人教版初中数学圆的技巧及练习题含答案
人教版2020年中考数学一轮复习《与圆有关的证明和计算》大题专项练习含答案解析
中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。
考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。
2020-2021初中数学圆的技巧及练习题附答案(1)
2020-2021初中数学圆的技巧及练习题附答案(1)一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则弧BC的长度为（）A．23πB．13πC．43πD．49π【答案】A【解析】【分析】连接OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°，根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°，根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°，根据求弧长的公式得到结论.【详解】解：连接OE、OC，如图，∵DE=OB=OE，∴∠D=∠EOD=20°，∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°，∵OE=OC，∴∠C=∠CEO=40°，∴∠BOC=∠C+∠D=60°，∴»BC的长度=260?2360π⨯=23π，故选A.【点睛】本题考查了弧长公式：l=••180n Rπ（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），还考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．2．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．【详解】∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．3．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°【答案】D【解析】分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D．点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC=3，AC=4，则sin ∠ABD 的值是（ ）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D 【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC ，再根据勾股定理求得AB=5，即可求sin ∠ABD 的值．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴弧AC=弧AD ，∴∠ABD=∠ABC ．根据勾股定理求得AB=5，∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=45． 故选D ．【点睛】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．5．用一个直径为10cm 的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线AB 与O e 相切于点B ，不倒翁的顶点A 到桌面L 的最大距离是18cm .若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（ ）A ．260cm πB ．260013cm πC ．272013cm πD ．272cm π【答案】C【解析】连接OB ，如图，利用切线的性质得OB AB ⊥，在Rt AOB ∆中利用勾股定理得12AB =，利用面积法求得6013BH =，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面． 【详解】 解：连接OB ，作BH OA ⊥于H ，如图，Q 圆锥的母线AB 与O e 相切于点B ，OB AB ∴⊥，在Rt AOB ∆中，18513OA =-=，5OB =， 2213512AB ∴=-=，Q 1122OA BH OB AB =g g ， 512601313BH ⨯∴==， Q 圆锥形纸帽的底面圆的半径为6013BH =，母线长为12， ∴形纸帽的表面2160720212()21313cm ππ=⨯⨯⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆锥的计算．6．如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，45A ∠=︒，1BC =，把ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，点A 的对应点为点D ，则点A ，D 之间的距离是（）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【解析】连接AD ，构造△ADB ，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB 和△DBE 全等，从而得到AD=BE=BC=1.【详解】如图，连接AD ，AO ，DO∵ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，∴AB=DE ，90AOD ∠=︒，45CAB BDE ∠=∠=︒ ∴1452ABD AOD ∠=∠=︒（同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半）， 即45ABD EDB ∠=∠=︒，又∵DB=BD ，∴DAB BED ∠=∠（同弧所对应的圆周角相等），在△ADB 和△DBE 中 ABD EDB AB EDDAB BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADB ≌△EBD （ASA ）,∴AD=EB=BC=1.故答案为A.【点睛】本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用；顶点在圆上，两边都与圆相交的角角圆周角；掌握三角形全等的判定是解题的关键.7．如图，在⊙O ，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠OAB ＝54°，则∠C ( )A ．54°B ．27°C ．36°D ．46°【答案】C【解析】【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB 的度数，然后利用圆周角解答即可.【详解】解：∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝54°，∴∠AOB ＝180°﹣54°﹣54°＝72°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝36°． 故答案为C ． 【点睛】 本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.8．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．224π-- B ．224π-+ C ．142π+ D ．142π- 【答案】B【解析】【分析】先根据正方形的边长，求得CB 1=OB 1=AC-AB 1=2-1，进而得到211(21)2OB C S =-V ，再根据S △AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积． 【详解】连结DC 1，∵∠CAC 1＝∠DCA ＝∠COB 1＝∠DOC 1＝45°，∴∠AC 1B 1＝45°，∵∠ADC ＝90°，∴A ，D ，C 1在一条直线上，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ＝2，∠OCB 1＝45°， ∴CB 1＝OB 1∵AB 1＝1， ∴CB 1＝OB 1＝AC ﹣AB 1＝2﹣1，∴211111(21)22OB C S OB CB ∆=⋅⋅=-， ∵1111111111222AB C S AB B C =⋅=⨯⨯=V ， ∴图中阴影部分的面积＝2245(2)11(21)22360224ππ⨯⨯---=-+． 故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．9．木杆AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：如右图，连接OP ，由于OP 是Rt △AOB 斜边上的中线，所以OP=12AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．故选D．10．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，则⊙O的半径为（）A．2 B3C．23D．1【答案】B【解析】【分析】先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1得AC=2DC=2，∠C=60°，再由3【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，∵∠DAC＝30°，DC＝1，∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝3，∴⊙O3，故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角函数的应用．11．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）A．13B．12C．34D．1【答案】B【解析】【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长．【详解】圆锥的底面周长是：π；设圆锥的底面半径是r，则2πr=π．解得：r=12．故选B．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都为1，小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上，过点C作△ABC外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】作△ABC的外接圆，作出过点C的切线，两条图象法即可解决问题.【详解】如图⊙O即为所求，观察图象可知，过点C作△ABC外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是3个，选：C．【点睛】考查三角形的外接圆与外心，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意.13．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，BD为⊙O的直径，则BD等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理求得∠C=∠ABC=30°，再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得BD的长.【详解】∵∠BAC=120°，AB=AC=4，∴∠C=∠ABC=30°∴∠D=30°∵BD是直径∴∠BAD=90°∴BD=2AB=8.故选C.14．下列命题中哪一个是假命题（）A．8的立方根是2B．在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大C．菱形的对角线相等且平分D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．15．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则»BC 的长为( )A ．3πB ．23πC 3πD 23π 【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到3CE DE ==»»BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23∴3CE DE ==»»BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，∴OD=2sin 60DE =o ， ∴»BC的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=， 故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.16．如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．50cm2B．50πcm2C．255cm2D．255πcm2【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，求出底面圆周长，根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：如图所示，∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm，∴等腰三角形的斜边长＝22＝55，即圆锥的母线长为55cm，圆锥底面圆半105径为5，∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π，即为侧面展开扇形的弧长，圆锥的侧面积＝1×10π×55＝255πcm2，2故选：D．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的轴截面是等腰三角形，勾股定理的应用，以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．17．如图，已知⊙O的半径是4，点A,B,C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．8833π-B．16833π-C．16433π-D．8433π-【答案】B【解析】【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．【详解】连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为4，OB=OA=OC=4，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD=12OB=2，在Rt△COD中利用勾股定理可知：224223,243AC CD-===∵sin∠COD=3 CDOC=∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S菱形ABCO=1144383 22OB AC⨯=⨯⨯=∴S扇形=2 1204163603ππ⨯⨯=,则图中阴影部分面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=1683 3π-.故选B.【点睛】考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=12a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=2 360 n r.18．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD=43，连接AC，OD,若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（）A．3B．4 C3D．2【答案】D【解析】【分析】连接CO，由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB，则∠A与∠COB互余，由圆周角定理知∠A=30°，∠COE=60°，则∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x，再求出BE即可.【详解】连接CO，∵AB平分CD，∴∠COB=∠DOB，AB⊥CD，3∵∠A与∠DOB互余，∴∠A+∠COB=90°，又∠COB=2∠A，∴∠A=30°，∠COE=60°，∴∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,∴CO2=OE2+CE2即(2x)2=x23)2解得x=2，∴BO=CO=4，∴BE=CO-OE=2.故选D.【点睛】此题主要考查圆内的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，∴DM=12CD=4cm，OM=R-2,在RT△OMD中，OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．20．如图，弧 AB 等于弧CD ，OE AB ⊥于点E ，OF CD ⊥于点F ，下列结论中错误．．的是（ ）A ．OE=OFB ．AB=CDC ．∠AOB =∠COD D ．OE ＞OF【答案】D【解析】【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系可得B 、C 正确，根据垂径定理和勾股定理可得A 正确，D 错误．【详解】解：∵»»AB CD =，∴AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ，∵OE AB ⊥，OF CD ⊥，∴BE ＝12AB ，DF ＝12CD ， ∴BE ＝DF ，又∵OB ＝OD ， ∴由勾股定理可知OE ＝OF ，即A 、B 、C 正确，D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本性质定理是解题的关键．。
