第二讲 列紧性、常用线性赋范空间
证明 （1）反证，若 不完全有界，则存在
限
‐网。从而
，使得 无有 ，
则 无收敛子列。
(2) 任取 中序列 ，对 的 1‐网， ； 对 的 1/2‐ 网 ，
及 及
的子列 的子列
由 完备知
； ，对 的 1/k‐网， ； ，则对角线子列
收敛。
及
的子列
是 Cauchy 列，
命题 4 完全有界的度量空间 可分的。
证明 记 是 的 ຫໍສະໝຸດ 网，则就是可数稠子集。推论 列紧度量空间可分。
定理 2 度量空间 的子集 是紧的充要条件是 自列紧。
证明 （a） 闭。
，
，所以
存在
使得
，令
，则
，从而 开，所以 闭。
（b）若
无收敛子列，则 闭，由
闭，所以 知
有
，即
矛盾。
，设
是一个开覆盖，它不能选出有限子覆盖。由
完全有界知 有 ‐网
，且至少有一个
不被有限个 覆盖，由 自列紧知
有子列 收
敛于
，从而 充分大之后
，矛盾。
推论 度量空间 是紧的充要条件是 列紧
z
中列紧的刻画
紧度量空间， ，特例
有界，
命题 5
是完备度量空间。
一致有界，等度连续
定理 3（Arezla‐Ascoli）
列紧的充要条件是 一致有界且
等度连续。
证明 ，列紧 完全有界 有界、等度连续。
4 线性赋范空间
线性结构
线性空间，线性子空间，极大子空间，线性流形，超平面，线性基，
维数，和、直和，线性同构，商空间
设 是数域 上的线性空间，
是一个子空间，则
由
定义了 上的一个等价关系，
代表的等价
类记为
，所有等价类全体记为 。令
则 按这种加法和数乘构成一个线性空间，称为 与子空间 的商
空间。
定理 1 任何线性空间都有基，同一线性空间的不同的基等势，两个
特别的，
可测， 为 Lebesgue 侧度，记
为 ，称之
为 Lebesgue 空间，或大 l‐p 空间。
， 为自然的计数侧度，则
记
为 ，称之为小 l‐p 空间。
例7
，
例 8 Sobolev 空 间 .
。
有界连通开区域，
令 记为
， ，称 Sobolev 空间。
完备化后所得的空间
线性空间线性同构的充要条件是它们同维数。
定理 2 若 是有限维线性空间，则 的每一个真子空间的维数严格小
于 的维数，故真子空间不能与全空间线性同构。若 是无限维线性
空间，则总有 的一个真子空间的维数等于 的维数，故总有真子空
间与全空间线性同构。
定理 3 若
是一个子空间，则
。
定理 4 设 为数域 上的线性空间，
线性映射，则
是一个线性同构，且
推论
线性且非零，则
子空间，对任何 ，
。 是 的一个极大 是一张超平面。
拓扑结构
准范数，半范数，范数， 空间，Frechet 空间， 空间，Banach 空 间
常用空间
例 1 空间 ，
例2
，
例3 ，
例4
有界开， ，
例 5 紧度量空间，
，
例6
，
是一个测度空间，
这时范数的三角不等式就是著名的 Minkowski 不等式 其证明要用到基本的 Holder 不等式，若
，由
完备，只须证 完全有界，为此要构造 的有穷 ‐网。
利用 的紧性将 中的元采样投射到 中，利用 中有界集的列
紧性即可。
例
有界开凸集，
表示 上一阶连续可微函数全体，
对任意
，令
则
构成完备度量空间，且
中的有界集映成 的紧集,即 是紧嵌入。
Problem 研 究
点特性。
Exe P19 2，5，9
，把 的不动
3 列紧性
z紧
度量空间 中的子集 称为紧的，是指 的任意开覆盖都有有限的
子覆盖。若度量空间 紧，则称度量空间 是紧空间。
度量空间 中的子集 称为列紧的，是指 的任意序列都有子列在
中收敛；度量空间 中的子集 称为自列紧的，是指 的任意序
列都有子列在 中收敛。若度量空间 列紧，则称度量空间 是列
紧空间。
对于全空间来说，列紧和自列紧是一样的。
命题 1 中的有界集是列紧集， 中的有界闭集是自列紧集。
命题 2 列紧空间的子集是列紧的；列紧空间的闭子集是自列紧的。
命题 3 列紧空间是完备的。 证明 若 Cauchy 列有收敛子列，则它自身收敛。
‐网，有穷 ‐网，完全有界，可分
定理 1 （Hausdorff）度量空间 的子集 列紧，则 完全有 界；完备度量空间 的子集 完全有界，则 列紧。
【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间-文档资料
称级数
xn x1 x2 xn
n1
收敛于sV,如果 lim Sn s 0.
