连续介质力学-第1章-四川大学复习过程
连续介质力学讲义
时间和空间是运动物体的客观存在形式，离开空间和时间来讨论物体的存在和运动是没 有意义的。空间表示物体的形状、大小和相互位置的关系；时间表示物体运动过程的顺序。
标架：作为描写物体运动的基准——时空系，称为标架。 位置变化是可逆的；时间变化是不可逆的。 但在讨论一些理想化的可逆模型时，有时时间也理想化成可逆的。 时空系之间可转换。
第 1 章 绪论
1．物体
在某一确定的瞬时，物体具有一定的几何形状，并有一定的质量。同时物体还可具有 电磁、热容和变形等许多重要的性质。
物体由质点组成，质点占据非常小的确定的空间，具有非常小的确定的质量。 物体可以抽象成各种模型：如质点，刚体、弹塑性体、流体、颗粒体等；按几何性质还 可分为质点、一维的弦和杆、二维的板壳、三维的块体等。若干个物体可以形成集合，组成 系统。系统外的物体构成这个系统的环境或外界。
且不全为零）。
a2
例 2 位于同一平面内的三个矢量 a1 ，a2 ，a3 是线 性相关的，即总可找到α1 ,α 2 ,α 3 （不全为零）使
α1a1 + α2a2 + α3a3 = 0 如图 2.1.2 所示， a2 = α1′a1 + α3′a3 。
集合 R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空
间的维数。设 R 的维数为 n ，则记为 Rn ，欧氏空间为 R3 。
∑ ∑ r =
ξ a = (1) (1) ii
ξ a (2) (2) ii
（2.1.3）
因为
a (1) i
与
ai(
2)
间有确定的变换关系，因此，
ξ
(1) i
与
ξ
(2) i
间亦有确定的变换关系。
④ 空间的基往往与坐标系相关连，每一种坐标系有一个与之对应的确定的基，(2.1.2)
《连续介质力学》期末复习提纲-总
<连续介质力学> QM 复习提纲(2010.12)一、基本要求1、掌握自由指标与哑指标的判别方法及表达式按指标展开；2、掌握ij 与ijk e 的定义、性质及相互关系；3、掌握二阶张量坐标转换的计算；4、掌握二阶张量特征值、特征向量与三个不变量的计算方法；5、掌握哈密顿微分算子及其基本计算；6、掌握小变形应变张量、转动张量及转动向量的计算；7、掌握正应变的计算；8、掌握正应力、剪应力及应力向量的计算；9、掌握应力张量与应变张量的对称性；10、掌握能量密度及能通量密度向量的计算；11、掌握各向同性线弹性体的广义胡克定律的两种形式；12、掌握应力张量与体积膨胀率的关系；13、掌握各向同性线弹性体的应变能密度函数；14、会对材料的各个弹性参数之间的关系进行相互推导；15、掌握从质点的运动方程推导Navier 方程的过程；16、掌握从质点的运动方程出发推导纵横波的方程的过程；17、掌握地震波速度与泊松比的关系；18、掌握非均匀平面简谐波的传播特征；19、掌握P 波、SV 波入射到自由界面上的传播特征；20、掌握利用自由界面边界条件确定反射系数和反射波位移场的方法；21、掌握Reilaygh 波和Stonely 波的传播特征；22、掌握P 波入射到两种弹性体接触面上的反射系数和透射系数的计算方法；二、复习题简答论述题1、试解释“连续介质”所必须满足的条件。
2、简述弹性动力学基本假设。
3、说明应力、应变、正应力、正应变、剪应力及剪应变的含义。
4、说明杨氏模量、泊松比、体积模量与剪切模量的物理含义。
5、简述小变形应变张量的几何解释。
6、举例说明相容性条件的物理意义。
7、什么是应力主平面？什么是主应力与应力主方向？8、极端各向异性体有哪些特征？9、正交各向异性体有哪些特征？10、横向各向同性体有哪些特征？11、试说明Stoneley 波的传播特点？12、试说明Rayleigh 波的传播特点？13、以复数值形式表示的波向量所对应的位移为'''()i t A e e ω--=k x k x u d其中的'k 及''k 满足式ωχ22⎫''''''⋅-⋅=⎪⎬⎪'''⋅=0⎭k k k k k k 试论述该平面波的传播特征。
《连续介质力学》期末复习提纲
《连续介质力学》期末复习提纲连续介质力学是研究物质连续性的基本规律和力学性质的分支学科。
它在物理学和工程学中具有广泛的应用，涉及领域包括固体力学、流体力学、声学和热力学等。
下面是一个关于连续介质力学的期末复习提纲，帮助你系统地回顾这门课程的重点内容。