2020-2021初中数学圆的技巧及练习题附答案解析(2)
2020-2021初中数学圆的技巧及练习题附答案解析(2)一、选择题1．已知线段AB 如图，(1)以线段AB 为直径作半圆弧»AB ，点O 为圆心；(2)过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，交»AB 于点E F 、； (3)连接,OE OF ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )A ．CE DF =B ．»»AE BF =C ．60EOF ∠=︒D ． =2CE CO【答案】D 【解析】 【分析】根据作图可知AC CO OD DB ===,据此对每个选项逐一判断即可. 【详解】根据HL 可判定ECO FDO ≅V V ,得CE DF =，A 正确；∵过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，连接AE ， CE 为OA 的中垂线，AE OE = 在半圆中，OA OE =∴OA OE AE ==,AEO △为等边三角形，60EOF =o ∠AOE=∠FOD=∠, C 正确；∴圆心角相等，所对应的弧长度也相等，»»AE BF=，B 正确 ∵60,90EOC =o o ∠AOE=∠,∴=3CE CO ，D 错误 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于证明60o ∠AOE=.2．如图，在矩形ABCD 中，6,4AB BC ==，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于点E ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．13πB ．1324π+C ．1324π-D ．524π+【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积，再根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）即可得解． 【详解】解：∵S 扇形FCD 29036096ππ==⨯⨯，S 扇形EAD 24036094ππ==⨯⨯，S 矩形ABCD 6424=⨯=， ∴S 阴影＝S 扇形FCD ﹣（S 矩形ABCD ﹣S 扇形EAD ） ＝9π﹣（24﹣4π） ＝9π﹣24+4π ＝13π﹣24 故选：C ． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）是解答本题的关键．3．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB=22，则»AB 的长是（ ）A ．πB ．32π C ．2π D ．12π 【答案】A 【解析】【分析】连接OA 、OB ，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO ，根据弧长公式求出即可．【详解】连接OA 、OB ，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB=BC=DC=AD，∴»»»»AB BC CD DA===，∴∠AOB=14×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（22）2，解得：AO=2，∴»AB的长为902 180π´=π，故选A．【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】【分析】设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．【详解】设P（x，y），∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，∵OP2＝x2+y2，∴PA2+PB2＝2OP2+2，当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值，∴OP 的最小值为CO ﹣CP ＝3﹣1＝2， ∴PA 2+PB 2最小值为2×22+2＝10． 故选：C ． 【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P 坐标，将所求代数式的值转化为求解OP 的最小值，难度较大．5．如图，AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点（A 、B 除外），132AOD ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．68︒B ．48︒C ．34︒D ．24︒【答案】D 【解析】 【分析】根据平角得出BOD ∠的度数，进而利用圆周角定理得出C ∠的度数即可． 【详解】解：132AOD ∠=︒Q ， 48BOD ∴∠=︒， 24C ∴∠=︒，故选：D ． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半是解答此题的关键．6．下列命题是假命题的是（ ） A ．三角形两边的和大于第三边 B ．正六边形的每个中心角都等于60o C ．半径为R 2R D ．只有正方形的外角和等于360︒ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系、中心角的概念、正方形与圆的关系、多边形的外角和对各选项逐一进行分析判断即可.A 、三角形两边的和大于第三边，A 是真命题，不符合题意；B 、正六边形6条边对应6个中心角，每个中心角都等于360606︒︒＝，B 是真命题，不符合题意；C 、半径为R 的圆内接正方形中，对角线长为圆的直径2R ，设边长等于x ，则：222(2)x x R +=，解得边长为2x R ：＝，C 是真命题，不符合题意；D 、任何凸3n n ≥（）边形的外角和都为360︒，D 是假命题，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了真假命题，熟练掌握正多边形与圆、中心角、多边形的外角和等知识是解本题的关键.7．如图，弧 AB 等于弧CD ，OE AB ⊥于点E ，OF CD ⊥于点F ，下列结论中错误．．的是（ ）A ．OE=OFB ．AB=CDC ．∠AOB =∠COD D ．OE ＞OF【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可得B 、C 正确，根据垂径定理和勾股定理可得A 正确，D 错误． 【详解】 解：∵»»AB CD =， ∴AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ， ∵OE AB ⊥，OF CD ⊥，∴BE ＝12AB ，DF ＝12CD ， ∴BE ＝DF ， 又∵OB ＝OD ，∴由勾股定理可知OE ＝OF ， 即A 、B 、C 正确，D 错误， 故选：D ． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本性质定理是解题8．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线323y x =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( ) A ．3 B ．2C ．3D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意，画出图形，令直线y= 3x+ 23与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ，作OH ⊥CD 于H ；然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C 、D 两点的坐标值； 再在Rt △POC 中，利用勾股定理可计算出CD 的长，并利用面积法可计算出OH 的值； 最后连接OA ，利用切线的性质得OA ⊥PA ，在Rt △POH 中，利用勾股定理，得到21PA OP =-，并利用垂线段最短求得PA 的最小值即可.【详解】如图， 令直线3x+23x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ， 当x=0时，y=3D （0，3当y=033，解得x=-2，则C （-2，0）， ∴222(23)4CD =+=，∵12OH•CD=12OC•OD ， ∴2233⨯= 连接OA ，如图， ∵PA 为⊙O 的切线， ∴OA ⊥PA ，∴2221PA OP OA OP =-=-， 当OP 的值最小时，PA 的值最小， 而OP 的最小值为OH 的长， ∴PA 的最小值为22(3)12-=.故选D. 【点睛】本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．9．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．123B ．1536π-πC ．30312π-D ．48336π-π【答案】C 【解析】 【分析】易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可． 【详解】 连接OE ，OF ．∵BD=12，AD ：AB=1：2，∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°， ∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形=603616,633933602OEB S ππ⨯==⨯⨯=V ∵两个阴影的面积相等，∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .故选：C【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )A．5342π-B．5342π+C．23π-D．432π-【答案】A【解析】【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=323BCAB==，∴∠A=30°，∴OH=12OA=3，AH=AO•cos∠A=3332⨯=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=3，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=()2603113232322360π⨯⨯⨯-⨯⨯-=5342π-，故选A.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.11．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ，∠C=40°．则∠ABD 的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°【答案】B 【解析】试题分析：∵AC 为切线 ∴∠OAC=90° ∵∠C=40° ∴∠AOC=50°∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50° ∴∠ABD=∠ODB=25°. 考点：圆的基本性质.12．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（ ）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆【答案】A 【解析】 【分析】根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽． 【详解】解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽， 故选：A ． 【点睛】考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．13．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，DA DC =，50CBE ∠=︒，AOD ∠的大小为（ ）A ．130°B ．100°C ．20°D ．10°【答案】A 【解析】 【分析】先求出∠ABC 的大小，根据内接四边形角度关系，得到∠ADC 的大小，从而得出∠C 的大小，最后利用圆周角与圆心角的关系得∠AOD 的大小. 【详解】 ∵∠CBE=50° ∴∠ABC=130°∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴∠ADC=50° ∵AD=DC∴在△ADC 中，∠C=∠DAC=65° ∴∠AOD=2∠C=130° 故选：A 【点睛】本题考查圆的性质，主要是内接四边形对角互补和同弧对应圆心角是圆周角2倍，解题中，我们要充分利用圆的性质进行角度转换，以便得到我们需要的角度.14．如图，已知⊙O 的半径是4，点A,B,C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）A ．8833π-B ．16833π-C ．16433π-D ．8433π-【答案】B 【解析】 【分析】连接OB 和AC 交于点D ，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC 的长及∠AOC 的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．【详解】连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为4，OB=OA=OC=4，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD=12OB=2，在Rt△COD中利用勾股定理可知：224223,243AC CD-===∵sin∠COD=3,2 CDOC=∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S菱形ABCO=1144383 22OB AC⨯=⨯⨯=∴S扇形=2 1204163603ππ⨯⨯=,则图中阴影部分面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=1683 3π-.故选B.【点睛】考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=12a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=2 360 n r π.15．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（）A ．3mB ．33mC ．35mD ．4m【答案】C【解析】【分析】【详解】 如图，由题意得：AP =3，AB =6，90.BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=故小猫经过的最短距离是35.m故选C.16．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD 的度数是（ ）A ．86°B ．94°C ．107°D ．137° 【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵∠BOD=86°，∴∠BAD=86°÷2=43°， ∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-43°=137°，即∠BCD 的度数是137°．故选D ．【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．17．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A．