昆明数学分式解答题单元培优测试卷

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人教版2020-2021八年级数学上册第十五章分式单元综合培优测试题(附答案)

人教版2020-2021八年级数学上册第十五章分式单元综合培优测试题（附答案）一、单选题 1．已知13x x +=，则2421x x x ++的值是（） A ．9 B ．8 C ．19 D ．182．若关于x 的一元一次不等式组322x a x x ≤⎧⎪⎨≤+⎪⎩的解集是x a ≤，且关于y 的分式方程24122y a y y y---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．甲、乙两人分别从相距8千米的两地同时出发，若同向而行，则t 1小时后，快者追上慢者；若相向而行，则t 2小时后，两人相遇，那么快者速度是慢者速度的( )A ．112t t t +B ．121t t t +C ．1212t t t t -+D ．1212t t t t +- 4．若关于x 的分式方程7311mx x x +=--无解，则实数m 的值是（） A ．x=0或1B ．x=1或3C ．x=3或7D ．x=0或3 5．方程的解是（） A ．﹣2， B ．3， C ．﹣2， D ．1，6．若关于x 的不等式组031123x a x x -<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩有解，且关于x 的分式方程111a x x x +=--的解为非负数，则满足条件的整数a 的值的和为（）A ．10-B ．7-C ．9-D ．8- 7．若x 为整数，且2484x x +-的值也为整数，则所有符合条件的x 的值有（） A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个8．若a b c d ,,,满足a b c d b c d a ===,则2222ab bc cd da a b c d ++++++的值为（） A ．1或0 B ．1- 或0 C ．1或2- D ．1或1-9．下列计算正确的是（）A ．2÷2﹣1=-1B ．341242xx x --÷=C ．(﹣2x ﹣2)﹣3=6x 6D ．222734x x x--+=10．从﹣2，﹣1，0，1，2，3这六个数中，随机抽取一个数记为a ，若数a 使关于x 的不等式组()22433122x x x a x ⎧+≤+⎪⎨++-⎪⎩＜无解，且使关于x 的分式方程11ax x ---121x =-有整数解，那么这6个数中所有满足条件的a 的值之和是（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 二、填空题11．若x 3=(－2) 5÷(12)－2，则x=____________． 12．已知(x+3)2 - x ＝1，则x 的值可能是___________；13．若,,x y z 满足371x y z ++=和4102018x y z ++=，则分式2017201720173x y z x y+++的值为_______． 14．若关于x 的分式方程322x a x -=-的解为正数，那么字母a 的取值范围是__________________． 15．已知:x 满足方程11200620061xx =--,则代数式2004200620052007x x -+的值是_____. 16．－52×(－5) 2×5－4=_____________．17．阅读下面计算1111 (133557911)++++⨯⨯⨯⨯的过程，然后填空解：111113213⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭ ，111135235⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，…，11119112911⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭ ∴1111...133557911++++⨯⨯⨯⨯ 111111111111...2132352572911⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111...2133557911⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1112111⎛⎫=- ⎪⎝⎭511= 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：(1)112446+=⨯⨯_______. (2)当1116 (13355713)x ++++=⨯⨯⨯时，最后一项x =_____. 18．如果在解关于x 的方程212212x x kx x x x x ++-=+-+-时产生了增根，那么k 的值____． 19．若关于x 的方程3x x - =2+23m x -的解是正数，则m 的取值范围是____________. 20．已知关于x 的方程11x m x m +=+的两根为1x m =，21x m=那么关于x 的方程1111x m x m +=+--的根为_______________________三、解答题21．（1）化简：222121()1x x x x x x x++-÷-- ，并从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数求代数式的值．（2）已知x 2＋y 2＋6x －4y ＋13=0，求2()xy - ．22．解方程：20052007200820042004200620072003x x x x x x x x +++++=+++++. 23．先化简：233(1)11x x x x x x ---+÷++，然后在2-，1-，0，1，2中选取一个合适的数代入求值．24．观察下列等式：第一个等式：a 1＝223111221222=-⨯⨯⨯⨯；第二个等式：a 2＝3234112322232=-⨯⨯⨯⨯；第三个等式：a 3＝4345113423242=-⨯⨯⨯⨯；第四个等式：a 4＝5456114524252=-⨯⨯⨯⨯．按上述规律，回答问题：（1）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝＝；（2）计算：a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 9．（要求计算出最后结果）25．（1|﹣4|﹣2cos45°﹣（3﹣π）0．（2）先化简2111122a a a a ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭然后从1 、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a 的值代入求值．26．阅读下面的材料，并解答后面的问题材料：将分式23411x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.解：由分母为1x +，可设2341(1)(3)x x x x a b +-=+++. 因为223(1)(3)333(3)x x a b x ax x a b x a x a b +++=++++=++++，所以223413(3)x x x a x a b +-=++++. 所以341a a b +=⎧⎨+=-⎩，解之，得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以2341(1)(31)211x x x x x x +-++-=++ (1)(31)2231111x x x x x x ++=-=+-+++ 这样，分式23411x x x +-+就被拆分成了一个整式31x +与一个分式21x +的差的形式. 问题：（1）请将分式22361x x x ++-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；（2）请将分式4225932x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.27．已知a 2+2a ﹣1=0，b 4﹣2b 2﹣1=0，且1﹣ab 2≠0，求的值． 28．2017年中秋节期间，某商城隆重开业，某商家有计划选购甲、乙两种礼盒作为开业期间给予买家的礼品，已知甲礼盒的单价是乙礼盒单价的1.5倍；用600元单独购买甲种礼盒比单独购买乙种礼盒要少10个．（1）求甲、乙两种礼盒的单价分别为多少元？（2）若商家计划购买这两种礼盒共40个，且投入的经费不超过1050元，则购买的甲种礼盒最多买多少个？29．解方程：32x +227x +5x-15x =20 30．在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3cm ，BC=4cm.（1）如图1，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿CB匀速运动.两点同时出发，在B点处首次相遇.设点P的速度为xcm/s. 表示点Q的速度是多少cm/s （用含x的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，两点在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2 cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持原速度不变，沿B→A→C的路径匀速运动，如图2.两点在AC边上点D处再次相遇后停止运动.又知AD=1cm.求点P原来的速度x的值.参考答案1．D【解析】【分析】根据13x x += 可知21()9x x += 即2217x x += ，把2421x x x ++ 分子、分母同时除以2x 得2217x x += ，把2217x x+=代入即可. 【详解】由13x x +=得21()9x x+=，即2217x x += 2421x x x ++=22111x x ++，把2217x x +=代入得22111x x ++=11178=+ ，故选D【点睛】本题考查利用恒等变形求分式的值，利用分式的性质，找到可以等量代换的代数式是解题关键.2．C【解析】【分析】先解关于x 的一元一次不等式组，再根据其解集是x ≤a ，得a ≤4；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a 的值，再求和即可.【详解】由不等式组322x a x x ≤⎧⎪⎨≤+⎪⎩得：4x a x ≤⎧⎨≤⎩ ∵解集是x ≤a ，∴a ≤4；由关于y 的分式方程24122y a y y y---=--，得2y ﹣a +y ﹣4=y ﹣2，∴y 22a +=， ∵有非负整数解， ∴22a +≥0，解得：a ≥－2且a 为偶数， ∴－2≤a ≤4且a 为偶数.∵y ≠2， ∴222a +≠， ∴a ≠2，∴－2≤a ≤4且a ≠2且a 为偶数.∵a 为整数，∴a =－2，0，4.它们的和为－2+0+4=2.故选：C.【点睛】本题考查了含参一元一次不等式，含参分式方程得问题，需要考虑的因素较多，属于易错题. 3．D【解析】【分析】设甲的速度为a ，乙的速度为b ，且a ＞b ；根据题意可得方程组112288at bt at bt -=⎧⎨+=⎩，解方程组求得a 、b 的值，再计算a b的值即可. 【详解】设甲的速度为a ，乙的速度为b ，且a ＞b ；根据题意得， 112288at bt at bt -=⎧⎨+=⎩，即1288a b t a b t ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121212124()4()t tat tt tbt t+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴1212121212124()4()t tt t t tat tb t tt t++==--.故选D.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及分式的化简，读懂题意，找到所求的量的等量关系是解决本题的关键．4．C【解析】试题解析：方程去分母得：7+3（x-1）=mx，整理，得（m-3）x=4，当整式方程无解时，m-3=0，m=3；当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，∴m-3=4，m=7，∴m的值为3或7．故选C.点睛：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．5．D【解析】本题可以用换元法解方程，即设y=，把原方程转化为关于y的一元二次方程，求y，再求x．也可以采用逐一检验的方法，即把各选项中的解代入原方程，能使方程左右两边相等的是方程的解．解：设y=，原方程可化为y2﹣y﹣2=0，解得（y﹣2）（y+1）=0，解得y =2或﹣1．∴=2，=﹣1，解得x =或1．经检验，都x =或1是原方程的解．故选D ．6．D【解析】【分析】解不等式组，由题意确定出a 的范围；分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据题意得不等式，确定a 的范围；最后确定符合条件的a 的值，问题得解．【详解】解：解不等式组得5x a x <⎧⎨≥-⎩ 由不等式组有解，得 5x a ≤﹣＜，解得：5a ＞﹣111a x x x+=-- 分式方程去分母得：1a x x +-=- 解得：12a x -= 关于x 的分式方程1111a x x +=--的解为非负数， 102a -∴≥且112a -≠，解得1a ≤且1a ≠-， 51a ∴≤﹣＜且1a ≠-，a 为整数，43201a ∴＝﹣,﹣,﹣,,则满足题意的整数a 的值的和是23418+﹣﹣﹣＝﹣．故选：D【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，其中分式方程的解为非负数，意味着x ≥0，且x ≠1，是易错点．7．B【解析】【分析】先化简分式，若2484x x +-的值为整数即42x -的值为整数，故（x-2）为4的因数，由此确定整数x 的值.【详解】原式＝4(2)4(2)(2)2x x x x +=-+-，因为x 为整数，分式的值也为整数，且x≠-2，所以分式42x -的值分别为﹣2、﹣4、4、2、1时，得 X =0、1、3、4、6，所以所有符合条件的x 的值有5个．故选：B ．【点睛】此题考察分式的化简，分式有意义的条件，根据分式的值为0确定分母的值，由此得出x 的值，注意分母中虽约去了（x+2），但是要考虑到x ≠-2，避免错误.8．D【解析】【分析】【详解】令a b c d k b c d a====,则,,,,a bk b ck c dk d ak ==== 则4a a ,k =且a 0≠,则k=±1，当k=1则22221ab bc cd da a b c d +++=+++；当k=-1，22221ab bc cd da a b c d +++=-+++. 故选D.9．D【解析】试题分析：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知2÷2﹣1=21-（-1）=22=4，故不正确；根据单项式除以单项式，可知3424x x --÷=33(4)4211422x x x x -----==，故不正确；根据积的乘方，可知(﹣2x ﹣2)﹣3=-18x 6，故不正确；根据合并同类项法则和负整指数幂的性质，可知2234x x --+=7x -2=27x =，故正确. 故选D10．D【解析】【分析】本题考查的是由不等式、方程的解的情况求参数的问题. 先将参数看成已知数，解出不等式和方程，结合解的条件，列出关于参数的不等式或等式，从而求出参数.【详解】解()22433122x x x a x ⎧+≤+⎪⎨++<-⎪⎩ 得023x a x ≥⎧⎪-⎨<⎪⎩，又为不等式组无解， ∴203a -≤，解得：2a ≤ 解11ax x ---121x=-：去分母得：1(1)2ax x ---=-；解得：21x a -=-；检验：将21x a -=-代入最简公分母1x -中，得2101a --≠-，解得1a ≠-；方程有整数解， ∴21x a -=-是整数，可得a =﹣1、0、2、3；结合以上条件a =0或2，所有满足条件的a 的值之和2.