S x 这里
n
n
n
.
k
k 1
级数 xn称为绝对收敛的,如果 xn 收敛.
n1
n1
定理4.1 线性赋范空间V是完备的
V中每个绝对收敛的级数都收敛4 .
证明: )设V完备.级数
若 lim xn x,则lim xn x .
n
n
线性赋范空间V中加法是连续的,即
若 xnx,yny(n), 则 xn+ynx+y(n).
8
线性赋范空间V中数乘是连续的,即 若n,xnx(n,n,F,xn,xV),则
nxnx(n); 定义4.2 设‖x‖1和‖x‖2(x∈V)是x的两 个范数,如果存在两个正数A和B,使
第一章 集合上的数学结构
（抽象空间）
4.线性赋范空间
一、线性赋范空间概念与性质 二、有限维线性赋范空间 有限维线性赋范空间的基本性质: 有限维线性赋范空间都是完备的
1
一、线性赋范空间的概念和性质
定义4.1 设V是数域F上的线性空间.
如果xV,对应一个非负实数‖‖,
即VR是一泛函,满足:
(1)xV,‖x‖≥0;‖x‖=0x=.
n
|
k1
k
kHale Waihona Puke |2 2
B
x
y
从而 Tx Ty Rn Rn
1
n
| k 1
k
|2
2
工程数学(03)赋范线性空间重点讲解
工程数学
工程数学
例：f ( x) x, g( x) e x , x [0,1]
用不同的范数。 2.在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。
工程数学
2. 工R程n数n学, A (aij )nn 定义(矩阵的范数)
若矩阵A Rnn的一个实值函数 A ( • : Rnn R)
满足条件
①(正定性) A 0, 及 A 0当且仅当A 0;
②(齐次性)k R, 有 kA k A ;
则实数 x 称为向量x的范数。把定义了范数的线性 空 间 称 为 赋 范 线 性 空 间。
工程数学
工程数学二. 几种常用线性 Nhomakorabea间的范数
1.Rn : x ( x1, x2 , , xn )T Rn ,常用的范数有如下三种.
n
向量的1 范数 : x 1
xi
i 1
n
21
向量的2 范数 : x ( 2
f , k F 1
ab
a
b
(3) f g 1 = f ( x) g( x) dx ( f ( x) g( x) )dx
a
a
b
b
f ( x) dx g( x) dx
f g ,
1
1
a
a
f ( x), g( x) C[a, b]
b
所以 f 1 = f ( x) dx 为f ( x)在C[a,b]中的范数.
