高中数学第三章三角函数3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质3.4.3应用举例课件湘教版必修2
解 令 t＝0，得 h＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为平衡位 置上方322 cm 处.
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；
解 由题意知，当 h＝3 时，t＝π8，即 3 s 时第一次升到最高点； 当 h＝－3 时，t＝58π，即58π s 时第一次下降到最低点.
(3)经过多长时间小球往返振动一次？ 解 T＝22π＝π≈3.14，即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次. (4)每秒内小球能往返振动多少次？ 解 f＝T1≈0.318，即每秒内小球往返振动约 0.318 次.
(2)A＝ymax－2 ymin，k＝ymax＋2 ymin.
(3)ω 可由 ω＝2Tπ
确定，其中周期 T 可观察图象获得.
π (4)由 ωx1＋φ＝ 0 ，ωx2＋φ＝ 2 ，ωx3＋φ＝ π
3 ＝ 2π ，ωx5＋φ＝ 2π 中的一个确定 φ 的值.
，ωx4＋φ
3.三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中 周期现象的一种数学模型，可以用 来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测等方面都发挥着十 分重要的作用.
跟踪演练1 作出函数y＝sin|x|的图象并判断其奇偶性. 解 ∵sin(－x)＝－sin x， ∴y＝sin|x|＝sin x，x≥0，
－sin x，x<0. 其图象如下图.
由图知，y＝sin|x|是偶函数.
要点二 应用函数模型解题
例2 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
故所求最小正整数 ω＝943.
规律方法 例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待定系 数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式.此类 问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、 用图是数形结合的有效途径.
跟踪演练 2 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间 t(s)内离开 平衡位置(静止时的位置)的距离 h(cm)由下面的函数关系式表 示：h＝3sin2t＋π4. (1)求小球开始振动的位置；
第3章——
3．4 函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象与性质 3.4.3 应用举例
[学习目标]
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题. 2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接]
解析
d＝f(l)＝2sin
l 2.
答案 C
1234
1234
3.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上， 按月呈 f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为 月份)，已知 3 月份达到最高价 9 千元，7 月份价格最低为 5 千 元，根据以上条件可确定 f(x)的解析式为________.
故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m.
课堂小结
1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型 在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题. (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
(1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图 象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
解 由图知 A＝300，设 t1＝－9100，t2＝1180， 则周期 T＝2(t2－t1)＝21180＋9100＝715. ∴ω＝2Tπ＝150π.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； 解 设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.
1234
这时此人所转过的角为23π0 t＝1π5 t，故在 t s 时，此人相对于地面
的高度为 h＝10sin
π 15
t＋12(t≥0).
1234
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度 不小于17 m. 解析 由 10sin 1π5t＋12≥17， 得 sin 1π5t≥12，则52≤t≤225.
跟踪演练3 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商 店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随 正弦型函数y1波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂 价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月 份随正弦型函数y2波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9 月份销售价格最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且 当月售完，请分别求出y1、y2关于第x月份的函数解析式.
A＋B＝9， 解析 由条件可知
－A＋B＝5，
∴B＝7，A＝2. 又 T＝2(7－3)＝8，∴ω＝π4， 令 3×πinπ4x－π4＋7. 答案 f(x)＝2sin π4x－π4＋7
1234
1234
4.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处， 如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人 经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
再结合题意可知，应安排在 11 时到 19 时训练较恰当.
规律方法 数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图， 求相关三角函数的解析式进而研究实际问题.在求解具体问题时需 弄清A，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可 以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.
由图可知，y＝|cos x|是偶函数，T＝π，
单调递增区间为－π2＋kπ，kπ(k∈Z)， 单调递减区间为kπ，π2＋kπ(k∈Z).
规律方法 翻折法作函数图象 (1)要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分 沿x轴翻折到上方，即“下翻上”. (2)要得到y＝f(|x|)的图象，只需将y＝f(x)的图象在y轴右边的部分 沿y轴翻折到左边，即“右翻左”，同时保留右边的部分.
要点三 构建函数模型解题
例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的 海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化， 每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
又当 t＝1180时，I＝0，即 sin150π·1180＋φ＝0，
而|φ|<π2，∴φ＝π6. 故所求的解析式为 I＝300sin150πt＋π6.
(2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能取 得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？ 解 依题意，周期 T≤1150，即2ωπ≤1150(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又 ω∈N*，
解 设y1＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意知B＝6. ∵3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，
∴A＝2，T＝2×(7－3)＝8＝2ωπ，∴ω＝π4.
