232231x x x x x x --=--=-+，故答案为：()()2231x x -+．11．因式分解：2456x x --．【答案】(43)(2)x x +-【分析】根据十字相乘法分解即可．【解析】解：2456x x --(43)(2)x x =+-故答案为：(43)(2)x x +-．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键．12．因式分解：2341x x -+．(1)223a a +-；(2)2268x x --；(3)()()2222223x x x x ----．【答案】(1)()()31a a +-(2)()()241x x -+(3)()()()2311x x x -+-【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．【解析】（1）原式()()31a a =+-．（2）原式()2234x x =--()()241x x =-+．（3）原式()()222321x x x x =---+()()()2311x x x =-+-【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．14．22568x xy y +-=【答案】(2)(54)x y x y +-【解析】试题分析：观察可知为了凑xy 的系数，x 2前面的系数与y 2前面的系数应该拆分成：1254-n ，由此即可进行因式分解.试题解析：5x 2+6xy-8y 2=(x+2y)(5x-4y).【点睛】本题主要考查abx 2+（ac+bd ）x+cd 型二次三项式的因式分解，解决此类问题的关键是要观察所给式子的特征，正确地进行拆分.15．因式分解：222(2)4(2)5a a a a +-+-16．运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --；（4）2()3()10x y x y +-+-．【答案】（1）(32)(1)x x +-；（2）(21)(58)x x ++；（3）(35)(43)x y x y -+；（4）(5)(2)x y x y +-++．【分析】（1）直接运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可；（2）ax 2+bx+c （a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2+a 2c 1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：ax 2+bx+c=（a 1x+c 1）（a 2x+c 2）；（3）同（2）；（4）把(x y +)当作一个整体，运用x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）（x+q ）分解因式得出即可【解析】（1）232(32)(1)x x x x --=+-．（2）210218(21)(58)x x x x ++=++．（3）22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+．（4）2()3()10[()5][()2](5)(2)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-++=+-++．【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．17．用十字相乘法分解下列因式．（1）276x x -+（2）2215y y --（3）231110x x -+（4）226a ab b --（5）22121115x xy y --（6）()()2310x y x y +-+-（2）2215y y --=()()53y y -+（3）231110x x -+=()()235x x --（4）226a ab b --=()()32a b a b -+（5）22121115x xy y --=()()4335x y x y +-（6）()()2310x y x y +-+-=()()52x y x y +-++【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数及常数项是解题关键．有时要把某个字母看作常数或把某个多项式看作一个整体.18．分解因式：（1）2327ab a-+（2）()()222812x x x x +-++（3）229(2)(2)m n m n --+【答案】（1）3(3)(3)a b b +-；（2）(2)(1)(3)(2)x x x x +-+-；（3）8()(4)m n m n --．【分析】通过提公因式和公式法及十字相乘法求解．【解析】解：（1）原式23(9)3(3)(3)a b a b b =-=+-．（2）原式22(2)(6)(2)(1)(3)(2)x x x x x x x x =+-+-=+-+-．（3）原式[3(2)(2)][3(2)(2)](44)(28)8()(4)m n m n m n m n m n m n m n m n =-++--+=--=--．【点睛】本题考查因式分解，解题关键是因式分解多种方法综合运用，注意分解要彻底．19．分解因式．（1）()()x x y y y x ---； （2）22363x xy y -+；（3）2412a a --； （4）3244a a a -+．【答案】（1）（x -y ）（x +y ）；（2）3（x -y ）2；（3）（a -6）（a +2）；（4）a （a -2）2【分析】（1）用提公因式法分解因式；（2）先提3，然后利用公式法分解因式；（3）利用十字相乘法因式分解；（4）先提a ，然后利用公式法分解．【解析】解：（1）原式=x （x -y ）+y （x -y ）=（x -y ）（x +y ）；（2）原式=3（x 2-2xy +y 2）=3（x -y ）2；（3）原式=（a -6）（a +2）；（4）原式=a （a 2-4a +4）=a （a -2）2．【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．20．因式分解（1）229(3)4(32)a b a b +--（2）()()22252732x x x x +++-+21．下列各式因式分解正确的是（ ）A ．()()261682x x x x --=-+B ．()()22101628x y xy xy xy -+=++C ．()()221330103x xy y x y x y +-=--D ．()()225623x xy y x x -+=--【答案】A【分析】根据十字相乘法进行分解，即可作出判断．【解析】解：A 、()()261682x x x x --=-+，故此选项正确；B 、()()22101628x y xy xy xy -+=--，故此选项错误；C 、()()221330152x xy y x y x y +-=+-，故此选项错误；D 、()()225623x xy y x y x y -+=--，故此选项错误．故选：A ．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘的结构特征是解题的关键．22．要使26x mx +-能在有理数的范围内因式分解，则整数m 的值有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m 等于这两个因数的和，分别分析得出即可．【解析】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6，∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1，∴整数m 的值有4个，故选：C ．【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键．23．多项式212x ax ++分解因式为()()x m x n ++，其中a ，m ，n 为整数，则a 的取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】D【分析】把12分解为两个整数的积的形式，a 等于这两个整数的和．【解析】解：12112=´时，11213a =+=；()12112=-´-时，()11213-+-=-；1226=´时，268a =+=；()1226=-´-时，()268-+-=-；1234=´时，347a =+=；()1234=-´-时，()347-+-=-；∴a 的取值有6个．故选：D ．