|| x || || x ||2 n || x ||
证： x12 x22
xn2
n
max
1 i n
|
xi
|2
n
max
1 i n
|
xi
|
x12 x22
1-3 列紧性 - 2
矛盾。从而，M 列紧。
接下来证明 M 是闭集。 方法一：证明 X\M 是开集，即对于任意给定 的 x X\M，存在 r>0，使得 x 到 M 的距离小于
r，即 B(x，r) X\M
在任意点 y M 处，以 (x，y)/2 为半径作开球。 M B(y， (x，y)/2 )
由于 M 是紧集，可知存在子覆盖，设为 {B(yn， (x，yn)/2) |n k}
由于 M 自列紧，集合 {y1，y2，…}存在子列不 妨仍记作 {y1，y2，…} 收敛到 y0 M。 因而存在 ，y 0 G 。
而 G 是开集，可知存在 >0，B(y0 ， ) G 。
由极限的定义： N，n>N 时，yn B(y0 ， /2) 从而可以取充分大的 n，使得 B(yn，2/n) B(y0 ， ) G 矛盾！因此 M 是紧集。
充分性：和有限覆盖定理的证明相似。 用反证法，设 {G ： 且没有有限子覆盖。 } Байду номын сангаас M 的开覆盖，并
由于 M 列紧，从而完全有界。于是， >0，
存在有限 -网。取 =1/n 设 Nn={x1，x2，… xkn} 为有限1/n-网，则 M B(xj，1/n)
再利用有限和无限之间的关系
由于{G ：
覆盖都有有限子覆盖，则称 M 为紧集。 紧性和完全有界的区别 完全有界即： >0， M 具有有限的 -网
区别在于完全有界的条件是任意取一个有
限的 -网即可，而紧性则必须在选定的开覆
盖中选择有限子覆盖
紧
完全有界，反之未必成立
定理：设 (X， ) 是度量空间，则 M X 是紧集
当且仅当 M 是自列紧集。 证明：先证必要性，设 M 是紧集。证明目标 有 (1) M 是列紧集，(2) M 是闭集。 (1)回顾：列紧集即任意子集有收敛子列，这等
2.1赋范线性空间
N 4 x y x y
则称 x 为 x 的范数，称 X , . 简称赋范空间，也简记作 X 。
为赋范线性空间，
可以利用“范数”在 X 中定义距离
d x, y x y
称为由范数诱导的距离。 范数导出的距离具有平移不变性和绝对齐次性。 ⑴ d x a, y a d x, y （平移不变性） ； ⑵ d ax, ay a d x, y （绝对齐次性） 。
e 叫做关于基 e 的表达式或展开式，
i 1 i i
n
并记作
x i ei
i.5 设{x1, x2, ……, xn}是任意维赋
范空间X中的一个线性无关组，则对任意
选定的一组系数α1， α2，…… αn，必存在 一个常数 C > 0 , 使得
定义 2.1.4 (肖德基)
若赋范空间 X 包含一个序列 en ，
对每个 x X 都存在唯一的数列 n ，使得当 n 时， 有
x 1e1 2 e2 n en 0
则称 en 为 X 空间的一个肖德（Schauder）基，
而把其和为 x 的级数
1 x1 2 x2 .... n xn
C ( 1 2 ... n )
定理2.1.6（有限维赋范空间的完备性）
赋范空间X的每一个有限维子空间M
都是完备的，特别是每个有限维赋范空间
都是完备的。
2.1.6 赋范空间的同构性
定义2.1.7（同构线性空间）
设X、Y是同一数域K上的两个线性空
i 1
i
x1 x2 xn
21 线性赋范空间
第二章 线性赋范空间与内积空间Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间．2.1 线性赋范空间的定义与极限在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数．定义2.1.1 线性空间设X 为一非空集合，R 表示实数域(或为复数域C )．在X 中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X 中元素的乘法运算，且满足下列条件：1. 关于加法“+”：,xy X ∀∈，u X ∃∈与之对应，记为u x y =+，称u 为x 与y 的和，且具有,,x y z X ∀∈，(1) x y y x +=+ (交换律)；(2) ()()x y z x y z ++=++ (结合律)；(3) 在X 中存在唯一元素θ，使得x X ∀∈，有x x θ+=，则称θ为X 中零元素； (4) x X ∀∈，存在唯一元素x '∈X ，使得x +x '=θ，称x '为x 的负元素，记为x -. 2. 