10 B．9 C．8 D．7【答案】D【解析】分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10．∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选D．点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．18．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（）A．15°B．30°C．60°D．75°【答案】D【解析】【分析】【详解】连接OD，∵CA，CD是⊙O的切线，∴OA⊥AC，OD⊥CD，∴∠OAC=∠ODC=90°，∵∠ACD=30°，∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°，∵OB=OD，∴∠DBA=∠ODB=12∠AOD=75°．故选D．考点：切线的性质；圆周角定理．19．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA=OB．点P为⊙C上的动点，∠APB=90°，则AB长度的最小值为（）A．4 B．3 C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，根据勾股定理和题意求得OP=2，则AB的最小长度为4．【详解】解：如图，连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，∵C（3，4），∴OC=2234=5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP=OC﹣3=2，∴OP=OA=OB=2，∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴AB长度的最小值为4，故选：A．【点睛】本题考查了圆切线的性质、坐标和图形的性质、圆周角定理、勾股定理，找到OP的最小值是解题的关键.20．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【答案】B【解析】【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，所以圆锥的母线长225+12=13，所以这个圆锥的侧面积=12×2π×5×13=65π（cm2）．故选B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．。
新人教版九年级数学上册圆知识总结与题型练习及答案
每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+十二、圆与圆的位置关系(选学)外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ dR r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图3rR d第二部分：习题及详解一．选择题（共10小题） 1．下列说法，正确的是（ ） A ．弦是直径 B ． 弧是半圆C ．半圆是弧D ． 过圆心的线段是直径 2．如图，在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB=6cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC=（ ）A ．3cmB ．4cmC ． 5cmD ． 6c m（2题图） （3题图） （4题图） （5题图） （8题图）3．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O 为圆心，5为半径的圆的一部分，M 是⊙O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交⊙O 于点E ．若CD=6，则隧道的高（ME 的长）为（ ） A ．4B ．6 C ．8 D ． 9图4rRd图5r Rd图2r Rd每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”A ．51°B ． 56°C ． 68°D ． 78° 5．如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC=50°，则∠OAB 的度数为（ ）A ．25°B ．50° C ． 60° D ． 30° 6．⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA=3cm ，则点A 与圆O 的位置关系为（ ）A ．点A 在圆上B ． 点A 在圆内C ．点A 在圆外D ． 无法确定7．已知⊙O 的直径是10，圆心O 到直线l 的距离是5，则直线l 和⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ． 相切D ． 外切8．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和的长分别为（ ） A ．2，B ． 2，πC ． ，D ． 2，9．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B=135°，则的长（ ）A ．2πB ．π C ．D ．10．如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B ′，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．12πB ．24π C ．6π D ． 36π二．填空题（共10小题）11．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD=4，AE=1，则⊙O 的半径为 ．（9题图） （10题图） （11题图） （12题图） 12．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A=25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则的度数为 ．13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为的中点．若∠A=40°，则∠B= 度．（13题图） （14题图） （15题图） （17题图）14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为 ． 15．如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为 ．每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”17．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留π）． 18．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是 ．19．如果圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆柱的侧面积是 ． 20．半径为R 的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为 ． 三．解答题（共5小题）21．如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ． （1）请证明：E 是OB 的中点； （2）若AB=8，求CD 的长．22．已知：如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的两点，且OD ∥BC ．求证：AD=DC ．每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ． （1）求证：DF ⊥AC ；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．24．如图，△OAB 中，OA=OB=4，∠A=30°，AB 与⊙O 相切于点C ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”25．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积．参考答案一．选择题（共10小题） 1．C2．B3．D4．A5．A6．B7．C8．D9．B10．B二．填空题（共10小题） 11．12．50° 13．70 14．1或515．54° 16．50° 17．2π18．24π 19．20πcm 2 20．60° 三．解答题（共5小题）21．（1）证明：连接AC ，如图 ∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴，∴AC=AD ，∵过圆心O 的线CF ⊥AD ，∴AF=DF ，即CF 是AD 的中垂线，∴AC=CD ， ∴AC=AD=CD ．即：△ACD 是等边三角形，∴∠FCD=30°， 在Rt △COE 中，，∴，∴点E 为OB 的中点；（2）解：在Rt △OCE 中，AB=8，∴，又∵BE=OE ，∴OE=2，∴，∴．（21题图） （22题图） （23题图） （24题图）22．证明：连结OC ，如图，∵OD ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠3， 又∵OB=OC ，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，∴AD=DC ．23．（1）证明：连接OD ，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ，圆1精品讲义 每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD ，∴DF ⊥AC ．（2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°， ∵OA=OE ，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE =4π，S △AOE=8 ，∴S 阴影=4π﹣8．24．解：连接OC ，∵AB 与圆O 相切，∴OC ⊥AB ，∵OA=OB ，∴∠AOC=∠BOC ，∠A=∠B=30°，在Rt △AOC 中，∠A=30°，OA=4，∴OC=OA=2，∠AOC=60°， ∴∠AOB=120°，AC==2，即AB=2AC=4，则S 阴影=S △AOB ﹣S扇形=×4×2﹣=4﹣．故阴影部分面积4﹣．25．解：由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5，所以圆锥的母线长==13， 所以圆锥的表面积=π•52+•2π•5•13=90π．。
部编数学九年级上册专题24.1圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案
专题24.1 圆【七大题型】【人教版】【题型1 圆的概念】 (1)【题型2 圆的有关概念】 (4)【题型3 确定圆的条件】 (6)【题型4 点与圆的位置关系】 (9)【题型5 圆中角度的计算】 (12)【题型6 圆中线段长度的计算】 (15)【题型7 圆相关概念的应用】 (18)定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．【题型1 圆的概念】【例1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（ ）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．【变式1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点O 的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（ ）A ．4πB ．9πC ．5πD ．13π【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．【解答】解：由所有到已知点O 的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，即π×32﹣π×22＝5π，故选：C ．【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙O 1的半径等于篮球的半径，⊙O 2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是（ ）A ．⊙O 1B ．⊙O 2C ．两圆增加的面积是相同的D ．无法确定【分析】先由L ＝2πR 计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然后进行比较大小即可．【解答】解：设⊙O 1的半径等于R ，变大后的半径等于R ′；⊙O 2的半径等于r ，变大后的半径等于r ′，其中R ＞r ．由题意得，2πR+1＝2πR ′，2πr +1＝2πr ′，解得R ′＝R +12π，r ′＝r +12π；所以R ′﹣R =12π，r ′﹣r =12π，所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长12π．∴⊙O 1的面积＝πR 2，变大后的面积=π(R +12π)2，面积增加了π(R +12π)2−πR 2＝R +14π，⊙O 2的面积＝πr 2，变大后的面积=π(r +12π)2，面积增加了π(r +12π)2−πr 2=r +14π，∵R ＞r ，∴R +14π＞r +14π，∴⊙O 1的面积增加的多．故选：A ．【变式1-3】（2022•浙江）如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l ＝πa ．计算：（1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长l 2=12πa =12l ；（2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l 3＝ 13l ；（3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l 4＝ 14l ；（4）把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长l n ＝ 1n l ．结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 1n ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．【分析】把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是l n ＝π（1n a ）=1n l ，即每个小圆周长是大圆周长的1n ；根据圆的面积公式求得每个小圆的面积和大圆的面积后比较．【解答】解：（2）13l ；（3）14l ；（4）1n l ；1n ；每个小圆面积＝π（12•1n a ）2=14•πa 2n 2，而大圆的面积＝π（12•a ）2=14πa 2即每个小圆的面积是大圆的面积的1．n2【题型2 圆的有关概念】【例2】（2022•远安县期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据弦，直径，弧的定义一一判断即可．【解答】解：①弦是直线，错误，弦是线段．②圆的直径被该圆的圆心平分，正确．③过圆内一点P的直径仅有一条，错误，点P是圆心时，直径有无数条．④弧是圆的一部分，正确．故选：B．【变式2-1】（2022图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（ ）A．1B．4C．10D．11【分析】根据直径是圆中最长的弦，判断即可．【解答】解：∵一个圆的半径为5，∴圆中最长的弦是10，∴弦长不可能为11，故选：D．【变式2-2】（2022•嘉鱼县期末）如右图中有 1 条直径，有 4 条弦，以点A为端点的优弧有 2 条，有劣弧 2 条．【分析】根据直径、弦、优弧及劣弧的概念解答即可得．【解答】解：图中直径只有AB这1条，弦有AC、AB、CD、BC这4条，以点A为端点的优弧有ACD、ADC 这2条，劣弧有AC、AD这2条，故答案为：1、4、2、2．【变式2-3】（2022仪征市期末）如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有 4 个．【分析】解法一：过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据三角形面积可得OC＝OP的长有两个整数：5，6，且OP＝6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个．