一、基本概念和假设1.连续介质的定义和性质2.连续介质力学的基本假设和适用范围3.应力和应变的概念和分类4.应力张量的定义和性质二、应力分析1.应力分析的基本原理和方法2.平面应力和平面应变假设3.均匀平面应力和均匀平面应变条件4.应力分量和应变分量的关系三、线性弹性理论1.线性弹性体的定义和性质2.弹性模量的定义和计算3.各向同性弹性和各向异性弹性4.弹性体力学模型：胡克定律、泊松比和剪切模量四、变形分析1.变形分析的基本原理和方法2.应变张量和应变分量的表示和计算3.变形分析中的应变量：延伸应变、切变应变和体应变4.变形场的概念和地应力计算五、应力应变关系1.胡克定律和非线性弹性2.应力应变关系的线性性质和线性弹性材料的条件3.应力应变关系的非线性性质和非线性弹性材料的条件4.弹塑性和破裂的介绍六、应力分析方法1.平衡方程和边界条件的建立和使用2.静力平衡方程的应用：直接法和能量法3.动量守恒方程的应用：牛顿第二定律和动量矩法4.应力分析的数值计算方法：有限元法和边界元法七、流体力学基础1.基本概念和流体的性质2.流体的运动描述：欧拉法和拉格朗日法3.流体连续性方程和运动方程4.流体静力学：静水压力和流体静力学平衡方程八、流体动力学1.不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程和边界条件2.流体的黏性和黏性阻力3.流体的层流和湍流4.流体动力学的数值模拟方法九、声学基础1.声波的基本特性和传播规律2.声波的速度和频率3.声波的传播和衰减4.声学问题的数值模拟方法十、热力学基础1.热力学基本概念和热力学系统2.热力学过程和热力学方程3.热力学状态方程和热力学循环4.热力学问题的数值模拟方法以上是关于《连续介质力学》的期末复习提纲，主要涵盖了基本概念和假设、应力分析、线性弹性理论、变形分析、应力应变关系、应力分析方法、流体力学基础、流体动力学、声学基础和热力学基础等内容。
第一章 四川大学高分子流变
2rl rz pr 0
2
在一定压力梯度（△p/L）下，剪切应力同离开轴的距离成 正比，且与流体性质无关。
在轴上，剪切应力为零，在管壁上剪切应力的最大值为
rz
pr 2L
管壁处
R max
管中心处
pR 2L
0
牛顿流体分布
dvz pr dr 2l
积 分
速度分布式
n p v(r ) n 1 2 KL
1 n 1 nn n R r 1 n 1 n 1 n n r n p R n 1 n 1 2 KL R
1 n
(8 4)
改 写
则体积流率为
qv
R
0
n p v(r )2rdr R 3n 1 2 KL
1 n
3 n 1 n
(8 5)
式中令n=1，K=μ，就为牛顿流体流率
w
1 dQ 1 Qd ln Q ( 3 Q ) (3 Q ) w 3 3 R d w R d ln w
4Q 3 1 d ln Q 1 1 d ln a ( ) ( ) a 3 R 4 4 d ln w 4 4 d ln w
－－Rabinowitsch方程 上式反映了非牛流体偏离牛顿流体的程度
1 0.4 w M Z 1 B M E( ) B RT Mw
熔体破裂 是挤出物表面出现凹凸不平或外形发生畸变以致 支离或断裂的总称。
不仅影响挤出产量， 也影响挤出制品的质量
流动是稳定的，剪切应力随剪切速 率“线性”增加（幂律行为），挤 出物具有光滑的外表 当剪切应力达到第一临界值 cr1 时， 在挤出物表面出现小幅度的周期性 的畸变，这是流动曲线的斜率也有 变化 这种不稳定性称为鲨鱼皮症或表面 熔体破裂
《连续介质力学》期末复习提纲--弹性力学部分.docx
《连续介质力学》期末复习提纲--弹性力学部分.docx〈连续介质力学〉期末复习提纲一弹性力学部分1、自由指标与哑指标判别（★）2、自由指标与哑指标的取值范围约定3、自由指标与哑指标规则4> Einstein 求和约定（★）5、Kronecker-delta 符号（★）、、, f 0, i j定乂：廿性质:(1) §ij= Eji(2)e f -e)= %(3)戈=久+爲2+爲3=3(6) S ik5kj=S ij6、Ricci符号（置换符号或排列符号）（★）1,北为1,2,3的偶排列定义:e..k = -1, ■从为1,2,3的奇排列0, 门，舛任两个相等性质：(1) e ijk = e jki = e kij = -e Jik = -e ikj = -e kji(2)弓23 =幺23] =?】2 =1(3)弓32=?2I =勺口=_1⑷e^ej=e ijk e k(5) (axb)k = egbj, a、b为向量7、％与爲的关系（★）魯i詁0 § ZQ8、坐标变换（★）向量情形：旧坐标系： ox [兀込尹丘，仔，￡新坐标系：州兀姿戸心乙列变换系数： e[?e 尸（3 坐标变换关系：X ，i - 0ijXj x t = 0jXj0厂（角）T矩阵形式为：011 012 013011 0】2013X * = 021 022 023兀2或[耳,兀;,堪]=[西，兀2,兀021 022 023A.