对X 中每个元素x 及任何实数(或复数)a ，存在元素u ∈X 与之对应，记为u =a x ，称u 为a 与x 的数乘，且满足,x y X ∀∈，,λμ∀∈R (或C )(1) ()x x x λμλμ+=+ (分配律)；(2) ()x y x y λλλ+=+ (数因子的分配律)； (3) ()()x x λμλμ= (结合律)； (4) 1x x = (单位1).则称X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，X 中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(或只对复数)有意义，则称X 是实(或复)线性空间. 满足上述加法和数承运算的性质，统称为线性运算．我们知道，n 维欧式空间n R 是线性空间；[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间；n 阶实矩阵在矩阵的加法和数乘意义下构成线性空间．2.1.1 线性赋范空间的定义与举例定义 2.1.2 线性赋范空间Normed Linear Spaces设X 是数域K 上的线性空间，其中K 表示R 或者C ．若对每个x ∈X ，有一个确定的实数，记之为x ，与之对应，并且,x y X ∀∈，α∈K 满足：(1) ||||0x ≥，||||0x =0x ⇔= (正定性or 非负性)；Positive definiteness or Nonnegativity (2) ||||||||||x x αα=⋅ (齐次性)；Multiplicativity(3) ||||||||||||x y x y +≤+ (三角不等式). Triangle inequality则称||||x 为向量x 的范数(norm )，称(,|| ||)X 为线性赋范空间.简记为X ．通常称定义中的(1)、 (2) 、(3)为范数公理．注1：线性赋范空间诱导的度量空间在线性赋范空间X 中可定义距离：,x y X ∀∈，定义(,)||||d x y x y =-容易验证非负性、对称性和三角不等式(,)X d 为度量(距离)空间，并称d 为由范数||||⋅导出的距离，X 按导出的距离成为一个度量空间．从而在线性赋范空间X 中，关于点的邻域、开集、闭集、点列的收敛、极限点、列紧、可分性以及完备性等概念都有了确定的含义．定义 2.1.3 巴拿赫空间Banach space设X 为一线性赋范空间，如果X 按照距离(,)||||d x y x y =-是完备的，则称X 为巴拿赫(Banach)空间.即完备的线性赋范空间称为Banach 空间.例 2.1.1 在n 维欧式空间n R 上，12(,,,)n n x x x x R ∀=∈ ，定义范数||||⋅1221||||(||)ni i x x ==∑． 记d 为由范数||||⋅导出的距离(,)||||d x y x y =-，证明(,)n R d 为Banach 空间.证明 容易验证正定性和齐次性成立，由于第二章已经证明n R 上距离1221(,)||||(||)ni i i d x y x y x y ==-=-∑满足三角不等式，所以有||||(,)(,0)(0,)||||||||x y d x y d x d y x y +=-≤+-=+．同时第二章已经证明n R 是完备的度量空间，故n R 为Banach 空间．□例 2.1.2 在[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间，定义范数[,]||||max |()|t a b x x t ∈=，此范数导出的距离为[,](,)||||max |()()|t a b d x y x y x t y t ∈=-=-，证明在此距离下[,]C a b 是完备的，即在此范数下[,]C a b 为Banach 空间．证明 容易验证正定性和齐次性成立，又[,]||||max |()()|t a b x y x t y t ∈+=+[,][,]max |()|max |()|t a b t a b x t y t ∈∈≤+||||||||x y =+即满足三角不等式．第二章已证明[,]C a b 在此范数诱导的距离意义下是完备的度量空间，故[,]C a b 为Banach 空间．