解法二：根据面积可知，OA上的高为6，也就是说OA与OB互相垂直，然后算出OC长度即可．【解答】解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，设OC＝x，AC＝y，∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，∴AB≤12，∵△OAB的面积为18，+y2=362y⋅x=18，则y=18x，∴x2+(18x)2=36，解得x＝∴OC＝4，∴4＜OP≤6，∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．解法二：设△AOB中OA边上的高为h，则12×OAℎ=18，即12×6ℎ=18，∴h＝6，∵OB＝6，∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，∴AB＝OC＝同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．故答案为：4．【题型3 确定圆的条件】【例3】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【变式3-1】（2022春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 能 确定一个圆（填“能”或“不能”）．【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．故答案为：能．【变式3-2】（2022•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 （2，1） ．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．【变式3-3】（2022•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，cm，解得：R=253cm．∴圆片的半径R为253【题型4 点与圆的位置关系】【例4】（2022秋•宜州区期末）如已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM是中线，以C长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．【解答】解：根据勾股定理，有AB=cm）；∵CA＝2cm，∴点A在⊙O内，∵BC＝4cm，∴点B在⊙C外；由中线定理得：CM=∴M点在⊙C上．【变式4-1】（2022春•龙湖区校级月考）⊙O的面积为25πcm2，⊙O所在的平面内有一点P，当PO ＝5cm 时，点P在⊙O上；当PO ＜5cm 时，点P在⊙O内；当PO ＞5cm 时，点P在⊙O外．【分析】根据圆的面积求出圆的半径，然后确定圆上点，圆内点以及圆外的到圆心的距离．【解答】解：因为圆的面积为25πcm2，所以圆的半径为5cm．当点P到圆心的距离等于5cm时，点P在⊙O上，此时OP＝5cm．当点P到圆心的距离小于5cm时，点P在⊙O内，此时OP＜5cm．当点P到圆心的距离大于5cm时，点P在⊙O外，此时OP＞5cm．故答案分别是：PO＝5cm，PO＜5cm，PO＞5cm．【变式4-2】（2022•广东模拟）如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A 上的一个动点，则m2+n2的最大值为 36 ．【分析】由于圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OA＝5，OP=这样把m2+n2理解为点P与原点的距离的平方，利用图形可得到当点P运动到射线OA上时，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，然后求出此时的PO长即可．【解答】解：作射线OA交⊙O于P′点，如图，∵圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），∴OA5，OP=∴m2+n2是点P点圆点的距离的平方，∴当点P运动到P′处，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，此时OP＝OA+AP′＝5+1＝6，则m2+n2＝36．故答案为：36．【变式4-3】（2022秋•金牛区期末）如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO 的中点为C，则线段AC的最小值为 2 ．【分析】先确定AC最小值时点B的位置：过B作BD∥AC交x轴于D，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，根据勾股定理和三角形中位线定理可得AC的长．【解答】解：过B作BD∥AC交x轴于D，∵C是OB的中点，∴OA＝AD，BD，∴AC=12∴当BD取最小值时，AC最小，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，∵A（3，0），∴D（6，0），∵M（3，4），∴DM==5，∴BD＝5﹣1＝4，BD＝2，即线段AC的最小值为2；∴AC=12故答案为：2．【题型5 圆中角度的计算】【例5】（2022•江宁区校级期中）如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．【分析】设∠B＝x，根据等腰三角形的性质，由BD＝OD得∠DOB＝∠B＝x，再根据三角形外角性质得∠ADO＝2x，则∠A＝∠ADO＝2x，然后根据三角形外角性质得2x+x＝114°，解得x＝38°，最后利用三角形内角和定理计算∠AOD的度数．【解答】解：设∠B＝x，∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x，∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x，∵∠AOC＝∠A+∠B，∴2x+x＝114°，解得x＝38°，∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°．【变式5-1】（2022•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．【解答】解：连接OD，∵AB＝2DE＝2OD，∴OD＝DE，又∵∠E＝25°，∴∠DOE＝∠E＝25°，∴∠ODC＝50°，同理∠C＝∠ODC＝50°∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝75°．【变式5-2】（2022•金牛区期末）如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD＝84°，则∠BOC＝ 48° ．【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D＝∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵OD＝OC，∴∠D＝∠A，∵∠AOD＝84°，（180°﹣84°）＝48°，∴∠A=12又∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠A＝48°．故答案为：48°．【变式5-3】（2022•大丰市月考）如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O 上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP＝QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB 上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．【解答】解：①根据题意，画出图（1），在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP，在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO，又∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＝∠OCP+∠AOC＝∠OCP+30°，在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC＝180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP＝180°，整理得，3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°．②当P在线段OA的延长线上（如图2）∵OC＝OQ，∴∠OQP＝（180°﹣∠QOC）×1①，2∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝（180°﹣∠OQP）×1②，2在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ＝180°③，把①②代入③得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°∴∠OCP＝100°；③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝（180°﹣∠COQ）×1①，2∵OQ＝PQ，∴∠P＝（180°﹣∠OQP）×1②，2∵∠AOC＝30°，∴∠COQ+∠POQ＝150°③，∵∠P＝∠POQ，2∠P＝∠OCP＝∠OQC④，①②③④联立得∠P＝10°，∴∠OCP＝180°﹣150°﹣10°＝20°．故答案为：40°、20°、100°．【题型6 圆中线段长度的计算】【例6】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）A ．B ．8C ．6D ．5【分析】连结CD ，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．【解答】解：如图，连结CD ，∵CD 是直角三角形斜边上的中线，∴CD =12AB =12×10＝5．故选：D ．【变式6-1】（2022•海港区校级自主招生）如图，圆O 的周长为4π，B 是弦CD 上任意一点（与C ，D 不重合），过B 作OC 的平行线交OD 于点E ，则EO +EB ＝ 2 ．（用数字表示）【分析】根据圆的周长公式得到OD ＝2，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵⊙O 的周长为4π，∴OD ＝2，∵OC ＝OD ，∴∠C ＝∠D ，∵BE ∥OC ，∴∠EBD ＝∠C ，∴∠EBD ＝∠D ，∴BE ＝DE ，∴EO +EB ＝OD ＝2，故答案为：2．【变式6-2】（2022•龙湖区校级开学）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，AD ＜BD ，若CD ＝2cm ，AB ＝5cm ，求AD 、AC 的长．【分析】由直径AB ＝5cm ，可得半径OC ＝OA =12AB =52cm ，分别利用勾股定理计算AD 、AC 的长．【解答】解：连接OC ，∵AB ＝5cm ，∴OC ＝OA =12AB =52cm ，Rt △CDO 中，由勾股定理得：DO =32cm ，∴AD =52−32=1cm ，由勾股定理得：AC ==则AD 的长为1cm ，AC ．【变式6-3】（2022秋•邗江区期中）如图，半圆O 的直径AB ＝8，半径OC ⊥AB ，D 为弧AC 上一点，DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，垂足分别为E 、F ，求EF 的长．【分析】连接OD ，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF 是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．【解答】解：连接OD ．∵OC ⊥AB DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，∴∠AOC ＝∠DEO ＝∠DFO ＝90°，∴四边形DEOF是矩形，∴EF＝OD．∵OD＝OA∴EF＝OA＝4．【题型7 圆相关概念的应用】【例7】（2022秋•南岗区校级期中）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）（1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π）（2）如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）（3）如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的1，他15做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了1，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取23）【分析】（l）根据圆的周长公式：c＝xd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可．（2）首先根据圆的周长公式：c＝元d，求出直径是4米、和6米的圆的周长和，然后与图1进行比较．（3）求出乙的钱数，再用总钱数﹣乙是钱数，可得结论．【解答】解：（1）10÷2＝5（米），2π×5×2＝20π（米）．故答案为：20π米．=8（米），8÷2＝4（米），（2）10×2＝20（米），20×223=12（米），12÷2＝6（米），20×323方案B花坛周长：2π（4+6）＝20π（米），20π＝20π，方案B与A周长一样，用的材料一样．×2×（5﹣1）×20π×10＝320（元）．（3）乙的钱数=115甲的钱数＝20π×10﹣320＝280（元），答：修完花坛后，甲，乙分别得到320元和280元．【变式7-1】（2022•南岗区期末）一个压路机的前轮直径是1.7米，如果前轮每分钟转动6周，那么这台压路机10分钟前进（ ）米．A．51πB．102πC．153πD．204π【分析】首先根据圆的周长公式C＝πd，求出前轮的底面圆周长，然后用前轮的底面周长乘每分钟转的周数（6周），求出1分钟前进多少米，再乘工作时间10分钟即可．【解答】解：前轮的底面圆周长：π×1.7＝1.7π（米），1.7π×6×10＝102π（米）故选：B．【变式7-2】（2022•罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1cm，内径为4cm，外径为7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长 51.81 m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）【分析】首先求出胶带的体积，用胶带的体积除以一米长的胶带的体积即可求得．【解答】解：4÷2＝2（cm），7÷2＝3.5（cm），胶带的体积是：π（3.52﹣22）•1＝8.25πcm3＝8.25π×10﹣6（m3），一米长的胶带的体积是：0.01×1×5×10﹣5＝5×10﹣7（m3），因而胶带长是：（8.25π×10﹣6）÷（5×10﹣7）≈51.81（m）．故答案为：51.81．【变式7-3】（2022•张店区期末）如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010πcm后才停下来．则这只蚂蚁停在点 E ．【分析】首先求得蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序走一周的路线长，然后确定走2010πcm是走了多少周，即可确定．【解答】解：A开始ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是：8π+4π＝12πcm，蚂蚁直到行走2010πcm所转的周数是：2010π÷12π＝167…6π．即转167周以后又走了6πcm．从A到B得路长是：2π，再到C的路线长也是2π，从C到D，到E的路线长是2π，则从A行走6πcm 到E点．故答案是：E．。
初中数学圆的技巧及练习题附解析
鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确；
点A到 上任意一点的距离都是DE，故正确;
勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心 的距离都不相等， 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误；
鲁列斯曲边三角形的周长=3× ,圆的周长= ,故说法正确.