故选：D.【点睛】解含参不等式和方程问题的基础是解不等式和方程的基本步骤；关键是根据已知条件列出关于参数的不等式或方程.11．-2【解析】试题分析：根据负整指数幂的性质和同底数幂的除法，可知x 3=(－2) 5÷(12)－2=-25÷22=-23=（-2）3，解得x=-2.12．2或－2或－4【解析】当指数为0时，即x=2时，(x+3)0＝1；当底数为1时，x+3=1，即可得x=-2；当底数为-1时，x+3=-1，即可得x=-4.故答案为：2或－2或－4.13．4033-【解析】【分析】根据题意，把两个方程联合组成方程组，然后两方程相减得到32017x y +=③，再把③整理，代入到①方程，得到26050y z -=④，再由-③④，得到4033x y z ++=-，然后代入分式进行求解，即可得到答案.【详解】解：根据题意，两个方程了联合组成方程组，有： 3714102018x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②，由-②①，得：32017x y +=③，∴20173x y =-，把20173x y =-代入①，得：26050y z -=④，把-③④得：4033x y z ++=-； ∴2017201720172017()2017(4033)4033332017x y z x y z x y x y ++++⨯-===-++；故答案为：4033-.【点睛】本题考查了三元一次方程组，以及求分式的值，熟练掌握解方程组的方法，正确得到32017x y +=和4033x y z ++=-是解题的关键.14．a ＞4且a ≠6．【解析】解关于x 的方程322x a x -=-得：4x a =-. ∵原方程的解为正数，∴42040a a --≠⎧⎨->⎩ ，解得4a >且6a ≠. 点睛：（1）把方程中的a 先看着常数，按解普通分式方程的方法解出x （用含“a ”的代数式表达）；（2）分式方程有正数解，包含两层含义：①分式方程有解（即第一步中求得的x 的值使最简公分母的值不等于0），②方程的解为正数（即第一步中求得的x 的值大于0）. 15．20052007- 【解析】因为11200620061xx =--，则200420062005200520062006001120072007x x x x x x x --=⇒=⇒=⇒=---+ . 故答案：20052007-. 16．-1【解析】试题分析：根据乘方的意义和同底数幂相乘，以及负整指数幂的性质，计算为：－52×(－5) 2×5－4=－52×5 2×5－4==-1.17．（1）16；（2）1143. 【解析】【分析】(1)根据题中方法计算即可；(2)设()()12121x n n =-+，根据题中方法，解方程即可.【详解】解：（1）由题可知：111124224⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭， 111146246⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭∴112446+⨯⨯ 111111224246⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111122446⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 111226⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 16= （2）设()()12121x n n =-+ ∵1116 (13355713)x ++++=⨯⨯⨯ ∴()()11116...133557212113n n ++++=⨯⨯⨯-+ ()()1111111111116 (2132352572212113)n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()1111111116 (2133557212113)n n ⎛⎫-+-+-++-= ⎪-+⎝⎭ ()1116212113n ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭ 解得：6n =，经检验6n =是原方程的解.∴()()11261261143x ==⨯-⨯+ 【点睛】此题考查的是阅读材料和解分式方程，根据材料给出的方法解决类似计算和用换元法列方程并解方程是解决此题的关键.18．5-或12-．【解析】【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x 值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于k 的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：原方程变形为122(1)1(2)x kx x x x x x ++-+=-+-，方程去分母后得：(1)(1)(2)2x x x x kx -+-+=+，整理得：(2)3k x +=-，分以下两种情况：令1x =，23k +=-，5k ∴=-；令2x =-，2(2)3k -+=-，12k ∴=-，综上所述，k 的值为5-或12-．故答案为：5-或12-．【点睛】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于k 的方程是解题关键． 19．m<3且m≠32; 【解析】【分析】解方程，用含m 的式子表示x ，由x >0，求出m 的范围，再把使分母为0的x 值排除.【详解】解方程3x x -＝2＋23m x -得，x ＝6－2m . 因为x 为正数，所以6－2m ＞0，即m ＜3. 把x ＝3代入方程x ＝6－2m 得，3＝6－2m ，解得m ＝32. 所以m 的取值范围是m <3且m ≠32.故答案为m <3且m ≠32. 【点睛】本题考查了由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，这种问题的一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.20．x 1=m ，x 2=1m m -. 【解析】【分析】先把方程1111x m x m +=+--两边同时减去1可化为111111x m x m -+=-+--，这个方程的结构形式与11x m x m +=+一样，然后仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可．【详解】11x m x m +=+,1111x m x m +=+-- 解：方程1111x m x m +=+--两边同时减去1可化为111111x m x m -+=-+-- ∵关于x 的方程11x m x m +=+的两根为x 1=m ，21x m = ∴关于x 的方程111111x m x m -+=-+--的解为x-1=m-1，x-1=11m -， ∴x 1=m ，x 2=1m m -，故答案为：x 1=m ，x 2=1m m - 【点睛】此题考查了根据特殊形式的分式方程的已知解来解类似形式的分式方程，读懂特殊形式的结构然后把待解方程化为同一种形式结构是是解本题的关键．这类题要仔细观察思考，找到规律，不能以常规方法去解题.21．（1）1x x +，23；（2）136．【解析】试题分析：（1）根据分式的混合运算的法则，通分，把除法化为乘法，完成约分化简，然后代入分母不为0的数（x≠±1，0）代入求值即可.（2）根据配方法和非负数的意义，直接变形，求出x 、y 的值，再代入求解即可.试题解析：（1）2221211x x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭=2221[](1)(1)(1)x x x x x x x -⋅--+ =2221(1)(1)x x x x x -⋅-+ =22(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+⋅-+ =1x x + 当x=2时，原式=22=213+. （2）∵x 2＋y 2＋6x －4y ＋13=0∴x 2＋y 2＋6x －4y ＋13= x 2＋6x +9＋y 2-4y+4=（x+3）2+（y-2）2=0所以x+3=0，y-2=0解得x=-3，y=2∴()2xy -=()232--⨯=136. 22．2005x =-.【解析】【分析】原方程变形为11112004200620072003x x x x +=+++++，再去分母求解方程进行检验即可.【详解】原方程可化为11112004200620072003x x x x +=+++++，即11112006200720032004x x x x -=-++++， ()()()()()()()()20072006200420032006200720032004x x x x x x x x +-++-+=++++， ()()()()112006200720032004x x x x =++++，()()()()2006200720032004x x x x ++=++，224013402604240074014012x x x x ++=++， 612030x =-，2005x =-.经检验，2005x =-是原方程的根.∴原方程的解是2005x =-.【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根.23．2x x-, x=2时，原式=0．【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再求出不等式组的整数解，由分式有意义得出符合条件的x 的值，带入求解即可．【详解】解：原式=233(1)11x x x x x x ---+÷++ =23+211(1)x x x x x x -+⨯+- =(1)(2)11(1)x x x x x x --+⨯+-=2x x- 解不等式组23241x x -≤⎧⎨-⎩＜得-1≤x<52，所以不等式组的整数解有-1，0，1，2．因为分式有意义时x ≠±1，0．所以x=2x=2时，原式=2x x -=222-=0 【点睛】本题主要考查分式的混合运算以及不等式组的求解． 24．（1）()1212n n n n +++⋅，()111212n n n n +-⋅+⋅；（2）511910240. 【解析】试题分析：（1）分析已经给出的等式特点，直接写出a n 即可；（2）先计算出a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n 的和，再将n =9代入即可.试题解析：（1）a n =12 12n n n n （）+++=1·2n n －1112n n ++（）；（2）a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =112⨯－2122⨯+2122⨯－3132⨯+3132⨯－4142⨯+…+1·2n n －1112n n ++（）=12－1112n n ++（）， a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 9=12－101912+（）=511910240. 点睛：本题首先根据题目中已知的等式找出规律，写出a n ，求和的时候采用裂项相消的方法.25．（1）5 ;(2)4a, 【解析】试题分析：（1）根据二次根式、绝对值、锐角三角函数的性质，零次幂的性质，直接计算可求结果.（2）根据分式的混合运算和运算顺序，先把分子分母因式分解，把除化为乘，通分约分即可.试题解析：（1）﹣|﹣4|﹣2cos45°﹣（3﹣π）0 =3﹣4﹣2×﹣1 =2﹣5；（2）（﹣） =[﹣]× =× =，由题意可得：a≠1，且a≠﹣1，原式===2．26．（1）2236112511x x x x x ++=++--；（2）4222259315122x x x x x +-=--++. 【解析】【分析】（1）仿照例题将2236x x ++分解为(1)(2)x x a b -++，求出a 、b 的值即可得到答案；（2）将42593x x +-分解为22(2)(5)x x m n +++，得到10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，求出m 、n ，整理后即可得到答案.【详解】（1）由分母为x-1，可设2236x x ++=(1)(2)x x a b -++，∵(1)(2)x x a b -++=22222(2)()x ax x a b x a x b a +--+=+-+-，∴2236x x ++22(2)()x a x b a =+-+- ∴236a b a -=⎧⎨-=⎩，得511a b =⎧⎨=⎩，∴22361x x x ++-=(1)(25)111x x x -++-=(1)(25)1111x x x x -++--=11251x x ++-；（2）由分母为22x +，可设42593x x +-=22(2)(5)x x m n +++，∵22(2)(5)x x m n +++=4224251025(10)(2)m x mx x m x m n n x +++++=+++ ∴42593x x +-=42(10)(2)5x m n x m ++++，∴10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，得11m n =-⎧⎨=-⎩， ∴4225932x x x +-+=222(2)(51)12x x x +--+=221512x x --+. 【点睛】此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键.27．﹣8【解析】解：∵b 4﹣2b 2﹣1=0，∴b ≠0∴两边除以（﹣b 4）得：∵1﹣ab 2≠0∴又∵a 2+2a ﹣1=0，∴把看成关于x 的方程x 2+2x ﹣1=0的两根 ∴，b 4=2b 2+1， ∴a=﹣b 2∴== ==（﹣2）3=﹣8．【点评】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是求出a 与b 2的关系，然后把代数式化简成为常数即可求值．28．（1）甲、乙两种礼盒的单价分别为30元、20元；（2）购买的甲种礼盒最多买25个．【解析】【分析】（1）根据题意可以得到相应的分式方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题．【详解】（1）设乙种礼盒单价x 元600600101.5x x+=，解得，x=20，经检验x=20是原分式方程的解，则1.5x=30，即甲、乙两种礼盒的单价分别为30元、20元；（2）设购买甲种礼盒x 个，30x+20（40﹣x ）≤1050，解得，x≤25即购买的甲种礼盒最多买25个．【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．29．x=-3或x=1或16 【解析】【分析】设y=x-3x,则原方程变为3y 2+5y+18=20,求得y 的值，再代入即可求得x 的值. 【详解】设y=x-3x ,则原方程变为: 3y 2+5y+18=20,(y+2)(3y-1)=0y=-2或y=13当y=-2时,x=-3或x=1;当y=13时，.【点睛】考查了解方程，解题关键将通过设y=x-3x达到降低未知数的次数，从而求解.30．（1）43x；（2）点P原来的速度为65cm/s.【解析】【分析】（1）设点Q的速度为ycm/s，根据题意得方程即可；（2）根据勾股定理得到=求得CD=5-1=4，列方程即可得到结论. 【详解】（1）根据题意得：34x y=，解得y=43x；∴点Q的速度是43x cm/s（2）由勾股定理得，5 ==，∵AD=1cm，∴CD=5-1=4cm,在B点处首次相遇后，点P的运动速度为(x+2)cm，依题意得：3144423xx++=+，…解得：x=6 5 ,经检验，x=65是原分式方程的解.∴点P原来的速度为65cm/s.【点睛】本题考查了分式方程的应用以及勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．。

