高数D1_2一元函数微分学(34p)
2.函数的极值
设函数 f (x) 在 U (x0 )内有定义, x 为该邻域内异于 x0 的任意一点,若恒有 f (x) f (x0)(或 f (x) f (x0 ))则称 f (x0 )为 f (x) 在该邻域的极大(小)值. 极大值与极小值
统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式
f (b) f (a) f '( ) (a b) 成立. F(b) F(a) F '( )
(三)导数的应用
1. 函数的单调性
定理1 设函数 f (x)在(a , b)内可导,若对x (a,b) 都有
f '(x) 0(或 f '(x) 0),则称 f (x)在(a , b)内单调增(减) .
点 x 处的微分, 记为dy , 即dy=Ax .
由于x=dx ,
所以
6.微分的几何意义:
当y是曲线y = f (x) 上点的纵坐标
的增量时, dy表示曲线的切线纵坐标的增量.
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7.基本定理
定理1(导数存在的判定定理)
定理2(函数可导与连续的关系) 可导函数必连续,但连续函数未必可导.
.
解法2: 方程两边微分得:
exy (dx dy) sin(xy)( ydx xdy) 0,
[exy xsin(xy)]dy [ ysin(xy) ex+y ]dx,
解得:
dy ysin(xy) exy dx exy xsin(xy) .
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1.罗尔定理 若函数 f (x) 满足条件: (1)在闭区间[a , b]上连续; (2)在开区间(a , b)内可导; (3) 且 f (a) = f (b) ;
则在开区间(a , b)内至少存在一点 使 f '( ) 0.
2.拉格朗日中值定理 若函数 f (x) 满足条件: (1)在闭区间[a , b]上连续; (2)在开区间(a , b)内可导;
解法1: 取对数 lny lnxsinx sinxlnx
等式两边对 x 求导数: 1 y' cosxlnx sinx
y
x
则有: y' xsinx (cosxlnx sinx). x
解法2: 作指数对数恒等变形:
y xsinx eln(xsinx ) = esinxlnx , y = (esinxlnx ) = esinxlnx (sinx lnx)
3.函数的最值 求连续函数 f (x)在[a , b]上的最值的步骤: (1).求 f (x)在(a , b) 内的驻点及导数不存在的点; (2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值; (3).比较上述函数值, 其中最大者为最大值, 最小者为 最大值.
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4.函数曲线的凹凸性和拐点
x
= lim x0
= lim
x
x0
f (x) f (0)
(x)在 x = 0 处可导的充分必要条件是 f (0) = f (0),
即f (0) = 0 . 故选项(A)正确. 注释: 本题考查函数在一点处可导的充要条件. 解题过程中化简题目的解题技巧应注意掌握.
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方程 f '(x) = 0 的根称为函数 f (x) 的驻点.
定理2. (函数取得极值的必要条件) 设函数 f (x)在点 x0 处可导,且在该点处取得极值,则有
f '(x0 ) = 0. (可导函数的极值点必为驻点)
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定理3.(函数取得极值的第一充分条件)
设函数 f (x)在 U (x0 )内可导,且f '(x0 ) = 0,(或 f (x)在点 x0 处连续但不可导). (1) 若当x 由左至右经过 x0 时 f '(x)由“+”变“–则”, f (x0 )
表示曲线y = f (x)在点
处的切线斜率.
即有
曲线的切线方程为
曲线的法线方程为
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5.微分的定义: 若函数的增量可表示为y=Ax+ ,
其中A是与x 无关的量, 是 x→0时比x 高阶的无 穷小量，则称 y = f (x) 在点 x 处可微 ,并称Ax为f (x)在
2.
f
(1) f f(1)
(1)
e
xf2(1e)
lim
x1 x 1
a lim
x1
b 2
e, xex2
(1) . 2e,
f(1)
lim
x1
ax b xLeabharlann 1elim
x1
ax
ba x 1
b
a.
由 f(1) f(1) a 2e (2). 再代入(1)得 a e .
点称为曲线的拐点.
y
y
y
o x x x 1
x1 x2 2
2
o x x x 1 x1 x2 2 o
x
2
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定理1.(曲线凹凸性的判定定理)
若在(a , b)上
则曲线 y = f (x) 在
(a , b) 上为凹(凸)弧.
定理2.(曲线拐点的判定定理) 若在 处
当x 自左至右经过
则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式 f (b) f (a) f '()(b a ) (a b) 成立.