故选C.
A．2πB．3πC．6πD．8π
【答案】B
【解析】
【分析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】
解：圆锥的侧面积为： ×2π×1×3＝3π，
故选：B．
【点睛】
此题考查圆锥的计算，解题关键在于掌握运算公式.
14．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）
∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π，即为侧面展开扇形的弧长，圆锥的侧面积＝ ×10π×5 ＝25 πcm2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的轴截面是等腰三角形，勾股定理的应用，以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
16．如图，四边形 内接于圆 ， ， ， 的大小为（）
7．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C()
A．54°B．27°C．36°D．46°
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可.
【详解】
解：∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝54°，
∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
【单元练】人教版初中九年级数学上册第二十四章《圆》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．如图，,AB AC 分别是O 的直径和弦，OD AC ⊥于点,D 连接,BD BC ．若10,8AB AC ==，则BD 的长是（ ）A ．25B ．4C ．213D ．245C 解析：C【分析】 先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到CD=AD=12AC=4，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】解：∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD ⊥AC ， ∴CD=AD=12AC=4， 在Rt △CBD 中，222246213BD BC CD =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．2．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A 、B 、C 是圆上的点，则此圆的面积为（ ）A ．72πB ．85πC ．100πD ．104πB解析：B【分析】连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，根据垂直平分线可得AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，再根据OB=OC即可列出方程求得x=7，最后再根据圆的面积公式计算即可．【详解】解：如图，连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，则OB=OC，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，∵OB=OC，∴OB2=OC2，∴22+(16-x) 2=62+x2，解得x=7，∴r2=OB2=22+92=85，∴圆的面积S=πr2=85π，故选：B．【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．3．如图，分别以AB,AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是弧AEC中点，D是半圆ADC中点.若DE=2,AB=12，且AC˃6，则AC长为（）A．2B．2C．2D．2D解析：D【分析】连接OE，交AC于点F，由勾股定理结合垂径定理求出AF的长，即可得到结论．【详解】解：连接OE ，交AC 于点F ，∵E 为AEC 的中点，∴OE AC ⊥，F 为AC 的中点，∵12AB =∴6OE AO ==设EF x =，则6OF x =-∵F 为AC 的中点，D 为半圆ADC 的中点，∴DF AC ⊥，DF AF =∵2DE =，∴2DF x AF =+=在Rt △AOF 中，222OA OF AF =+即2226(6)(2)x x =-++， ∴122x =+，222x =-∴2(2)822AC x =+=+或822-∵6AC >∴822AC =+故选：D【点睛】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，运用勾股定理求出AF 是解题的关键． 4．为落实好扶贫工作，某村驻村干部帮助村民修建了一个粮仓，该粮仓的屋顶是一个圆锥，为了合理购买、不浪费原材料，需要进行计算1个屋顶的侧面积大小，该圆锥母线长为5m ，底面圆周长为8m π，则1个屋顶的侧面积等于（ ）2m ．（结果保留π）A ．40πB ．20πC ．16πD ．80πB解析：B【分析】 先根据底面周长可求得底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式计算即可求解．【详解】解：∵2πr=8π，∴r=4，又∵母线l=5，∴圆锥的侧面积＝πrl ＝π×4×5＝20π．故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算方法，牢记有关圆锥和扇形之间的对应关系是解决本题的关键．5．如图，在三角形ABC 中，AB=22，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ，则弧EF 的长为( )A ．6πB ．2πC ．23πD ．πA解析：A【分析】过A 作AD ⊥BC ，连接AF ，求出∠FAE ，再利用弧长计算公式计算EF 的长即可．【详解】解：过A 作AD 垂直BC ，连接AF ，如图，∵2,30,45AB B C =∠=︒∠=︒，可得2∴AC=2，∵AC=AF∴∠AFC=∠C=45°，∴∠FAE=∠AFC-∠B=45°-30°=15°∴EF 的长为：152180π⨯=6π 故选：A【点睛】此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长计算公式．6．已知⊙O ，如图，（1）作⊙O 的直径AB ；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个D解析：D【分析】 ①根据作图过程可得AC AD =，根据垂径定理可判断；②连接OC ，根据作图过程可证得△AOC 为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断； ③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．【详解】解：①∵以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点，∴AC AD =，根据垂径定理可知，AB ⊥CE ，CE=DE ，∴①正确；②连接OC ，∵AC=OA=OC ，∴△AOC 为直角三角形，∵AB ⊥CE ，∴AE=OE ，∴BE=BO+OE=3AE ，∴②正确；③∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴BC=2CE ，∴③正确，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．7．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D ．则AB 的长为（ ）A ．5B ．10C ．52D ．102解析：C【分析】 根据圆周角定理得出∠D=∠B ，得出△ABC 是等腰直角三角形，进而解答即可．【详解】∵AC=AC ，∴∠D=∠B ，∵∠BAC=∠D ，∴∠B=∠BAC ，∴△ABC 是等腰三角形，∵AB 是直径，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵AC=5，∴AB=52故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B ．8．如图，AB 为O 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD DB =，5OC =，3OD =，则AB 的长为（ ）A．8 B．6 C．4 D．2A解析：A【分析】连接OB，根据⊙O的半径为5，CD＝2得出OD的长，再由垂径定理的推论得出OC⊥AB，由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．【详解】解：连接OB，如图所示：∵⊙O的半径为5，OD＝3，∵AD＝DB，∴OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴2222=-=-=，BD OB OD.534∴AB＝2BD＝8．故选：A．【点睛】本题考查的是垂径定理以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若∠=︒，则B的度数是（）A50A．50︒B．55︒C．60︒D．65︒D解析：D【分析】连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：连接AC ，∵点C 为BD 的中点，∴∠BAC=12∠BAD=25°， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=65°，故选：D ．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．10．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）A ．112.5°B ．120°C ．135°D ．150°C解析：C【分析】 延长DO 交AB 于点H ，连接OB ，证明△△AOD BOD ≅，OD 是AOB ∠的角平分线，求得290345∠=︒-∠=︒，进行求解即可；【详解】延长DO 交AB 于点H ，连接OB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，45C ∠=︒，∴345∠=︒，∵DA DB =，OA OB =，∴△△AOD BOD ≅，∴OD 是AOB ∠的角平分线，又∵AO BO =，∴DH AB ⊥，∴290345∠=︒-∠=︒，又∵221∠=∠，∴18045135AOD ∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了与圆有关的计算，结合全等三角形的性质和角平分线的性质计算即可．二、填空题11．已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第一次点M 在图中直角坐标系中的坐标是_______，第6次点M 的坐标是_______．【分析】先将正方形旋转六次的图形画出确定六次旋转之后点的位置然后通过添加辅助线构造出直角三角形进而利用含角的直角三角形的性质求得再根据勾股定理求得再根据正六边形的性质线段的和差即可求得即可得解【详解 解析：13,12⎛+ ⎝⎭332⎛ ⎝⎭【分析】先将正方形旋转六次的图形画出，确定六次旋转之后点M 的位置，然后通过添加辅助线构造出直角三角形，进而利用30含角的直角三角形的性质求得12FH =、12CJ =，再根据勾股定理求得632JM =，再根据正六边形的性质、线段的和差即可求得32JF =，即可得解．【详解】解：经历六次旋转后点M 落在点6M 处，过M 作MH x ⊥于点H ，过6M 作6M J x ⊥于点J ，连接6IM ，如图：∵在Rt AFH 中，1AF =，60AFH ∠=︒，30FAH ∠=︒∴1122FH AF == ∵已知点M 的纵坐标是312+，即312MH =+ ∴点M 的坐标是：13,12⎛ ⎝⎭； ∵在6Rt CJM 中，61CM =，660JCM ∠=︒，630CM J ∠=︒∴61122CJ CM ==，226632JM CM CJ =-= ∵点I 是正六边形的中心∴1IC IF ==∴32JF IF IC CJ =+-=∴点6M 的坐标是：33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案是：13,122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了正多边形、旋转变换、含30角的直角三角形、勾股定理、线段的和差以及坐标系中的图形与坐标，体现了数形结合的数学思想．