【点睛】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出m 、n 之积为12，m 、n 之和为a 是解题的关键．24．多项式26x ax +-分解因式为()()x m x n ++，其中a ，m ，n 为整数，则a 的取值有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数个25．已知224x ax --在整数范围内可以分解因式，则整数a 的值有个【答案】8【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解()()()2x a b x ab x a x b +++=++．把24-分成两个整数的积，则a -等于这两个数的和，进而得到答案．【解析】解：当()()22483x ax x x --=+-时，()[83]5a =-+-=-，当()()22483x ax x x --=-+时，()[38]5a =-+-=，同理可求：2a =±，23a =±，10a =±，综上所述：a 的取值是2±、5±、10±或23±，共8个．故答案为：8．26．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：()2222a ab b a b ++=+，即使用拼图将222a ab b ++分解因式．(1)如果要拼成一个长为()2a b +，宽为()a b +的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张；(2)当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项式2243a ab b ++分解因式，其结果是________；(3)动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为2256a ab b ++的长方形拼图，并利用拼图分解因式2256a ab b ++．故答案为：2，3；（2）解：()()22433a ab b a b a b ++=++故答案为()()3a b a b ++；（3）利用拼图分解因式：()()225623a ab b a b a b ++=++如图所示：．27．阅读理解：在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现8年级上教材第65页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即()()()2x p x q x p q x pq ++=+++，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式256x x ++因式分解成()()23x x ++，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即6pq =，5p q += ，则口算就可以得到2p =，3q =或3p =，2q =，然后在将p 与q 的值代入式子()()x p x q ++中即可得到()()23x x ++；(1)松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成()()25623x x x x -+=--，那么松松应该将二次三项式2710x x ++如何分解呢？2710x x ++=______；(2)南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：22416x x --；(3)在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧：()()()()1357144x x x x +-+--．【答案】(1)()()25x x ++；(2)()()224x x +-；(3)()()221239x x x ---．【分析】（1）根据题意中十字相乘的方法即可求解；（2）先提“2” ，再用十字相乘的方法即可求解；（3）用十字相乘的方法即可求解；此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用．【解析】（1）二次三项式中的常数项10分成两个整数的积，且这两个整数的和等于7才可以，即10pq =，7p q += ，则口算就可以得到2p =，5q =或5p =，2q =，然后在将p 与q 的值代入式子()()x p x q ++中即可得到()()25x x ++，故答案为：()()25x x ++（2）22416x x --()2228x x =--，()()224x x =+-；（3）()()()()1357144x x x x +-+--()()2223235144x x x x =-----，()()2222382105144x x x x =---+-，()()222238239x x x x =----，()()2223921x x x x =---+，()()221239x x x =---．28．(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式()20ax bx c a ++¹分解因式呢？我们已经知道：()()()2211221212211212122112a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：()()()2121221121122a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次三项式()20ax bx c a ++¹的二次项的系数a分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=´，把常数项6-也分解为两个因数的积，即()623-=´-；然后把1，1，2，3-按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到()13121´-+´=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为()()23x x +-．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： 26x x +-=__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：① 2257x x +-=__________；② 22672x xy y -+=__________．(3)【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey +++++x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk pj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：① 分解因式2235294x xy y x y +-++-=__________；② 若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．【答案】(1)(3)(2)x x +-(2)(27)(1)x x +-；(2)(32)x y x y --(3)(34)(21)x y x y -++-；43或78-【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=´，把常数项6-也分解为两个因数的积，即63-=´（-2)，写出结果即可．（2）①把二次项系数2写成212=´，常数项写成717-=-´，满足17(1)25´+-´=，写出分解结果即可．②把2x 项系数6写成623=´，把2y 项系数2写成221=-´-（），满足22(1)37-´+-´=-，写出分解结果即可．（3）①把2x 项系数3写成313=´，把2y 项系数-2写成221-=´-（），常数项-4写成41-=-´（）4满足条件，写出分解结果即可．②把2x 项系数1写成111=´，把2y 项系数-18写成1829-=-´，常数项-24写成243(-=´-8)或243-=-´（）8满足条件，写出分解结果，计算即可．【解析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=´，把常数项6-也分解为两个因数的积，即63-=´（-2)，所以26x x +-=(3)(2)x x +-．故答案为：(3)(2)x x +-．