则
y1 ＝ 2sin π4x＋φ ＋ 6 ， 将 点 (3,8) 代 入 得
φ
＝
－
π 4
，
故
y1 ＝
2sinπ4x－π4＋6(1≤x≤12).
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
所以 ω＝2Tπ＝π6.
把 t＝0，y＝1 代入 y＝0.4sin(π6t＋φ)＋1，得 φ＝0. 故所求拟合模型的解析式为 y＝0.4sin π6t＋1(0≤t≤24).
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才 进行训练，试安排恰当的训练时间.
解 由 y＝0.4sin π6t＋1≥0.8，得 sin π6t≥－12， 则－π6＋2kπ≤π6t≤76π＋2kπ(k∈Z)， 即 12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到 t∈[0,24]， 所以 0≤t≤7，或 11≤t≤19，或 23≤t≤24.
要点一 三角函数图象的应用
例1 作出函数y＝|cos x|，x∈R的图象，判断它的奇偶性并写出 其周期和单调区间. 解 y＝|cos x| ＝c－oscoxs，xx，∈x∈－π2π2＋＋22kkππ，，π232π＋＋2k2πkπk∈k∈ZZ，.
作出函数y＝cos x的图象后，将x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方， 如图
同理可得 y2＝2sinπ4x－34π＋8(1≤x≤12).
1234
1.方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( C )
A.没有根
B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根
D.有无穷多个根
(
1234
2.如图所示，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发 在圆上按逆时针方向旋转一周，点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l， 弦 AP 的长为 d，则函数 d＝f(l)的图象大致是( )
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
(1)试在图中描出所给点； 解 描出所给点如图所示：
(2)观察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选 择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； 解 由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适. 令A>0，ω>0，|φ|<π. 由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；
解 由题意知，当 h＝3 时，t＝π8，即 3 s 时第一次升到最高点； 当 h＝－3 时，t＝58π，即58π s 时第一次下降到最低点.
(3)经过多长时间小球往返振动一次？ 解 T＝22π＝π≈3.14，即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次. (4)每秒内小球能往返振动多少次？ 解 f＝T1≈0.318，即每秒内小球往返振动约 0.318 次.
(2)A＝ymax－2 ymin，k＝ymax＋2 ymin.
(3)ω 可由 ω＝2Tπ
确定，其中周期 T 可观察图象获得.
π (4)由 ωx1＋φ＝ 0 ，ωx2＋φ＝ 2 ，ωx3＋φ＝ π
3 ＝ 2π ，ωx5＋φ＝ 2π 中的一个确定 φ 的值.
，ωx4＋φ
3.三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中 周期现象的一种数学模型，可以用 来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测等方面都发挥着十 分重要的作用.
跟踪演练1 作出函数y＝sin|x|的图象并判断其奇偶性. 解 ∵sin(－x)＝－sin x， ∴y＝sin|x|＝sin x，x≥0，
－sin x，x<0. 其图象如下图.
由图知，y＝sin|x|是偶函数.
要点二 应用函数模型解题
例2 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
故所求最小正整数 ω＝943.
规律方法 例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待定系 数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式.此类 问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、 用图是数形结合的有效途径.
跟踪演练 2 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间 t(s)内离开 平衡位置(静止时的位置)的距离 h(cm)由下面的函数关系式表 示：h＝3sin2t＋π4. (1)求小球开始振动的位置；
第3章——
3．4 函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象与性质 3.4.3 应用举例
[学习目标]
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题. 2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接]
解析
d＝f(l)＝2sin
l 2.
答案 C
1234
1234
3.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上， 按月呈 f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为 月份)，已知 3 月份达到最高价 9 千元，7 月份价格最低为 5 千 元，根据以上条件可确定 f(x)的解析式为________.
故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m.
课堂小结
1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型 在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题. (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
(1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图 象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
解 由图知 A＝300，设 t1＝－9100，t2＝1180， 则周期 T＝2(t2－t1)＝21180＋9100＝715. ∴ω＝2Tπ＝150π.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； 解 设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.
1234
这时此人所转过的角为23π0 t＝1π5 t，故在 t s 时，此人相对于地面
的高度为 h＝10sin
π 15
t＋12(t≥0).
1234
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度 不小于17 m. 解析 由 10sin 1π5t＋12≥17， 得 sin 1π5t≥12，则52≤t≤225.