昆明市初中数学分式技巧及练习题附答案

昆明市初中数学分式技巧及练习题附答案一、选择题1．0000036=3.6×10-6；故选：A ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．若（x ﹣1）0＝1成立，则x 的取值范围是（）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．x≠0D ．x≠1【答案】D【解析】试题解析：由题意可知：x-1≠0，x≠1故选D.3．在等式[]209()a a a ⋅-⋅=中，“[]”内的代数式为（）A ．6aB ．()7a -C ．6a -D ．7a【答案】D【解析】【分析】首先利用零指数幂性质将原式化简为[]29a a ⋅=，由此利用同底数幂的乘除法法则进一步进行分析即可得出答案.【详解】()01a -=Q ，则原式化简为：[]29a a ⋅=，∴[]927a a -==，故选：D ．【点睛】本题主要考查了零指数幂的性质与同底数幂的乘除法运算，熟练掌握相关概念是解题关键.4．0000025=2.5×10﹣6，故选B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．若式子2x -有意义，则x 的取值范围为（）． A ．x≥2B ．x≠2C ．x≤2D ．x ＜2【答案】D【解析】【分析】根据被开方式大于且等于零，分母不等于零列式求解即可．【详解】解：∵式子2x -有意义 ∴2x 0x 20-≥⎧⎨-≠⎩∴x ＜2故选：D【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．6．要使分式81x -有意义，x 应满足的条件是（） A ．1x ≠-B ．0x ≠C ．1x ≠D ．2x ≠ 【答案】C【解析】【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．【详解】要使分式81x -有意义，则x-1≠0，解得：x≠1．故选：C ．【点睛】此题考查分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．7．若分式12x x +-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A ．2x > B ．2x < C ．1x ≠- D ．2x ≠【解析】【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【详解】由题意可知：x-2≠0，x≠2，故选：D ．【点睛】本题考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．8．数字0.00000005m ，用科学记数法表示为( )m ．A ．70.510-⨯B ．60.510-⨯C ．7510-⨯D ．8510-⨯ 【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】将0.00000005用科学记数法表示为8510-⨯．故选D ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．9．一艘轮船往返甲、乙两港之间，第一次往返航行时，水流速度为a 千米时，第二次往返航行时，正遇上发大水，水流速度b 千米时（b a >），已知该船在两次航行中的静水速度相同，则该船这两次往返航行所用时间的关系是（）A ．第一次往返航行用的时间少B ．第二次往返航行用的时间少C ．两种情况所用时间相等D ．以上均有可能【答案】A【解析】【分析】甲乙两港之间的路程一定，可设其为S ，两次航行中的静水速度设为v ，所用时间=顺流时间+逆流时间，注意顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度﹣水流速度，把相关数值代入，比较即可.解：设两次航行的路程都为S ，静水速度设为v ，第一次所用时间为：222S S vS v a v a v a +=+-- 第二次所用时间为：222S S vS v b v b v b +=+-- ∵b a >，∴22b a >，∴2222v b v a -<-， ∴222222vS vS v b v a >-- ∴第一次的时间要短些.故选：A.【点睛】本题主要考查了列代数式，得到两次所用时间的等量关系是解决本题的关键.10．如果把2x x y-中的x 与y 都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（） A ．不变 B ．扩大为原来的5倍 C ．扩大为原来的10倍 D ．缩小为原来的110【答案】A【解析】由题意，得525x 5y x ⨯-=()525x y x ⨯-=2x x y- 故选：A.11．已知112x y +=，则23xy x y xy +-的值为（） A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-【答案】D【解析】【分析】先将已知条件变形为2x y xy +=，再将其整体代入所求式子求值即可得解．【详解】解：∵112x y+= ∴2x y xy+= ∴2x y xy += ∴2222323xy xy xy x y xy xy xy xy===-+---．故选：D【点睛】本题考查了分式的化简求值，此题涉及到的是整体代入法，能将已知式子整理变形为2x y xy +=的形式是解题的关键．12．某种病毒变异后的直径为0.000000102米，将这个数写成科学记数法是（） A ．61.0210-⨯B ．60.10210-⨯C ．71.0210-⨯D ．810210-⨯【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示比较小的数时，n 的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．【详解】解：0.000000102=71.0210-⨯．故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．下列方程中，有实数根的方程是（）A ．x 4+16＝0B ．x 2+2x +3＝0C ．2402x x -=-D 0=【答案】C【解析】【分析】利用在实数范围内，一个数的偶数次幂不能为负数对A 进行判断；利用判别式的意义对B 进行判断；利用分子为0且分母不为0对C 进行判断；利用非负数的性质对D 进行判断．【详解】解：A 、因为x 4＝﹣16＜0，所以原方程没有实数解，所以A 选项错误；B 、因为△＝22﹣4×3＝﹣8＜0，所以原方程没有实数解，所以B 选项错误；C 、x 2﹣4＝0且x ﹣2≠0，解得x ＝﹣2，所以C 选项正确；D 、由于x ＝0且x ﹣1＝0，所以原方程无解，所以D 选项错误．故选：C ．【点睛】此题考查判别式的意义，分式有意义的条件，二次根式，解题关键在于掌握运算法则14．计算211a a a ---的正确结果是( ) A ．11a -- B ．11a - C ．211a a --- D ．211a a -- 【答案】B【解析】【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．【详解】原式()211a a a =-+- 22111a a a a -=--- 11a =-. 故选B ．【点睛】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用．15．一种微生物的直径约为0.0000027米，用科学计数法表示为（）A ．62.710-⨯B ．72.710-⨯C ．62.710-⨯D ．72.710⨯【答案】A【解析】【分析】绝对值小于1的正数科学记数法所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定.【详解】解：0.0000027的左边第一个不为0的数字2的前面有6个0，所以指数为-6，由科学记数法的定义得到答案为62.710-⨯.故选A.【点睛】本题考查了绝对值小于1的正数科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯.16．下面是一名学生所做的4道练习题：①224-=；②336a a a +=；③44144mm -=；④()3236xy x y =。

昆明市最新初中数学—分式的技巧及练习题附答案

一、选择题1．如果把分式2xx y-中的x 与y 都扩大2倍，那么分式的值（）A ．不变B ．扩大2倍C ．缩小2倍D ．扩大4倍2．分式：22x 4- ，x42x- 中，最简公分母是 A ．()()2x 4?42x --B ．()()x 2x ?2+C ．()()22x 2x 2-+-D ．()()2x 2?x 2+-3．若a = （－0.4）2，b = －4－2，c =214-⎛⎫- ⎪⎝⎭，d =014⎛⎫- ⎪⎝⎭，则 a 、b 、c 、d 的大小关系为（） A ．a <b <c <d B ．b <a <d <c C ．a <d <c <b D ．c <a <d <b 4．下列各式中，正确的是（）．A ．1122b a b a +=++B ．22142a a a -=-- C ．22111(1)a a a a +-=-- D ．11b ba a---=- 5．下列计算，正确的是（） A ．2(2)4--=B ．222()-=-C ．664(2)64÷-=D ．826-=6．已知有理式：4x 、4a 、1x y -、34x 、12x 2、1a ＋4，其中分式有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．分式a x ，22x y x y +-，2121a a a --+，+-x y x y 中，最简分式有（）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．下列选项中，使根式有意义的a 的取值范围为a ＜1的是（） A ．a 1-B ．1a -C ．()21a - D ．11a- 9．人体中红细胞的直径约为0.000 007 7 m ，用科学记数法表示该数据为（） A ．7.7×106 B ．7.7×107 C ．7.7×10－6 D ．7.7×10－7 10．下列约分结果正确的是( ) A ．2mgR BLB ．a m ab m b+=+ C ．22x y x y x y-=-- D ．22111m m m m -+-=-+-11．下列各式计算正确的是（）A ．a x ab x b+=+ B ．112a b a b+=+C ．22()a a b b=D ．11x y x y-=-+- 12．把分式2210x y xy+中的x y 、都扩大为原来的5倍，分式的值（）A ．不变B ．扩大5倍C ．缩小为15D ．扩大25倍13．若 ()1311xx --=，则 x 的取值有 ()A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个14．计算21424m m ++-的结果是（） A ．2m +B ．2m -C ．12m + D ．12m - 15．2018年3月3日，新浪综合网报道：“中科院发明首个抗癌DNA 纳米机器人，可精准阻断肿瘤血管饿死肿瘤!”．中国科学家团队研发出的这种可编程、基于 DNA 折纸技术的纳米机器人大小只有90×60×2nm ，nm 是长度计量单位，1nm=0.000000001米，则2nm 用科学记数法表示为（）A ．