2014-2015东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--导数的概念及运算
吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习(知识
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮复习（知识梳理+题型探究+方法提升+课后作业）函数的概念及表示导学案 文知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页）1、 函数（1）、函数的定义：（2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式：自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法2、 映射映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。
4、函数解析式求法求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．二、题型探究探究一：求函数的定义域1. [2014·山东卷] 3．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( ) A ．(0，2) B ．(0，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)[解析]3．C 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.2．函数y=253x x --的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为________. 解析:∵y≤0或y≥4,∴253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x≤72. 答案: 52≤x<3或3<x≤72. 探究二：求函数的解析式 例2．（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；三、方法提升1、判断一个对应是否为映射关键在于是否“取值任意性，成象唯一性；判断是否为函数“一看是否为映射，二看A ，B 是否为非空的数集”2、函数是中学最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数的三要素基本内容与方法，由给定的函数的解析式求其定义域是这类问题的代表，实际上是求使函数有意义的x 有取值范围；求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．四、 反思感悟五、课时作业函数的解析式与定义域一、选择题1.函数y=322--x x +log 2(x+2)的定义域为（ ）A.（-∞,-1）∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪［3,+∞）C.(-2,-1]D.(-2,-1］∪［3,+∞) 答案：D解析：⎩⎨⎧->-≤⇒⎩⎨⎧>+≥--,2,1,02,0322x x x x x 或x ≥3⇒-2<x ≤-1或x ≥3. 2.若f(x+1)=21f(x),则下列函数中f(x)为（ ） A.2x B.x+21 C.2-x D.21log x 答案：C3.g(x)=1-2x,f ［g(x)］=221x x -(x≠0),则f(21)等于（ ） A.1 B.3 C.15 D.30 答案：C解析：令g(x)=21,则x=41,∴f(21)=22)41()41(1-=15. 解析：C 、D 表示二次函数故首先排除.又∵f(-1)=0,故排除A ，故选B.二、填空题5.函数f(x)=xx -++211的定义域为_______________. 答案：［-1，2）∪（2，+∞）解析：∵⎩⎨⎧≠-≥+.02,01x x ∴x ≥-1且x ≠2. 6.设函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),函数g(x)=-x 2+bx+c 且f(2+2)-f(2+1)=21,g(x)的图象过点A （4，-5）及B （-2，-5），则a=_____;函数f ［g(x)］的定义域为_______________.答案：2 , -1<x<3解析：log a (2+2)-log a (2+1)=21⇒log a 2=21,a=2.由g(4)=g(-2)=-5,知g(x)+5=-(x-4)(x+2),故⎩⎨⎧==.3,2c b ∴f ［g(x)］=log 2(-x 2+2x+3),由-x 2+2x+3>0，得-1<x<3.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）7.已知函数f(x)=34723++-ax ax x 的定义域为R ,求a 的取值范围. 解析：当a=0时，函数定义域为R .当a ≠0时，要使ax 2+4ax+3≠0对一切x ∈R 恒成立，其充要条件是Δ<0,即16a 2-12a<0,∴0<a<43.因此a 的取值范围为［0，43）. 13.如下图，用长为l 的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框，中间有2根横档，要使透光效果最好，应如何设计?解析：设半圆的半径为x,则窗户的面积y=21πx 2+2x ·)26(26ππ+-=--x x l x 2+l x, 由⎪⎩⎪⎨⎧>-->,026,0x x l x π解得0<x<π+6l .∴y=-(6+2π)x 2+lx(0<x<π+6l ). 当x=π+12l 时y 有最大值.这时半圆的直径为π+122l ,大矩形的另一边长为π+123l . 8.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t 为参数).（1）写出函数f(x)的定义域和值域；（2）当x ∈［0，1］时，求函数g(x)解析式中参数t 的取值范围;（3）当x ∈［0，1］时，如果f(x)≤g(x),求参数t 的取值范围.∴U=m-2(m 2-1)=-2m 2+m+2=-2(m-41)2+81+2.∴当m=1(x=0)时，U max =1.∴t ≥1.。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习 角的概
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习角的概念及任意角三角函数导学案文知识梳理： (阅读教材必修4第2页—第17页)(一)、角的概念的推广1、角的概念：2、正角、负角和零角3、象限角：4、终边相同的角：所在与终边相同的角，连同在内的角可以构成一个集合5、终边落在x轴上的角的集合：；终边浇在y轴上的角的集合：。
（二）、弧度制1、角的度量：角度制：弧度制：2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度是一个负数，零角的弧度数是0。
3、角度制与弧度制之间的换算关系：4、弧度制下的弧公式与扇形的面积公式：（三）任意角的三角函数：1、设任意角的终边上任意一点p（除原点外）的坐标为（x，y），它到原点的距离为r=。
（1）、比值 叫做的正弦，记作sin ，即sin = （）；（2）、比值 叫做的余弦，记作cos ，即sin =（）；（3）、比值 叫做的正切，记作tan ，即sin =（，）； 2、单位圆中的三角函数线如图： Sin =MP ，cos =OM ，tan =AT一、 题型探究：探究一：终边相同的角的集合的表示例1：如图： 分别为终边落在OM 、ON ，位置上的两个角，且=，。
（1）、求终边落在圆阴影部分（含边界）时所有角的集合；O Y P X T M A探究二：象限角的意义：例 2：若是第二象限角，试确定2， 的终边所在的位置探究三：扇形 的面积：例3：1弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形 的面积。