跟踪演练3 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商 店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随 正弦型函数y1波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂 价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月 份随正弦型函数y2波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9 月份销售价格最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且 当月售完，请分别求出y1、y2关于第x月份的函数解析式.
A＋B＝9， 解析 由条件可知
－A＋B＝5，
∴B＝7，A＝2. 又 T＝2(7－3)＝8，∴ω＝π4， 令 3×πinπ4x－π4＋7. 答案 f(x)＝2sin π4x－π4＋7
1234
1234
4.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处， 如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人 经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
再结合题意可知，应安排在 11 时到 19 时训练较恰当.
规律方法 数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图， 求相关三角函数的解析式进而研究实际问题.在求解具体问题时需 弄清A，ω，φ的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可 以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.
由图可知，y＝|cos x|是偶函数，T＝π，
单调递增区间为－π2＋kπ，kπ(k∈Z)， 单调递减区间为kπ，π2＋kπ(k∈Z).
规律方法 翻折法作函数图象 (1)要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分 沿x轴翻折到上方，即“下翻上”. (2)要得到y＝f(|x|)的图象，只需将y＝f(x)的图象在y轴右边的部分 沿y轴翻折到左边，即“右翻左”，同时保留右边的部分.
要点三 构建函数模型解题
例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的 海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化， 每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
又当 t＝1180时，I＝0，即 sin150π·1180＋φ＝0，
而|φ|<π2，∴φ＝π6. 故所求的解析式为 I＝300sin150πt＋π6.
(2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能取 得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？ 解 依题意，周期 T≤1150，即2ωπ≤1150(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又 ω∈N*，
解 设y1＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意知B＝6. ∵3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，
∴A＝2，T＝2×(7－3)＝8＝2ωπ，∴ω＝π4.
则
y1 ＝ 2sin π4x＋φ ＋ 6 ， 将 点 (3,8) 代 入 得
φ
＝
－
π 4
，
故
y1 ＝
2sinπ4x－π4＋6(1≤x≤12).
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
所以 ω＝2Tπ＝π6.
把 t＝0，y＝1 代入 y＝0.4sin(π6t＋φ)＋1，得 φ＝0. 故所求拟合模型的解析式为 y＝0.4sin π6t＋1(0≤t≤24).
(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才 进行训练，试安排恰当的训练时间.
解 由 y＝0.4sin π6t＋1≥0.8，得 sin π6t≥－12， 则－π6＋2kπ≤π6t≤76π＋2kπ(k∈Z)， 即 12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到 t∈[0,24]， 所以 0≤t≤7，或 11≤t≤19，或 23≤t≤24.
要点一 三角函数图象的应用
例1 作出函数y＝|cos x|，x∈R的图象，判断它的奇偶性并写出 其周期和单调区间. 解 y＝|cos x| ＝c－oscoxs，xx，∈x∈－π2π2＋＋22kkππ，，π232π＋＋2k2πkπk∈k∈ZZ，.
作出函数y＝cos x的图象后，将x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方， 如图
同理可得 y2＝2sinπ4x－34π＋8(1≤x≤12).
1234
1.方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( C )
A.没有根
B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根
D.有无穷多个根
(
1234
2.如图所示，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发 在圆上按逆时针方向旋转一周，点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l， 弦 AP 的长为 d，则函数 d＝f(l)的图象大致是( )
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
(1)试在图中描出所给点； 解 描出所给点如图所示：
(2)观察图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)中选 择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； 解 由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适. 令A>0，ω>0，|φ|<π. 由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，
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高考数学(文)复习课件《3-4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用》
数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单
阳 书
的实际问题．
业 有
限
公
司
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题 能力
y＝Asin (ωx＋φ)的有关概念及五点法描图
提升
提素能 高效
1．y＝Asin (ωx＋φ)的有关概念
训练
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
书 业
f(－1)＋f(13)＝f(－1＋4)＋f(4×3＋1)＝f(3)＋f(1)＝0.5＋1.5＝2.