2×109米 B ．20×10-8米 C ．2×10-9米 D ．2×10-8米 16．一种花粉颗粒直径约为0.0000065米，数字0.0000065用科学记数法表示为（） A ．0.65×10﹣5 B ．65×10﹣7 C ．6.5×10﹣6 D ．6.5×10﹣5 17．（下列化简错误的是（）A ）﹣1=2B =2C 52=± D ）0=118．若0x y y z z xabc a b c---===<，则点P(ab ，bc)不可能在第（）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四19．已知12x y-=3，分式4322x xy yx xy y +-+-的值为( )A ．32B ．0C ．23D ．9420．已知m ﹣1m ，则1m+m 的值为（）A ．BC ．D ．1121．计算（16）0×3﹣2的结果是（）A ．32B ．9C ．19-D ．1922．分式212xy 和214x y的最简公分母是（） A ．2xyB ．2x 2y 2C ．4x 2y 2D ．4x 3y 323．如果把代数式x yxy+中的x 与y 都扩大到原来的8倍，那么这个代数式的值（）A ．不变B ．扩大为原来的8倍C ．缩小为原来的18D ．扩大为原来的16倍24．下列运算错误的是（）A 4=B ．12100-=C 3=- D 2=25．生物学家发现一种病毒的长度约为0.00 004mm ，0.00 004用科学记数法表示是（） A ．40.410-⨯B ．5410-⨯C ．54010-⨯D ．5410⨯【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：解答此题时，可将分式中的x ，y 用2x ，2y 代替，然后计算即可得出结论．详解：依题意得：2222x x y ⨯-=222xx y ⋅⋅-（）=原式．故选A ．点睛：本题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n 倍，就将原来的数乘以n 或除以n ．2．D解析：D 【解析】 ∵2224(2)(2)x x x =-+-，422(2)x xx x =---， ∴分式22 442xx x --、的最简公分母是：2(2)(2)x x +-. 故选D.3．B解析：B 【解析】∵a=0.16；b=-214=-116；c =(211()4-)=16；d =1；故：b<a<d<c4．C解析：C 【解析】解；A ．分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，故A 错误； B ．分子除以（a ﹣2），分母除以（a +2），故B 错误；C ．分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C 正确；D ．分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故D 错误；故选C ．5．C解析：C 【解析】【详解】解：A ．()2124--=，所以A 错误； B2=，所以B 错误；C ．()666664242264÷-=÷==，所以C正确； D==D 错误，故选C ．6．B解析：B 【解析】4a 、、34x 、12x 2的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式. 4x、、1x y -、1a ＋4的分母中含有字母,因此是分式.所以B 选项是正确的.点睛：本题主要考查分式的概念,分式与整式的区别主要在于:分母中是否含有未知数.7．B解析：B 【解析】试题解析：a x，+-x yx y 是最简分式，221()()x y x y x y x y x y x y ++==-+--，2211121(1)1a a a a a a --==-+--．故选B.8．D解析：D 【解析】解：A ．当a ≥1时，根式有意义． B ．当a ≤1时，根式有意义． C ．a 取任何值根式都有意义．D ．要使根式有意义，则a ≤1，且分母不为零，故a ＜1．故选D ．点睛：判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母的不等于0混淆．9．C解析：C【解析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定， 0.000 007 7=7.7×10-6，故选C.10．D解析：D 【解析】 A.282123x x y xy = ，故A 选项错误；B. a mb m++已是最简分式，故B 选项错误；C.22x y x y x y -=+-，故C 选项错误；D. 22111m m m m -+-=-+-，正确，故选D.11．D解析：D 【解析】根据分式的基本性质，可知A 不正确；根据异分母的分式相加，可知11a b +=b a a b ab ab ab ++=，故不正确；根据分式的乘方，可知2a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭22a b ，故不正确；根据分式的性质，可知11x y x y-=-+-，故正确. 故选：D.12．A解析：A 【详解】∵要把分式2210x y xy+中的x y 、都扩大5倍，∴扩大后的分式为：()()()22222225551055251010x y x y xy x yxyxy+++==⨯⨯⨯，∴把分式2210x y xy+中的x y 、都扩大5倍，分式的值不变.故选A.点睛：解这类把分式中的所有字母都扩大n 倍后，判断分式的值的变化情况的题，通常是用分式中每个字母的n 倍去代替原来的字母，然后对新分式进行化简，再把化简结果和原来的分式进行对比就可判断新分式和原分式相比值发生了怎样的变化.13．C解析：C 【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则得出答案．【详解】解：∵（1-x ）1-3x =1， ∴当1-3x=0时，原式=1，当x=0时，原式=1，故x 的取值有2个．故选C ．【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．14．D解析：D 【解析】【分析】先通分，再加减.注意化简. 【详解】21424124(2)(2)2m m m m m m -++==+-+-- 故选：D 【点睛】考核知识点：异分母分式加减法.通分是关键.15．C解析：C【解析】分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．详解：0.000000001×2=2×10﹣9．故选C．点睛：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．16．C解析：C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】解：0.0000065的小数点向右移动6位得到6.5，所以数字0.0000065用科学记数法表示为6.5×10﹣6，故选C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．17．C解析：C【解析】【分析】分别利用负指数幂的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】A﹣1=2，正确，不合题意；B，正确，不合题意；C52=，故此选项错误，符合题意；D0=1，正确，不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．A解析：A 【解析】【分析】根据有理数的乘法判断出a ，b ，c 中至少有一个是负数，另两个同号，然后求出三个数都是负数时x 、y 、z 的大小关系，得出矛盾，从而判断出a 、b 、c 不能同时是负数，确定出点P 不可能在第一象限．【详解】解：∵abc <0，∴a ，b ，c 中至少有一个是负数，另两个同号，可知三个都是负数或两正数，一个是负数，当三个都是负数时：若x yabc a-=, 则20x y a bc -=>，即x >y ，同理可得：y >z ，z >x 这三个式子不能同时成立，即a ，b ，c 不能同时是负数，所以，P (ab ,bc )不可能在第一象限. 故选：A. 【点睛】本题主要考查分式的基本性质和点的坐标的知识，熟悉点的坐标的基本知识是本题的解题关键，确定一个点所在象限，就是确定点的坐标的符号．19．A解析：A 【解析】【分析】先根据题意得出2x-y=-3xy ，再代入原式进行计算即可．【详解】解：∵12x y-=3,∴2x-y=-3xy ， ∴原式=()()2232x y xyx y xy-+-+，=633xy xyxy xy-+-+，=32xyxy --， =32，故选A ．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．A解析：A 【分析】根据完全平方公式即可得到结果. 【详解】1m-=m21m-=7m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭, 221m -2+=7m ∴,221m +=9m∴,22211m+=m +2+=11m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,1m+m ∴=. 故选A. 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟悉掌握公式是关键.21．D解析：D 【解析】【分析】根据零指数幂的性质以及负指数幂的性质先进行化简，然后再进行乘法运算即可. 【详解】(16)0×3﹣2=11199⨯=，故选D ．【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负指数幂的运算，正确化简各数是解题关键．22．C解析：C 【解析】【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【详解】分式212xy 和214x y的最简公分母是4x 2y 2. 故选C. 【点睛】本题考查了最简公分母的知识，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．23．C解析：C 【解析】【分析】根据x 与y 都扩大到原来的8倍，分别判断出x+y 、xy 的变化情况，即可判断出这个代数式值的变化情况. 【详解】因为x 与y 都扩大到原来的8倍，所以x+y 扩大到原来的8倍，xy 扩大到原来的64倍，所以这个代数式的值缩小为原来的18.所以A 、B 、D 错误，C 正确. 【点睛】本题主要考察了分式的基本性质应用，要熟练掌握分式的基本性质；解答此题的关键在于分别判断出x+y 、xy 的变化情况.24．B解析：B 【解析】【分析】分别根据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一解答即可．【详解】A 、∵42=16=4，故本选项正确；B 、12100-110，故本选项错误；C 、∵（-3）3=-273=-，故本选项正确；D =2，故本选项正确．故选B ．【点睛】本题考查的是立方根及算术平方根，熟知立方根及算术平方根的定义是解答此题的关键．25．B解析：B【解析】解：0.00 004=5410-⨯．故选B ．。