探究四：任意角的三角函数的定义：例4：设02θπ≤<，如果sin 0θ<且cos20θ<，则θ的取值范围是 （ ）()A 32ππθ<< ()B 322πθπ<< ()C 344ππθ<< ()D 5744ππθ<<例5：若sin tan cot ()22ππαααα>>-<<，则α∈（ ）()A (,)24ππ-- ()B (,0)4π- ()C (0,)4π ()D (,)42ππ二、 方法提升：1、 要确定所在的象限，只要把表示为=2k +，02），就可以由所在的象限判定所在的象限，则已知角的范围求未知角的范围是，通常要用不等式的性质来解决，切忌不要扩大角的范围。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 函数与定积分应用(2)学案 理
"吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习函数与定积分应用（2）学案理"探究7：讨论函数的单调性例8：设函数，试讨论函数的单调性(解析:注意讨论K的范围,注意函数的定义域)时，单调递增；时，单调递减；（，1）单调递增。
探究8：导数与函数的极值和最值例9：设函数，其中求函数的极大值和极小值。
（极大值0；极小值）例10：已知函数(1)、求的最小值；)（2）、若对所有的，都有，求实数a的取值范围。
(a)探究9：已知函数的极大值和最值，求参数的值或取值范围。
例11：函数R x x x x f ∈+-=,56)(3（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；(增区间：(-),(,)减区间为:();极大值:5+4极小值：5-4.（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.( 5-4)（Ⅲ）已知当(1,)x ∈+∞时，()f x ≥(1)k x - 恒成立，求实数k 的取值范围.K5[考题赏析]例12．已知函数2221()1ax a f x x -+=+()x R ∈，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 【分析】(I)解：当1a =时，224(),(2).51x f x f x ==+又2222222(1)2.2226'(),'(2).25(1)(1)x x x x f x f x x +--===-++ 所以，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 46(2),525y x -=--即625320.x y +-=(II)解：22222(1)2(21)'()(1)a x x ax a f x x +--+=+222()(1).(1)x a ax x --+=+ 由于0,a ≠以下分两种情况讨论.(1)当0a >时，令'()0,f x =得到121,.x x a a=-=当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在11x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.(2)当0a <时，令'()0,f x =得到121,x a x a==-.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间(),a -∞1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.函数()f x 在21x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 【考题赏析】例13．[2014·湖北卷] 22． π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；(2)求e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e，e π，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3； 由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e. (3)由(2)知，3e<πe<π3<3π，3e<e 3. 又由(2)知，ln ππ<ln e e ，得πe <e π.故只需比较e 3与πe和e π与π3的大小． 由(1)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e ，即ln x x <1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－eπ.①由①得，eln π>e ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e π>2.7×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，即eln π>3，亦即ln πe>ln e 3，所以e 3<πe. 又由①得，3ln π>6－3eπ>6－e>π，即3ln π>π，所以e π<π3.综上可得，3e<e 3<πe<e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e，e 3，πe，e π，π3，3π. 探究10．利用导数求和：()121123n n S x x nx -=+++⋅⋅⋅+（0x ≠, *x N ∈）.()212323n n nn n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅+（*x N ∈）. 分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。
高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算教学案 理 北师大版-北师大版高三全
第3章 导数及其应用全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般是“一大一小〞． 2．考查内容(1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中．(2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题．第二问利用导数证明不等式，单调区间或极值求参数的取值X 围，函数的零点等问题． 3．备考策略(1)熟练掌握导数的运算公式，重点研究导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与极(最)值、导数与不等式、导数与函数的零点等问题． (2)加强数形结合、分类讨论等数学思想的应用.第一节 导数的概念及运算[最新考纲] 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法那么求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．导数与导函数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，用f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝limx 1→x 0f x 1－f x 0x 1－x 0＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝limΔx →0f x ＋Δx －f xΔx，那么f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．2．导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4．