几 2 A.3__^3_.031 032 033.011 012 013 A011 012 013 兀2 — 021022 023%；或[西，吃，兀3] =[X ，%；，兀；]021 022 023_031 032033 _.031032033.张量情形入芋与A“?是两个二阶张量，角是坐标变换系数矩阵，则有気=炕0“九矩阵形式为[匍=[0]|? ]|> ]，其中[A J=[A ]T （★）9、张量的基本代数运算（1）张量的相等（2）张量的加减法（3）张量的乘积（4）张量的缩并（5）张量的内积（★）（6）张量的商法则 10、几中特殊形式的张量（1）零张量（2）单位张量（3）转置张量（4）逆张量（5）正交张量（6）二阶对称张量与二阶反对称张量（★）=*（每+心）+*（州一％）对称部分反对称部分若％?为对称二阶张量，则勺辺=0（7）球张量与偏张量Ay = | Akk Sij +（4/_| A3j ）球张虽偏怅虽（8）各向同性张量a. 零阶各向同性张量形式：标量b. 一阶各向同性张量形式：零向量c. 二阶各向同性张量形式：傀=呱,o 为任意标量d. 三阶各向同性张量形式：B ijk =/3e ijk . 0为任意标量e. 四阶各向同性张量形式：C 购=2第爲+“@易+爲务）, 11、二阶对称张量的特征值与特征向量（★）特征值久与特征向量"所满足的方程组：（★）（片一 A ）/2] + T ]2n 2 + 7j 3n 3 = 0（场-鸥）? = 0 O ?q + （乓 _ 小2 + T23n3 = ° ?7^]M| 4- 7^2^2 + （可3 —几）斤3 = °计算特征值2的方程：（★）计算特征向量"的方程：（★）（T f - A ）2 -f-T 耳 2十丁 nO （（￡?厂久5莎=■ 卩十7（ -2A n ）+T n 巧宅=1J 芯卩 t T 如+2/ -么"=P第I 、II 与III 不变量的直接计算公式：（★）2、“为常数（★）7]厂几忆?一鸥 | = 0o T 2l1 =T U =T XX +T 22 +T 33 II⑺血-7；再)胡禺2 + T 22T 33 +石/厂莖一泾一兀III = det(7? )=人［石2召3 +久2呂3石I +刁3石禺2 - ”禺3巧2 -久2厶石3 -刁3石2石1利用三个特征向量计算三个不变量的公式：(★)I =厶=入+入+入III = det?)=人人入12、张量分析简介(1) Hamilton 微分算子V (★)笛卡尔坐标系屮，V 的定义为若比为标量函数，则梯度:若“为矢量函数，则散度:若比为矢量函数，则旋度:设U 为标量函数，43为矢量函数，C 为常矢量，则有① V-(wC) = VwC ② N x(wC) = VwxC③ ▽?G4xB) = B ?(VxA) —A(VxB) ④ V-(Vw) = V 2w ⑤ (V-V)A = V 2A@Vx(Vw) = 0⑦ V-(VxA) = 0V 2a 2 a 2⑧ V X(V X A)=V(V-A)-V2A(2)Laplace微分算子与Hamilton微分算子的关系在笛卡尔坐标系屮，Laplace微分算子定义为：△ = 2 +厶+ 2_ox2 ox^ Laplace微分算子与Hamilton微分算子的关系:v 2=v-v =d 2 d d d —e x H H = —7 H r 讥' dx 2 2 dx 3 3a?九2a 2 a 2 7 H -- = A dx^ dx ； dx 3（3）三矢量的混合积及其几何意义（★）对于如下的三个矢量A = A 】弓 + A 2e 2 + A 3e 3B — + ^2^2 + B3EC = C|^| + G 匕 +4?(BxC) = A B\ c, cA 2B2上述混合积的几何意义是: 三矢量的混合积A （BxC ）表示以|A |> \B \. |c|为棱的平行六面体的体积。
连续介质力学-例题与习题
《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。
3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。
二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。
《连续介质力学》课件
动量矩守恒定律
描述物质系统动量矩变化规律的定律。