□也可证明线性空间l ∞，p l ，[,]p L a b (1p ≤<+∞)为Banach 空间，加之前两个例题的结果知在下列定义的范数意义下，均为Banach 空间：n 维欧式空间nR1221||||(||)ni i x x ==∑12(,,,)nn x x x x R =∈有界数列空间l ∞1||||sup ||i i x x ==12(,,,,)n x x x x l ∞=∈p 次幂可和的数列空间p l11||||(||)ppi i x x ∞==∑12(,,,,)pn x x x x l =∈连续函数空间[,]C a b [,]||||max |()|t a b x x t ∈=[,]x C a b ∈p 次幂可积函数空间[,]pL a b1[,]||||(|()|)ppa b x x t dt =⎰[,]p x L a b ∈例 1.3 在[,]C a b 上定义范数1|||||()|ba x x t dt =⎰，其导出的距离为11(,)|||||()()|ba d x y x y x t y t dt =-=-⎰，那么在范数1||||⋅下[,]C a b 不是Banach 空间．证明 仿照前章证明[0,1]C 在1d 下不是完备的度量空间，可知1([,],)C a b d 不是完备的度量空间，又因1|||||()()||()||()|bbba a a x y x t y t dt x t dt y t dt +=+≤+⎰⎰⎰11|||||||||x y =+，可知1||||⋅符合范数的三条公理．故在范数1||||⋅下[,]C ab 不是Banach 空间．□如果在线性空间X 上具有定义好的距离函数(,)d x y ，那么(,)X d 就为一度量空间，试问是否在存在X 上的某范数||||⋅，使得d 是由这个范数||||⋅导出的距离，即满足(,)||||d x y x y =-．答案是否定的．例 2.1.4 设X 为线性赋范空间，令(,)||||1x y d x y x y x y=⎧=⎨-+≠⎩证明(,)X d 为度量(距离)空间，但d 不是由某范数||||⋅导出的距离．证明 显然距离(,)d x y 定义中的非负性和对称性成立，,,x y z X ∀∈，下证三角不等式成立 当x y =时，则(,)0(,)(,)d x y d x z d z y =≤+； 当x y ≠时分为三种情况：(1)x z ≠和y z ≠．(,)||||1d x y x y =-+||||1x z z y =-+-+||||||||1x z z y ≤-+-+(,)(,)d x z d z y <+．(2)x z =和y z ≠．注意到||||0x z -=和(,)0d x z =，所以有(,)||||1d x y x y =-+||||||||1x z z y ≤-+-+(,)(,)d x z d z y =+．(3)x z ≠和y z =．注意到||||0z y -=和(,)0d z y =，所以有(,)||||1d x y x y =-+||||1||||x z z y ≤-++-(,)(,)d x z d z y =+．因此(,)X d 是度量空间．假设d 是由某范数1||||⋅导出的距离，即1(,)||||d x y x y =-，于是当x θ≠及x αθ≠时有1||||(,)||||1x d x x θ==+； 1||||(,)||||||1x d x x ααθα==+；可见1||||||||(,)||(||||1)x d x x ααθα==+显然11||||||||||x x αα≠产生矛盾，故d 不是由某范数导出的距离．□问题：对于实数集R 上定义的离散度量空间0(,)d d R ，是否存在某范数使得离散度量0d 是由该范数诱导的度量？定义 2.1.4 线性赋范空间的子空间设X 为一线性赋范空间，如果1X 是X 的线性子空间，并且1X 上的范数是X 上的范数在1X 上的限制，则称1X 是线性赋范空间X 的子空间．如果1X 在X 中是闭的，则称1X 为X 的闭子空间．复习：完备度量空间X 的子空间M 是完备的充要条件M 是X 的闭子空间．2.1.2 线性赋范空间的极限根据范数导出的距离(,)||||d x y x y =-可以得到有关极限的概念，并且可讨论线性赋范空间中点列的收敛性．定义 2.1.5 依范数收敛设X 为线性赋范空间，{}n x 是X 中的点列，x X ∈，如果lim 0n n x x →∞-=，则称{}n x 依范数收敛于x (简称{}n x 收敛于x )，记为lim n n x x →∞=或()n x x n →→∞．显然依范数收敛就是按范数导出的距离收敛．关于点列的极限有以下性质． 定理 2.1.1 设X 为线性赋范空间，{}n x X ⊂，(1)范数的连续性：范数x 是x 的连续函数(即若n x x →，则有n x x →)． (2)有界性：若{}n x 收敛于x ，则{}n x 有界．(3)线性运算的连续性：若n x x →，n y y →()n →∞，则n n x y x y +→+，n x x αα→()n →∞，其中α为常数．证明 (1) 设()f x x =，则f ：X R →，若n x x →，即(,)0n n x x d x x -=→，又因为n n x x x x ≤-+，n n x x x x ≤-+，所以()()0n n n f x f x x x x x -=-≤-→，因此x 是x 的连续函数．