导数的运算法那么(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (φ(x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )的导数间的关系为y x ′＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )·φ′(x )．[常用结论]1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡〞．一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．函数y＝x cos x－sin x的导数为( )A．x sin x B．－x sin xC．x cos x D．－x cos xB[y′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x．] 2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9 D．15C[因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.应选C.]3．函数y＝f(x)的图像如图，那么导函数f′(x)的大致图像为( )A B C DB[由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.]4．在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，那么运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝________m/s2.－9.8t＋6.5 －9.8 [v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.]考点1 导数的计算(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法那么求导数．(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法那么，记准公式，避免运算错误．函数解析式求函数的导数求以下各函数的导数：(1)y ＝x 2x ；(2)y ＝tan x ； (3)y ＝2sin 2x2－1.[解] (1)先变形：y ＝2x 32，再求导：y ′＝(2x 32)′＝322x 12.(2)先变形：y ＝sin xcos x，再求导：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′·cos x －sin x ·cos x ′cos 2x ＝1cos 2x .(3)先变形：y ＝－cos x ，再求导：y ′＝－(cos x )′＝－(－sin x )＝sin x .[逆向问题] f (x )＝x (2 017＋ln x )，假设f ′(x 0)＝2 018，那么x 0＝________. 1 [因为f (x )＝x (2 017＋ln x )，所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018，所以2 018＋ln x 0＝2 018，所以x 0＝1.]求导之前先对函数进行化简减少运算量．如本例(1)(3)． 抽象函数求导f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，那么f ′(0)＝________.－4 [∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4.]赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ′(1)为常数，然后借助导数运算法那么计算f ′(x )，最后分别令x ＝1，x ＝0代入f ′(x )求解即可．1.函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，那么f ′(1)的值为________．e [由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x·1x，那么f ′(1)＝e.]2．函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，那么f ′(2)＝________.－94 [因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.]3．求以下函数的导数 (1)y ＝3x e x－2x＋e ； (2)y ＝ln x x 2＋1；(3)y ＝ln 2x －12x ＋1.[解] (1)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x e x ln 3＋3x e x－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2. (2)y ′＝ln x ′x 2＋1－ln xx 2＋1′x 2＋12＝1xx 2＋1－2x ln xx 2＋12＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋12.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2x －12x ＋1′＝[ln(2x －1)－ln(2x ＋1)]′＝[ln(2x －1)]′－[ln(2x ＋1)]′ ＝12x －1·(2x －1)′－12x ＋1·(2x ＋1)′ ＝22x －1－22x ＋1＝44x 2－1. 考点2 导数的几何意义导数几何意义的应用类型及求解思路(1)切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)．(2)假设求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1求解即可．(3)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．求切线方程(1)(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．(2)函数f (x )＝x ln x ，假设直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，那么直线l 的方程为________．(1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 [(1)∵y ′＝3(x 2＋3x ＋1)e x，∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y ＝3x .(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.](1)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值X 围；(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别．如本例(1)是“在点(0,0)〞，本例(2)是“过点(0，－1)〞，要注意二者的区别．求切点坐标(2019·某某高考)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，那么点A 的坐标是________．(e,1) [设A (x 0，y 0)，由y ′＝1x ，得k ＝1x 0，所以在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线经过点(－e ，－1)， 所以－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0)．