有 限
答案：B
公 司
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（文）
抓主干
考点 解密
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)
研考向 要点 探究
的图象的步骤
悟典题 能力 提升
提素能 高效 训练
提素能
高效 训练
(2)由(1)知f(x)＝cos2x－π3，列表如下：
山
x
0
π5
2 11
6 12π 3π 12π
π
东 金
太
2x－π3
－π3
0
π 2
π
3
5
2π 3π
阳 书
业
f(x)
1 2
1
0 －1 0
1 2
有 限
公
图象如图：
训练
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二
山
点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝
π 2
；“第三点”(即图象下降时与x轴
东 金 太
的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝
《函数y=Asinωφ的图像及性质》PPT课件讲义
列表如下：源自x25 8
11
33
3
3
3
x 26
0
2
3 2
2
y
2sin
x 2
6
0
2
0 2
0
(2)描点：描出点(－π3，0)、(23π，2)、(53π，0)、 (83π，－2)、(113π，0)． (3)连线：用平滑的曲线将这五个点连接起来，最后 将其向两端伸展，得到图像如图所示．
【变式迁移】
（ⅰ）已知函数f(x)＝sin
考题规律
1.“五点法”作图及图象的变换是考查的重点． 2.结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用是 考查的热点．
2．若函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图 ， 则ω和φ的取值是 ( C )
A．ω＝1，φ＝π3 C．ω＝12，φ＝π6
B．ω＝1，φ＝－π3 D．ω＝12，φ＝－π6
【变式迁移】
(ⅲ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋ )，其中ω>0.若函数
f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 . (1)求函数f(x)的解析式； (2)求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移
m个单位后所对应的函数是偶函数．
解：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋ )．
依题意，
.
又T＝ ，故ω＝3，
Thank you.
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商务
图标元素
商务
图标元素
11
33
3
3
3
x 26
0
2
3 2
2
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2sin
x 2
6
0
2
0 2
0
(2)描点：描出点(－π3，0)、(23π，2)、(53π，0)、 (83π，－2)、(113π，0)． (3)连线：用平滑的曲线将这五个点连接起来，最后 将其向两端伸展，得到图像如图所示．
【变式迁移】
（ⅰ）已知函数f(x)＝sin
考题规律
1.“五点法”作图及图象的变换是考查的重点． 2.结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用是 考查的热点．
2．若函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图 ， 则ω和φ的取值是 ( C )
A．ω＝1，φ＝π3 C．ω＝12，φ＝π6
B．ω＝1，φ＝－π3 D．ω＝12，φ＝－π6
【变式迁移】
(ⅲ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋ )，其中ω>0.若函数
f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 . (1)求函数f(x)的解析式； (2)求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移
m个单位后所对应的函数是偶函数．
解：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋ )．
依题意，
.
又T＝ ，故ω＝3，
Thank you.
演讲结速，谢谢观赏！
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《3.4第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》 学案
11 / 19
由∠MNP∈(0，π)，得 sin∠MNP＝
课堂运用 【基础】 1．(2012· 浙江高考)把函数 y＝cos 2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是( )
12 / 19
π 2.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h(ω>0，0<φ<2)的图象如图所示，则 f(x)＝( x π A．4sin2＋4＋2 x π B．－4sin2－4＋2 x π C．2sin2＋4＋4 x π D．－2sin2＋4＋4
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)已知横坐标分别为－1、1、5 的三点 M、N、P 都在函数 f(x)的图象上，求 sin∠MNP 的值．
10 / 19
【解析】(1)由图可知， 2π π 最小正周期 T＝4× 2＝8，所以 T＝ ω ＝8，ω＝4. π π π 又 f(1)＝sin4＋φ＝1，且－2＜φ＜2， π π 3π π π π π 所以－4＜4＋φ＜ 4 ，所以4＋φ＝2，φ＝4.所以 f(x)＝sin4(x＋1)． π (2)因为 f(－1)＝sin4(－1＋1)＝0， π π f(1)＝sin4(1＋1)＝1，f(5)＝sin4(5＋1)＝－1， 所以 M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)， 所以|MN|＝ 5，|MP|＝ 37，|PN|＝ 20， 从而 cos∠MNP＝ 5＋20－37 2 5× 20 3 ＝－5， 4 1－cos2∠MNP＝ . 5
18 / 19
课程小结
1.确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法： 在由图象求解析式时，若最大值为 M，最小值为 m，则 A＝ φ 由特殊点确定． 2．由 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的 |φ| 量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是 ω (ω>0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针 对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是于 ωx 加减多少值． M－m M＋m 2π ， k ＝ ， ω 由周期 T 确定，即由 2 2 ω ＝T 求出，
由∠MNP∈(0，π)，得 sin∠MNP＝
课堂运用 【基础】 1．(2012· 浙江高考)把函数 y＝cos 2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是( )
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π 2.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h(ω>0，0<φ<2)的图象如图所示，则 f(x)＝( x π A．4sin2＋4＋2 x π B．－4sin2－4＋2 x π C．2sin2＋4＋4 x π D．－2sin2＋4＋4
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)已知横坐标分别为－1、1、5 的三点 M、N、P 都在函数 f(x)的图象上，求 sin∠MNP 的值．