(2) 根据n n x x x x ≤-+易得结论． (3) 根据范数、极限的定义易证结论．□在线性赋范空间中，由于范数刻画了向量的长度，因此，赋范空间中的概念具有更强的几何直观性．定理 2.1.2 设X 为线性赋范空间，d 是由范数导出的距离，则0,,x y z X ∀∈，α∈K (数域) 有：(1)平移不变性：00(,)(,)d x z y z d x y ++=． (2)绝对齐次性：(,)(,)d x y d x y ααα=．证明 (1) 0000(,)()()(,)d x z y z x z y z x y d x y ++=+-+=-=． (2) (,)()(,)d x y x y x y x y d x y ααααααα=-=-=-=．2.1.3 线性赋范空间上的级数在线性赋范空间中，既有代数运算，又有极限运算，因此可以引进无穷级数的概念． 定义 2.1.6 级数 Progression设X 为线性赋范空间，点列{}n x X ⊂，称表达式121n n n x x x x ∞=++++=∑ 为X 中的级数．若部分和点列12n n S x x x =+++ 依范数收敛于s X ∈，则称级数1n n x ∞=∑收敛于s ，称s 为级数的和，记为1n n s x ∞==∑．如果数项级数1n n x ∞=∑收敛，则称级数1n n x ∞=∑绝对收敛．例 2.1.5 证明在Banach 空间中，绝对收敛的级数必收敛．(习题)证明 设级数1k k x ∞=∑绝对收敛，令1nn k k S x ==∑，下面证明{}n S 是X 中的柯西列，当m n >时，有12m n n n m S S x x x ++-=+++12n n m x x x ++≤+++1110nk k k k n k k x x x ∞∞=+==≤=-→∑∑∑,因此{}n S 是完备空间X 中的柯西列，从而是收敛列，即级数的部分和点列收敛．例 2.1.6 如果在线性赋范空间X 中，任何级数的绝对收敛总蕴含级数收敛，那么X 是完备的(即为Banach 空间)．(习题课)由上例子可知，当且仅当在Banach 空间中有级数的绝对收敛蕴含着收敛． 定义2.1.6 绍德尔(Schauder)基设X 为线性赋范空间，{}n e 是X 中的一个点列，如果对于每一个x X ∈，存在唯一的数列{}n α，使得1122()0()n n x e e e n ααα-+++→→∞则称{}n e 是空间X 中的一组绍德尔基，称1n n n x e α∞==∑为x 的展开式．例如，p 次幂可和的数列空间p l 有一个绍德尔基{}n e ，其中(0,,0,1,0,,0,)n e = ，n e 的第n 个坐标等于1，其余坐标为0．可以证明，若线性赋范空间X 有一组绍德尔基，则X 是可分的线性赋范空间，反之不真．2.1.4 线性赋范空间的完备化由例 2.1.3及 2.1.4可知[,]C a b 在范数[,]||||m a x |()|t a b x x t ∈=下是Banach 空间，在范数1222||||(|()|)bax x t dt =⎰下不是Banach 空间，同时知2([,],)C a b ⋅2[,]L a b ⊂，而2[,]L a b 是完备的空间，即为Banach 空间．定义 2.1.7 线性等距同构设11(,)X ⋅，22(,)X ⋅是同一数域K 上的两个线性赋范空间，如果存在一一映射T ：12X X →，满足：(1) 线性：1,x y X ∀∈，,αβ∈K ，()()()T x y T x T y αβαβ+=+． (2) 等距：1x X ∀∈，21Tx x =．则称1X 和2X 线性等距同构，并称映射T 是线性等距同构映射．在线性等距同构意义下，两个空间可看成“同”一个空间 定理 2.1.3 完备化定理设X 为线性赋范空间，那么存在Banach 空间Y ，使X 和Y 的一个稠密子空间1Y 线性等距同构，且在线性等距同构意义下，Y 是唯一的．数学家简介斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach ，1892年3月30日－1945年8月31日），波兰数学家1892年3月30日生于克拉科夫,1945年8月31日卒于利沃夫曾在克拉科夫的贾吉洛尼亚大学和利沃夫工业大学短期学习,但他主要靠自学1916 年结识H.斯坦豪斯后，开始科学研究,1920年获博士学位,1922年任利沃夫大学讲师，1927年为教授．成为泛函分析的开创者之一．不久在他和斯坦豪斯周围集中了一批年轻学者,发展成为利沃夫学派,并在1929年创办了第一个泛函分析杂志《数学研究》．1932年出版了他的名著《线性算子理论》．