所以ln x 0＝ex 0，令g (x )＝ln x －ex(x ＞0)，那么g ′(x )＝1x ＋ex2，那么g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数． 又g (e)＝0，∴ln x ＝ex有唯一解x ＝e.∴x 0＝e.∴点A 的坐标为(e,1)．]f ′(x )＝k (k 为切线斜率)的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键．求参数的值(1)(2019·全国卷Ⅲ)曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x＋b ，那么( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1(2)f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，与f (x )图像的切点为(1，f (1))，那么m ＝________.(1)D (2)－2 [(1)∵y ′＝a e x ＋ln x ＋1，∴y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴2＝a e ＋1，∴a ＝e－1.∴切点为(1,1)，将(1,1)代入y ＝2x ＋b ，得1＝2＋b ， ∴b ＝－1，应选D. (2)∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，那么有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，∴m ＝－2.]切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值X 围．导数与函数图像(1)函数y ＝f (x )的图像是以下四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如下图，那么该函数的图像是( )A BC D(2)y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，那么g ′(3)＝________.(1)B (2)0 [(1)由y ＝f ′(x )的图像是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图像的切线的斜率先增大后减小，应选B.(2)由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出图像升降的快慢．1.曲线f (x )＝exx －1在x ＝0处的切线方程为________．2x ＋y ＋1＝0 [根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f ′(x )＝x －1ex′－e xx －1′x －12＝x －2e xx －12，故切线的斜率k ＝f ′(0)＝0－2e0－12＝－2， 那么直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)， 即2x ＋y ＋1＝0.]2．(2019·某某模拟)f (x )＝x 2，那么曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是________．y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 [设切点坐标为(x 0，x 20)，∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)， ∴x 20＝2x 0(x 0＋1)， 解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)， 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.]3．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，那么2a ＋b ＝________. 1 [由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.]。
吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习(知识
p q 吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学第一轮复习（知识梳理+题型探究+方法提升+课后作业）命题及其关系充分条件必要条件导学案 文知识梳理：（阅读教材选修2-1第2页—第13页）1、 四种命题（1）、命题是可以 可以判断真假的语句 ，具有 “若P,则q 的形式；（2）、一般地用P 或q 分别表示命题的条件或结论,用 或 分别表示P 和q 的否定,于是四种命题的形式就是:原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:(3)、四种命题的关系：两个互为逆否命题的真假是相同的，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。
2、 充分条件、必要条件与充要条件（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。
3、 判断充分性与必要性的方法：（一）、定义法（1）、且q ，则p 是q 的 充分不必要条件 ； （2）、，则p 是q 的 必要不充分条件 ； （3）、，则p 是q 的 既不充分也不必要条件 ； （4）、 且 ，则p 是q 的 充要条件 ；（二）、集合法：利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p 的元素构成集合A ，满足条件q 的元素构成集合B ；（1）、若A，则p 是q 的 充分条件 若 ，则p 是q 的必要条件;（2）、若A，则p 是q 的充要条件 ； （3）、若A，且A ，则p 是q 的充分不必要条件；q 是p 的必要不充分条件； （4）、若A ，且，则p 是q 的既不充分也不必要条件 ； 二、题型探究探究一：四种命题的关系与命题真假的判断例1；设原命题是“已知p 、q 、m 、n 是实数，若p=q ，m=n ，则p ＋m=q ＋n”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解：逆命题：“已知p 、q 、m 、n∈R，若p ＋m=q ＋n ，则p=q ，m=n(假)．否命题：“已知p 、q 、m 、n∈R，若p≠q，m≠n，则p ＋m≠q＋n”(假)逆否命题：“已知p 、q 、m 、n∈R，若p ＋m≠q＋n ，则p≠q 或m≠n”(真)注:否命题“若p≠q，m≠n”应理解为“p≠q 或m≠n”即是指：①p≠q，但m=n ，②p=q 但m≠n，而不含p≠q 且m≠n．因为原命题中的条件：“若p=q ，m=n ．”应理解为“若p=q 且m=n ，”而这一语句的否定应该是“p≠q 或m≠n”．例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。
吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习 导数的应用(2)教案 文