动量矩守恒定律也是连续介质力学中的基本定律之一。它指出在一个没有外力矩作用的封闭系统中，系统的总动量矩保持不 变。动量矩是系统动量和位置矢量的乘积，因此这个定律说明系统的旋转运动状态只与系统的初始状态有关，而与时间无关 。
能量守恒定律
描述物质系统能量变化规律的定律。
金属材料的疲劳和断裂 研究
01
02
03
复合材料的细观结构和 力学行为分析
04
无损检测和结构健康监 测技术
环境科学
01
土壤和岩石的力学性质研究
02
地质工程和地震工程中的稳定性分析
03
生态系统和自然资源的可持续性发展研究
04
环境流体力学的模拟和分析
06
连续介质力学的未来发展
新材料与新结构的挑战
新材料特性
能量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它在连续介质力学中也有重要应用。这个定律指出在一个 封闭系统中，系统的总能量保持不变。能量的形式可以包括动能、势能、内能等，但不论能量的形式 如何转化，总量始终保持不变。
熵增原理
描述系统无序程度变化规律的定律。
熵增原理是热力学中的基本定律之一，它指出在一个 封闭的热力学系统中，系统的熵（表示系统无序程度 的物理量）总是趋向于增加。也就是说，系统总是倾 向于向更加混乱和无序的状态发展，而不是向更加有 序和有组织的状态发展。这个原理在连续介质力学中 也有重要的应用，例如在研究流体和热传导等问题时 需要考虑熵增原理的影响。
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《连续介质力学》ppt课 件
• 连续介质力学概述 • 连续介质力学的基本概念 • 连续介质力学的物理定律 • 连续介质力学的数学模型 • 连续介质力学的应用领域 • 连续介质力学的未来发展
连续介质力学-第1章-四川大学
[a，b，c] [b，c，a] [c，a，b] [a，b，c] [b，a，c] [c，b，a] [a，c，b]
例:导出Kronecker符号与置换符号间的运算关系。
11 12 13 21 22 23 1 31 32 33
1i 1 j 1k ijk 2i 2 j 2k
(2) 数乘
a b (b j e j ) (b j )e j
(3) 数积
a b (ai ei ) (b j e j ) aibi a1b1 a2b2 a3b3
a b (ai ei ) (b j e j ) aibi a1b1 a2b2 a3b3
km kn kk
ijk mnk kkim jn jm kn ik kmin jk im kn jk kk jmin km jn ik 3im jn jm kn ik kmin jk im kn jk 3 jm in km jn ik 3im jn jm ni mjin im nj 3 jm in mi jn
➢矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数
➢一点的旋度的大小是该点环量面密度的最大值。
➢旋度的方向是与该点最大环量面密度对应的法线方 向。
在矢量场中，若rot u＝J≠0，称之为旋度场(或涡旋场 )，J 称为旋度源(或涡旋源)，若矢量场处处rotu＝0 ，称之为无旋场。
小节：
梯度： grad u u
Einstein求和约定
哑标: 求和约定中的重复脚标
哑标可以用其它的字母代替，只要该字母在本项中 没有出现过就行
a aiei a je j
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奇排列: 132，213，321
c a b (aiei ) (b j e j ) ijk aib j ek
ei e j ijk ek
ab ba
a b b a
(5) 混合积
[a，b，c] a (b c)
如果a、b、c的空间位置顺序服
c
从右手螺旋法则，那么混合积的几
kk 3
kn ik ni
小结：
➢ Einstein求和约定 a ai ei
➢ Kronecker记号
ij
1 0
(i j) (i j)
➢ 置换符号
1
ijk 1
0
(当ijk是123的偶排列时) (当ijk是123的奇排列时) (当ijk有两个值相等时)
➢ 自由标，哑标
1.2 场论概要
1 ei e j 0
(i j) (i j)
ij
1 0
(i j) (i j)
Kronecker记号 ij
11 22 33 1
12 21 23 32 13 31 0
a b (aiei ) (bje j ) aibj (ei e j ) ij aibj aibi