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M是ABC ∆的外接圆，则圆心M 的坐标为__________________，M 的半径为_______________________． 【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点利用点ABC 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3AB 的垂直平分线为直线y=x 从而得到M 点的坐标然后计算MB 得到⊙M 的半径【详解】解：∵点ABC 的坐标分别是（解析：()3,310【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点，利用点A 、B 、C 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3，AB 的垂直平分线为直线y=x ，从而得到M 点的坐标，然后计算MB 得到⊙M 的半径．【详解】解：∵点A ，B ，C 的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），∴BC 的垂直平分线为直线x=3，∵OA=OB ，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴AB 的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x ，∵直线x=3与直线y=x 的交点为M 点，∴M 点的坐标为（3，3），∵22(32)310MB =-+=∴⊙M 10．故答案为（3，3），10．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．13．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4．平面内的直线l经过点A，作CE⊥l 于点E，连接BE.则当直线l绕着点A转动时，线段BE长度的最大值是________．【分析】以AC为直径作圆O连接BO并延长交圆O于点可得BO+O＞B从而可得BO+OE＞B即BE为最大值再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题【详解】解：由题意知CE⊥l于点E∴以AC为直径作圆O∵CE解析：225+【分析】以AC为直径作圆O，连接BO，并延长交圆O于点E'，可得BO+O E'＞B E'，从而可得BO+OE＞B E'，即BE为最大值，再由勾股定理求出BO的长即可解决问题．【详解】解：由题意知，CE⊥l于点E，∴以AC为直径作圆O，∵CE⊥AE,∴点E在圆O上运动，连接BO，并延长交圆O于点E'，如图，∴BO+O E'＞B E'，∵OE=O E'，∴BO+OE＞B E'，∴BE的长为最大值，∵AO=OC=OE，且AB=AC=4，∴122OE AC==又∵∠BAC=90°∴22222BO AO AB=+=+=4220∴25BO=∴BE=252+=+BO OE+故答案为：225【点睛】此题主要考查了求线段的最大值，构造出△ACE的外接贺是解答本题的关键．14．如图，点A，B，C在O上，顺次连接A，B，C，O．若四边形ABCO为平行∠=________︒．四边形，则AOC120【分析】连接OB先证明四边形ABCD是菱形然后再说明△AOB△OBC为等边三角形最后根据等边三角形的性质即可解答【详解】解：如图：连接OB∵点在上∴OA=OC=OB∵四边形为平行四边形∴四边形解析：120【分析】连接OB，先证明四边形ABCD是菱形，然后再说明△AOB、△OBC为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答．【详解】解：如图：连接OB∵点A，B，C在O上∴OA=OC=OB∵四边形ABCO为平行四边形∴四边形ABCO是菱形∴OA=OC=OB=AB=BC∴△AOB、△OBC为等边三角形∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOC=120°．故答案为120．【点睛】本题主要考查了圆的性质和等边三角形的性质，根据题意证得△AOB 、△OBC 为等边三角形是解答本题的关键．15．如图，在平面直角坐标系中，点()3,4A ，()3,0B ，以A 为圆心，2为半径作A ，点P 为A 上一动点，M 为OP 的中点，连接BM ，设BM 的最大值为m ，最小值为n ，则m n -的值为_________．2【分析】方法一：在轴上取一点连接可求由可得由点在上运动可知共线时可以取得最大值或最小值最大值最小值由最大值与最小值求出即可；方法二：连接取中点连接利用三角形三边关系有可得作差计算即可【详解】解：方解析：2【分析】方法一：在x 轴上取一点()6,0E ，连接PE ，可求3OB BE ==，22345AE +=，由OM PM =，OB BE =，可得12BM PE =，由点P 在A 上运动，可知P 、A 、B 共线时，可以取得最大值或最小值，最大值'527EP ==+=，最小值''523EP =-=，由最大值与最小值求出72m =，32n =即可；方法二：连接PA 、OA ，取OA 中点N ，连接MN 、BN ，利用三角形三边关系有BN MN BM BN MN -≤≤+，可得m BN MN =+，n BN MN =-，作差计算22m n MN PA -===即可．【详解】解：方法一：在x 轴上取一点()6,0E ，连接PE ，∵()3,0B ，()3,4A ，∴3OB BE ==，22345AE =+=，∵OM PM =，OB BE =，∴12BM PE =， ∵点P 在A 上运动， ∴P 、A 、B 共线时，可以取得最大值或最小值，最大值'527EP ==+=，最小值''523EP =-=，∴72m =，32n =， ∴2m n -=， 故答案为2．方法二：连接PA 、OA ，取OA 中点N ，连接MN 、BN ，BN MN BM BN MN -≤≤+，m BN MN =+，n BN MN =-，22m n MN PA -===．故答案为：2．【点睛】本题考查三角形的中位线，勾股定理，三角形三边关系，线段和差，掌握三角形的中位线，勾股定理，三角形三边关系，线段和差，引辅助线构造准确图形是解题关键． 16．如图，已知点C 是半圆О上一点，将弧BC 沿弦BC 折叠后恰好经过点,O 若半圆O 的半径是2,则图中阴影部分的面积是________________________．【分析】过点O 作OD ⊥BC 于E 交半圆O 于D 点连接CD如图根据垂径定理由OD ⊥BC 得BE ＝CE 再根据折叠的性质得到ED ＝EO 则OE ＝OB 则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC ＝30°即∠AB 解析：23π 【分析】过点O 作OD ⊥BC 于E ，交半圆O 于D 点，连接CD ，如图，根据垂径定理由OD ⊥BC 得BE ＝CE ，再根据折叠的性质得到ED ＝EO ，则OE ＝12OB ，则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC ＝30°，即∠ABC ＝30°则∠AOC=60°，由于OC ＝OB ，则弓形OC 的面积＝弓形OB 的面积，然后根据扇形的面积公式及S 阴影部分＝S 扇形OAC 即可得到阴影部分的面积．【详解】如图：过点O 作OD ⊥BC 于E ，交半圆O 于D 点，连接CD ，∵OD ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∵半圆O 沿BC 所在的直线折叠，圆弧BC 恰好过圆心O ，∴ED ＝EO ，∴OE ＝12OB ， ∴∠OBC ＝30°，即∠ABC ＝30°，∴∠AOC=60°；∵OC ＝OB ，∴弓形OC 的面积＝弓形OB 的面积，∴S 阴影部分＝S 扇形OAC ＝260223603ππ⋅= ． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了垂定定理、圆周角定理和扇形的面积公式．17．如图，在圆O 的内接五边形ABCDE 中，40CAD ∠=︒，则B E ∠+∠=_______°．220【分析】连接CE根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD然后求解即可【详解】解析：220【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．【详解】连接CE，∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝40°，∴∠B＋∠AED＝180°＋40°＝220°【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键．BC=，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得18．在矩形ABCD中，43AB=6∠=︒，则AP的长为__________．或4或8【分析】取CD中点P1连接60APBAP1BP1由勾股定理可求AP1＝BP1＝4即可证△AP1B是等边三角形可得∠AP1B ＝60°过点A点P1点B作圆与ADBC各有一个交点即这样的P点一共3个再运用勾解析：434或8．【分析】取CD中点P1，连接AP1，BP1，由勾股定理可求AP1＝BP1＝3△AP1B是等边三角形，可得∠AP1B＝60°，过点A，点P1，点B作圆与AD，BC各有一个交点，即这样的P 点一共3个．再运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，取CD 中点P 1，连接AP 1，BP 1，如图1，∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝43，AD ＝BC ＝6，∠D ＝∠C ＝90°∵点P 1是CD 中点∴CP ＝DP 1＝23∴AP 1＝221AD DP +＝43， BP 1＝221BC CP +＝43 ∴AP 1＝P 1B ＝AB∴△APB 是等边三角形∴∠AP 1B ＝60°，过点A ，点P 1，点B 作圆与AD ，BC 的相交，∴这样的P 点一共有3个当点P 2在AD 上时，如图2，∵四边形ABCD 是矩形，∴3,43,90AB A CD AD =∠===︒∵260,AP B ∠=︒∴221,2P A P B = 即222,P B P A =在2Rt P AB ∆中，22222,P B P A AB -=∴222222(43),P A P A -=∴24AP =；当点P 3在BC 上时，如图3，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°∵∠360,AP B =︒∴∠3390906030,P AB AP B =︒-∠=︒-︒=︒ ∴331,2BP AP = 在3Rt ABP ∆中，22233,AP BP AB -=222331()(43),2AP AP -= 23348,4AP = ∴8,AP =综上所述，AP 的长为：43或4或8．故答案为：43或4或8．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．19．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB=90°，C 为AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE=36°，则图中阴影部分的面积为____．10π【分析】连接OC 易得△ODE ≌△ECO 所以扇形OBC 的面积就是图中阴影部分的面积因此求得扇形OBC 的面积即可【详解】解：如下图连接OC ∵∠AOB=90°CD ⊥OACE ⊥OB ∴四边形ODCE 为矩解析：10π【分析】连接OC ，易得△ODE ≌△ECO ，所以扇形OBC 的面积就是图中阴影部分的面积，因此求得扇形OBC 的面积即可．