课题：导数的应用（2）五．课时作业 一、 选择题1.已知函数432()410f x x x x =-+，则方程()0f x =在区间[]1,2上的根有.A 3个 .B 2个 .C 1个 .D 0个2.（06郑州一中等四校联考）若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，且常数,a b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是 .A ()()af a bf b > .B ()()af b bf a > .C ()()af a bf b < .D ()()af b bf a <3、（07届高三陕师大附中八模）如果()f x '是二次函数, 且()f x '的图象开口向上, 顶点坐标为(1,3)-, 那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是.A 2(0,]3π .B 2[0,)[,)23πππU .C 2[0,][,)23πππU .D 2[,]23ππ4、（08届厦门双十中学高三月考）如图，是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图像，则2221x x +等于.A 98 .B 910 .C 916 .D 9285、（06天津）函数()f x 的定义域是开区间(),a b , 导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间内有极小值点.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个6、（08届高三哈尔滨第三中学第一次月考） 函数x bx ax x f 2)(23-+=的图象如图所示， 且021<+x x ，则有.A 0,0>>b a .B 0,0><b a .C 0,0<<b a .D 0,0<>b a二、 填空题7、（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数，则a 的范围是xyab()'y f x =O（2）使a ax x y ++=3为R 上增函数，则a 的范围是 （3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上增函数，则a 的范围是三、解答题8、已知：1x >，证明不等式：()ln 1x x >+9、设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间14．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎛01(x 2－2x ＋1)d x ＝(13x 3－x 2＋x )|10＝13.15．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06 f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：选D.原式＝⎠⎛-60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，∵原函数为偶函数，∴在y 轴两侧的图象对称．∴对应的面积相等．故选D.16．函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确解析：选A.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin t ＋t 33＋2t |x-x ＝2sin x ＋2x 33＋4x ，为奇函数．17．一物体的下落速度为v (t )＝9.8t ＋6.5(单位：米/秒)，则下落后第二个4秒内经过的路程是( )A ．249米B ．261.2米C ．310.3米D ．450米 解析：选B.所求路程为⎠⎛48(9.8t ＋6.5)dt＝(4.9t 2＋6.5t )|84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(米)．18．由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围成图形的面积为( )A.154B.174C.12ln2 D．2ln219．若a＝⎠⎛2x2d x，b＝⎠⎛2x3d x，c＝⎠⎛2sin x d x，则a、b、c的大小关系是( ) A．a<c<b B．a<b<c C．c<b<a D．c<a<b解析：选D.a＝⎠⎛2x2d x＝13x3|20＝83，b＝⎠⎛2x3d x＝14x4|204，c＝⎠⎛2sin x d x＝－cos x|20＝1－cos2，因为1<1－cos2<2，所以c<a<b.20．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1 (－1≤x<0)cos x (0≤x≤π2)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为A.32B．1 C．2 D.12解析：选 A.作出图象可知：S＝⎠⎛-10－1(x＋1)d x＋⎠⎜⎛π2cos x d x＝21．已知a∈[0，π2]，则当 d x取最大值时，a＝________.解析：⎠⎛a(cos x－sin x)d x＝(sin x＋cos x)|a0＝sina＋cos a－(sin0＋cos0)＝2sin(a＋π4)－1，当a＝π4时，⎠⎛a(cos x－sin x)d x取最大值2－1.答案：π422．⎠⎛-aa(2x－1)d x＝－8，则a＝________.解析：⎠⎛-aa (2x－1)d x＝(x2－x)|a-a ＝a2－a－[(－a)2－(－a)]＝a2－a－a2－a＝－2a＝－8，∴a＝4.23．如果⎠⎛1f(x)d x＝1，⎠⎛2f(x)d x＝－1，则⎠⎛12f(x)d x＝________.解析：∵⎠⎛2f(x)d x＝⎠⎛1f(x)d x＋⎠⎛12f(x)d x，∴⎠⎛12f(x)d x＝⎠⎛2f(x)d x－⎠⎛1f(x)d x＝－1－1＝－2.24．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，求点P的坐标．解：设直线OP的方程为y＝kx，P点的坐标为(x，y)，则⎠⎛x(kx－x2)d x＝⎠⎛x2(x2－kx)d x，即(12kx2－13x3)|x0＝(13x3－12kx2)|2x，解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－12kx 2)，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习 圆的方程导学案 文
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 圆的方程导学案 文一、知识梳理 1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*）将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422FE D -+.当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E ），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：①圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（A x 2+B y 2+Cxy+Dx +Ey +F =0）a.x 2、y 2项系数相等且不为零.b.没有xy 项.②当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.③据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. 二、题型探究[题型探究一]圆的标准方程1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔ ｜a ｜＜131.答案：D 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点 B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b <r 时，圆与x 轴相交 解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a 的坐标为____________.解析：由向量平移公式即得a =（－1，2）.答案：（－1，2）5.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________.故所求轨迹方程为x 2+y 2－x －2y －2=0.答案：x 2+y 2－x －2y －2=0[题型探究二]圆的方程的应用：【例1】 （2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由||||PB PA =a （a >0）得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a =1时，方程化为x =0.当a ≠1时，方程化为（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2.所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆.评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M （x ，y ），⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC|.∵AB 为⊙O 的直径，∴MO 垂直平分AB 于O .由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9，而|MC |=|y +3|，∴922++y x =|y +3|.化简得x 2=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程.评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”. 三、方法提升：1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题. 四、反思感悟1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当D 2+E 2－4F =0时，方程表示一个点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F <0时，无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握. 五、课时作业：1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =0解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上. 答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2. 答案：24.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2. 再由d －r =2－1=1，知最小距离为1. 答案：15.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32. 由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵OP ·=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）. ∴所求的直线方程为y =－x +1.6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x －23y =0，求x +y 的最小值.解：原方程为（x +1）2+（y －3）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为x =－1+2cos θ， y =3+2sin θ22sin （θ+4π），当θ=4π5，即x =－1－2，y =3－2时，x +y 的最小值为3－1－22.（θ为参数，0≤θ<2π），则x +y =3－1+2（sin θ+cos θ）=3－+1。
2014-2015东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--二次函数(3)
二次函数（3） 二次函数在高考中占有重要地位，函数的很多题型都与二次函数有关，函数的单调性，奇偶性，周期性，三次函数求导，图象讨论等等，所以二次函数的有关问题必须过关。
五．课时作业三个二次问题（二次函数、不等式、方程）典题：【2014高考江苏卷第10题】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .1. 解关于的不等式：(1) x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0，(2) ．2 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A B ，试求k的取值范围．3．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围．4．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－＜x ＜，解关于x 的不等式qx2x 0222>++mx x ⊆2131＋px ＋1＞0．5．若不等式的解集为，求实数p 与q 的值．6. 设，若，，, 试证明：对于任意，有.7.【尖刀班】 设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.8. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.012>++p qx x p{}42|<<x x ()()f x ax bx c a =++≠20()f 01≤()f 11≤()f －11≤-≤≤11x ()f x ≤54()()02>++=a c bx ax x f ()f x x -=0x x 12,ax x 1021<<<()1,0x x ∈()1x x f x <<9. 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.10.已知实数t 满足关系式 (a >0且a ≠1) (1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式；(2)若x ∈(0,2时，y 有最小值8，求a 和x 的值.11.如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.12.二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足=0,其中m >0,求证：(1)pf ()<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.33log log a y a t a a=]mrm q m p ++++121+m m13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？14. 已知a 、b 、c 是实数，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，g(x)＝ax ＋b ，当－1≤x ≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1；(2)证明：当－1≤x ≤1时，|g(x)|≤2；15. 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称，证明：.()()f x ax bx c a =++>20()f x x -=0x x 12,0112<<<x x a ()f x x x =0x x 012<16. 已知二次函数，设方程的两个实数根为和.（1）如果，设函数的对称轴为，求证：； （2）如果，，求的取值范围. 17. 设,，,求证：(Ⅰ) a ＞0且－2＜＜－1； (Ⅱ)方程在（0，1）内有两个实根.18. 已知二次函数的图象如图所示：（1）试判断及的符号；（2）若|OA|＝|OB|，试证明。