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【解析】(1)由图可知， 2π π 最小正周期 T＝4× 2＝8，所以 T＝ ω ＝8，ω＝4. π π π 又 f(1)＝sin4＋φ＝1，且－2＜φ＜2， π π 3π π π π π 所以－4＜4＋φ＜ 4 ，所以4＋φ＝2，φ＝4.所以 f(x)＝sin4(x＋1)． π (2)因为 f(－1)＝sin4(－1＋1)＝0， π π f(1)＝sin4(1＋1)＝1，f(5)＝sin4(5＋1)＝－1， 所以 M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)， 所以|MN|＝ 5，|MP|＝ 37，|PN|＝ 20， 从而 cos∠MNP＝ 5＋20－37 2 5× 20 3 ＝－5， 4 1－cos2∠MNP＝ . 5
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课程小结
1.确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法： 在由图象求解析式时，若最大值为 M，最小值为 m，则 A＝ φ 由特殊点确定． 2．由 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的 |φ| 量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是 ω (ω>0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针 对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是于 ωx 加减多少值． M－m M＋m 2π ， k ＝ ， ω 由周期 T 确定，即由 2 2 ω ＝T 求出，
2024版高考数学总复习：函数y=Asin(ωx φ)的图象及简单应用课件
π
3
的图象，只需
(
)
π
A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移 个
6
单位长度
1
π
B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单
2
6
位长度
π
C．先将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为
6
1
原来的
2
π
D．先将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为
ωx＋φ
π
__
0
__
2π
___
x
y＝A sin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
1．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．
1
2．相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的 .
4
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图
象的两种途径：
由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，
考点3 三角函数模型及其应用——应用性
考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性
考点1
由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式——基础性
1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin (ωx＋φ) > 0， <
象如图所示，则此函数的解析式可以是(
A．y＝sin
1
2
C．y＝sin 2
π
(3)若函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋ (k∈Z)．
高中数学《函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质教学》公开课优秀课件
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1
整个课堂关注学生的实际生成，因势利导；
课堂关注学生的实际生成，因势利导；
2 学生活动有独立思考与相互交流多种形式， 本节课学生活动充分；
3 我们认为： A 、ω 、φ这三个参数的物理意 义在下节课系统研究了 y＝sinx的图象与 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关系的基 础 上，结合实例进行教学,更易于学生理解.
NSFZ
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
研制策略，优化方案
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
所有的研究方案都是由学生 自主探究生成；
问题1
如何由 y＝sinx的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象？
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
所有的研究方案都是由学生 自主探究生成；
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
所有的研究方案都是由学生 自主探究生成；
问题1
如何由 y＝sinx的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象？
比较分析三种研究方案， 选择方案1；
形成类似多参数问题的一般 研究策略——控制变量.
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(三）合作探究,感悟方法
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(二）研制策略，优化方案
问题1： 如何由y＝sinx的图象得到
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
问题1
202新数学复习第三章三角函数解三角形3.4三角函数的图象与性质学案含解析
第四节三角函数的图象与性质课标要求考情分析1。
能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在错误!内的单调性．以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.知识点一用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1．正弦函数y＝sin x,x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0），错误!，(π，0),错误!，（2π，0）．2．余弦函数y＝cos x，x∈［0,2π］的图象中，五个关键点是：(0,1),错误!，(π，－1），错误!，(2π,1）．知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质下表中k∈Z1.对称与周期（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ）的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况,避免出现增减区间的混淆．3．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间错误!(k∈Z)内为增函数．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．（×)（2）已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1。
(×) (3）y＝sin｜x｜是偶函数．(√）(4)由sin错误!＝sin错误!知，错误!是正弦函数y＝sin x（x∈R）的一个周期．（×）解析：根据三角函数的图象与性质知（1)(2）（4)是错误的，(3）是正确的．2．小题热身(1）函数y＝tan3x的定义域为（D）A。
函数y=Asin(ωx φ)的图象 课件
4
3
3
π
4
π
D.关于直线 x= 对称
3
π
π
f(x)的解析式→由 ωx+ =kπ+ (k∈Z)
3
2
π
ωx+ =kπ(k∈Z)
3
得对称中心→选出正确选项
B.关于直线 x= 对称
2π
解析:由 T= =π,解得 ω=2,
则 f(x)=sin 2 +
π
3
π
2
π
3
,
令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得 x=
∈Z.