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3. 柯西中值定理 若函数 f (x) ,F (x) 满足条件: (1)在闭区间[a , b]上连续; (2)在开区间(a , b)内可导且 F'(x) 0;
例7. 设f (x)可导, F(x) f (x)(1 | sinx |)
则 f (0) 0 是F (x)在x=0可导的( A ). (A) 充分必要条件 ; (B) 充分条件但非必要条件; (C) 必要条件但非充分条件; (D) 既非充分条件又非必要条件. 解: 直接计算解此题. 由于F(x) f (x)(1 | sinx |)= f (x) + f (x) | sinx |, 而f (x)可导, 所以F (x)的可导性与 f (x) | sinx |的可导性相同.
分析 f (x) 应满足在 x 1 处连续且可导,即
f (1) f (1) f (1), f(1) f(1).
解 1.
f (1)
lim
x1
f (x)
lim ex2
x1
e,
f (1)
lim
x1
f
(x)
lim(ax b)
x1
a b,
由
12.参数方程确定的函数的导数
例2. 设 解: dx
x 1t2 y cost
2tdt, dy
求 d2y
dx2 sintdt,
.
dy
sintdt
1
sint
.
dx 2tdt 2 t
d2y dx2
d dx
(
dy dx
)
d ( 1 dx 2
sint ) t
d dt
( 1 2
例8 曲线
是___________.
在点(0,1)处的切线方程
解:两边对x求导得:
①
将 x = 0, y = 1 代入①式得: 曲线在点(0,1)的切线方程为 y 1 x. 即为 y x 1.
注释: 本题考查隐函数求导数及导数的几何意义.
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例9 设函数 y y(x) 由方程 y 1 xexy 确定,求
4
5
等式两边对 x 求导数: 1 y' 3 1 2 y x 1 4(2 x) 5(x 3)
则有 y' (x 1)3 4 2 x [ 3 1 2 ] 5 (x 3)2 x 1 4(2 x) 5(x 3)
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(二) 中值定理
y(0), y(0). (exy ) x0 exy ( y xy(x)) x0 1.
y 1
y 1
解 由 y(x) exy xexy ( y xy(x)), (1)
时
变号,则
是曲线y = f (x) 的拐点.
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二﹑典型例题分析与解答
例5. 已知 解:
则 应填−1.
注释: 本题考查导数的定义.
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例6.
设
f
(
x)
ex2
,
x 1 在 x 1处可导,求 a,b.
ax b, x 1
定理3.(函数一阶可导与可微的关系) 可导 可微
定理4.(函数与其反函数的导数的关系) 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
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8.运算法则 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) (7) 设
及
均为可导函数, 则复合函数
可导,且
或
(微分形式不变性)
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sint ) dt t dx
1 tcost sint 1 sint tcost
2 t2 2t
一元函数微分学及其应用
下面的关键是求出dy=A x ∆中的A.若函数在一点0x 处可微时,则有(x)(x),y dy A x οο∆=+∆=∆+∆(x)(x),y A x A x x x xοο∆∆∆∆=+=+∆∆∆∆000(x )(x )l i m l i m l i m .x x x y A A A x x x οο∆→∆→∆→∆∆∆⎡⎤=+=+=⎢⎥∆∆∆⎣⎦ 即 '0(x ).A f =反之,若()f x 在0x 处可导,有'00l i m (x ),x y f x∆→∆=∆ 由函数极限与无穷小的关系可得：'0(x ),y f xα∆=+∆其中α是当0x ∆→时的无穷小,所以 因为(x),x αο∆=∆而(),0f x 与x ∆无关,由微分定义可知，函数在0x 处可微,且(),0.f x A = 定理 ()y f x =在0x 处可微的充分必要条件是函数()y fx =在0x 处可导,且()f x 在可 导点0x 处的微分为,(x).dy f x =∆ （2）若()y f x =在区间I 内每一点处都可微,称()y f x =在I 内可微,其微分为,(x).dy f dx = 当(x)f x =时，(x)(x),df dx x x ==∆=∆所以.dx x =∆因此,可以定义自变量x 的微分dx 为其增量x ∆,即.dx x =∆这样便有,(x)dy f dx =或,(x),dy f dx= 可见,导数就是函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商,因此,导数也成为“微商”. 