【详解】解：如下图连接OC ，∵∠AOB=90°、CD ⊥OA 、CE ⊥OB∴四边形ODCE 为矩形∴OD=CE ，OE 为公共边∴△ODE ≌△ECO∴△ODE 的面积=△ECO 的面积∴图中阴影部分的面积=2236361010360360O BC SOB πππ-==⨯=． 故答案为：10π．【点睛】本题考查扇形面积的计算和矩形的性质．其关键是用矩形性质对阴影部分进行等积变换，发现△ODE 的面积=△ECO 的面积．20．湖州南浔镇河流密如蛛网，民间有“千步一桥”之说．如图，某圆弧形桥拱的跨度AB =12米，拱高CD =4米，则该拱桥的半径为____米． 65【分析】根据垂径定理的推论此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 根据垂径定理和勾股定理求解【详解】根据垂径定理的推论知此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 拱桥的跨度AB=12m解析：6.5【分析】根据垂径定理的推论，此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，连接OA ． 拱桥的跨度AB =12m ，拱高CD =4m ，根据垂径定理，得AD=6 m ，利用勾股定理可得：()22264AO AO =--，解得：AO =6.5m ．即圆弧半径为6.5米，故答案为：6.5．【点睛】本题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意由半径、半弦、弦心距构造的直角三角形进行有关的计算． 三、解答题21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交⊙O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若10AB =，6AD =，求DE 的长．解析：（1）见解析；（2）245 【分析】（1）连接OD ，由BD 为角平分线得到OBD CBD ∠=∠，再由OB=OD ，利用等边对等角得到ODB OBD ∠=∠，从而得出ODB CBD ∠=∠，利用内错角相等两直线平行得到OD 与BE 平行，由DE 垂直于BE 得到OD 垂直于DE ，即可得证；（2）过D 作DH AB ⊥于H ，根据HL 得出△≌△Rt ADH Rt CDE ，得出AH CE =，再根据勾股定理得出22221068BD AB AD -=-=，再利用等积法即可得出DE 的长．【详解】（1）证明：连接OD ．∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，∴OBD CBD ∠=∠．∴ODB CBD ∠=∠，∴//OD BE ．∴180BED ODE ∠+∠=︒．∵BE DE ⊥，∴90BED ∠=︒．∴90ODE ∠=︒．∴OD DE ⊥．∴DE 与O 相切；（2）过D 作DH AB ⊥于H ．∵BD 平分ABC ∠，DE BE ⊥，∴DH DE =．∵AD CD =，∴AD CD =．∴()Rt ADH Rt CDE HL △≌△，∴AH CE =．∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒． ∵10AB =，6AD =， ∴22221068BD AB AD =-=-=． ∵1122AB DH AD BD ⋅=⋅，∴245DH =． ∴245DE =． 【点睛】 此题考查了切线的判定，角平分线的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键，属于中考常考题型．22．如图，AB 是圆的直径，且AD//OC ，求证：CD BC =．解析：证明见解析．【分析】主要是根据弧相等只需要证明弧所对的圆周角相等或者弧所对的圆心角相等即可证明．连接AC 或者OD 都可以证明．【详解】解：连接ACAD//OC∴∠DAC=∠OCAOA=OC∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠BAC∴CD BC =．【点睛】主要是考察学生对圆周角定理的内容的掌握．同时角相等和弧相等之间的转化． 23．如图，已知直线PT 与⊙O 相交于点T ，直线PO 与⊙O 相交于A 、B 两点，已知PTA B ∠=∠．（1）求证：PT 是⊙O 的切线；（2）若3PT BT ==解析：（1）证明见解析；（2）364π- 【分析】 （1）先根据圆周角定理得：∠ATB=90°，则∠B+∠OAT=90°，根据同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：∠OAT=∠2，从而得∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，所以直线PT 与⊙O 相切；（2）利用TP=TB 得到∠P=∠B ，而∠OAT=2∠P ，所以∠OAT=2∠B ，则利用∠ATB=90°可计算出∠B=30°，∠POT=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AT=12AB ，△AOT 为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和图中阴影部分的面积=S 扇形OAT -S △AOT 进行计算．【详解】（1）证明：连接OT ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ATB=90°，∴∠B+∠OAT=90°，∵OA=OT ，∴∠OAT=∠2，∵∠PTA=∠B ，∴∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，∴直线PT 与⊙O 相切；（2）∵3PT BT ==∴∠P=∠B=∠PTA ，∵∠TAB=∠P+∠PTA ，∴∠TAB=2∠B ，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，在Rt △ABT 中，设AT=a ，则AB=2AT=2a ，∴a 232＝(2a)2，解得：a=1，∴AT=1，∵OA=OT ，∠TAO=60°，∴△AOT 为等边三角形， 13312AOT S ∴=⨯=． ∴阴影部分的面积2Δ 60133360464AOT AOTS S ππ⨯=-=-=-扇形． 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理，此类题常与方程结合，列方程求圆的半径和线段的长，也考查了扇形的面积公式．24．如图，已知AB 是O 的直径，四边形AODE 是平行四边形，请用无刻度直尺按下列要求作图．（1）如图1，当点D 在圆上时，作BAC ∠的平分线；（2）如图2，当点D 不在圆上时，作BAC ∠的平分线．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由四边形AODE 是平行四边形，结合圆的 半径相等，可知四边形AODE 是菱形，利用菱形的性质即可做出BAC ∠的平分线；（2）延长OD 交于圆一点，连接该点与点A ，由此即可作出C BA ∠的平分线．【详解】解：（1）如图①：AD 即为所求．∵四边形AODE 是平行四边形点D 在圆上∴四边形AODE 是菱形∴AD 平分BAC ∠；（2）如图②：延长OD 交于圆一点P ，连接AP ，同理可证AP 即为所求．【点睛】此题考查尺规作图，关键是掌握圆的相关知识及角平分线的判定方法．25．如图1是某人荡秋千的情形，简化成图2所示，起始状态下秋千顶端O 与座板A 的距离为2m （此时OA 垂直于地面），现一人荡秋千时，座板到达点B （OA 不弯曲）．（1）当BOA 30∠=时，求AB 弧的长度（保留π）；（2）当从点C 荡至点B ，且BC 与地面平行，3m BC =时，若点A 离地面0.4m ，求点B 到地面的距离（保号根号）．解析：（1）3m π；（2）127()52m -． 【分析】（1）利用弧长公式计算，得到答案；（2）根据等腰三角形的性质求出BD ，根据勾股定理求出OD ，结合图形计算即可．【详解】解：（1）AB 弧线的长度=302()1803m ππ⨯=； （2）如图，∵OB=OC ，OD ⊥BC ，∴1322BD BC ==， 在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2， ∴2222372()2OD OB BD =-=-=， ∴点B 到地面的距离=712720.4252-+=-， 答：点B 到地面的距离为127(5m -． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、弧长的计算、勾股定理，掌握弧长公式是解题的关键．26．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠CAE=∠ADC ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠B=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 解析：（1）见解析；（2）433π- 【分析】（1）根据AB 是直径得到∠ACB=90°，根据已知条件得到∠BAE =90°，即可得到结果； （2）作OM ⊥AC ，垂足为M ，求得AM=3，根据扇形的面积计算公式计算即可；【详解】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠B=∠ADC=∠CAE ，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠B=90°，∴ BA ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线．（2）解：作OM ⊥AC ，垂足为M ．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，∴∠AOM=∠COM=60°， ∴OM=12AO=1， ∴3 ∴AC=2AM=23∴S 阴=S 扇形AOC -S △AOC =120414-231336023ππ． 【点睛】本题主要考查了切线的证明和扇形的面积计算，准确分析计算是解题的关键． 27．如图，ABC 内接于O ，60BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点．BC ，AB 边上的高AE ，CF 相交于点H ．试证明：（1）FAH CAO ∠=∠；（2）四边形AHDO 是菱形．解析：（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）连接AD ，根据题意易得,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，则有∠DAE=∠ODA ，∠DAO=∠ODA ，然后根据角的等量关系可求解；（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，由题意易得AC=2AM ，AC=2AF ，进而可证△AFH ≌△AMO ，然后可得四边形AHDO 是平行四边形，最后问题可证．【详解】证明：（1）连接AD ，如图所示：∵点D 是BC 的中点，∴,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥，∵AE ⊥BC ，∴AE ∥OD ，∴∠DAE=∠ODA ，∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ODA ，∴∠BAD-∠DAE=∠CAD-∠DAO ，∴∠FAH=∠CAO ；（2）过点O 作OM ⊥AC 于M ，∴AC=2AM ，∵CF ⊥AB ，∠BAC=60°，∴AC=2AF ，∴AF=AM ，∵∠AFH=∠AMO=90°，∠FAH=∠OAM ，∴△AFH ≌△AMO （ASA ），∴AH=AO ，∵OA=OD ，∴AH //CD ，∴四边形AHDO 是平行四边形，∵OA=OD ，∴四边形AHDO 是菱形．【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理及菱形的判定，熟练掌握圆周角定理、垂径定理及菱形的判定是解题的关键．28．已知PA 、PB 分别与O 相切于点A ，B 两点，76APB ∠=︒ ，C 为O 上一点． （1）如图，求ACB ∠的大小； （2）如图，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．解析：（1）52︒；（2）19︒【分析】（1）连接OA 、OB ，根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，可以求出AOB ∠的度数，再根据圆周角定理得到ACB ∠的度数；（2）连接CE ，根据（1）的结论，先求出BCE ∠的度数，再由圆周角定理得到BAE BCE ∠=∠，再等腰三角形ABD 中求出底角ADB ∠的度数，再由外角和定理就可以求出EAC ∠的度数．【详解】解：（1）如图，连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是O 的切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴360909076104AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒，根据圆周角定理，1522ACB AOB ∠=∠=︒；（2）如图，连接CE ， ∵AE 是O 的直径， ∴90ACE ∠=︒， ∵52ACB ∠=︒， ∴905238BCE ∠=︒-︒=︒， ∴38BAE BCE ∠=∠=︒， ∵AB AD =， ∴71ABD ADB ∠=∠=︒， ∴19EAC ADB ACB ∠=∠-∠=︒．【点睛】本题考查圆周角定理和切线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行求解．。