（2）①把二次项系数2写成212=´，717-=-´，满足17(1)25´+-´=，所以2257x x +-=(27)(1)x x +-．故答案为：(27)(1)x x +-．②把2x 项系数6写成623=´，把2y 项系数2写成212=-´-（），满足22(1)37-´+-´=-，所以22672x xy y -+=(2)(32)x y x y --．故答案为：(2)(32)x y x y --．（3）①把2x 项系数3写成313=´，把2y 项系数-2写成221-=´-（），常数项-4写成41-=-´（）4满足条件，所以2235294x xy y x y +-++-=(34)(21)x y x y -++-．故答案为：(34)(21)x y x y -++-．②把2x 项系数1写成111=´，把2y 项系数-18写成1829-=-´，常数项-24写成243(-=´-8)或248-=-´（）3满足条件，所以m =39(2)(8)43´+-´-=或m =9(8)(2)378´-+-´=-，故m 的值为43或-78．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．一元二次方程应用题：一、解答题1．周末小明所在的数学兴趣小组组织了一次同学聚会，前来参会的每位同学都通过握手礼貌问候．经过统计后发现共握手了36次，请你帮小明计算出参加聚会的同学共有多少人？2．2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66场比赛，那么有多少个球队参加比赛？3．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？【答案】主干长出了6个支干【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．设主干长出x 个支干，则长出2x 个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43列出关于x 的一元二次方程求解即可．【解析】解：设主干长出x 个支干，则长出2x 个小分支，根据题意得：2143x x ++=，即23424x x +-=，解得： 6x =或7x =-（不合题意舍去）．答：主干长出了6个支干．4．已知Rt ABC △中，6cm,8cm,90AB BC B ==Ð=°，点P 从点A 开始沿AB 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点C 开始沿CB 以每秒2cm 的速度移动，如果P Q 、分别从A 、C 两点同时出发，经几秒时间使PQB △的面积等于28cm ？5．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示的图形、所用的篱笆长为36米，设垂直于墙的一边长AB 为x 米．(1)当花圃的面积为162平方米时，求此时AB的长；(2)修改（1）的方案，篱笆材料的平行于墙一边留出1米用其他材料做的门，新围成的花圃的面积为170平方米，求此时AB的长度．6．某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个．商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若6月份的玩具销售额为2880元．（销售额=销售单价´销售数）(1)求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率．(2)经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元．求6月份每个玩具的销售价格．7．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形ABCD空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．(1)如图1，要使种植花草的面积为2532m ，求小道进出口的宽度为多少米；(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，AEQ BGF CMH DPN V V V V 、、、均为全等的直角三角形，其中AE BF CM DN ＝＝＝，设EF HG MN PQ a ＝＝＝＝米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m ，且竖向道路出口位于MN 和EF 之间，横向弯折道路出口位于PQ 和H G 之间．①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a 的代数式表示）；②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a 的值．8．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和．（1）请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是276？（2）这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．9．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件．当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件(x＞40)，请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w销售价格(元/件)x销售量y(件)销售玩具获得的利润w(元)(2)在第(1)问的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件．【答案】（1）1000－10x，－10x2＋1300x－30000；（2）该玩具的销售价格应定为50元/件或80元/件．【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，销售量=600－因涨价少售的玩具，销售玩具获得利润=每件利润×件数；（2）根据获得利润为10000元，列方程求解；【解析】（1）由题意得：销售量为：y＝600－10（x－40）＝1000－10x，销售玩具获得利润为：w＝（x－30）[600－10（x－40）]＝－10x2＋1300x－30000．故表中依次填：1000－10x，－10x2＋1300x－30000．（2）列方程得：﹣10x2+1300x﹣30000=10000，解得：x1=50，x2=80．答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．10．手机下载一个APP，缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5 到1 元的价格解锁一辆自行车任意骑行¼最近的网红非“共享单车”莫属．共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙，人们在享受科技进步、共享经济带来的便利的同时，随意停放、加装私锁、大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷．某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，二月初又投入1200 辆进入市场，使可使用的自行车达到7500 辆．(1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？(2)二月份的损坏率达到20%，进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4%a，由于媒体的关注，毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降为1%4a，三月底可使用的自行车达到7752 辆，求a的值11．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段BD上一点，连接AE，过点E作EF AE^，交射线CD于，为邻边作平行四边形AEFG，连接DG．点F，以AE EF(1)求证：四边形AEFG是正方形；(2)若4AB=，求DE DG+的长；(3)在（2）的条件下，当BE等于多少时，6DE DG×=．则AME DMEÐ=ÐQ四边形ABCD是正方形，\==AB AD CD\四边形DMEN\=，DM ME。