2.4.2 微分的几何意义如图2—7所示,设点00(x ,y )M 是曲线y (x)f =上一点,当自变量在0x 处有微小增量x ∆时,得到曲线上另一点00(x ,y ),N x y +∆+∆其中MQ ,x =∆QN =过点M 作曲线的切线MT,它的倾角为α,则QP='0tan (x ),MQ f x α=∆即.dy QP =所以，当自变量有改变量x ∆时,y ∆是曲线y=(x)f 上的对应点的纵坐标的增量,dy 则是曲线的切线上对应点的纵坐标的增量.当||x ∆很小的时候,0.y dy x∆-→∆因此在点M 邻近，可以用切线段来近高等数学 62似代替曲线段.2.4.3 微分公式和法则由可导与可微之间的关系'dy (x)dx,f =参照2.2.4中的公式立即可得微分公式和微分 运算法则.下面将函数和、差、商的微分法则和复合函数的微分法则列出来：1） 函数和、差、积、商的求导法则，由函数的和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则.设函数u u(x)=、v v(x)=都可导,则：①d(u v)du dv;±=± ②d(Cu)Cdu =（C 是常数）；③(uv)udv vdu;d =+ ④2d()(v 0).u vdu udv v v -=≠ 2） 复合函数的微分法则设y (u),f =u (x)ϕ=都是可导函数,则复合函数[(x)]y f ϕ=的微分应为'''dy {f[(x)]}()dx (u)(x)dx,dy du dx f du dxϕϕ=== 因为'(x)dx du ϕ=,上式可写成'dy (u)f du = (2)(3)式说明,无论函数(u)y f =中的u 是自变量还是中间变量,它的微分表达形式都是dy='(u)f du ,这称作微分形式的不变性.例1 求函数ln tan 5x y =的微分.解：方法一： ln tan 'ln tan '(5)5ln5(lntanx)x x dy dx dx ==2ln tan ln tan sec ln 55ln 55.tan sin cos x x x dx dx x x x== 方法二：由微分形式不变性,可得ln tan ln tan 15ln 5(lntanx)5ln 5(tanx)tan x x dy d d x ==ln tan 2ln tan ln 5ln 55sec 5tan sin cos x xxdx dx x x x==2. 4. 4 利用微分进行近似计算对可导函数(x),f 当自变量在x 处产生微小该变量x ∆,对应的y 有改变,y ∆由微分与倒数的关系可知,'(x)x,y dy f ∆≈=∆即'(x)x,y f ∆≈∆第2章 一元函数微分学及其应用 63或 '(x x)(x)(x)x.f f f +∆≈+∆(4)式和(5)式称为微分近似计算公式.特别地,当x=0时,在(5)式中用x 代替x,∆得当x 较小时,利用(6)式可得几个函数的近似计算公式:①sinx ;x ≈ ②tan ;x x ≈ ③arcsin ;x x ≈ ④arctan ;x x ≈⑤1;x e x ≈+ ⑥ln(x 1);x +≈ ⑦ 1.x n≈+ 下面证明⑦.证：设(x)f =则11'1(x)(1),n f x n -=+ (0)1,f ='1(0),f n = 由公式（6）得 (x)1.x f n≈+ 上面七个公式的几何意义是：在点x=0的较小邻域内,等式两边的两个函数的图像是“吻合”的.例2 计算（1）ln 0.98; （2 （3）'sin 2930;的近似值. 解:(1)设(x)ln(1x),f =+相当于求自变量x=0.02时,函数(x)f 的函数值.由前面结论④可得ln 0.98ln(10.02)0.02.=-≈-(2)设(x)f 相当于求自变量x=0.02时,函数(x)f 的函数值.由前面结论⑤可得0.021 1.0067.3=≈+= (3)设(x)sin(x),f ='(x)cosx,f =由微分近似公式(5)式,可知'sin 2930sin()sin cos ()636066360o πππππ=-≈+- 0.50000.00760.4924.≈-=习题2—41. 求下列各函数的微分:(1) 3y x 3;x =+ (2) 1y x=- (3) y =(4) 2cos ;1x y x =- (5) 1arcsin(2x);2y = (6) arctan(e ).x y =2.求函数y tanx =在x 4π=处,对应0.05x ∆=的微分值.3.利用微分近似公式,求(1) 0cos29; (2) .4.若方程1x y xe =+确定函数(x),y y =求在x 0=处函数的微分.5.设函数(x)f 可导,求函数2y (x )f =的函数的微分dy.高等数学 642. 5 中值定理在本节,我们学习一元函数微分学的三个基本定理:Rolle 定理、Lagrange 中值定理、 Cauchy 中值定理,它们是导数应用的理论基础.2.5.1 Rolle 定理定理1 如果函数(x)f 满足:(1) 在闭区间[a,b]上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；(3) (a)(b);f f =则至少存在点(a,b),ξ∈使'()0f ξ=(见图2—8).证:若(x)f 在[a,b]上恒为常数,显然定理成立.假设(x)f 在闭区间[a,b]上的最大值为M,最小值为m,且M>m,则M 、m 中至少有一个不等于(a)f .