人教版初中数学圆的技巧及练习题附答案
一、选择题
1．如图，点 在圆上，若弦 的长度等于圆半径的 倍，则 的度数是( )．
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
设圆心为 ，连接 ，如图，先证明 为等腰直角三角形得到 ，然后根据圆周角定理确定 的度数．
【详解】
解：设圆心为 ，连接 ，如图，
16．如图，已知⊙O的半径是4，点A,B,C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．
4．如图， 是 的内接三角形， ， ，把 绕圆心 按逆时针方向旋转 得到 ，点 的对应点为点 ，则点 ， 之间的距离是（）
A．1B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AD，构造△ADB，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB和△DBE全等，从而得到AD=BE=BC=1.
【详解】
如图，连接AD，AO，DO
A．12 B． πC． D． π
【答案】C
【解析】
【分析】
易得AD长，利用相应的三角函数可求得∠ABD的度数，进而求得∠EOD的度数，那么一个阴影部分的面积=S△ABD-S扇形DOE-S△BOE，算出后乘2即可．
【详解】
连接OE，OF．
∵BD=12，AD：AB=1：2，
∴AD=4 ，AB=8 ，∠ABD=30°，
又∵OM：OC＝3：5，
所以OM＝3，
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解：∵S扇形FCD ，S扇形EAD ，S矩形ABCD ，
∴S阴影＝S扇形FCD﹣（S矩形ABCD﹣S扇形EAD）
＝9π﹣（24﹣4π）
＝9π﹣24+4π
＝13π﹣24
故选：C．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD的面积﹣（矩形ABCD的面积﹣扇形EAD的面积）是解答本题的关键．
【详解】
设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，
在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=4 ，
∴光盘的直径为8 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.
6．下列命题中，是假命题的是
A．10B．9C．8D．7
【答案】D
【解析】
分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10．∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝30°，DC＝1，
∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，
则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝2 ，
∴⊙O的半径为 ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角函数的应用．
2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( )
A． cmB．8cmC．6cmD．4cm
【答案】B
【解析】
【分析】
由于⊙O的直径CD＝10cm，则⊙O的半径为5cm，又已知OM：OC＝3：5，则可以求出OM＝3，OC＝5，连接OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB．
【详解】
解：如图所示，连接OA．⊙O的直径CD＝10源自m，则⊙O的半径为5cm，
即OA＝OC＝5，
A．任意多边形的外角和为
B．在 和 中，若 ， ， ，则 ≌
C．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边
D．同弧所对的圆周角和圆心角相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相关的知识点逐个分析．
【详解】
解：A.任意多边形的外角和为 ,是真命题；
B.在 和 中，若 ， ， ，则 ≌ ，根据HL，是真命题；
C.在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题；
C、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；
D、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，
故选C．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．
14．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（ ）
∵E点在以CD为直径的圆上，
∴∠CED=90°，
∴∠AEC=180°-∠CED=90°，
∴E点也在以AC为直径的圆上，
设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，
∵AC=8，
∴OC= AC=4，
∵BC=3，∠ACB=90°，
∴OB= =5，
∵OE=OC=4，
∴BE=OB-OE=5-4=1.
故选D．
点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG=OA•sin60°=2× = ，
∴S阴影=S△OAB﹣S扇形OMN= ×2× ﹣ = ．故选A．
A．1B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE= AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解.
【详解】
解：连接CE，
9．如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B． πC． D． π
【答案】C
【解析】
【分析】
易得AD长，利用相应的三角函数可求得∠ABD的度数，进而求得∠EOD的度数，那么一个阴影部分的面积=S△ABD-S扇形DOE-S△BOE，算出后乘2即可．
A． π﹣2 B． π+2 C．2 ﹣πD． + π
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OE.可得 = BOE- BCD-S△OCE.根据已知
条件易求得BC=OC=CD=2,BO=OE=4.∠BOE= ,CE= ,所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.
【详解】
解：连接OE，可得 = BOE- BCD-S△OCE，
4．如图，在矩形 中， ，以 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ，以 为圆心， 长为半径画弧交 的延长线于点 ，则图中阴影部分的面积是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先分别求出扇形FCD和扇形EAD的面积以及矩形ABCD的面积，再根据阴影面积＝扇形FCD的面积﹣（矩形ABCD的面积﹣扇形EAD的面积）即可得解．
D.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题.
故选D．
【点睛】
本题考核知识点：判断命题的真假.解题关键点：熟记相关性质或定义．
7．已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB=6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE=BC，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OD、OC，根据CE=BC，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得出∠DOC=90°，根据S阴影=S扇形-S△ODC即可求得．
【详解】
连接OE，OF．
∵BD=12，AD：AB=1：2，
∴AD=4 ，AB=8 ，∠ABD=30°，
∴S△ABD= ×4 ×12=24 ,S扇形=
∵两个阴影的面积相等，
∴阴影面积= .
故选：C
【点睛】
本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．
10．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于()
【详解】
解：∵弦CD⊥AB，AB过O，
∴AB平分CD，
∴BC=BD，
∴∠ABC=∠ABD，
∵BD=1，
∴BC=1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB= ，
∴sin∠ABD=sin∠ABC=
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为90°、勾股定理和三角函数，解题关键是找出图形中的直角三角形，然后按照三角函数的定义求解
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2× =2 ，AB=2BC=4，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC=CD=BD= AB=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD= AB=2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF= BC= ×2=1，CF= AC= ×2 = ，
∴S阴影= DF×CF= × = ．
故选C．
考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．
13．下列命题中哪一个是假命题（ ）
A．8的立方根是2
A．20°B．25°C．30°D．32.5°
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OD，根据三角形内角和定理和等边对等角求出∠DOB＝40°，再根据圆周角定理即可求出∠BAD的度数．
【详解】
解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵OD＝OC，
由已知条件可得，BC=OC=CD=2，又,BO=OE=4，
∠BOE= ，可得CE= ，
BOE= ，
BCD ，
S△OCE= ，
= BOE- BCD-S△OCE= = ，
故选A.
【点睛】
本题主要考查扇形面积公式、三角形面积公式，牢记公式并灵活运用可求得答案.
16．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )