【精准解析】河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题
【数学】河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试试题 (解析版)
联系电话：4000-916-716河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题卷Ⅰ（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.设全集U =R ，()(){}310A x x x =-->，{}2B x x =<，则()⋂=UCA B （ ）A. {}12x x ≤<B. {}12x x <<C.{}2x x <D.{}1x x ≥【答案】A 【解析】()()310x x -->,3x ∴>或1x <即{}31A x x x =><或，[1,3]UCA ∴=，()⋂=U C A B {}12x x ≤<故选：A2.函数()22log 3x f x x =+-的零点所在区间( )A.()0,1 B.()1,2 C . ()2,3 D.()3,4【答案】B【解析】由题意，可得函数在定义域上为增函数，()212log 1310f =+-=-<，()2222log 235320f =+-=-=>，所以()()120f f <，根据零点存在性定理，()f x 的零点所在区间为()1,2故选B ．3.函数2(2)y x a x =+-在区间(4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2a ≤- B. 2a ≥- C. 6a ≤- D. 6a ≥-【答案】D【解析】函数2(2)y x a x =+-的对称轴方程为22a x -=，联系电话：4000-916-716函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以242a-≤，解得6a ≥-.故选:D.4.若扇形的圆心角120α=︒，弦长12cm AB =，则弧长l =（ ）cmA.B.C.4π3 D. 8π3【答案】B【解析】设扇形的半径为r，依题意06sin 60r ==，弧长2ππ33l r ==. 故选:B.5.将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( )A. B.C. 0D. 4π-【答案】B【解析】得到的偶函数解析式为πsin 2sin 28π4y x x ϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ= 6.已知函数()22log ,041,0x x x x f x x -+>⎧=⎨-≤⎩若()3f a ＝，则()2f a －＝( ) A. －1516B. 3C. －6364或3D. －1516或3【答案】A联系电话：4000-916-716【解析】当0a >时，若()3f a ＝，则2log 32a a a +=⇒=；当0a ≤时，若()3f a ＝，则24133a a --=⇒=，不满足0a ≤舍去．于是，可得2a =.故()02152)160(41f a f -=-=--＝.故本题选A.7.在ABC 中，3CD BD =，O 为AD 的中点，若AO AB AC λμ=+，则λμ⋅=（ ）A.34-B. 316-C. 34 D. 316【答案】B【解析】133,33,22AC CD BD AD A ACD AB AD AB =-=-=-+，O 为AD 的中点，11344=2A B AD AC A O -+=，133,,4416λμλμ∴=-=⋅=-.故选:B.8.已知定义在R 上奇函数()f x 满足()()20f x f x +=+，且当[0,1]x ∈时，()21=log ()f x x +，则下列不等式正确的是( )A. ()()2log 756()f f f -<<B.()()2log 7()65f f f -<<C.()()25log (76)f f f <<- D.()()256o )l g 7(f f f -<<【答案】C 【解析】由()()++2=0f x f x ，得()()=+2f x f x -，所以()+4()f x f x =，()f x 的周期4T =.又()()f x f x -=-，且有()()20=0=f f -，所以()()2551log 2==1()==f f f -----，()()620f f ==.又22log 73<<，所以20log 721<-<，即270log 14<<，的联系电话：4000-916-716因为[0,1]x ∈时，()2()[]log 10,1f x x +∈=，所以()222log 7log 727()(log )4f f f =--=-222277log (log 1)log (log )42=-+=- 又271log 22<<，所以2270log (log )12<<，所以2271log (log )02-<-<，所以2(5)(log 7)(6)f f f -<<.故选：C.9.若sin 25α=，sin()βα-=，且π[,π]4α∈，3π[π,]2β∈，则αβ+的值是（） A. 9π4 B. 7π4 C. 5π4或7π4 D. 5π4或9π4【答案】B【解析】π[4α∈，π]，[πβ∈，3π]2，π2[2α∴∈，2π]，又10sin 22α<=<，5π2(6α∴∈，π)，即5π(12α∈，π)2， π(2βα∴-∈，13π)12，cos2α∴==；又sin()βα-=，π(2βα∴-∈，π)，cos()βα∴-==，联系电话：4000-916-716=又5π(12α∈，π)2，[πβ∈，3π]2， 17π()(12αβ∴+∈，2π)，7π4αβ∴+=. 故选B10.已知函数2(),xf x e x =+且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A. 13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. 130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】因为()2xf x e x =+，所以()()f x f x -=,() f x 为偶函数，因为当0x >时，()f x 单调递增，所以()()321f a f a ->-等价于()()321f a f a ->-，即321a a ->-，2223912421,810304a a a a a a a -+>-+-+>∴>或12a<，选A.11.若cos()4θ+，则sin 2θ=（ ）A. 13 B. 14C.14-D. 13-【答案】C【解析】2(cos sin )cos()4θθθ==+=+，联系电话：4000-916-716cos sin θθ+=，两边平方可得31+sin 24θ=， 1sin 24θ∴=-.故选:C.12.已知函数()2cos()1(0,||)2f x x ωϕωϕπ=++><，其图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π，若()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（ ） A. [,]66ππ-B. [,0]4-πC. [,]312ππ-D. [0,]4π【答案】B【解析】函数()f x 图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π，所以周期22,33T ωωππ==∴=， ()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立， 即cos(3)0x ϕ+>，(,)126x ππ∈-恒成立，,3,1264222x x ϕππππππ-<<-<<-<<, 33442x ϕϕϕπππ-<-+<+<+<π, 4222ϕϕ⎧-+≥-⎪⎪∴⎨⎪+π≤ππ⎩π⎪，解得04ϕπ-≤≤.故选:B.卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.联系电话：4000-916-71613.函数y =的定义域为________. 【答案】(1,0)(0,3]-【解析】函数有意义需22301011x x x x ⎧-++≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得10x -<<或03x <≤；函数的定义域为(1,0)(0,3]-.故答案为:(1,0)(0,3]-.14.已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=________.【答案】4π【解析】由图像可得2,,244T T ωωππ==π=∴=， 58x =π函数取得最小值， 所以532(),2()424k k k k ϕϕπππ+=π+∈=π+∈Z Z ， ππ||,24ϕϕ<∴=. 故答案为:4π.联系电话：4000-916-71615.设25a bm ==，若112a b +=，则m =_____．【答案】【解析】 试题分析：2525log ,log a b m a m b m ==⇒==⇒211log 2log 5log 10210m m m m a b+=+==⇒=m ⇒= 16.设函数22(sin 1)()sin 1x f x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________. 【答案】2【解析】22222(sin 1)sin 12sin 2sin ()1sin 1sin 1sin 1x x x xf x x x x +++===++++, 22sin ()sin 1x g x x =+，22sin ()()sin 1x g x g x x --==-+，()g x 为奇函数，max min ()()0g x g x +=，max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.故答案为:2三、解答题：（本大题共6小题，17题10分，其它题12分，共70分.） 17.已知角α的终边在直线y =上.（1）求tan α，并写出α与终边相同的角的集合S ；（2）求值cos()cos()2αα++π+. 解：（1）∵角α的终边在直线y =上，∴tan α=α终边相同的角的集合2{|22,}33S k k k αααππ==π+=π-∈Z 或，联系电话：4000-916-716即2{|,}3S k k ααπ==π+∈Z ；（2）cos()cos()2αα=++π+4===18.已知函数2()1cos 2sin ,f x x x x x R =+-∈，（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）用“五点作图法”作出()f x 在[0,]π上的图象；（要求先列表后作图）（3）若把()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间π[,0]2-上的最小值和最大值.解：（1）2π()1cos 2sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x x =+-=+=+，由πππ2π22π()262k x k k -+≤+≤+∈Z ， 解得ππππ()36k x k k -+≤≤+∈Z ()f x 的单调增区间[,k ππππ]36k -+，k ∈Z ；（2）[0,π]x ∈，ππ132[,]666πx +∈，列表如下：联系电话：4000-916-716（3）()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，所以π()2sin(2)6g x x =-，ππ130,226π6π6x x -≤≤-≤-≤-， 当πππ2,626x x -=-=-时，()g x 取得最小值为2-，当π13ππ2,662x x -=-=-时，()g x 取得最大值为1， 所以函数()g x 的最小值为2-，最大值为1.19.已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a +-+=+是奇函数. （1）求a ，b 的值，并用定义证明其单调性；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 解：（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即1012bb a -+=⇒=+，∴12()2xx b f x a +-=+，又由(1)(1)f f -=-知211122221a a a --=-⇒=++，所以2a =，1b =，经检验2a =，1b =时，121()22x x f x +-=+是奇函数，联系电话：4000-916-71611211()22221x x x f x +-==-+++，则12,x x ∀∈R ，且12x x <，则211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++ ∵12x x <，∴1222x x <，∴12()()f x f x >，∴()f x 在R 上是单调递减； （2）因为()f x 奇函数，所以22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于 222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因为()f x 为减函数，由上式可得：2222t t k t ->-，即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式141203k k ∆=+<⇒<-，所以k 的取值范围是1(,)3-∞-. 20.美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)ay kx x =>，其图像如图所示.是联系电话：4000-916-716（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，用()f x 表示公司所过利润，当x 为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润A =芯片毛收入B +芯片毛收入-研发耗费资金）解：（1）设投入资金x 千万元，则生产A 芯片的毛收入π(0)4y x =>； 将()1,1 ()4,2代入a y kx =，得1,42,a k k =⎧⎨⨯=⎩ 1,1,2k a =⎧⎪∴⎨=⎪⎩所以，生产B芯片的毛收入0)y x =>.（2）由4x >16x >；由4x=16x =；由4x<016x <<.所以，当投入资金大于千16万元时，生产A 芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产A 、B 芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元，生产B 芯片的毛收入大.（3）公司投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，则投入()40x -千万元资金生产A 芯片.公司所获利润()4024xf x -=+=)21294-+2=，即4x =千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元.联系电话：4000-916-71621.已知函数3(()log 91)xf x kx =+-是偶函数.（1）求实数k值；（2）当0x ≥时，函数()()g x f x x a =--存在零点，求实数a 的取值范围； （3）设函数3()log (?32)x h x m m =-，若函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解 ：（1）因为()()3log 91x f x kx=+-是R 上的偶函数，所以()()11f f =-，即()()1133log 91log 91k k-+-=++解得1k =，经检验：当1k =时，满足题意. （2）因为1k =，所以()()3log 91x f x x=+-因为0x ≥时，()()3log 912x g x x a =+--存在零点，即关于x 的方程()3log 912x a x=+-有解，令()()3log 912x x x ϕ=+-，则()33911log log 199x x x x ϕ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭因为0x ≥，所以(]111,29x +∈，所以()(]30,log 2x ϕ∈，所以，实数a 的取值范围是(]30,log 2.（3）因为函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，所以关于x 的方程()()33log 32log 91xxm m x •-=+-有且只有一个解，所以·3233x x xm m --=+ 令3(0)xt t =>，得()21210m t mt ---=（*），记()()2121t m t mt ζ=---，①当1m =时，方程（*）的解为12t =-，不满足题意，舍去；的联系电话：4000-916-716②当1m >时，函数()m t 图像开口向上，又因为图像恒过点()0,1-，方程（*）有一正一负两实根，所以1m >符合题意；③当1m <时，()()22410m m ∆=-+-=且()2021mm -->-时，解得m =，方程（*）有两个相等的正实根，所以m =满足题意.综上，m 的取值范围是{}112m m ⎧-⎪⋃⎨⎪⎪⎩⎭. 22.如图，在半径为2，圆心角为2π的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP ，其中M 、N 两点分别在半径OA 、OB 上，P 、Q 两点在弧AB 上，且OM ON =，//MN PQ .（1）若M 、N 分别是OA 、OB 中点，求四边形MNQP 面积的最大值； （2）2PQ =，求四边形MNQP 面积的最大值. 解：（1）连接OP 、OQ ，则四边形MNQP 为梯形， 设(0,)4AOP BOQ θπ∠=∠=∈，则22POQ θπ∠=-，且此时1OM ON ==，四边形MNQP 面积2111132sin 2sin 22sin(2)4sin 2sin 222222S θθθθθπ=⨯+⨯+⨯⨯--=-++，∴1sin 4θ=，S 取最大值74；联系电话：4000-916-716（2）设(0,2)OM ON x ==∈，由2PQ =可知3POQ π∠=，12AOQ BOP π∠=∠=，314sinsin()122πππ=-=∴四边形MNQP 面积221122S x x x =+=-+∴x ，S取最大值为.。
河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期12月质量检测物理试题 Word版含解析
2019~2020年度12月质量检测高一物理一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，第1~8题只有一项符合题目要求，第9~12题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）1.下列关于惯性的说法中正确的是（）A. 水平抛出的石块运动轨迹是曲线，说明石块的惯性一直在改变B. 乒乓球可以快速抽杀，是因为乒乓球的惯性小C. “歼–20”隐身战机在作战前抛掉副油箱，是为了增大惯性D. 汽车速度越大越难以停下来，所以速度大的物体惯性大【答案】B【解析】【详解】惯性大小与物体的速度无关，只与物体的质量有关，质量不变，则物体的惯性不变，增大质量时，物体的惯性增大，减小质量时，物体的惯性减小；A．惯性大小的量度是质量，水平抛出的石块运动轨迹是曲线，石块质量没变，说明石块的惯性一直没变，故A错误；B．惯性小运动状态容易改变。
乒乓球可以快速抽杀，是因为乒乓球的惯性小，故B正确；C．“歼–20”隐身战机在作战前抛掉副油箱，质量变小，是为了减小惯性，故C错误；D．惯性大小与物体的速度无关，只与物体的质量有关，所以速度大的物体惯性大这个说法是错误的，故D错误。
故选B。
2.关于摩擦力，下列说法正确的是（）A. 两个相互接触的物体间一定产生摩擦力B. 摩擦力只能在两个相对滑动的物体之间产生C. 静摩擦力的大小与两个物体间的正压力成正比D. 滑动摩擦力的方向总跟接触面相切，跟物体的相对运动方向相反【答案】D【解析】【详解】A．两个相互接触的物体间, 如果没有相对运动或相对运动趋势时，物体间不存在摩擦力，故A 错误；B ．静摩擦力存在两个相对静止的物体之间，故B 错误；C ．滑动摩擦力的大小与两个物体间的正压力成正比，静摩擦力大小与正压力无关，故C 错误；D ．滑动摩擦力的方向总跟接触面相切，跟物体的相对运动方向相反，故D 正确。
故选D 。
3.F 1、F 2是两个互相垂直的共点力，其中18N F =，26N F =，这两个力合力的大小为（ ） A 2NB. 10NC. 12ND. 14N【答案】B【解析】 【详解】如图所示，根据力的平行四边形定则，可知质点所受F 1和F 2的合力大小为 22221286N 10N F F F =+=+=合 故B 正确，ACD 错误。
河北省石家庄市第二中学、唐山市第一中学等2019_2020学年高一数学上学期联考试题
河北省石家庄市第二中学、唐山市第一中学等2019-2020学年高一数学上学期联考试题(满分：150分，测试时间：120分钟)第I 卷(选择题，共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知U ＝{x|0≤x ≤5，x ∈Z}，M ＝{1，4，5}，N ＝{0，3，5}，则N∩(U ðM)＝A.{5}B.{0，3}C.{0，2，3，5}D.{0，1，3，4，5}2.下列四组函数，表示同一函数的是A.f(x)＝1，g(x)＝x 0B.21()1,()1x f x x g x x -=+=-C.f(x)＝2lgx ，g(x)＝lgx 2D.f(x)＝log 22x，g(x)3.若5cos()123πα-=，则sin()12πα+=A.3B.23-C.23D.54.函数y =A.[1，3/2)B.(－∞，1]C.[2/3，1]D.(2/3，1]5.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；④若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角。
其中正确的命题个数是A.1B.2C.3D.46.若121ln ,2a b e -==，c 满足e －c ＝lnc ，则a ，b ，c 的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c7.若2a ＝3b ＝6c ，则111a b c++= A.0 B.1 C.2 D.38.函数y ＝f(x)的图象如图所示，则f(x)可能是A.xsinxB.xcosxC.sin x x D.cos x x 9.已知θ∈(0，4π)，则12sin()cos πθθ-- A.sinθ＋cosθ B.sinθ－cosθ C.3sinθ－cosθ D.3sinθ＋cosθ10.已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的最小正周期为π，且对任意的x ∈R ，恒有f(x)≥－f(6π)成立，则f(x)图象的一条对称轴是 A.x ＝2π B.x ＝3π C.x ＝4π D.x ＝23π 11.已知函数f(x)＝4x －a·2x＋a ，在x ∈(0，＋∞)的图像恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是A.a ≤3B.a>2C.0<a<4D.a<4 12.已知函数2log ,03()sin(),3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数a ，使得f(x)＝a 有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则3421(1)(1)x x x x --⋅的取值范围是 A.(28，55) B.(27，54) C.(21，45) D.(27，45)第II 卷(非选择题，共90分)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题
……外……内绝密★启用前 河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设全集U =R ，()(){}310A x x x =-->，{}2B x x =<，则()⋂=U C A B （ ）A ．{}12x x ≤<B ．{}12x x <<C ．{}2x x <D ．{}1x x ≥ 2．函数()x 2f x 2log x 3=+-的零点所在区间( ) A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 3．函数2(2)y x a x =+-在区间(4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤- B ．2a ≥- C ．6a ≤- D ．6a ≥- 4．若扇形的圆心角120α=︒，弦长12cm AB =，则弧长l =（ ）cm A B C ．43π D ．83π 5．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A ． B ． C ．0 D ．4π- 6．已知函数()22log ,041,0x x x x f x x -+>⎧=⎨-≤⎩若()3f a ＝，则()2f a －＝( ) A ．－15 B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3 7．在ABC V 中，3CD BD =u u u r u u u r ，O 为AD 的中点，若AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ⋅=（ ） A ．34- B ．316-C ．34D ．3168．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +=+，且当[0,1]x ∈时，()21=log ()f x x +，则下列不等式正确的是( )A ．()()2log 756()f f f -<<B ．()()2log 7()65f f f -<<C ．()()25log (76)f f f <<-D ．()()256o )l g 7(f f f -<<9．若sin 25α=，sin()10βα-=，且[,]4παπ∈，3[,]2πβπ∈，则αβ+的值是（）A ．94πB ．74π C ．54π或74πD ．54π或94π10．已知函数2(),x f x e x =+且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U11cos()4θ+sin 2θ=（）A ．13 B ．14 C ．14- D ．13-12．已知函数()2cos()1(0,||)2f x x ωϕωϕπ=++><，其图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π，若()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A ．[,]66ππ-B ．[,0]4π-C ．[,]312ππ-D ．[0,]4π第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题…………○…………号：___________…………○…………13．函数y =________. 14．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=________. 15．设25a b m ==，若112a b +=，则m =_____． 16．设函数22(sin 1)()sin 1x f x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________. 三、解答题 17．已知角α的终边在直线y =上. （1）求tan α，并写出α与终边相同的角的集合S ； （2cos()cos()2αα++π+18．已知函数2()1cos 2sin ,f x x x x x R =+-∈， （1）求函数()f x 的单调增区间； （2）用“五点作图法”作出()f x 在[0,]π上的图象；（要求先列表后作图） （3）若把()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间[,0]2π-上的最小值和最大值. 19．已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a +-+=+是奇函数. （1）求a ，b 的值，并用定义证明其单调性；○…………外…………○………※※题※※ ○…………内…………○………（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 20．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)a y kx x =>，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，用()f x 表示公司所过利润，当x 为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润A =芯片毛收入B +芯片毛收入-研发耗费资金）21．已知函数3(()log 91)xf x kx =+-是偶函数.（1）求实数k 的值；（2）当0x ≥时，函数()()g x f x x a =--存在零点，求实数a 的取值范围；（3）设函数3()log (?32)x h x m m =-，若函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，求实数m 的取值范围.22．如图，在半径为2，圆心角为2π的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP ，其中M 、N 两点分别在半径OA 、OB 上，P 、Q 两点在弧AB 上，且OM ON =，//MN PQ .（1）若M 、N 分别是OA 、OB 中点，求四边形MNQP 面积的最大值；（2）2PQ ，求四边形MNQP 面积的最大值.参考答案1．A【解析】【分析】 化简集合{}31A x x x =><或，根据集合的交集、补集运算即可求解.【详解】 ()()310x x -->Q ,3x ∴>或1x < 即{}31A x x x =><或， [1,3]U C A ∴=，()⋂=U C A B {}12x x ≤<故选：A【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，集合的交集，补集，属于容易题.2．B【解析】【分析】通过计算x 1=，x 2=的函数，并判断符号，由零点存在性定理，即可得到答案．【详解】由题意，可得函数在定义域上为增函数，()2f 12log 1310=+-=-<，()22f 22log 235320=+-=-=>，所以()()120f f <，根据零点存在性定理，()f x 的零点所在区间为()1,2故选B ．【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，其中解答中准去计算()()1,2f f 的值，合理利用零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．3．D【解析】【分析】求出抛物线的对称轴，由题意需区间在对称轴的右侧，列出关于a 的不等式，即可求出结论.【详解】函数2(2)y x a x =+-的对称轴方程为22a x -=， 函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以242a -≤， 解得6a ≥-.故选:D.【点睛】本题考查二次函数的单调性，对于常用的简单函数单调性要熟练掌握，属于基础题. 4．B【解析】【分析】由弦长和圆心角，求出扇形半径，根据扇形弧长公式，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，依题意06sin 60r ==弧长23l r π==. 故选:B. 【点睛】本题考查扇形的弧长，要注意圆心角要化为弧度角，属于基础题.5．B【解析】 得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ= 【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考查的最终目的.6．A【解析】【分析】根据分段函数，对a 进行分类讨论，求出a 的值，最后求出()2f a -的值.【详解】当0a >时，若()3f a ＝，则2log 32a a a +=⇒=；当0a ≤时，若()3f a ＝，则24133a a --=⇒=，不满足0a ≤舍去．于是，可得2a =.故()02152)160(41f a f -=-=--＝.故本题选A. 【点睛】本题考查了已知分段函数的函数值求自变量问题，考查了数学运算能力7．B【解析】【分析】 由已知得12AO AD =u u u r u u u r ，3CD BD =u u u r u u u r 转化为以A 为起点的向量关系，将AD u u u r 用向量,AB AC u u u r u u u r 表示，进而AO u u u r 用,AB AC u u u r u u u r 表示，求出,λμ，即可求出结论.【详解】133,33,22AC CD BD AD A AC D AB AD AB =-=-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， O 为AD 的中点，11344=2A B AD AC A O -+=u u u u r u u u r u u r u u u r ， 133,,4416λμλμ∴=-=⋅=-. 故选:B.【点睛】本题考查向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题.8．C【解析】【分析】先通过已知条件推出函数的最小正周期4T =，然后利用函数()f x 的性质计算或估计()2log 7f 、()6f 、(5)f -的值或范围即可比较大小.【详解】由()()++2=0f x f x ，得()()=+2f x f x -，所以()+4()f x f x =，()f x 的周期4T =.又()()f x f x -=-，且有()()20=0=f f -， 所以()()2551log 2==1()==f f f -----，()()620f f ==.又22log 73<<，所以20log 721<-<，即270log 14<<， 因为[0,1]x ∈时，()2()[]log 10,1f x x +∈=，所以()222log 7log 727()(log )4f f f =--=-222277log (log 1)log (log )42=-+=- 又271log 22<<，所以2270log (log )12<<，所以2271log (log )02-<-<， 所以2(5)(log 7)(6)f f f -<<.故选：C.【点睛】本题主要考查根据已知条件推导抽象函数的周期性并利用函数的奇偶性、周期性等性质，再结合函数在指定区间的解析式比较函数值的大小问题，试题综合性强9．B【解析】【分析】 依题意，可求得[4πα∈，]2π，2[2πα∈，]π，进一步可知[2πβα-∈，]π，于是可求得 cos()βα-与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【详解】[4πα∈Q ，]π，[βπ∈，3]2π， 2[2πα∴∈，2]π，又10sin 22α<<， 52(6πα∴∈，)π，即5(12πα∈，)2π，(2πβα∴-∈，13)12π，cos2α∴=；又sin()βα-=， (2πβα∴-∈，)π，cos()βα∴-==cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()(αβαβααβααβα∴+=+-=---=2=又5(12πα∈，)2π，[βπ∈，3]2π， 17()(12παβ∴+∈，2)π，74παβ∴+=. 故选B 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题． 10．A 【解析】分析：先确定函数奇偶性与单调性，再利用奇偶性与单调性解不等式.详解：因为()2xf x e x =+，所以()()f x f x -=,()f x 为偶函数， 因为当0x >时，()f x 单调递增，所以()()321f a f a ->-等价于()()321f a f a ->-，即321a a ->-，2223912421,810304a a a a a a a -+>-+-+>∴>或12a <， 选A.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为同一单调区间上(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内. 11．C 【解析】 【分析】2(cos sin )cos()4θθθ=++，可得cos sin θθ+=，两边平方,即可求解. 【详解】2(cos sin )cos()4θθθ==+=+cos sin θθ+=31+sin 24θ=， 1sin 24θ∴=-.故选:C. 【点睛】本题考查三角函数化简求值，涉及到二倍角公式、两角差余弦公式、同角间的三角函数关系，属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】函数()f x 的最大值为3，相邻两个最高点的距离等于周期，可得函数周期为23π，求出3ω=，()1f x >，化为cos(3)0x ϕ+>，(,)126x ππ∈-恒成立，求出3x ϕ+，结合余弦函数的图像，即可求解. 【详解】函数()f x 图象与直线3y =相邻两个交点的距离为23π， 所以周期22,33T ππωω==∴=，()1f x >对任意(,)126x ππ∈-恒成立， 即cos(3)0x ϕ+>，(,)126x ππ∈-恒成立， ,3,1264222x x ππππππϕ-<<-<<-<<,33442x πππϕϕϕπ-<-+<+<+<, 4222ππϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴⎨⎪+≤⎪⎩，解得04πϕ-≤≤.故选:B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，考查整体转换思想，将问题化归为研究熟悉函数的性质，属于中档题.13．(1,0)(0,3]-U 【解析】 【分析】由解析式满足的条件，列出关于x 的不等式组，即可求解. 【详解】函数有意义需22301011x x x x ⎧-++≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得10x -<<或03x <≤； 函数的定义域为(1,0)(0,3]-U . 故答案为:(1,0)(0,3]-U . 【点睛】本题考查函数的定义域，对于函数有意义的限制条件要熟记，属于基础题. 14．4π 【解析】【分析】由图像与x 轴交点的坐标和相邻最低点的坐标，可求出44T π=，求出1,2A ω==，再由最低点的坐标，结合||2ϕπ<，即可求解. 【详解】 由图像可得2,,244T T πππωω===∴=， 58x π=函数取得最小值， 所以532(),2()424k k Z k k Z πππϕπϕπ+=+∈=+∈， ||,24ππϕϕ<∴=Q .故答案为:4π. 【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于基础题. 15．【解析】试题分析：2525log ,log a bm a m b m ==⇒==⇒211log 2log 5log 10210m m m m a b +=+==⇒=m ⇒=考点：指数式与对数式的综合运算． 16．2 【解析】 【分析】22(sin 1)()sin 1x f x x +=+化为22sin ()1sin 1x f x x =++，令22sin ()sin 1x g x x =+，max 1()M g x =+，min 1()m g x =+，()g x 为奇函数，根据奇函数的对称性，max min ()()0g x g x +=，即可求解. 【详解】22222(sin 1)sin 12sin 2sin ()1sin 1sin 1sin 1x x x xf x x x x +++===++++, 22sin ()sin 1x g x x =+，22sin ()()sin 1xg x g x x --==-+， ()g x 为奇函数，max min ()()0g x g x +=，max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.故答案为:2 【点睛】本题考查函数最值的和，解题的关键是分离常数，将问题转化为奇函数的最值和，属于中档题.17．（1），2{|,}3k k ααπ=π+∈Z ；（2）4. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得tan α=论；（2）利用诱导公式化简，将所求式子化为关于sin ,cos αα齐一次分式，化弦为切，即可求解. 【详解】（1）∵角α的终边在直线y =上，∴tan α=，与α终边相同的角的集合2{|22,}33S k k k αααππ==π+=π-∈Z 或， 即2{|,}3S k k ααπ==π+∈Z ； （2cos()cos()2αα=++π+4===【点睛】本题考查三角函数的定义，以及终边相同角的集合，考查关于sin ,cos αα齐次分式的求值，属于基础题. 18．（1）[,k ]36k ππππ-+，k Z ∈；（2）图象见解析；（3）最小值为2-，最大值为1.【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式，将()f x 化简为()2sin(2)6f x x π=+，用整体思想结合正弦函数的递增区间，即可求解； （2）由[0,]x π∈，132[,]666x πππ+∈，确定起始值和终止值，按照“五点作图法”步骤做出图像；（3）根据函数图像平移的关系，求出()g x ，利用整体思想转化为正弦函数最值，即可求解. 【详解】（1）2()1cos 2sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+，由222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x 的单调增区间[,k ]36k ππππ-+，k Z ∈；（2）[0,]x π∈，132[,]x πππ+∈，列表如下：（3）()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ， 所以()2sin(2)6g x x π=-，130,22666x x ππππ-≤≤-≤-≤-， 当2,626x x πππ-=-=-时，()g x 取得最小值为2-，当132,662x x πππ-=-=-时，()g x 取得最大值为1， 所以函数()g x 的最小值为2-，最大值为1. 【点睛】本题考查三角函数化简，以及三角函数的单调性、图像，考查图像平移变换后函数的最值，属于中档题.19．（1）2a =，1b =，证明见解析；（2）1(,)3-∞-. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的必要条件得出(0)0f =，(1)(1)f f -=-求出1b =，2a =，再验证()f x 为奇函数；将()f x 分离常数化为11()221x f x =-++，按照单调函数定义，证明()f x 在R 为减函数；（2）由()f x 是奇函数22(2)(2)0f t t f t k -+-<化为22(2)(2)f t t f t k -<-+，结合()f x在R 上是单调递减，不等式等价转化为2320t t k -->，对一切t R ∈恒成立，根据二次函数图像，可得0∆≤，求解，即可得出结论. 【详解】（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即1012bb a-+=⇒=+， ∴12()2xx b f x a +-=+，又由(1)(1)f f -=-知211122221a a a --=-⇒=++， 所以2a =，1b =，经检验2a =，1b =时，121()22x x f x +-=+是奇函数，11211()22221x x x f x +-==-+++， 则12,x x R ∀∈，且12x x <，则211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++ ∵12x x <，∴1222x x <，∴12()()f x f x >， ∴()f x 在R 上是单调递减； （2）因为()f x 是奇函数，所以22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因为()f x 为减函数，由上式可得：2222t t k t ->-， 即对一切t R ∈有：2320t t k -->， 从而判别式141203k k ∆=+<⇒<-， 所以k 的取值范围是1(,)3-∞-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，用奇偶性的必要条件求参数后要跟上验证，考查函数的单调性证明，要注意分离常数简化计算，考查利用函数的性质解不等式，属于中档题, 20．（1）0)y x =>；（2）详见解析；（3）4x =千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元.【解析】 【分析】（1）将()1,1 ()4,2代入a y kx =，求得,k α的值，即可得到函数的解析式；（2）由题意，根据4x的大小关系，可进行判定，得到答案. （3）设投入x 千万元生产B 芯片，则投入()40x -千万元资金生产A 芯片，列出公司获利的函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设投入资金x 千万元，则生产A 芯片的毛收入(0)4y x π=>；将()1,1 ()4,2代入ay kx =，得1,42,ak k =⎧⎨⨯=⎩ 1,1,2k a =⎧⎪∴⎨=⎪⎩所以，生产B芯片的毛收入0)y x =>.（2）由4x >16x >；由4x=16x =；由4x<016x <<. 所以，当投入资金大于千16万元时，生产A 芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产A 、B 芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元，生产B 芯片的毛收入大.（3）公司投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，则投入()40x -千万元资金生产A 芯片.公司所获利润()4024x f x -==)21294-+2=，即4x =千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.21．（1）1；（2）3(0,log 2]；（3）{}112m m ⎧-⎪⋃⎨⎪⎪⎩⎭【解析】 【分析】（1）函数()()3log 91xf x kx =+-是偶函数, 所以()()11f f =-得出k 值检验即可；（2）()()3log 91x f x x =+-因为0x ≥时，()()3log 912x g x x a =+--存在零点，即关于x 的方程()3log 912xa x =+-有解，求出()()3log 912xx x ϕ=+-的值域即可；（3）因为函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，所以关于x 的方程()()33log ?32log 91x x m m x -=+-有且只有一个解，所以·3233x x x m m --=+，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()()3log 91xf x kx =+-是R 上的偶函数，所以()()11f f =-，即()()1133log 91log 91k k -+-=++解得1k =，经检验：当1k =时，满足题意. （2）因为1k =，所以()()3log 91xf x x =+-因为0x ≥时，()()3log 912xg x x a =+--存在零点，即关于x 的方程()3log 912xa x =+-有解，令()()3log 912xx x ϕ=+-，则()33911log log 199x x xx ϕ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭因为0x ≥，所以(]111,29x +∈，所以()(]30,log 2x ϕ∈， 所以，实数a 的取值范围是(]30,log 2.（3）因为函数()f x 与()h x 的图像只有一个公共点，所以关于x 的方程()()33log ?32log 91xxm m x -=+-有且只有一个解，所以·3233x x x m m --=+令3(0)x t t =>，得()21210m t mt ---= L （*），记()()2121t m t mt ζ=---， ①当1m =时，方程（*）的解为12t =-，不满足题意，舍去； ②当1m >时，函数()m t 图像开口向上，又因为图像恒过点()0,1-，方程（*）有一正一负两实根，所以1m >符合题意；③当1m <时，()()22410m m ∆=-+-=且()2021m m -->-时，解得12m --=，方程（*）有两个相等的正实根，所以m =满足题意.综上，m 的取值范围是{}1m m ⋃⎪⎪⎩⎭. 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性，考查了函数与方程零点问题，通常采用变量分离，或者通过换元转化为熟悉的二次方程根的分布问题，属于难题.22．（1）74；（2）22+. 【解析】【分析】（1）连接OP 、OQ ，四边形MNQP 为梯形，四边形MNQP 面积为 POQ NOQ POM MON S S S S ∆∆∆∆++-，设(0,)4AOP BOQ θπ∠=∠=∈，结合1OM ON ==,即可求出面积关于θ的表达式，进而求出最大值；（2）设(0,2)OM ON x ==∈，3POQ π∠=，12AOQ BOP π∠=∠=，四边形面积为212sin 122x x π，利用1234πππ=-用两角差的正弦公式求出sin 12π，即可求出四边形面积的最大值.【详解】（1）连接OP 、OQ ，则四边形MNQP 为梯形，设(0,)4AOP BOQ θπ∠=∠=∈，则22POQ θπ∠=-， 且此时1OM ON ==，四边形MNQP 面积2111132sin 2sin 22sin(2)4sin 2sin 222222S θθθθθπ=⨯+⨯+⨯⨯--=-++， ∴1sin 4θ=，S 取最大值74； （2）设(0,2)OM ON x ==∈，由2PQ =可知3POQ π∠=，12AOQ BOP π∠=∠=，314sin sin()12222πππ=-=-⋅= ∴四边形MNQP 面积221122S x x x ==-+∴x =，S . 【点睛】本题考查四边形的面积，解题的关键要把四边形分割为若干三角形，转化为求三角形面积的和差，利用二次函数的性质解决实际问题，考查计算能力，属于中档题.。
2019-2020学年市第一中学高一上学期12月月考数学试卷
2019-2020学年市第一中学高一上学期12月月考数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1．已知集合，则=（） A. B. C. D. 2．函数的零点一定位于区间（）． A． B． C． D． 3.下列四组函数中，表示同一函数的是（）． A．与 B．与 C．与 D．与 4．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（） A. B. C. D.5.已知函数y＝x－4＋ (x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( ) A．－3 B．2 C．3 D．8 6．三个数，，的大小关系为（）． A． B． C． D． 7. 设定义域为R函数+C有两个单调区间，则a.b.c满足（）． A． B． C． D 8. 已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为（）． A． B． C． D． 9．若0则a的范围（） A. B. C. D. 10．已知函数，若对于任意,存在，使得，则实数m的范围为 A. B. C. , D. 多选题（共3小题每小题4分共12分） 11.给出下列4个命题: ①命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”为假命题．②命题，则是③“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件④若则x+y其中所有正确命题是（） A(1) B(2) C(3) D(4) 12．已知等式，成立，那么下列结论：；；（3）；；；．其中可能成立的是（） A. （1）（2） B.（2）（5） C.（3）（4） D. （4）（5） 13.已知函数的图象如图所示，根据图象有下列三个命题：①函数在定义域上是单调递增函数；②函数在定义域上不是单调递增函数，但有单调递增区间；③函数的单调递增区间是．其中所有正确的命题是（） A. ① B. ② C. ③ D. ①②③二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卡上） 14．若且 ______ _____ 15．若函数．的定义域是，则函数的定义域是__________． 16.若a,b,c为的三边且关于x的一元二次方程+2=0有两个相等的实数根,的形状为___________ 17. . 函数的定义域为D，若对于任意，，当时，都有，则称函数在D上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则_________；___________. 三、解答题：（本大题共6个题，．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（满分12分）U=R,非空集合A={x|}，集合B={x|}．（1）a=求∩ （2）若x求实数a的取值范围． 19. （满分12分）已知直线y=2x+3与y轴的交点为A,二次函数的图像过点A,且满足 (1)求函数的解析式 (2)若函数y=的最小值为3求实数m的值 20. （满分13分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。
2019-2020学年河北省唐山一中高一上学期期中考试 数学含答案含答案
一．选择题（共12小题，每小题5 分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1.已知集合A ={x |x 2-2x -3＜0}，集合B ={x |2x +1＞1}，则C B A =（）A. B. C. D. [3,+∞)(3,+∞)(‒∞,‒1]∪[3,+∞)(‒∞,‒1)∪(3,+∞)2.若a =log 20.5，b =20.5，c =0.52，则a ，b ，c 三个数的大小关系是 （ ）A. B. C. D. a <b <c b <c <a a <c <b c <a <b3.函数y =的图象是 （ xln|x||x|）A.B. C. D.A.B. 9.已知函数f （x ）=|lg x |，若0＜a ＜b ，且f （a ）=f （b ），则a +2b 的取值范围是（ ）A. B. C. D. (22,+∞)[22,+∞)(3,+∞)[3,+∞)10.若函数f （x ）=，且满足对任意的实数x 1≠x 2都有＞0成立，{a x ,x ≥1(4‒a 2)x +2,x <1f(x 1)‒f(x 2)x 1‒x 2则实数a 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. (1,8)(4,8)[4,8)11.若在区间上递减，则a 的取值范围为 （f(x)=lg (x 2‒2ax +1+a)(‒∞,1]）A. B. C. D. [1,2)[1,2][1,+∞)[2,+∞)12.已知函数f （x ）=则函数g （x ）=f [f （x ）]-1的零点个数为（ ）A. 1 B. 3 C. 4D. 6卷Ⅱ(非选择题 共90分)19.已知函数，且．f (x )=log a (x +1)‒log a (1‒x )a >0a ≠1（1）求的定义域；f (x )（2）判断的奇偶性并予以证明；f (x )（3）当时，求使的的解集．a >1f (x )>0x 20.已知定义域为R 的函数是奇函数．f(x)=‒2x +b2x +1+2（1）求b 的值；（2）判断函数f （x ）的单调性，并用定义证明；（3）当时，f （kx 2）＋f （2x －1）＞0恒成立，求实数k 的取值范围．x ∈[12,3]21.“绿水青山就是金山银山”，随着我国经济的快速发展，国家加大了对环境污染的治理力2.【答案】C解：a =log 20.5＜0，b =20.5＞1，0＜c =0.52＜1，则a ＜c ＜b ，则选：C ．3.【答案】B解：函数y =是奇函数，排除A ，C ；xln|x||x|当x =时，y =ln ＜0，对应点在第四象限，排除D .1212故选B ．4.【答案】B解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，f(x)=(m 2‒m ‒1)x m 2+m ‒3故有，{m 2‒m ‒1=1m 2＋m ‒3<0解得m =-1，∵函数y =f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （x ）=-f （-x ），∴f （x ）=x （1-），3x 故选D ．8.【答案】D解：∵函数f （x ）为奇函数，若f （1）=-1，则f （-1）=-f （1）=1，又∵函数f （x ）在（-∞，+∞）上单调递减，-1≤f （x -2）≤1，∴f （1）≤f （x -2）≤f （-1），∴-1≤x -2≤1，解得：1≤x ≤3，所以x 的取值范围是[1，3].故选D ．9.【答案】C解：因为f （a ）=f （b ），所以|lg a |=|lg b |，所以a =b （舍去），或，所以a +2b =b =1a a +2a又0＜a ＜b ，所以0＜a ＜1＜b ，令，由“对勾”函数的性质知函数f （a ）在f(a)=a +2a a ∈（0，1）上为减函数，由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，又真数x2-2ax+1+a＞0，二次函数u=x2-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2-2ax+1+a＞0，则x∈（-∞，1]时，真数x2-2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．由题意，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x2-2ax+1+a＞0，且函数u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的时，,解得由图象可得当f （x ）=-无解，12（x ）=1有3个解，（x ）=5有1个解，综上所述函数g （x ）=f [f （x ）]-1的零点个数为4，故选C .13.【答案】(1,2)解：设f (x )=x 2-2mx +m 2-1，则f (x )=0的一个零点在(0,1)内，另一零点在(2,3)内．∴，{f(0)>0f(1)<0f(2)<0f(3)>0即，{m 2‒1>0m 2‒2m <0m 2‒4m +3<0m 2‒6m +8>0解得1<m <2．故答案为(1,2).14.【答案】[-1，0）由图象可知0＜g （x ）≤1，则m ＜g （x ）+m ≤1+m ，即m ＜f （x ）≤1+m ，要使函数的图象与x 轴有公共点，y =(12)|1‒x|+m 则，解得-1≤m ＜0．{1+m⩾0m <0故答案为[-1，0）．15.【答案】．(‒∞,‒5]解：∵解：利用函数f （x ）=x 2+mx +4的图象，∵x ∈（1，3）时，不等式x 2+mx +4＜0恒成立，∴，即，{f(1)≤0f(3)≤0{5+m ≤013+3m ≤0解得m -5．≪∴m 的取值范围是．(‒∞,‒5]故答案为：．．(‒∞,‒5]利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立则A ∪B ={x |-2＜x ≤7}， ----（3分）又∁R A ={x |x ＜1或x ＞7}，则（∁R A ）∩B ={x |-2＜x ＜1}； ----（5分）（2）根据题意，若A ∩B =A ，则A ⊆B ，分2种情况讨论：①当A =∅时，有m -1＞2m +3，解可得m ＜-4，----（7分）②当A ≠∅时，若有A ⊆B ，必有，解可得-1＜m ＜，{m ‒1≤2m+3m ‒1＞‒22m +3＜412----（11分）综上可得：m 的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，）．12----（12分）19.【答案】解：（1） ，f(x)=log a (x ＋1)‒log a (1‒x){x +1>0即，‒1+b 2+2=0则b =1，经检验，当b =1时，是奇函数，f (x )=‒2x +12x +1+2所以b =1；----（3分）（2），f (x )=1‒2x 2x +1+2=‒12+12x +1（x ）在R 上是减函数，证明如下：在R 上任取，，且，x 1x 2x 1<x 2则，f (x 2)‒f (x 1)=12x 2+1‒12x 1+1=2x 1‒2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)y =2x x <x即在上恒成立，k <1‒2x x 2=(1x )2‒21x [12,3]令，， t =1x t ∈[13,2]，，g (t )=t 2‒2t t ∈[13,2]因为，g (t )min =g (1)=‒1则k <-1.所以k 的取值范围为. ----（12分）(‒∞,‒1)21.【答案】解：（1）由已知，0.9P 0=P 0⋅e ‒5k ∴，e ‒5k =0.9当时，，t =10P =P 0⋅e‒10k =P 0(e ‒5k )2=0.81P 0故小时后还剩的污染物. ----（5分）10t即两边取自然对数得：，∴，污染物减少需要花。
2022-2023学年河北省唐山市第一中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年河北省唐山市第一中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．若函数2x y m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥ B ．1m < C ．1m >- D ．1m ≤-【答案】D【分析】先根据指数函数性质得函数2x y m =+过点(0,1)m +,再根据题意列不等式，解得结果. 【详解】指数函数2x y =过点(0,1),则函数2x y m =+过点(0,1)m +, 若图像不经过第二象限,则10m +≤, 即1m ≤-, 故选：D【点睛】本题考查指数函数图象及其应用，考查数形结合思想方法，属基础题. 2．下列函数中，以π为最小正周期且在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．cos 2xy =【答案】B【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A 选项，对于函数sin 2y x =，由π02x <<得02πx <<， 所以sin 2y x =不满足“区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减”，A 选项错误.B 选项，对于函数cos y x =，根据函数cos y x =的图象可知，函数的最小正周期为π， 且函数在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，符合题意，B 选项正确.C 选项，对于函数tan y x =，其在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意，C 选项错误.D 选项，对于函数cos 2xy =，最小正周期2π4π12T ==，不符合题意，D 选项错误.故选：B3．设()2ln 2ln 30x x --=的两根是α、β，则log log αββα+=（ ） A ．310-B ．310C ．103-D ．103【答案】C【分析】求得,αβ，结合对数运算求得正确答案.【详解】由()()()2ln 2ln 3ln 3ln 10x x x x --=-+=得ln 3x =或ln 1x =-， 解得3e x =或1e x -=，不妨设31e ,e αβ-==， 所以3113e e 110log log log e log e 333αββα--+=+=--=-. 故选：C4．设1234a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln1.5b =，3423c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．c<a<b B ．c b a << C ．a c b << D ．b<c<a【答案】D【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】因为1124390416a ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3144280327c ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0981627116>>>， 又因为14y x =在()0,∞+上单调递增，所以11144498111627162⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12a c >>， 因为9 2.25e 4=<，所以123e 2<，又因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以123ln ln e 2<，即1ln1.52b =<，综上：b<c<a . 故选：D.5．已知函数()f x 在区间()0,3上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若()00f >，()()()1230f f f <，则下列命题不正确的是（ ）A ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间()0,1和()1,2内B ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间()1,2和()2,3内C ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间()0,1和()2,3内D ．函数()f x 的两个零点不可能同时在区间()1,2内 【答案】C【分析】对于A ，令()10f <，()20f >，()30f >，即可判断； 对于B ，令()10f >，()20f <，()30f >，即可判断；对于C ，假设函数()f x 的两个零点分别在区间()0,1和()2,3内，得到与()()()1230f f f <矛盾的结论，即可判断；对于D ，假设函数()f x 的两个零点都在区间()1,2内，则会得与()()()1230f f f <矛盾的结论，即可判断.【详解】对于A ，由()00f >，()()()1230f f f <，令()10f <，()20f >，()30f >，则可得函数()f x 的两个零点可以分别在区间()0,1和()1,2内，故正确；对于B ，由()00f >，()()()1230f f f <，令()10f >，()20f <，()30f >，则可得函数()f x 的两个零点可以分别在区间()1,2和()2,3内，故正确；对于C ，由()00f >，且函数()f x 的两个零点分别在区间()0,1和()2,3内，则必有()10f <，()20f <，()30f >与()()()1230f f f <矛盾，故错误；对于D ，如果函数()f x 的两个零点都在区间()1,2内，又因为()00f >，则必有()10f >，()20f >，进而有()30f >，与()()()1230f f f <矛盾，所以函数()f x 的两个零点不可能同时在区间()1,2内，故正确. 故选：C.6．函数6cos y x =与=y x 在()0,π上的图象相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，则MON △的面积为（ ）A ．2πBCD ．3π2【答案】D【分析】通过解三角方程求得,M N 的坐标，从而求得MON △的面积.【详解】依题意，0πx <<，则sin 0x > 由6cos 3tan x x =，得3sin 6cos cos xx x=， 26cos 3sin x x =，()261sin 3sin x x -=.223sin sin 230x x +-=，()()2sin 33sin 20x x -+=，解得3sin 2x =，所以π3M x =或2π3N x =（不妨设M N x x <），所以π2π6cos3,6cos 333M N y y ====-， 所以π2π,3,,333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段MN 中点坐标为π,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1π3π32222MON S ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：D7．已知函数()cos()cos(2)f x x x αα=+++为奇函数，则α的值可能为（ ）． A ．0 B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】D【详解】取x =0，f (0)=cos α+cos2α， 对于选项A ，()0cos0cos00f =+≠， 对于选项B ，()0cos cos 063f ππ=+≠， 对于选项C ，()0cos cos 042f ππ=+≠，对于选项D ，()20coscos033f ππ=+=， 只有D 选项符合奇函数的性质．故选：D.8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，2()12xf x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则在区间()0,2022内关于x 的方程2022()log (2)0f x x -+=解的个数为（ ） A ．1009 B ．1010 C ．1011 D ．1012【答案】B【分析】将在区间()0,2022内关于x 的方程2022()log (2)0f x x -+=解的个数，转化为2022()log (2)f x x =+的交点个数，根据已知条件可得函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且周期为4，画出在区间[]2,10-的函数图像，数形结合即可求出交点个数.【详解】解：已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[]2,0x ∈-时，2()12xf x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则22(2)112f -⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，02(0)102f ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 又()()22f x f x +=-，则()()()()()()2222x f f x f x f x =++--=+=即()()4f x f x =+，可知函数()f x 的周期为4，值域为[]0,1，求在区间()0,2022内关于x 的方程2022()log (2)0f x x -+=解的个数，即为求2022()log (2)f x x =+的交点个数，令2022()log (2)g x x =+，有2022(1)log (12)0g -=-+=，2022(2020)log (20202)1g =+=，由以上分析，画出函数()f x 和()g x 在区间[]22-,的大致图像，如下图所示，可得在区间()0,2有一个交点，区间()2,4有一个交点，以此类推，所以在区间(]0,2020有202010102=个交点， 在区间()2020,2022内，()1g x >，与函数()f x 无交点，所以在区间()0,2022内关于x 的方程2022()log (2)0f x x -+=解的个数为1010， 故选：B.二、多选题9．已知函数()f x =()()sin sin f f αα--的化简的结果可能是（ ） A ．2tan α- B ．2tan α C ．2cos αD ．2cos α-【答案】AB【分析】由题意可得sin [1,1)α∈-，根据同解的平方关系可得1sin (sin )|cos |f ααα+=，1sin (sin )|cos |f ααα--=，于是有()()sin sin f f αα--=2sin |cos |αα，再分cos 0α>，cos 0α<去绝对值即可得答案.【详解】解：因为()f x = 所以1<1x ≤-，即函数()f x 的定义域为：[1,1)-，所以1sin (sin )|cos |f ααα+=，1sin (sin )|cos |f ααα--=，所以()()sin sin f f αα--=1sin |cos |αα+-1sin |cos |αα-=2tan ,cos 02sin 2tan ,cos 0cos αααααα>⎧=⎨-<⎩.故选：AB.10．（多选）已知函数()12e ,023,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，则()f x 的单调区间有（ ）A ．(),1-∞-B ．()0,∞+C ．()1,1-D ．()1,+∞【答案】ACD【分析】化简()f x 的解析式，结合指数函数、二次函数的知识求得正确答案.【详解】()12e ,023,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩()112e ,1e ,0114,0x x x x x x --+⎧≥⎪⎪=<<⎨⎪-++≤⎪⎩， 所以()f x 在区间()1,+∞、(),1-∞-上单调递增； 在区间()()1,0,0,1-上单调递减. 由于01e e +=，()20143e -++=>， 所以()f x 在区间()1,1-上单调递减. 故选：ACD 11．已知22sin(3)cos(5)()3cos sin 22f παπααππαα-+=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =为奇函数 B ．6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值大于零C ．若tan 2α=，则2()5f α= D ．若12()25f α，()0,απ∈，则7sin cos 5αα-= 【答案】AD【分析】利用诱导公式化简得()sin cos f ααα=-，可求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据奇函数的定义即可判断()y f x =是否为奇函数，构造齐次式方程，代入tan 2α=，即可求出()f α的值，利用同角三角函数的平方关系，即可求出7sin cos 5αα-=±，再根据三角函数值的正负，即可求出结果.【详解】解：()2222sin cos sin(3)cos(5)()sin cos 3sin cos cos sin 22f ααπαπααααππαααα⋅--+===-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()sin cos f x x x =-，()y f x =的定义域为R ，(0)sin 0cos00f =-=，且()()()sin()cos()sin cos sin cos f x x x x x x x f x -=---=--==-，()y f x ∴=为奇函数，A 选项正确；πππ1()sin cos 06662f =-=-=<，B 选项错误；2222sin cos tan 22()sin cos sin cos tan 1215f ααααααααα---=-====-+++，C 选项错误；若12()sin cos 25f ααα=-=， 则()2221249sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 122525αααααααα-=+-=-=+⨯=，即7sin cos 5αα-=±，()0,απ∈，sin 0α∴>，而12sin cos 025αα-=>，cos 0α∴<， 则7sin cos 5αα-=，D 选项正确； 故选：AD.12．（多选）已知函数()2()ln 1f x x bx b =--+，下列说法正确的有（ ）A ．当1b =时，函数()f x 的定义域为RB ．当1b =时，函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 有最小值的充要条件为：2440b b +-<D ．()f x 是偶函数的充要条件是0b = 【答案】BCD【分析】结合对数函数的性质、充要条件、偶函数等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】当1b =时，()()2ln f x x x =-，由()210x x x x -=->解得0x <或1x >，所以()f x 的定义域为{|0x x <或}1x >，A 选项错误.由于2x x -的范围是()0,∞+，所以()()2ln f x x x =-的值域为R ，B 选项正确.由于2221124b b x bx b x b ⎛⎫--+=---+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 有最小值⇔2104b b --+>，整理得2440b b +-<，C 选项正确.由于偶函数的图象关于y 轴对称，若函数()f x 是偶函数，则0,02bb ==；若0b =，()()2ln 1f x x =+，定义域为R ，且()()()2ln 1f x x f x -=+=，即()f x 为偶函数，所以()f x 是偶函数的充要条件是0b =，D 选项正确. 故选：BCD三、填空题13．函数111242xx y -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]2,1x ∈-的值域为______.【答案】[]1,10【分析】利用换元法，结合指数函数、二次函数的知识求得正确答案.【详解】令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由于21x -≤≤，所以11,422xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则()221221142y t t t t ⎛⎫=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质可知，当1t =时，min 1y =；当4t =时，max 10y =，所以函数111242xx y -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]2,1x ∈-的值域为[]1,10.故答案为：[]1,1014．已知函数()2()log 32a f x x ax a =-+-在区间()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______.【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性即可得解.【详解】令()232g x x ax a =-+-，则()g x 开口向上，对称轴为2a x =， 因为()()2()log 32log a a f x x a g x x a =-+-=在()1,+∞上单调递减，所以()g x 在()1,+∞上只有一个单调区间，则()g x 在()1,+∞上单调递增， 故12a≤，即2a ≤， 又由对数函数的定义域可知()0g x >在()1,+∞上恒成立，则()()10g x g >≥， 即211320a a -⨯+-≥，故12a ≥， 又因为()()log a g x f x =在()1,+∞上单调递减，()g x 在()1,+∞上单调递增， 所以log a y x =在()0,∞+上单调递减，故01a <<， 综上：112a ≤<，即1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.15．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若2AB =，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为______.【答案】223π-【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相 加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可. 【详解】解：过A 作AD BC ⊥于D ，ABC 是等边三角形， 2AB AC BC ∴===，60BAC ABC ACB ︒∠=∠=∠=，AD BC ⊥，1BD CD ∴==，33AD BD ==1123322ABCSBC AD ∴=⋅=⨯ 扇形BAC 的面积260π22π3603S ⨯==， ∴莱洛三角形的面积为：23232233ππ⨯-=-故答案为：223π-四、解答题16．已知函数()22xf x x =+，则不等式()2cos 3f x <在[]0,2π上的解集为______.【答案】π2π4π5π,,3333⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据函数的奇偶性和单调性，列出不等式，解之即可.【详解】因为2()2x f x x =+的定义域为R ，定义域关于原点对称，又22()2()2()x xf x x x f x --=+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，函数2()2x f x x =+在(0,)+∞上单调递增，且(1)3f =， 所以函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 又因为不等式()2cos 3f x <，也即()2cos (1)f x f <， 所以2cos 1x <，则11cos 22x -<<，因为[0,2π]x ∈，所以π2π4π5π,,3333x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：π2π4π5π,,3333⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭.17．(1)3=，求33221122a a a a --++的值；(2)计算：2552lg4lg log 5log 48++⋅.【答案】(1)6(2)3【分析】（1）根据指数与根式的互化，以及指数的运算法则，即可求值； （2）根据对数的运算和换底公式，即可求解. 【详解】（13=，即11223a a -+=， 311322327a a -⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭， 即()2111111331111222222222223273a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎭⎛⎫++=+++⎝⎝⎝⎭+ ⎪⎭， 所以3311222227327918a aa a --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭++，则332211221863a a a a--+==+.（2）解：原式22222log 455lg 4lg log 5lg 16log 48log 58⎛⎫⎛⎫=++⋅=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22lg10log 2123=+=+=. 18．已知函数()()33x f x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数. (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-. 【答案】(1)2k =-，3b = (2)答案见解析【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；（2）分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解.【详解】（1）解：因为()()33xf x k a b =++-(0a >，且1a ≠)是指数函数，所以31k +=，30b -=， 所以2k =-，3b =；（2）解：由（1）得()xf x a =(0a >，且1a ≠)，①当1a >时，()xf x a =在R 上单调递增，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x ->-，解得<2x -；②当01a <<时，()xf x a =在R 上单调递减，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x -<-，解得2x >-，综上可知，当1a >时，原不等式的解集为(),2-∞-； 当01a <<时，原不等式的解集为()2,-+∞. 19．已知函数1()sin 223πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值.【答案】(1)最小正周期为π，单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)最小值为12-，此时π12x =-.【分析】（1）利用三角函数最小正周期公式求得()f x 的最小正周期；利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间.（2）根据三角函数最值的求法求得()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值以及此时对应的x 的值.【详解】（1）依题意，1()sin 223πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期2ππ2T ==；由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得1212k x k π5ππ-≤≤π+，Z k ∈， 所以()f x 在区间π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递增.（2）ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π5ππ2,366x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1π11sin 2,2324x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，由ππ232x -=-可求得此时π12x =-.20．自2020年1月以来，新冠肺炎疫情仍在世界许多国家肆虐，并且出现了传播能力强，传染速度更快的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戌”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．2022年8月，奥密克戎BA ．5．1．3变异毒株再次入侵海南，为了更清楚了解该变异毒株，某科研机构对该变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T 进行一次记录，用x 表示经过单位时间的个数，用y 表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：若该变异毒株的数量y （单位：万个）与经过()*x x N ∈个单位时间T 的关系有两个函数模型()20y Ax B A =+≠与()0,1x y ka k a =>>可供选择．(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于十亿个． 2.449≈≈，lg 20.301,lg60.778≈≈）【答案】(1)函数()0,1xy ka k a =>>更合适，解析式为2xy =⋅(2)14【分析】（1）将2x =，10y =和4x =，50y =分别代入两种模型求解解析式，再根据6x =的值，即可判断；（2）设至少需要x个单位时间，则2100000x≥，再结合对数函数的公式，即可求解．【详解】（1）若选()20y px q p =+>，将2x =，10y =和4x =，50y =代入可得，4101650p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得103103p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故2101033y x =-， 将6x =代入2101033y x =-，250y ≠，不符合题意， 若选()0,1xy ka k a =>>，将2x =，10y =和4x =，50y =代入可得，241050ka ka ⎧=⎨=⎩，解得2k a =⎧⎪⎨=⎪⎩2xy =⋅，将6x =代入2xy =⋅可得250y =，符合题意，综上所述，选择函数()0,1xy ka k a =>>更合适，解析式为2xy =⋅.（2）设至少需要x 个单位时间，则2100000x≥，即50000x≥，两边同时取对数可得，lg 54x ≥+，则()442213.4411lg51lg 222x ≥+=+≈-，∵*x ∈N ，∴x 的最小值为14，故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．21．设函数()21x xa t f x a-+=(0a >且1a ≠)是定义在R 上的奇函数.（1）若()10f >，求使不等式()()2220f x x f x k -+->对x ∈R 恒成立的实数k 的取值范围；（2）设函数()f x 的图像过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数()()()log 1a g x f x =+.若对于任意的[]12,0,1x x ∈，都有()()12g x g x M -≤，求M 的最小值. 【答案】（1）112k <-；（2）最小值为25log 2. 【解析】（1）根据()f x 是奇函数可求得2t =，由()10f >可得1a >，继而判断()f x 是增函数，将不等式化为()()222f x x f k x ->-，利用单调性可得230x x k -->对x ∈R 恒成立，即可求解；（2）由点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭求得2a =，可判断()g x 在[]0,1x ∈上单调递增，进而可得()()max min M g x g x ≥-，求出()g x 的最大最小值即可.【详解】解：（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()00f =，∴20-=t ，解得2t =，则()21x x a f x a -=，此时()()2211x x x xx xf a a a a x f a a x ------===--=，满足题意， 而()()2220f x x f x k -+->等价于()()()2222f x x f x k f k x ->--=-，若()10f >，则210a a->，结合0a >且1a ≠，解得1a >， 则()()2111x x xx a f x a a a a-==->为增函数， 结合()()222f x x f k x ->-，可得222x x k x ->-，根据题意，230x x k -->对x ∈R 恒成立， 则1120k ∆=+<，解得112k <-； （2）∵函数()f x 的图像过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()21312a f a -==， 解得1a =-(不符，舍去)或2a =， ∴()21log 212x x g x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1212x x y -=+在[]0,1x ∈上单调递增，∴()g x 在[]0,1x ∈上单调递增，∵对于任意的[]12,0,1x x ∈，都有()()12g x g x M -≤，且()g x 在区间[]0,1上恒有()0g x >，∴()()max min M g x g x ≥-，则()()min 00g x g ==，()()2max 51log 2g x g ==， 则2255log 0log 22M ≥-=，即M 的最小值为25log 2. 【点睛】本题考查利用奇偶性解不等式，解题的关键是判断出函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式化为()()222f x x f k x ->-，利用单调性求解.22．已知函数()log sin 4a f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）满足1(4)(2)2f f =-.(1)求a 的值；(2)求证：()f x 在定义域内有且只有一个零点0x ，且02sin 40522x x π⎛⎫⎪⎝⎭+<. 【答案】(1)4a =； (2)证明见解析.【分析】（1）由题可得1log 4log 22a a =+，即求； （2）分类讨论结合对数函数的性质、正弦函数的性质及零点存在定理可得函数()f x 在定义域内有且只有一个零点0x ，利用对数的运算可得02sin 400012x x x x π+=+，再利用对勾函数的性质即得. 【详解】（1）因为1(4)(2)2f f =-， 所以1log 4sin log 2sin 22a a ππ+=+-， 即1log 4log 22a a =+， 解得4a =.（2）由题意可知函数4()log sin4f x x x π=+的图象在(0,)+∞上连续不断.①当2(]0,x ∈时，因为4log y x =与sin 4y x π=在(0,2]上单调递增，所以()f x 在(0,2]上单调递增.又因为4111log sin sin sin sin 0,(1)sin022882864f f πππππ⎛⎫=+=-=-<=> ⎪⎝⎭，所以1(1)02f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.根据函数零点存在定理，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =，所以()f x 在(0,2]上有且只有一个零点0x . ②当(2,4]x ∈时，4log 0,sin04x x π>≥，所以4()log sin04f x x x π=+>，所以()f x 在(2,4]上没有零点. ③当(4,)x ∈+∞时，4log 1,sin 14x x π>≥-，所以4()log sin04f x x x π=+>，所以()f x 在(4,)+∞上没有零点.综上所述，()f x 在定义域(0,)+∞上有且只有一个零点0x . 因为()0400log sin 04f x x x π=+=，即040sinlog 4x x π=-.所以0402sin log 4000001124,,12x x x x x x x π-⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭， 又因为1y x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以00115222x x +<+=，即02sin 40522x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭+<. 【点睛】关键点点睛：对x 分类讨论时，①当2(]0,x ∈时，函数4log y x =与sin4y x π=在(0,2]上单调递增，结合零点存在定理可得函数有且只有一个零点；②当(2,4]x ∈时()0f x >，函数()f x 没有零点；③当(4,)x ∈+∞时()0f x >，函数()f x 没有零点.。
2019-2020学年河北省唐山一中高一(上)第一次月考数学试卷(10月份)试题及答案(解析版)
2019-2020学年河北省唐山一中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1．已知集合{1M =，2}a ，{1P =-，}a -，若M P 有三个元素，则(MP = )A ．{0，1}B ．{1-，0}C ．{0}D ．{1}-2．集合{|P x y ==，集合{|Q y y =，则P 与Q 的关系是( ) A ．P Q =B ．P Q ⊇C ．P Q ⊆D ．PQ =∅3．已知集合2{|320}A x x x =-+=，{|06B x x =<<，}x N ∈，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数为( ) A ．4 B ．8C ．7D ．164．函数y =的定义域为( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，1]C ．11(,)(,2)22-∞-- D ．11(,)(,2]22-∞--⋃5．如果2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(-∞，1]上为减函数，则m 的取值范围( ) A ．(0，1]3B ．[0，1)3C ．[0，1]3D ．1(0,)36．设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．827．已知函数()f x =R ，则m 的取值范围是( ) A ．04m <<B ．01m 剟C ．4m …D ．04m 剟8．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+⎧⎪=⎨>⎪⎩…是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0，2]C ．(0,3)D ．(0，3]9．若22111()(0)x x f x x x x ++=+≠，那么1()2f 等于( ) A ．1 B ．14 C ．34D ．3210．已知函数22,()52,x x af x x x x a +>⎧=⎨++⎩…，若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1-，1)B ．[1-，2)C ．[2-，2)D ．[0，2]11．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”，若函数213()22f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间” I 为( )A ．[1，)+∞B ．C ．[0，1]D ．12．已知函数()()f x x R ∈满足(1)(3)f x f x +=-，若函数|2|y x =-与()y f x =的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)(n y x ⋯，)n y ，则123(n x x x x +++⋯+= ) A ．0B ．nC ．2nD ．3n二、填空题（共4小题，每小题5分，计20分） 13．已知集合212{|,},{|1,}33n nA x x n ZB x x n Z +==∈==+∈，则集合A 、B 的关系为 ． 14．设函数()f x 是定义在[1a -，3]a +上的奇函数，当0x >时，2()21f x ax x =-+，则(2)f -= ．15．已知函数2(12)3,1()(1),1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-⎩…的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 16．设函数2()1f x mx mx =--，若对于[1x ∈，3]，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题（共6小题，计70分）17．已知全集U R =，集合{}27|32,|11x A x x B x x -⎧⎫=-<<=⎨⎬-⎩⎭…，{|121}C x a x a =-+剟． （1）求()U AB ð；（2）若C AB ⊆，求实数a 的取值范围．18．（1）解不等式|25||1|3x x x --+<； （2）已知关于x 的不等式220x x a a -+-…．19．已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，解析式为23()1x f x x +=+． （1）求()f x 在R 上的解析式；（2）用定义证明()f x 在(0,)+∞上为减函数．20．一次函数()f x 是R 上的增函数，()()()g x f x x m =+，已知[()]165f f x x =+． （1）求()f x（2）当[1x ∈-，3]时，()g x 有最大值13，求实数m 的值．21．设()f x 的定义域为(0,)+∞，对于任意正实数m ，n 恒()()()f m n f m f n =+，且当1x >时，1()0,()13f x f >=-．（1）求f （3）的值；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解关于x 的不等式3()2()6f x f x +-…． 22．已知定义在R 上的函数2()(2)f x x =-（1）若不等式(2)(23)f x t f x +-<+对一切[0x ∈，2]恒成立，求实数t 的取值范围（2）设()g x =，求函数()g x 在[0，](0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式． 四、附加题（共1小题，10分）（英才班做）23．设函数()2(0x x f x ka a a -=->，1a ≠，)k R ∈，()f x 是定义域为R 的奇函数． （1）确定k 的值；（2）若f （1）3=，函数22()2()x x g x a a f x -=+-，[0x ∈，2]，求()g x 的最小值； （3）若3a =，是否存在正整数λ，使得2(2)(1)()f x f x λ+…对[2x ∈-，1]-恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．2019-2020学年河北省唐山一中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1．已知集合{1M =，2}a ，{1P =-，}a -，若M P 有三个元素，则(MP = )A ．{0，1}B ．{1-，0}C ．{0}D ．{1}-【解答】解：集合{1M =，2}a ，{1P =-，}a -，M P 有三个元素，2a a ∴=-，解得0a =或1a =-（舍)， {1M ∴=，0}，{1P =-，0}， {0}MP ∴=．故选：C ．2．集合{|P x y ==，集合{|Q y y =，则P 与Q 的关系是( ) A ．P Q =B ．P Q ⊇C ．P Q ⊆D ．PQ =∅【解答】解：10x -…； 1x ∴…；0； 0y ∴…；{|1}P x x ∴=…，{|0}Q y y =…； P Q ∴⊆．故选：C ．3．已知集合2{|320}A x x x =-+=，{|06B x x =<<，}x N ∈，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数为( ) A ．4B ．8C ．7D ．16【解答】解：集合2{|320}{1A x x x =-+==，2}， {|06B x x =<<，}{1x N ∈=，2，3，4，5}，∴满足A C B ⊆⊆的集合C 有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}， 共8个． 故选：B ． 4．函数y =的定义域为( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，1]C ．11(,)(,2)22-∞-- D ．11(,)(,2]22-∞--⋃【解答】解：2202320x x x -⎧⎨--≠⎩…，解得212,2x x x ⎧⎪⎨≠≠-⎪⎩…，即2x <且12x≠-．∴函数y =的定义域为(-∞，11)(22--⋃，2)． 故选：C ．5．如果2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(-∞，1]上为减函数，则m 的取值范围( ) A ．(0，1]3B ．[0，1)3C ．[0，1]3D ．1(0,)3【解答】解：当0m =时，()1f x x =-，满足在区间(-∞，1]上为减函数． 当0m ≠时，由于2()(1)1f x mx m x =+-+的图象对称轴为12mx m-=，且函数在区间(-∞，1]上为减函数，∴0112m m m>⎧⎪-⎨⎪⎩…，求得103m <…．综上可得，103m 剟， 故选：C ．6．设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82【解答】解：因为0x >，0y >， 所以18x y =+…， 所以81xy …，当且仅当9x y ==时等号成立，故选：C ．7．已知函数()f x =R ，则m 的取值范围是( ) A ．04m <<B ．01m 剟C ．4m …D ．04m 剟【解答】解：要使()f x 有意义需使 210mx mx ++…()f x =R故210mx mx ++…恒成立①0m =时，不等式为10…恒成立， ②0m ≠时，需240m m m >⎧⎨=-⎩… 解得04m <…故04m 剟故选：D ．8．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+⎧⎪=⎨>⎪⎩…是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0，2]C ．(0,3)D ．(0，3]【解答】解：因为()f x 为R 上的减函数， 所以1x …时，()f x 递减，即30a -<①，1x >时，()f x 递减，即0a >②，且(3)152a a -⨯+…③， 联立①②③解得，02a <…． 故选：B ．9．若22111()(0)x x f x x x x ++=+≠，那么1()2f 等于( ) A ．1 B ．14 C ．34D ．32【解答】解：22111()(0)x x f x x x x ++=+≠， ∴当2x =-时，221211(2)1513()()22(2)(2)424f f -+-==+=-=---， 故选：C ．10．已知函数22,()52,x x af x x x x a +>⎧=⎨++⎩…，若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1-，1)B ．[1-，2)C ．[2-，2)D ．[0，2]【解答】解：函数22,()52,x x af x x x x a +>⎧=⎨++⎩…，2522x x x ++=，可得2320x x ++=，解得1x =-，2x =-．2y x =+与2y x =的交点为： 2x =，4y =，函数()y f x =与2y x =的图象如图：函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是：12a -<…． 故选：B ．11．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”，若函数213()22f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间” I 为( )A ．[1，)+∞B ．C ．[0，1]D ．【解答】解：213()22f x x x =-+在区间[1，)+∞上是增函数，()13122f x y x x x==-+， 2221313222x y x x -'=-=；故()13122f x y x x x ==-+在[上是减函数，故“缓增区间” I 为[1； 故选：D ．12．已知函数()()f x x R ∈满足(1)(3)f x f x +=-，若函数|2|y x =-与()y f x =的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)(n y x ⋯，)n y ，则123(n x x x x +++⋯+= ) A ．0 B ．nC ．2nD ．3n【解答】解：(1(3)f x f x +=-，(2)(2)f x f x ∴+=-，()f x ∴的图象关于直线2x =对称，又|2|y x =-的图象关于直线2x =对称，当n 为偶数时，两图象的交点两两关于直线2x =对称， 123422n nx x x x n ∴+++⋯+=⨯=； 当n 奇数时，两图象的交点有1n -个两两对称，另一个交点在对称轴上， 12314222n n x x x x n -∴+++⋯+=⨯+=． 故选：C ．二、填空题（共4小题，每小题5分，计20分） 13．已知集合212{|,},{|1,}33n nA x x n ZB x x n Z +==∈==+∈，则集合A 、B 的关系为 A B = ．【解答】解：由集合A 得： 1{|(21)3A x x n ==+，}n Z ∈，由集合B 得：1{|(23)3B x x n ==+，n Z ∈}，{|21x x n =+，}{|23n Z x x n ∈==+，}n Z ∈，A B ∴=，故答案为：A B =．14．设函数()f x 是定义在[1a -，3]a +上的奇函数，当0x >时，2()21f x ax x =-+，则(2)f -= 7 ．【解答】解：根据题意，函数()f x 是定义在[1a -，3]a +上的奇函数，则(1)(3)0a a -++=，解可得1a =-，当0x >时，22()2121f x ax x x x =-+=--+， 则f （2）4417=--+=-， 则(2)f f -=-（2）7=； 故答案为：7．15．已知函数2(12)3,1()(1),1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-⎩…的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ，2 ． 【解答】解：当1x …时，2()(1)0f x x =-…， 当1x <时，()(12)3f x a x a =-+，函数2(12)3,1()(1),1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-⎩…的值域为R ， (12)3y a x a ∴=-+必须是增函数，并且1230a a -+…， 即满足：1201230a a a ->⎧⎨-+⎩…，解得102a <…，故答案为：[0，1)2．16．设函数2()1f x mx mx =--，若对于[1x ∈，3]，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为 5(,)7-∞ ．【解答】解：函数2()1f x mx mx =--， 即214mx mx m --<-+，[1x ∈，3]恒成立， 可得2(1)5m x x -+<恒成立， 当0m …成立，显然恒成立， 当0m >时，21y x x =-+，[1x ∈，3]的值域为[1，7]．507m ∴<<， 综上可得实数m 的取值范围为5(,)7-∞．故答案为5(,)7-∞．三、解答题（共6小题，计70分）17．