他在1936年的国际数学家大会上做了全会报告，这表明数学界重视波兰学者对泛函分析的研究．1939年被选为波兰数学会主席．第二次世界大战中，波兰被德国占领，他在一所医学研究所做喂养昆虫的工作．苏联军队攻克利沃夫后，他才回到大学工作，不过这时他已患肺癌．巴拿赫的主要工作是引进线性赋范空间概念，建立其上的线性算子理论，他证明的三个基本定理（哈恩—巴拿赫线性泛函延拓定理，巴拿赫－斯坦豪斯定理即共鸣定理，闭图像定理）概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要的价值．人们把完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间．此外,在实变函数论方面,他在1929年同K.库拉托夫斯基合作解决了一般测度问题．在集合论方面，他于1924年同A.塔尔斯基合作提出巴拿赫－塔尔斯基悖论．1945年8月31日巴拿赫因肺癌在乌克兰的利沃夫逝世，逝世后在当地被葬．1946年波兰数学协会为纪念他颁发巴拿赫奖．线性与非线性泛函◇。
赋范线性空间优质课件
但当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间；
② (x, y) (x y,0)；
③ ( x,0) (x,0) 可用距离定义范数 x (x,0)，验证知三条范数公理成 立，则距离空间 (E, ) 也是(E, )。
3）常见赋范线性空间
例 1 在线性空间 Rn 中，
x (x1, x2, , xn ), y ( y1, y2, , yn) Rn
第3章 赋范线性空间
§3.1 定义和举例 §3.2 按范数收敛 §3.3 有限维赋范线性空间
在第 2 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
（5） ( x) ()x
（6）1 x x, 0 x 0
（7） ( )x x x
（8） (x y) x y
则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间）。 满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1 Rn —— n 维向量全体，在通常意义下的“加法” 和“数乘”运算下是线性空间。
n
xn
x
(强)。
2）性质 设 E 是赋范线性空间,{xn},{yn} E, {n} K（数域）
（1）有界性：若 xn x (强)，则数列 xn 有界
（2）范数的连续性：即Tx x , T 是连续泛函 x 是 x 的连续泛函 xn x时, xn x
（3）线性运算按范数收敛是连续的
即若 xn x, yn y , n xn yn x y, n xn x
2）赋范线性空间 （1）定义 设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。 若xE 按规一则定 实数 x 0，且满足下列三条(范数公理)
第二章-赋范线性空间
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故 连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个 泛函
f : x E x R1， 则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理： 设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界 。
第2章 赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价
赋范线性空间
(1) 线性性： ∀x = (x1, , xn ) , y = ( y1, , yn ) ∈ R ， α, β ∈ R
T T n
1
T (α x + β y) = A(α x + β y) = α Ax + β Ay = αTx + βTy
∀x = ( x1 , , xn )T ∈ R n ， Tx = Ax = ( z1 , , zm )T ∈ R m (2)有界性：
T 定义： E、 1 是赋范线性空间， : D(T ) ⊂ E → N (T ) ⊂ E1 。 设 E
（1）线性算子：若 ∀x, y ∈ D(T ), α ∈ K (数域) ，有
⎧T ( x + y ) = Tx + Ty ⎨ 即 T (α x + β y) = αTx + β Ty T (α x) = α Tx ⎩