偶排列与奇排列：
方法一： 123是偶排列；
当一个排 列1 从12(3当开ij始k是交1换23的相偶邻两排个列数时)的位置，
置换符号 若数需次ijk要则交 是换偶01 奇排数列次。((当当则iijj该kk是有排1两2列3个的是值奇奇相排排等列列时时，))交换偶
方法二：
1
2
3
方法三 ：ijk 死 记jki 硬背 kij ijk jik ikj kji
1.1 矢量、矩阵与张量
3
a a1e1 a2e2 a3e3 aiei i 1
a aiei
x3
e3
e2
e1
x2
x1 直角坐标系的基矢量
x3
a
a3
x2
x1
a1
a2
矢量的分量
在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一
脚标对1、2、3求和，而勿须再写出求和记号
a aiei
Einstein求和约定
如果一种物理量在某个空间区域中的每一点都 有确定的值，就称这个空间区域上定义着该物 理量的场。
数量场: 温度场、电位场等 矢量场: 速度场、力场等
1. 梯度（gradient）
若在数量场中的一点M处存在着矢量g，其方向为M点处函数变 化率最大的方向，其模为这个最大变化率的数值，则称g为这个 函数在M点处的梯度
哑标: 求和约定中的重复脚标
哑标可以用其它的字母代替，只要该字母在本项中 没有出现过就行
a aiei a je j
a jb j ck ambmck
哑标在同一项中只能重复一次
aibi ci
3
aibici
i 1
矢量的代数运算
(1) 加法
c a b aiei biei (ai bi )ei ciei
1. a、b和e的脚标一定是1、2、3的一个排列，在同一项内，不会重复出现1、2、 3中的任何一个数。
2. 当a、b和e的脚标是123这个自然顺序的一个偶排列（即123，231，312）时， 该项取正号。
3. 当a、b和e的脚标是123这个自然顺序的一个奇排列（即132，213，321）时， 该项取负号。
im in ik ijk mnk jm jn jk
km kn kk
ijk mnk kkim jn jm kn ik kmin jk im kn jk kk jmin km jn ik 3im jn jm kn ik kmin jk im kn jk 3 jm in km jn ik 3im jn jm ni mjin im nj 3 jm in mi jn
(2) 数乘
a b (b j e j ) (b j )e j
(3) 数积
a b (ai ei ) (b j e j ) aibi a1b1 a2b2 a3b3
a b (ai ei ) (b j e j ) aibi a1b1 a2b2 a3b3
a b a b cos
b
何意义就是由a、b、c所张成的平行
a
六面体的体积
三个矢量的混合积
[a，b，c] aiei (bje j ckek )
aiei jklbjckel jkl il aibjck jkiaibjck ijk aibjck
[a，b，c] [b，c，a] [c，a，b] [a，b，c] [b，a，c] [c，b，a] [a，c，b]
➢ 若方程包含了一个自由指标，就意味着有三个方程
x1 A1m xm a1
xi Aim xm ai
x2 A2m xm a2
x3 A3m xm a3
(4) 矢积
c b a
c的模就是a和b所张成的平行四边形的面积
e1 e2 e3
c a b a1 a2 a3
b1 b2 b3
a1b2e3 a2b3e1 a3b1e2 a1b3e2 a2b1e3 a3b2e由指标: 不重复的脚标
➢ 对于一个包含多项的式子而言，每项的自由指标应该相同
Aim bm Bik ak ai Aimbm B jk ak ai
➢ 对于方程而言，等号两端的自由指标应该相同
xi Aim xm Bik ak ai x j Aim xm ai
g grad
g grad
▽称为Hamilton算符
x1
e1
x2
e2
x3
e3
xi
ei
若某个函数对坐标xi取偏微分，则简记为(.),i
g ，iei
方向导数
n
n
，ini
x1
cos1
x2
cos 2
x3
cos3
2. 散度（divergence）
例:导出Kronecker符号与置换符号间的运算关系。
11 12 13 21 22 23 1 31 32 33
1i 1 j 1k ijk 2i 2 j 2k
3i 3 j 3k
pi pj pk pqr ijk qi qj qk
ri rj rk
例1.5 证明 ijk mnk im jn in jm