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导数的概念与运算(教案)一、 知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页） 1、 导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()limlim x ox x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义：导数0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()()y f x f x x x -='- 3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 5.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=xyx ∆∆→∆0lim7.几种常见函数的导数： 0'=C (C 为常数)； 1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；1(ln )x x'=；1(log )log a a x e x'=， ()x x e e '= ；()ln x x a a a '=8.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭9.复合函数的导数：（理科）设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'10.复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数11.复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代12.导数的几何意义：是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率，即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 二、题型探究：探究一．用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。
例1：(1).（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷、若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【答案】1-(2). [2014·广东卷10]．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．[解析] : y ＝－5x ＋3 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y＝－5x＋3.(3). [2014·江西卷13]．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．[解析]: (－ln 2，2)设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－e－x.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln 2，此时y＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)．探究二．导数的几何意义例2:已知曲线y=13x3+43.(1)、求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(y=4x-4)（2）、求过点P（0，0）的曲线的切线方程；(y=√43x)（3）、求斜率为1的曲线的切线方程。
(y=x-2;y=x+23)探究三：导数的物理意义例3：某市在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的函数关系可以近似地表示为y=√10t，则在t=40min的降雨强度(f′(40)=0.25)探究四：导数的运算：例4：求下列函数的导数（1）、f(x)=sin2x（2）、f(x)=e x cosx(3)、f(x)=x2+tan x探究五：求导运算后求切线方程x3−2ax2+3x(x∈R)例5：已知函数f(x)=23(1)、若a=1，点P为曲线 y=f(x)上的一个动点，求以点p为切点的切线的斜率取最小值时的切线方程；(y=x+2)3（2）、求函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a。
(a=1)三、方法提升1、用定义求导数的步骤（3）、取极限（1）求函数的改变量∆y；（2）：求平均变化率∆y∆x（2）导数物理意义与几何意义（3）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则；（4）求切线方程时已知点是否切点至关重要。
四、反思感悟：五、课时作业 一、选择题1.[2014·全国卷7]．曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1[解析] 7．C 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.2.设函数()f x ，()g x 在[],a b 上均可导，且()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有(C).A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+3、()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是(C)4、0()sin f x x =，10()()f x f x ='，21()()f x f x ='，…，1()()n n f x f x +='，n N ∈，则f 2013(x) =(A).A sin x .B sin x - .C cos x .D cos x -5、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为(A) .A 430x y --=；.B 450x y +-=；.C 430x y -+=；.D 430x y ++=6、曲线12x y e=在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D) .A 29e 2.B 24e.C 22e.D 2e二、填空题： 7. [2014·新课标全国卷Ⅱ] .设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 的值为 。
[解析] 3, y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3.8、已知1cos ()xf x xe-=，则()f x '=三、解答题：9、求下列函数的导数：()1()21sin y x =+； ()221y x=+()321y x =+； ()411x x e y e +=-；()52sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ()6ln xy e x =⋅()7sin 1cos xy x=+； ()8()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅10．设t ≠o ,点P （t ，0）是函数f (x )=x 3+ax 与函数g (x )=bx 2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。
（1） 用t 表示a ，b ，c ；（2） 若函数f (x )−g (x )在（-1，3）上单调递减，求t 的取值范围。