3）范数的等价性 定义 设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1和 x 2 如果由 xn 1 → 0 ⇒ xn 2 → 0 ，称 x 1比 x 2 更强； 若又由 xn 2 → 0 ⇒ xn 1 → 0 ，即 x 2 比 x 1更强， 则称范数 x 1与 x 2 等价。 注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1、 x 2 、 x ∞ 相互等价
m n
T 2
⎛ ⎞ = ∑ z = ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎠
m 2 i
⎛ ⎞ ⎛ m n 2⎞ ≤ ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ ≤ ⎜ ∑∑ aij ⎟ i =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎝ i=1 j =1 ⎠
2
x2 = M x ∑ j
j =1
赋范线性空间
第二章赋范线性空间一赋范空间的基本概念1赋范空间的定义定义设X是域K上的线性空间，函数||』：X R满足条件：1)对任意x X , 0 ；且||x|卜0，当且仅当x = 0 ；2)对任意x X及K , x|卜| | ||x|| (齐次性)；3)对任意x, y X , x y|卜|| x|| || y||(三角形不等式)称1111 是X 上的一个范数，X上定义了范数|| ||称为赋范(线性)空间，记为(X,|「||),有时简记为X。
在一个赋范线性空间(X ,|| • II)中，通过范数可以自然地定义一个距离，d(x,y)=||x- y||, x,^ X (1)称赋范空间这个距离是由范数诱导的距离，这个赋范空间是一个距离空间。
2赋范空间的基本性定理1.1设(X,|| II)是赋范空间，则1) 范数是一个连续函数，即当时x 、nx (n 、)时, llXnir ||x||(n …);2) 线性运算是连续的，即当x Tn x及y n >y时,Xn % X y ；当a n‘ a及x n x时，d x n ax (n )定理1.2 设(X,|| ||)是赋范空间，如果是完备的且级数：」|X k IF ||X i II +|| X2 ||+…+||X2 ||+…⑷收敛，则级数7 X n收敛，且|「X n |^ V||X n ||。
反之，如果在n -1 n 4n -1 1一人赋范空间中，任意无穷级数(4)收敛有级数二x n收敛，则空n 二间是Banach空间3凸集凸集是线性空间中一个重要的几何概念，它在泛函分析中有着十分广泛应用。
定义设X是线性空间，A是X子集，如果对任意X,y A，及满足0疳〉＜1的数〉，x (1 )y A称A是X中的凸集。
从定义不难看出，任意个凸集的交集还是凸集。
设A是空间X 中任意子集，所有包含集A的凸集交集是凸集，称这个凸集是集A生成的凸集或集A的凸包，记为Co(A)。
4赋范空间的例例1空间R n。
第二章 赋范线性空间
§1 度量空间
一. 度量空间的概念
赋范线性空间
设平面上任意三个点 A，B，C，用 d ( A, B) 表示 A 到 B 之间的距离。有平面几何我们知道 （i）
d ( A, B) ≥ 0 且 d ( A, B) = 0 ⇔ A = B ； （ii）d ( A, B) = d ( B, A) ； （iii）d ( A, B) ≤ d ( A, C ) + d (C , B) 。
n n
2 赋范线性空间的概念 定义：设 X 为一个实（或复）的线性空间，若 X 上面定义了一个映射 || || : X → R 满足 （i） 对 x ∈ X ， || x ||≥ 0 且 || x ||= 0 ⇔ x = θ ； ，|| λ x ||=| λ | || x || ； （ii） 对 x ∈ X ， λ ∈ R （ C ） （iii） 对 x, y ∈ X ， || x + y ||≤|| x || + || y ||
对任意的xyzx有dyzdxzdxy?事实上dyzdxzdxzdxydyzdxzdxy????dxydyzdxzdxzdxydyz???????dxydxzdyzdyzdxydxz????例21设12rr12nnnirrrin1212rnnnxy定义11dxyniii?zdzydxzydxyx212221dxyniii???????1xymaxiniid?以上定义的1dxy2dxy3dxy均是rn上的距离
证明：考虑 C[0,1] ，赋予距离 d1 。
3
⎧ ⎪0, ⎪ n ⎪ 取 xn (t ) = ⎨ nt − + 1, 2 ⎪ ⎪ ⎪1, ⎩
1 1 − 2 n 1 1 1 − ≤t< , 2 n 2 1 ≤ t ≤1 2 0≤t <