已知全集U R =，集合{}27|32,|11x A x x B x x -⎧⎫=-<<=⎨⎬-⎩⎭…，{|121}C x a x a =-+剟． （1）求()U AB ð；（2）若C AB ⊆，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）{|32}A x x =-<<，{|16}B x x =<…， {|1U B x x ∴=…ð或6}x >，(){|31}U AB x x =-<…ð；（2）{|36}A B x x =-<…，且C AB ⊆，∴①C =∅时，211a a +<-，解得2a <-；②C ≠∅时，213216a a a -⎧⎪->-⎨⎪+⎩……，解得522a -<…；综上得，a 的取值范围是5(,2)(2,]2-∞--⋃．18．（1）解不等式|25||1|3x x x --+<； （2）已知关于x 的不等式220x x a a -+-…．【解答】解：（1）当1x -…时，()25(1)63f x x x x x =-+++=-+<，解集为∅； 当512x -<<时，()251343f x x x x x =-+--=-+<，解得：25(,)32x ∈； 当52x …时，()25163f x x x x x =---=-<，解得：52x ，综上所述，()3f x x <的解集为：2|3x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭； （2）22()[(1)]0x x a a x a x a -+-=---…，当1a a <-，即1)2a <时，不等式解集为{|1}x a x a -剟；当1a a >-，即1)2a >时，不等式解集为{|1}x a x a -剟；当1a a =-，即1)2a =时，不等式解集为1{|}2x x =． 所以，当12a <时，不等式解集为{|1}A x a x a =-剟； 当12a =时，不等式解集为12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭； 当12a >时，不等式解集为{|1}A x a x a =-剟． 19．已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，解析式为23()1x f x x +=+． （1）求()f x 在R 上的解析式；（2）用定义证明()f x 在(0,)+∞上为减函数．【解答】解：（1）设0x <，则0x ->，23()1x f x x -+∴-=-+． 又()f x 是R 上的奇函数，23()()1x f x f x x -+∴-=-=-+， 23()1x f x x -+∴=-． 又奇函数在0点有意义，(0)0f ∴=，∴函数的解析式为23,01()0,023,01x x x f x x x x x -+⎧<⎪-⎪==⎨⎪+⎪>+⎩ （2）证明：设1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则12211212122323()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ++--=-=++++． 1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x <，110x ∴+>，210x +>，210x x ->，12()()0f x f x ∴->，12()()f x f x ∴>，∴函数()f x 在(0,)+∞上为减函数．20．一次函数()f x 是R 上的增函数，()()()g x f x x m =+，已知[()]165f f x x =+．（1）求()f x（2）当[1x ∈-，3]时，()g x 有最大值13，求实数m 的值．【解答】解：（1）一次函数()f x 是R 上的增函数，可设()f x ax b =+，(0)a >； 2[()]()165f f x a ax b b a x ab b x ∴=++=++=+，∴2165a ab b ⎧=⎨+=⎩， 解得41a b =⎧⎨=⎩或453a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（不合题意舍去）； ()41f x x ∴=+；（2）2()()()(41)()4(41)g x f x x m x x m x m x m =+=++=+++， 是二次函数，开口向上，且对称轴为418m x +=-， ①当4118m +-…，即94m -…时，()g x 在[1-，3)上是单调增函数， 令()max g x g =（3）391313m =+=，解得2m =-，符合题意；②当4118m +->，即94m <-时，()max g x g =（1）5513m =+=， 解得85m =，不符合题意； 由①②可得2m =-．21．设()f x 的定义域为(0,)+∞，对于任意正实数m ，n 恒()()()f m n f m f n =+，且当1x >时，1()0,()13f x f >=-． （1）求f （3）的值；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解关于x 的不等式3()2()6f x f x +-…． 【解答】解：（1）令1m n ==，则f （1）2f =（1），所以f （1）0=， 令13,3m n ==，则1(1)(3)()3f f f =+，所以f （3）1=； （2）证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则211x x >，222211111111()()()()()()()()x x x f x f x f x f x f x f f x f x x x -=-=+-=， 因为211x x >，所以21()0x f x >，即21()()f x f x >， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）由(33)f f ⨯=（3）f +（3）得f （9）2=，所以27()()6f x f x -…，因为()f x 在(0,)+∞上单调递增， 即02706276x x x x ⎧⎪>⎪⎪>⎨-⎪⎪⎪-⎩…，得9x …， 所以不等式的解集为[9，)+∞．22．已知定义在R 上的函数2()(2)f x x =-（1）若不等式(2)(23)f x t f x +-<+对一切[0x ∈，2]恒成立，求实数t 的取值范围（2）设()g x =，求函数()g x 在[0，](0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式．【解答】解：（1）定义在R 上的函数2()(2)f x x =-，不等式(2)(23)f x t f x +-<+对一切[0x ∈，2]恒成立，即为22()(21)x t x -<+，即为(31)(1)0x t x t +-++>，当11(1)3t t --=-，即12t =-时，不等式即为213()02x +>，解集为1{|}2x x ≠-； 当12t =-时，原不等式对一切[0x ∈，2]恒成立； 当11(1)3t t -->-，即12t <-时，不等式解集为(-∞，1(1))(13t t ---⋃，)+∞； 由原不等式对一切[0x ∈，2]恒成立，可得1(1)23t -…，或10t --<，解得112t -<<-； 当11(1)3t t --<-，即12t >-时，不等式解集为(-∞，11)((1)3t t ---，)+∞， 由原不等式对一切[0x ∈，2]恒成立，可得1(1)03t -<，或12t --…，解得112t -<<．综上可得，实数t 的取值范围为(1,1)-；（2）222,2()|2|2,2x x x g x x x x x x ⎧-==-=⎨-<⎩…， 其图象如图所示．当221x x -=时，1x =+ （ⅰ）当01m <…时，()g x 最大值为2()2g m m m =-；（ⅱ）当11m <+…()g x 的最大值为1；（ⅲ）当1m >+时，()g x 最大值为22m m -．则222,01()1,112,1m m m m m m m m ϕ⎧-<⎪⎪=<⎨⎪->+⎪⎩……．四、附加题（共1小题，10分）（英才班做）23．设函数()2(0x x f x ka a a -=->，1a ≠，)k R ∈，()f x 是定义域为R 的奇函数．（1）确定k 的值；（2）若f （1）3=，函数22()2()x x g x a a f x -=+-，[0x ∈，2]，求()g x 的最小值；（3）若3a =，是否存在正整数λ，使得2(2)(1)()f x f x λ+…对[2x ∈-，1]-恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）()2x x f x ka a -=-是定义域为R 的奇函数， (0)0f ∴=，代入可得2k =．（2）由（1）得()22x x f x a a -=-，()f x 是定义域为R 的奇函数， ∴设1x ∀，2x R ∈，且12x x <，1122121212()()22(22)12()(1)x x x x x x x x f x f x a a a a a a a a---=---=-+ 当1a >时，121210,10x x x x a a a a-<+>， 12()()0f x f x ∴-<∴当1a >时，()f x 在定义域R 上单调递增．当f （1）3=时，1223a a -∴-=，即22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍去） 则2222()222(2222)224(22)x x x x x x x x y g x ----==+-⨯-⨯=+--， 当[0x ∈，2]，令1522,[0,]4x x t t -=-∈， 242y t t ∴=-+，∴当2t =时，2min y =-．（3）由题意得，2(2)(1)()f x f x λ+…，224(33)2(1)(33)x x x x λ--∴-+-…，在[2x ∈-，1]-恒成立， 4(33)(33)2(1)(33)x x x x x x λ---∴+-+-…，当[2x ∈-，1]-时，33x x -<，2(33)(1)x x λ-∴++…，令(33)x x t -=+，t 在[2x ∈-，1]-上单调递减， 则1082[,]39t ∈， ∴20123min t λ+=… 即173λ… 故得λ所有的正整数的取值为{1，2，3，4，5}．。
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g x 在 , 0 上有最小值－7，则 f x 在 , 0 上有最小值－6.
故选 C.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性的概念即可，属于常考题型.
7.函数
f
x
2
sin
2
x
4
图象的对称轴方程为（
）
-3-
A. x 3 k k Z
82
C. x k k Z
42
到 g x 在 0, 上有最大值 7，由奇函数性质，得到 g x 在 , 0 上有最小值－7，进而
可求出结果.
【详解】根据题意，设 g x f x 1 ax3 bx ，
有 g x a x3 bx ax3 bx g x ，则 g x 为奇函数.
又由函数 f x ax3 bx 1在 0, 上有最大值 8，则 g x 在 0, 上有最大值 7，故
则 2x k (k Z ) 4
则 x k (k Z ) 为函数 f (x) 的对称轴方程. 82
故选：D.
【点睛】本题考查 y Asin(x ) 型三角函数的对称轴方程问题，属于基础题.
8.函数
f
x
sin
x
3
，
x
2
, 3
的值域是（
）
A.
1 2
,1
【答案】A 【解析】
B.
2019～2020 年度 12 月质量检测
高一数学
一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.与角 终边相同的角是（ ） 3
A. 6
B.
3
【答案】D
11
C.
6
D. 5π 3
【解析】
【分析】
根据终边相同角的概念，可写出 的终边相同角，调整参数即可求解答案. 3
根据正切函数
y
tan
x
的对称中心
k 2
,
0
(k
Z ) ，令
2x
6
k 2
(k
Z)
，即可求解函
数的对称中心.
【 详 解 】 由 题 意 ， 令 2x k (k Z ) ， 2x k (k Z ) ，
62
62
x k (k Z ) 12 4
即曲线
y
tan
2x
6
的对称中心是
12
k 4
,
0
(k
Z)
令
k
1
，则其中一个对称中心是
3
,
0
故选：C.
【点睛】本题考查求解 y A tan(x ) 型函数的对称中心问题，属于基础题.
则 sin = 4 5
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数定义，属于基础题.
5.若角 的终边在第四象限,则 cos 1 cos 2 （ ）
1 sin2
sin
A. 2
B. -2
C. -2 或 2
D. 0
【答案】D
-2-
【解析】 【分析】
根据同角三角函数关系化简分式，注意讨论 sin 、 cos 的正负情况.
3
3
故选：C
【点睛】本题考查弧度制下的弧长公式，属于基础题.
4.若角 的终边经过点 P 3, 4 ,则 sin （ ）
3
A.
5
【答案】B
4
B.
5
C. 3 5
D. 4 5
【解析】
【分析】
根据三角函数定义，即可求解 sin 值.
【详解】由题意，角 的终边经过点 P 3, 4 ，则 r 32 42 5
3 2
,1
C.
1 2
,
1 2
D.
1 2
,1
【分析】
运用代换思想，先求出 (x ) 的取值范围，再根据三角函数 y sin x 的函数性质求解函数 3
f (x) 的值域.
【详解】由题意，
x
2
,
3
， ( x
3
)
6
,
2 3
根据 y sin x 的性质，
当
x
3
6
时，
f
( x)min
属于基础题.
3.半径为 2cm ,圆心角为 60 所对的弧长为（ ）
A. cm
3
2 B. cm
3
C. 2 cm 3
D. 2 2 cm 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据弧度制下的弧长公式，将圆心角化成弧度制后，代入公式即可求解.
【详解】由题意，圆心角 ，
3
根据弧长公式 l R ，则 l 2 2 cm
6.若函数 f x ax3 bx 1在 0, 上有最大值 8，则 f x 在 , 0 上有（ ）
A. 最小值－8
B. 最大值 8
C. 最小值－6
D. 最大值 6
【答案】C
【解析】
【分析】
先设 g x f x 1 ax3 bx ，利用函数奇偶性的定义，得到 g x 为奇函数，根据题意得
[1, 2) 2,
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数式中真数大于 0，零次幂底数不为零，可列出自变量 x 的取值范围，取交集即可求解
函数定义域.
【详解】由题意，自变量
x
满足的条件是
x x
1 0 20
解得 x 1 且 x 2
则函数定义域是 1, 2 2,
-1-
故选：B.
【点睛】本题考查函数定义域的求法，真数大于 0 和零次幂、底数不为零，所取范围求交集，
【答案】D
【解析】
B. x k k Z
8
D. x k k Z
82
【分析】
根据三角函数 y sin x 对称轴方程是 x k (k Z ) ，可令 2x k (k Z ) ，即
2
42
可求解函数 f (x) 的对称轴方程.
【详解】由题意，令 2x k (k Z ) 42
【详解】由题意，与角 终边相同的角可写为 2k (k Z ) ，
3
3
令 k 1，代入，得 5 3
故选： D .
【点睛】本题考查终边相同角的概念，属于基础题.
2.函数 f x lg x 1 x 2 0 的定义域为（ ）
A. 1,
B. 1, 2 2,
C. [1, )
D.
【详解】由题意，根据同角三角函数关系式 sin2 cos2 1 ，化简
cos 1 cos2 cos sin
1 sin2
sin
cos sin
由角 的终边在第四象限，cos 0，sin 0
则原式
cos cos
sin sin
11
0
故选：D.
【点睛】本题考查同角三角函数关系，及象限角三角函数值正负情况判断，属于基础题.
1 2
；
当x
3
2
时，
f
( x)max
1
-4-
sin(
x
3
)
1 2
,1
故选：A.
【点睛】本题考查 y Asin(x ) 型函数值域的求法，属于中等题型.
9.下列各点中,能作为曲线
y
tan
2x
Hale Waihona Puke 6的一个对称中心的是（
）
A. 0, 0
B. ( , 0)
4
C.
3
,
0
D. ,0
【答案】C 【解析】 【分析】