确定此函数解析式.
> 0,|| ≤
π
2
图象的一段,试
分析:可由最高点、最低点确定 A,再由周期确定 ω,然后由图象
的平移变换或由图象过已知点确定 φ.
解:该函数的周期
2π
1
13π π
T=
− =4π,
3
3
∴ω= = 2.
又∵函数的最大值为 3,故 A=3.
∴y=3sin
1
2
+ .
2
π
3
1 π
(1)定义域为 R.
(2)值域为[-|A|,|A|].
2π
| |
(3)周期为 T= .
(4)当 φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;
π
当 φ= +kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
2
(5)对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思
π
π
3
3
π
4
π
D.关于直线 x= 对称
3
π
π
f(x)的解析式→由 ωx+ =kπ+ (k∈Z)
3
2
π
ωx+ =kπ(k∈Z)
3
得对称中心→选出正确选项
B.关于直线 x= 对称
2π
解析:由 T= =π,解得 ω=2,
则 f(x)=sin 2 +
π
3
π
2
π
3
,
令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得 x=
∈Z.
确定此函数解析式.
> 0,|| ≤
π
2
图象的一段,试
分析:可由最高点、最低点确定 A,再由周期确定 ω,然后由图象
的平移变换或由图象过已知点确定 φ.
解:该函数的周期
2π
1
13π π
T=
− =4π,
3
3
∴ω= = 2.
又∵函数的最大值为 3,故 A=3.
∴y=3sin
1
2
+ .
2
π
3
1 π
(1)定义域为 R.
(2)值域为[-|A|,|A|].
2π
| |
(3)周期为 T= .
(4)当 φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;
π
当 φ= +kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
2
(5)对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思
π
π
函数y=Asinωxφ的图象
2023函数y=asinωxφ的图象pptcontents •函数y=asinωxφ的简介•函数y=asinωxφ的图象•函数y=asinωxφ的应用•其他类型的三角函数图象•对于学习函数的建议目录01函数y=asinωxφ的简介1asinωxφ的定义与性质23asinωxφ是正弦型函数，其中ω和φ是常数。
asinωxφ的定义域为x ∈ (-∞,+∞)，值域为y ∈ [-1,1]。
函数y=asinωxφ的周期为2π/ω。
数学表达式为y=asin(ωx+φ)，其中a为振幅，ω为角频率，φ为初相。
表达式中的ωx+φ表示将自变量x乘以角频率ω，再加上初相φ。
函数y=asinωxφ的数学表达式当a>1时，函数y=asinωxφ的图象呈现振幅较大的正弦型曲线。
当a<1时，函数y=asinωxφ的图象呈现振幅较小的正弦型曲线。
当a=1时，函数y=asinωxφ的图象呈现标准的正弦型曲线。
当ω>1时，函数y=asinωxφ的图象呈现周期较小的正弦型曲线。
当0<ω<1时，函数y=asinωxφ的图象呈现周期较大的正弦型曲线。
函数y=asinωxφ的图象及性质02函数y=asinωxφ的图象图形描述函数$y=asin\omega x\varphi$的图象是一个正弦曲线，随着$\omega$的增大，曲线的振幅逐渐增大，周期逐渐减小。
变化趋势当$x$逐渐增大时，$y$的值先逐渐增大，到达最大值后逐渐减小，当$y$达到最小值时，$x$的值也达到最大值。
函数y=asinωxφ的图象及变化趋势周期性定义函数$y=asin\omega x\varphi$的图象呈现周期性变化，周期是$\frac{2\pi}{\omega}$。
周期性变化每个周期内的图形完全相同，只是相位相差$\frac{\pi}{\omega}$，随着$x$增大，相位逐渐增大，新的周期逐渐开始。
函数y=asinωxφ的周期性变化函数$y=asin\omega x\varphi$的最大值是$1$，最小值是$-1$。
高三数学一轮复习 第3章 三角函数第4课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象精品课件
(1)求 f(x)的表达式； (2)试写出 f(x)的对称轴方程．
解析： (1)由图象可知，函数的最大值 M＝3，最小值 m＝－1， 则 A＝3－2－1＝2，b＝3－2 1＝1， 又 T＝223π－π6＝π，∴ω＝2Tπ＝2ππ＝2， ∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1， 将 x＝π6，y＝3 代入上式，得 sinπ3＋φ＝1，
答案：
4π
1 4π
10
12t－π4
－π4
5．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如 图所示，则 f(x)的解析式为________．
解析： 由图知：T＝8， ∴2ωπ＝8.∴ω＝π4，A＝2. ∴f(x)＝2sinπ4x＋φ，令 x＝2， ∴2＝2sinπ2＋φ. ∴sin2π＋φ＝1. ∵|φ|＜π2， ∴φ＝0，∴f(x)＝2sinπ4x.