八年级数学分式填空选择单元培优测试卷

= 3 x 1 10
x 1 =3+ 10 ；
x 1
（2）由分母为 x2 1，
可设 x4 6x2 8 x2 1 x2 a b ，
则 x4 6x2 8
x2 1 x2 a b
x4 ax2 x2 a b
x4 (a 1)x2 (a b) ．
∵对于任意的 x，上述等式均成立，
x
∵x＞0，
∴ y x 16 3 2 x 16 3 11
x
x
当 x 16 时，最小值为 11； x
（3）设 S△BOC=x，已知 S△AOB=4，S△COD=9 则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD ∴x：9=4：S△AOD
∴：S△AOD= 36 x
∴四边形 ABCD 面积=4+9+x+ 36 13 2 x 36 25
3x
x 60
经检验， x 5 是原方程的根，
∴ 3x 15
答：王老师的步行速度是 5 km / h ，则王老师骑自行车的速度是15 km / h .
【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.
12．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
公分母 x 2 0，得到 x 2 ，然后代入化为整式方程的方程算出 m 的值．
【详解】
解：方程两边都乘 x 2 ，得 x 2m 2m(x 2)
∵原方程有增根，
∴最简公分母 x 2 0，解得 x 2 ，当 x 2 时， m 1
故 m 的值是 1，故答案为 1 【点睛】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0 确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