列表，并描点画出图象：
x
－π6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
X
0
π 2
π
3π 2
2π
y＝sin X 0
1
0
－1
0
y＝
2sin
0
2
0
－2
0
2x＋π3
(3)方法一：把 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到 y ＝sinx＋π3的图象，再把 y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来 的12倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋π3的图象，最后把 y＝sin2x＋π3上 所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝ 2sin2x＋π3的图象．
3 2.
方法二：因区间0，34关于 x＝1 对称区间为23，2， 且 y＝g(x)与 y＝f(x)的图象关于 x＝1 对称，
解析： (1)由图象可知，函数的最大值 M＝3，最小值 m＝－1， 则 A＝3－2－1＝2，b＝3－2 1＝1， 又 T＝223π－π6＝π，∴ω＝2Tπ＝2ππ＝2， ∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1， 将 x＝π6，y＝3 代入上式，得 sinπ3＋φ＝1，
答案：
4π
1 4π
10
12t－π4
－π4
5．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如 图所示，则 f(x)的解析式为________．
解析： 由图知：T＝8， ∴2ωπ＝8.∴ω＝π4，A＝2. ∴f(x)＝2sinπ4x＋φ，令 x＝2， ∴2＝2sinπ2＋φ. ∴sin2π＋φ＝1. ∵|φ|＜π2， ∴φ＝0，∴f(x)＝2sinπ4x.
列表，并描点画出图象：
x
－π6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
X
0
π 2
π
3π 2
2π
y＝sin X 0
1
0
－1
0
y＝
2sin
0
2
0
－2
0
2x＋π3
(3)方法一：把 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到 y ＝sinx＋π3的图象，再把 y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来 的12倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋π3的图象，最后把 y＝sin2x＋π3上 所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝ 2sin2x＋π3的图象．
3 2.
方法二：因区间0，34关于 x＝1 对称区间为23，2， 且 y＝g(x)与 y＝f(x)的图象关于 x＝1 对称，
高考数学第3章三角函数、解三角形3.4函数y=asin(ωx+φ)的图象及应用理
离的最小值为 1，求 y＝g(x)的单调递增区间．
12/12/2021
本题用方程组法．
第二十六页，共四十六页。
解 (1)由题意知 f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.
因为 y＝f(x)的图象过点1π2， 3和23π，－2，
所
以
3＝msin6π＋ncosπ6，
即
－2＝msin43π＋ncos43π，
y0)是 PA 的中点，当 y0＝ 23，x0∈π2，π时，求 x0 的值．
解 (1)将 x＝0，y＝ 3代入函数 y＝2cos(ωx＋θ)得 cosθ
＝
3 2.
∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6.
由已知周期 T＝π，且 ω>0，
12/∴12/2ω021＝2Tπ＝2ππ＝2.
第三十三页，共四十六页。
(2)∵Q(x0，y0)是 PA 的中点，点 Aπ2，0，y0＝ 23， ∴点 P 的坐标为(2x0－π2， 3. 又∵点 P 在 y＝2cos2x＋π6的图象上，且 x0∈π2，π， ∴2cos4x0－56π＝ 3，76π≤4x0－56π≤196π， 从而得 4x0－56π＝116π或 4x0－56π＝163π， 解得 x0＝23π或34π.
第十七页，共四十六页。
解 (1)根据表中已知数据，解得 A＝5，ω＝2，φ＝－π6. 数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π π 7π 5π 13π 12 3 12 6 12
Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
且函数表达式为 f(x)＝5sin2x－π6.
12/12/2021
第十八页，共四十六页。
12/12/2021