昆明市最新初中数学—分式的技巧及练习题附答案

一、选择题1．下列各分式中，最简分式是（）A ．21x x +B ．22m n m n-+C ．22a ba b+- D ．22x yx y xy ++2．如果把5xy x y+中的x 和y 都扩大为原来的10倍，那么这个分式的值（）A ．不变B ．扩大为原来的50倍C ．扩大为原来的10倍D ．缩小为原来的1103．设2222x 18n x 33x x 9+=+++--，若n 的值为整数，则x 可以取的值得个数是（） A ．5B ．4C ．3D ．24．若222110.2,2,(),.()25a b c d --=-=-=-=-，则（） A ．a b c d <<< B ．b a d c <<<C ．a b d c <<<D ．c a d b <<<5．把分式中的、的值同时缩小到原来的，则分式的值（）A ．扩大为原来的2倍B ．不变C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的一半6．小张在课外阅读中看到这样一条信息：“肥皂泡的厚度约为0.0000007m ”，请你用科学记数法表示肥皂泡的厚度，下列选项正确的是（） A ．0.7 ⨯10-6 mB ．0.7 ⨯10-7mC ．7 ⨯10-7mD ．7 ⨯10-6m7．若x 2-6xy +9y 2=0，那么x yx y-+的值为（）A ．12yB ．12y-C ．12D ．12-8．把分式a2a b+中的a 、b 都扩大2倍，则分式的值（） A ．缩小14 B ．缩小12C ．扩大2倍D ．不变9．纳米是一种长度单位，1纳米810-=米，己知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为( ) A ．43.510⨯米B ．43.510-⨯米C ．33.510-⨯米D ．93.510-⨯ 10．下列四种说法（1）分式的分子、分母都乘以（或除以），分式的值不变；（2）分式的值能等于零；（3）的最小值为零；其中正确的说法有（）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．0个11．如果把分式2++a ba b中的a 和b 都扩大为原来的10倍，那么分式的值（） A ．不变B ．缩小10倍C ．是原来的20倍D ．扩大10倍12．若a ＝﹣0.22，b ＝﹣2-2，c ＝(﹣12)-2，d ＝(﹣12)0，则它们的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c ＜d B ．b ＜a ＜d ＜c C ．a ＜d ＜c ＜bD ．c ＜a ＜d ＜b13．下列变形中，正确的是（）A ．2211x xy y-=-B ．22m m n n=C ．2()a b a ba b-=-- D ．2233x x +=+ 14．下列各式中，正确的是（）A ．22x y x y -++=-B ．()222x y x y x y x y --=++ C ．1a b b ab b++= D ．23193x x x -=-- 15．若把分式3xyx y-（,x y 均不为0）中的x 和y 都扩大3倍，则原分式的值是（） A ．扩大3倍B ．缩小至原来的13C ．不变D ．缩小至原来的1616．若23a b =≠0，则代数式（2244b aba-+1）2b a a -÷的值为（） A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣217．下列运算错误的是（） A ．235a a a ⋅= B ．()()422ab ab ab ÷-=C ．()222424aba b -=D ．3322aa -=18．下列计算错误的是( ) A ．()326327x x -=-B ．()()325y y y --=-C ．326-=-D ．()03.141π-=19．下列运算正确的是( ) A ．1133a a﹣＝B ．2322a a a +＝C ．326()•a a a ﹣＝﹣D ．32()()a a a ÷﹣﹣＝20．世界上最小的开花结果植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将0.000000076用科学记数法表示为（） A ．87.610⨯B ．77.610-⨯C ．87.610-⨯D ．97.610-⨯21．下列等式成立的是（）A ．123a b a b +=+B ．212a b a b =++ C ．2ab aab b a b=--D ．a aa b a b=--++ 22．若代数式21a 4-在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围为（） A ．a 4≠ B ．a 2>-C ．2a 2-<<D ．a 2≠±23．若115a b =，则a b a b-+的值是（） A ．25B ．38C ．35D ．11524．化简21211a aa a----的结果为（） A ．11a a +- B ．a ﹣1 C ．a D ．125．下列分式运算中，正确的是（）A ．111x y x y +=+B ．x a ax b b+=+ C ．22x y x y x y -=+- D ．.a c adb d bc=【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】最简分式就是分式的分子和分母没有公因式，也可理解为分式的分子和分母的最大公因式为1．所以判断一个分式是否为最简分式，关键是要看分式的分子和分母的最大公因式是否为1．【详解】解：A.21xx +，分子分母的最大公因式为1； B. 22m n m n-+，分子分母中含有公因式m+n;C. 22a ba b +-,分子分母中含有公因式a+b ； D.22x yx y xy ++，分子分母中含有公因式x+y故选：A. 【点睛】最简分式首先系数要最简；一个分式是否为最简分式，关键看分子与分母是不是有公因式，但表面不易判断，应将分子、分母分解因式．2．C解析：C 【解析】【分析】首先分别判断出x 与y 都扩大为原来的10倍后，分式的分子、分母的变化情况，然后判断出这个代数式的值和原来代数式的值的关系即可．【详解】解：∵x 与y 都扩大为原来的10倍，∴5xy 扩大为原来的100倍，x+y 扩大为原来的10倍， ∴5xyx y+的值扩大为原来的10倍，即这个代数式的值扩大为原来的10倍．故选：C ．【点睛】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出分式的分子、分母的变化情况．3．B解析：B 【解析】【分析】先通分，再加减，最后化简．根据化简结果为整数，确定x 的取值个数．【详解】 n=222218339x x x x ++++-- =()()()()()()()()2323218333333x x x x x x x x x -++-++-+-+-=()()262621833x x x x x ---+++-=()()()2333x x x ++-=23x - 当x-3=±1、±2，即x=4、2、1、5时分式23x -的值为整数．故选B ．【点睛】本题考查了异分母分式的加减法及分式为整数的相关知识．解决本题的关键是根据化简结果得到分式值为整数的x 的值．4．B解析：B 【解析】【分析】分别计算出a 、b 、c 、d 的值，再进行比较即可. 【详解】因为20.2a =-=-0.04,b=22--=－14,c=212-⎛⎫- ⎪⎝⎭=4,d=015⎛⎫- ⎪⎝⎭=1, 所以b a d c <<<. 故选B. 【点睛】本题考查比较有理数的大小，涉及知识有负整数指数幂、0次幂，解题关键是熟记法则.5．A解析：A 【解析】【分析】根据题意可知原来的x 变成，原来的y 变成，在根据分式基本性质可以求得答案.【详解】由题意可知：分式的值扩大为原来的2倍. 故选：A 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．6．C解析：C 【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000 000 7=7×10-7．故选C．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7．C解析：C【解析】【分析】根据完全平方公式求出x与y的关系，代入计算即可．【详解】x2-6xy+9y2=0，（x-3y）2=0，∴x=3y，则x yx y-+=3132y yy y-=+，故选：C．【点睛】本题考查的是求分式的值，掌握完全平方公式、分式的计算是解题的关键．8．D解析：D【解析】【分析】根据题意进行变形，发现实质上是分子、分母同时扩大2倍，根据分式的基本性质即可判断．【详解】根据题意，得把分式a2a b+中的a、b都扩大2倍，得2a2a a22a2b2(2a b)2a b==⨯+++，根据分式的基本性质，则分式的值不变．故选D．【点睛】此题考查了分式的基本性质．9．B解析：B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】35000纳米=35000×10-8米=3.5×10-4米．故选：B．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10．A解析：A【解析】(1)分式的分子、分母都乘以(或除以)不为零的整式,分式的值不变,故(1)错误；(2)分式的值不能等于零，故②错误；(3)的最小值为零,故(3)正确；故选A.11．A解析：A【分析】根据分式的基本性质代入化简即可.【详解】扩大后为：102022=1010)a b a b a b a b a b a b+++=+++10（）10(分式的值还是不变故选：A.【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握性质是关键.12．B解析：B【解析】【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得答案．【详解】∵a＝﹣0.22＝﹣0.04；b＝﹣2﹣2＝﹣14＝﹣0.25，c＝(﹣12)﹣2＝4，d＝(﹣12)0＝1，∴﹣0.25＜﹣0.04＜1＜4，∴b ＜a ＜d ＜c ，故选B ．【点睛】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1是解题关键．13．C解析：C 【分析】根据分式的性质分子分母同时乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，进行判断选择即可. 【详解】A ，B ，D 均不符合分式分子分母同时乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变的性质，选项C 可以将分子分母同时除以（a-b ）到()2a b a b a b-=--，故答案选择C.【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式中分子分母同时乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，是解题的关键.14．B解析：B 【分析】根据分式的性质，对每个选项的式子一一判断正误即可．【详解】22x y x y-+-=-，故A 选项错误； ()222()()()()x y x y x y x y x y x y x y x y --+-==++++，故B 选项正确； 1ba ba ab b ++=，故C 选项错误；23319(3)(3)3x x x x x x --==-+-+，故D 选项错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查分式的化简，熟记分式的性质是解题关键．15．A解析：A 【分析】将原式中x 变成3x ，将y 变成3y ，再进行化简，与原式相比较即可.【详解】由题意得3332733333()x y xy xyx y x y x y⋅⋅==⋅---，所以原分式的值扩大了3倍故选择A. 【点睛】此题考察分式的化简，注意结果应化为最简分式后与原分式相比较.16．A解析：A 【分析】由23a b=≠0，得2b ＝3a ，把根据分式运算法则进行化简，再代入已知值计算即可. 【详解】解：（2244b ab a -+1）2b a a -÷ 222442b ab a a a b a -+=•- 22(2)2a b aa b a -=•- 2b a a-=， ∵23a b=≠0， ∴2b ＝3a ， ∴原式32a a aa a-===2，故选：A ．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．17．B解析：B 【分析】直接运用同底数幂的乘法运算法则、单项式除以单项式运算法则、积的乘方与幂的乘方运算法则以及负整数指数幂的意义分别计算得出答案再进行判断即可．【详解】A ． 235a a a ⋅=，计算正确，不符合题意；B ． ()()4222ab ab a b ÷-=，原选项计算错误，符合题意； C ． ()222424ab a b -=，计算正确，不符合题意；D ． 3322aa -=，计算正确，不符合题意．故选：B ．【点睛】此题主要考查了幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．C解析：C 【分析】根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则、零次幂、负指数幂进行计算【详解】 A ． ()326327x x -=-，不符合题意；B ． ()()325y y y --=-，不符合题意；C ． -312=8，原选项错误，符合题意； D ． ()03.141π-=，不符合题意；故选：C 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方法则、零次幂、负指数幂，掌握同底数幂的乘法法则，积的乘方法则、零次幂、负指数幂是解题的关键．19．D解析：D 【分析】直接利用负指数幂的性质以及同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．【详解】解：A 、133aa-=，故此选项错误； B 、22a a +，不是同类项无法合并；C 、()325aa a -⋅=-，故此选项错误； D 、()()32a a a -÷-=，正确；故选：D ．【点睛】此题考查负指数幂的性质以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20．C解析：C 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.000000076用科学记数法表示为7.6×10-8．故选：C ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．21．C解析：C【分析】根据分式的运算，分别对各选项进行运算得到结果，即可做出判断．【详解】A 、221b b a ab a +=+，故A 错误； B 、22a b +，分子分母具有相同的因式才可以约分，故B 错误； C 、2()ab ab a ab b b a b a b ==---，故C 正确； D 、a a a b a b=--+-，故D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了分式的运算，熟悉分式的通分以及约分的重要法则是解决本题的关键．22．D解析：D【分析】分式有意义时，分母a 2-4≠0．【详解】依题意得：a 2-4≠0，解得a≠±2．故选D ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零23．B解析：B【分析】直接根据已知用含x 的式子表示出两数，进而代入化简得出答案．【详解】解：∵115a b = ∴设11a x =，5b x = ∴11531158a b x x a b x x --==++ 故选：B【点睛】此类化简求值题目，涉及到的字母a 、b 利用第三个未知数x 设出，代入后得到关于x 的式子进行约分化简即可．将两个字母转化为一个字母是解题的关键．24．B解析：B【解析】分析：根据同分母分式加减法的运算法则进行计算即可求出答案．详解：原式=21211a a a a -+--， =2(1)1a a --， =a ﹣1故选B ．点睛：本题考查同分母分式加减法的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．25．C解析：C【分析】根据分式的运算法则计算各个选项中的式子，从而可以解答本题．【详解】解：∵11,x y x y xy++= 故A 错误； (0)x a a x x b b+≠≠+，故B 错误；. 22()()x y x y x y x y x y x y-+-==+--，故C 正确； ∵.a c ac b d bd=，故D 错误. 故选：C【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．。

昆明数学一元二次方程单元培优测试卷

昆明数学一元二次方程单元培优测试卷一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7k =±详见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=1472k ±∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17.3+-∴满足条件的k 值存在，且7k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．2．已知二次函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a 的值；②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax +b 的最大值及最小值；【答案】①a 的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9【解析】【分析】①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值；②根据a ≤x ≤b ，b ＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y ＝﹣4x ﹣3，根据函数的性质当x ＝﹣4时，函数取得最大值，x ＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.【详解】解：①∵y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a ×（﹣1）+a 2+3，解得，a 1＝﹣2，a 2＝﹣4，∴a 的值是﹣2或﹣4；②∵a ≤x ≤b ，b ＝﹣3∴a ＝﹣2舍去，∴a ＝﹣4，∴﹣4≤x ≤﹣3，∴一次函数y ＝﹣4x ﹣3，∵一次函数y ＝﹣4x ﹣3为单调递减函数，∴当x ＝﹣4时，函数取得最大值，y ＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13x ＝﹣3时，函数取得最小值，y ＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.【点睛】此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.3．问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=︒，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高．问题探究（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积问题解决（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．【答案】（1）4；（2）203；（3）存在，最小值为16216- 【解析】【分析】（1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据S △ABE =1AE BH 2即可求解；（3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=1AE BH 2得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可．【详解】（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，∵S △ABC =1BC AM=82∴82AM==44⨯即BC 边上的高为4；（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，∵AD BC ∥，90D ∠=︒∴∠BCD=∠D=90°=∠F∴四边形BCDF 为矩形，又∵BC=CD=4∴四边形BCDF 为正方形，∴DF=BF=BC=4，又∵AD ∥BC∴∠FAB=∠CBA又∵∠EAB=∠CBA∴∠FAB=∠EAB∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE∴BH=BF=4，在Rt △BCE 和Rt △BHE 中，∵BE=BE ，BH=BC=4∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ）∴EH=CE=2同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ）∴AF=AH设AD=a ，则AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()22226+=-a a 解得8=3a ∴AE=6-a=103 S △ABE =111020AE BH=4=2233⨯⨯ （3）存在，如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()22244+-=-+a m a m整理得8=4+m a m ∴AE=AH+HE=2816444+-+=++m m m m m 设△ABE 的面积为y ，则y=()222161116AE BH=42244++=++m m m m ∴()()24216+=+y m m 整理得：223240++-=m ym y∵方程必有实数根∴()2=423240∆-⨯⨯-≥y y 整理得2322560+-≥y y∴()()16216162160⎡⎤⎡⎤---≥⎣⎦⎣⎦y y （注：利用求根公式进行因式分解）又∵面积y ≥0∴216≥y即△ABE 的面积最小值为16216．【点睛】本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．4．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0．小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．” （1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x1=2n，x2=﹣4n．【解析】【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2n，x2=﹣4n．5．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数；（2）设BC a =，AC b =； ①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由.②若线段AD EC =，求a b的值. 【答案】（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②34a b =. 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【详解】（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒.∴90B A ∠=︒-∠9028=︒-︒62=︒，∵BC BD =，∴1802B BCD BDC ︒-∠∠=∠= 180622︒-︒= 59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒31=︒.（2）①BD BC a ==，∴AD AB BD =-AB a =-.在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB ==∵2220x ax b +-=，∴22a x -±=a =-a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.②∵AE AD =，又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==， ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+， ∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 22224b a ab b a ++=+， ∴234b ab =. ∵0b >， ∴34b a =， ∴34a b =. 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上，OA 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根（OA ＞OB ）．（1）求点D 的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D（4，7）（2）y=3944x （3）详见解析【解析】试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°=∠AOB，∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB，∴△DAE≌△ABO（AAS），∴DE=OA=4，AE=OB=3，∴OE=7，∴D（4，7）；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C（7，3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），代入B（3，0），C（7，3）得，，解得，∴y=x﹣；（3）存在．点P与点B重合时，P1（3，0），点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数8．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．【答案】△ABC的周长为10．【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．9．如图，某农家拟用已有的长为8m 的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m 2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym （其中y ≥4），另两边的篱笆长分别为xm ．（1）求y 关于x 的函数表达式，并求x 的取值范围．（2）若仅用现有的11m 长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】（1）y ＝；1.5≤x ≤3；（2）长为8m ，宽为1.5m ．【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式可得出y 关于x 的函数表达式，结合4≤y ≤8可求出x 的取值范围；（2）由篱笆的长可得出y ＝（11﹣2x ）m ，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）∵矩形的面积为12m 2，∴y ＝．∵4≤y ≤8，∴1.5≤x ≤3．（2）∵篱笆长11m ，∴y ＝（11﹣2x ）m ．依题意，得：xy ＝12，即x （11﹣2x ）＝12，解得：x 1＝1.5，x 2＝4（舍去），∴y ＝11﹣2x ＝8．答：矩形园子的长为8m ，宽为1.5m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y 关于x 的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．10．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0.【解析】【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝，由条件，知12121211x x x x x x ++==3，即33a -=，且94a ≤，故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0， Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k-1≠0时，∆=9-8（k-1）=17-6-8k≥0，则178k≤，又k是正整数，且k≠1，则k=2，但使2216kk k-+-无意义.综上，代数式2216kk k-+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，。

昆明市最新初中数学—分式的技巧及练习题附答案

一、选择题1．将分式3ab a b -中的a 、b 都扩大到3倍,则分式的值 ( ) A ．不变B ．扩大3倍C ．扩大9倍D ．扩大6倍 2．计算23x 11x +--的结果是 A ．1x 1- B ．11x - C ．5x 1- D ．51x- 3．计算1÷11m m+-(m 2－1)的结果是( ) A ．－m 2－2m －1B ．－m 2＋2m －1C ．m 2－2m －1D ．m 2－1 4．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（）A ．B ．C ．D ．5．下列各式、、、+1、中分式有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．下列分式变形中，正确的是（）.A . b a b a b a +=++22B ．1-=++-y x y xC ． ()()m n n m m n -=--23D ．bm am b a = 7．分式 (a 、b 均为正数)，字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值( )A ．扩大为原来的2倍B ．缩小为原来的C ．不变D ．缩小为原来的8．已知+=3，则分式的值为（）A ．B ．9C ．1D ．不能确定9．下列算式，计算正确的有（）①10－3＝0.0001； ②(0.0001)0＝1； ③3a －2＝213a ； ④(－2)3÷(－2)5＝－2－2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．下列各式变形正确的是（）A ．B ．C ．D ．11．下列各式12x y +，52a b a b --，2235a b -，3m ，37xy 中，分式共有（）个． A ．2B ．3C ．4D ．5 12．在2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24x y -中，分式的个数为（） A ．1 B.2 C.3 D ．413．在式子31x - 、2xy π 、2334a b c 、2x x 中，分式的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个14．若a ＞－1，则下列各式中错误．．的是（） A ．6a ＞－6B ．2a ＞－12C ．a ＋1＞0D ．－5a ＜－5 15．计算222x y x y y x +--的结果是（） A ．1 B ．﹣1 C ．2x y + D ．x y +16．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( )A ．21a a +B ．211a a -+C ．211a -D ．11a + 17．若分式的值为0，则x 的值是（） A ．3 B -3 C ．4 D ．-4 18．若04(2)(3)x x ----有意义，那么x 的取值范围是（）A ．x ＞2B ．x ＞3C ．x ≠2或x ≠3D ．x ≠2且x ≠319．若将分式（a ，b 均为正数）中a ，b 的值分别扩大为原来的3倍，则分式的值（） A ．扩大为原来的3倍 B ．缩小为原来的C ．不变D ．缩小为原来的20．式子①，②，③，④中，是分式的是（）A ．①② B．③④ C．①③ D．①②③④21．下列分式中是最简分式的是（）A ．B ．C ．D ．22．在式子x y 3，πa ，13+x ，31+x ，a a 2中，分式有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个23．计算的结果是（）A ．a+bB ．2a+bC ．1D ．-124．已知一粒大米的质量约为0.0000021千克，这个数用科学记数法表示为（） A ．0.21×10-5 B ．2.1×10-5C ．2.1×10-6D ．21×10-625．如果把分式22a b ab +中的a 和b 都扩大了2倍，那么分式的值（） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】将分式3ab a b -中的a 、b 都扩大到3倍,则为3333333a b ab a b a b⨯⨯=⨯--, 所以分式的值扩大3倍.故选B ． 2．B解析：B【解析】试题分析：先通分，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算伯出判断：2323231x 11x 1x 1x 1x 1x-++=-+==------．故选B ． 3．B解析：B【解析】1÷11m m +-·(m 2－1)＝1×11m m-+(m ＋1)·(m －1)＝－(m －1)2＝－m 2＋2m －1. 4．A解析：A【解析】试题分析：因为轮船在静水中的最大航速为30千米/时，江水的流速为x千米/时，所以轮船在顺流航行中的航速为（30+x）千米/时，轮船在逆流航行的航速为（30-x）千米/时，根据以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，可得：，故选A．考点：列分式方程．5．A解析：A【解析】试题分析：根据分式的定义进行解答即可．试题解析：这一组数数中，与是分式，共2个.故选A.考点：分式的定义．6．C解析：C【解析】试题分析：分式的约分首先将分子和分母进行因式分解，然后约去公共的因式.A、B无法进行约分，C正确；D需要保证m不能为零.考点：分式的约分7．B解析：B【解析】，分式的值缩小为原来的．故选B．8．A解析：A【解析】试题解析：∵113 x y+=，∴x+y=3xy，∴23223333=== 23255x xy y xy xy xyx xy y xy xy xy-+⨯-+++．故选A．9．A解析：A【解析】分析：本题考查的是负指数幂的运算.解析：①10－3＝0.00001，故①错误；②(0.0001)0＝1正确；③3a －2＝23a ，故③错误；④(－2)3÷(－2)5＝2－2，故④错误. 故选A.10．D 解析：D【解析】试题分析：因为x y x y x y x y -+-=--+，所以A 错误；因为2a b c d -+不能再化简，所以B 错误；因为0.20.032030.40.05405a b a b c d c d--=++，所以C 错误；因为，所以D 正确；故选：D.考点：分式的性质. 11．B 解析：B【解析】试题解析：2235a b -，37xy 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． 12x y +，52a b a b --，3m的分母中含有字母，因此是分式．故选B ．12．B解析：B【解析】试题分析：根据分式的概念，分母中含有未知数的是分式，所以在2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24x y -中分式有2x ，5a x -；特别注意3ππ-不是分式，它是分数考点：分式点评：本题考查分式，解答本题的关键是掌握分式的概念，利用分式的概念来判断是否是分式 13．B解析：B【解析】2xy π 、2334a b c 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． 31x -，2x x 的分母中含有字母，因此是分式．14．D解析：D【解析】根据不等式的基本性质可知，A. 6a >−6，正确；B. 2a ＞12- , 正确；C. a +1>0，正确；D. 根据性质3可知，a >−1两边同乘以−5时，不等式为−5a <5，故D 错误；故选D.15．A解析：A【解析】2x y 2x y y 2x +--=2x y 2x y 2x y ---=2x y 2x y--=1，故选：A.16．B解析：B【解析】分式有意义的条件是：“分母的值不为0”，在A 中，当0a =时，分式无意义；在C 中当1a =±时，分式无意义；在D 中当1a =-时分式无意义；只有B 中，无论a 为何值，分式都有意义；故选B.17．A解析：A【解析】试题分析：当x-3=0时，分式的值为0，所以x=3，故选：A ．考点：分式的值为0的条件． 18．D解析：D【解析】试题解析：根据题意得：x-2≠0且x-3≠0解得: x ≠2且x ≠3故选D ．考点：1．非零数的零次幂；2．负整数指数幂．19．B解析：B由题意得==，缩小为原来的故选B20．C解析：C【解析】试题分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．解：①，③是分式，②，④是整式，故选：C．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．21．A解析：A【解析】选项A，的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；选项B，原式=2x；选项C，原式=11x；选项D，原式=-1．故选A．22．C解析：C【解析】试题分析：分式是指分母含有字母的代数式.考点：分式的定义23．C解析：C【解析】试题解析：故选C.24．C解析：C【解析】0.0000021=2.1×10-6，故选C．25．C解析：C【解析】分式22a b ab+中的a 和b 都扩大了2倍，得: 4212822a b a b ab ab++=⨯, 所以是缩小了2倍.故选C.。

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一、八年级数学分式解答题压轴题（难） 1．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中ab）．现在有两种施工改造方案：

方案一：前12S米的道路由甲工程队改造，后12S米的道路由乙工程队改造；方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少【解析】【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为x米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为x米，则甲工程队每天道路的长度为30x米，

根据题意，得：36030030xx，解得：150x，检验，当150x时，300xx， ∴原分式方程的解为：150x， 30180x，

答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；

（2）设方案一所用时间为：111()222ssabstabab，

方案二所用时间为2t，则221122tatbs，22stab， ∴22()22()ababSSSabababab， ∵ab，00ab，， ∴20ab， ∴202abSSabab，即：12tt， ∴方案二所用的时间少．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．

2．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均

每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍.

（注：垃圾处理量垃圾处理率垃圾排放量）（1）求该市2018年平均每天的垃圾排放量；（2）预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%.

如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”，那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上，至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求？【答案】（1）100；（2）98. 【解析】【分析】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x万吨，根据题意列方程求出x的值即可；（2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m万吨，根据题意列出不等式，解得m的取值范围即可得到答案. 【详解】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x万吨， 402.5401.25100xx

，

解得：x=100，经检验，x=100是原分式方程的解，答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨. （2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨，设2020年垃圾的排放量还需要増加m万吨， 402.5200(110%)m90%，

m98，

∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之间的关系是解题的关键. 3．符号abcd称为二阶行列式，规定它的运算法则为：abadbccd，请根据这一法则解答下列问题：

（1）计算：211111xxx；

（2）若2121122xxx，求x的值. 【答案】（1）111xx （2）5 【解析】【分析】（1）根据新定义列出代数式，再进行减法计算；（2）根据定义列式后得到关于x的分式方程，正确求解即可. 【详解】

（1）原式2

111x

xx

11111xxxxxx

111xx；

（2）根据题意得： 21222xxx

解之得：5x 经检验：5x是原分式方程的解所以x的值为5. 【点睛】此题考察分式的计算，分式方程的求解，依据题意正确列式是解此题的关键.

4．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：（A）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；（B）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；（C）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C方案．【解析】试题分析：设完成工程规定工期为x天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论．试题解析：解：设完成工程规定工期为x天，依题意得：

1133()144xxxx



解得：x=12．经检验，x=12符合原方程和题意，∴x+4=16． ∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天． ∵B方案不能按时完成，∴要舍弃．

A方案的工程款为12×1=12（万元），C方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元），

∴应选C方案．答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C方案．

5．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322xx. （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【答案】（1）0x;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1. 【解析】【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答. 【详解】（1）方程两边同时乘以2x得 5321x

解得

0x 经检验，0x是原分式方程的解. （2）设？为m，方程两边同时乘以2x得 321mx

由于2x是原分式方程的增根，所以把2x代入上面的等式得 3221m

1m 所以，原分式方程中“？”代表的数是-1. 【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

6．“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家

带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元；

（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过

A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】(1) 2000元；（2） A型车20辆，B型车40辆．【解析】【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得 8000080000(110%)200xx

，

解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答：去年A型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得 y=a+（60﹣a），

y=﹣300a+36000．

∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，

∴60﹣a≤2a，

∴a≥20．

∵y=﹣300a+36000．

∴k=﹣300＜0，