不妨设(a),M f ≠由于(a)(b),f f =这说明最大值M 是在区间(a,b)内取得,由介值定理知道存在(a,b)ξ∈使()M.f ξ=分析该点的导数:'0(x)()()lim 0,x f f f x ξξξξ+→+-=≤- '0(x )()()l i m 0,x f f f x ξξξξ-→--=≥- 而(x)f 在ξ可导,应有'''()()(),f f f ξξξ+-==故只有'()0.f ξ=注:(1)定理表明函数图像在开区间(a,b)内至少存在一条水平切线;(2)定理说明在定理条件下方程'(x)0f =在(a,b)内至善有一个根，因此定理也叫做导数方程根的存在定理;(3)定理的三个条件中若有一个不满足,结论就不一定成立.图2—9给出了不满足其中一个条件时定理不存在的情况.例1 对函数32(x)x 4710f x x =+--在[-1,2]上验证Rolle 定理的正确性.解:(1)(2)0f f -==且(x)f 在[-1,2]上连续,在(-1,2)内可导,满足Rolle 定理的三 个条件.计算导数: '2(x)3x 87,f x =+-由于'(1)12,f -=-'(2)21,f =从而''(1)(2)0.f f -<由零点定理知存在(1,2)ξ∈-使'()0.f ξ=第2章 一元函数微分学及其应用 65例2 已知(x)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4),f =----利用Rolle 定理讨论'(x)0f =根的 情况.解:(x)f 为多项式函数,在(,)-∞+∞内连续、可导.因为(1)(2)(3)(4)0,f f f f ====由Rolle 定理知'(x)0f =有分别位于区间(1,2)、(2,3)、(3,4)内的三个实根.又由于'(x)f 是一个三个多项式,最多有三个实根,所以它只有这三个根.2.5.2 Lagrange 中值定理Rolle 定理中(a)(b)f f =这个条件是比较特殊的,如果取消这个条件,则由下面的 Lagrange 中值定理.定理2 如果函数(x)f 满足:(1) 在闭区间[a,b]上连续;(2) 在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b),使'(b)(a)().f f f b aξ-=-先看一下定理2的几何含义(见图2—10),过连续曲线弧段的两端点(a,f(a)),B(b,f(b))A 作弦AB,其斜率(b)(a),f f k b a-=- 则在(a,b)内至少有一点ξ,过点(,f())ξξ的切线与弦AB 平行.证:引进辅助函数(b)(a)F(x)(x)(x),f f f kx f x b a-=-=-- 则(a)af(b)(a)(b),bf F F b a-==-且(x)F 满足Rolle 定理的另外两个条件，所以至少存在一点 ξ∈(a,b),使''(b)(a)()()0,f f F f b aξξ-=-=-即 '(b)(a)().f f f b aξ-=-注:在Lagrange 中值定理中,若(a)(b),f f =则得Rolle 定理的结论,所以Rolle 定理是Lagrange 中值定理的特殊情况.推论1 若(x)f 在区间I 上可导, '(x)0,f ≡则在I 上(x)f C ≡(C 为常数). 证:在区间I 上任取两点12,,x x 且12x x <,在区间12[,x ]x 上应用Lagrange 中值定理得： 存在12[,x ]x ξ∈使'2121(x )f(x )(),f f x x ξ-=-,但'(x)0,f ≡故12(x )(x ).f f =由12(,)x x 的任意性,可知(x)f 在区间I 上式一个常值函数.推论2 若函数(x),g(x)f 在(a,b)内可导,且对任意(a,b),x ∈有''(x)(x),f g =则。
第2章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。
(优选)一元函数微分学ppt讲解
x0 x
1
(二)导数的运算 • 基本初等函数的导数公式
导数的四则运算法则
设u=u(x),v=v(x)都可导，则
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
隐函数求导法则
设y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，求y′,只需直接由方 程F(x,y)=0关于x求导，将y当做中间变量，依复 合函数链式法则求之。
★ f (x)在开区间(a,b)内的导函数为f '(x)
f '(a ) lim f '(x) xa
f '(b ) lim f '(x) xb
称为导函数的右极限 称为导函数的左极限
★ 设f (x)在闭区间[a,b]连续， 开区间(a,b)内的可导，记导函数为f '(x) 若f '(a 0)存在，则f (x)在a点右可导， 若f '(b 0)存在，则f (x)在b点左可导
记为y
，dy xx0 dx
或 df (x)
x x0
Hale Waihona Puke dxx x0关于导数的说明：
★ 导数是因变量在点x0处的变化率，它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. ★ 如果函数 y f (x)在开区间I内的每点
处都可导，就称函数f (x)在开区间I内可导.
★ 对于任一x I ,都对应着f (x)的一个确定的
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
一元函数微分学
导数与微分一、 知识要点与解题方法归纳1． 概念部分（1） 导数的概念:明确导数定义的结构形式及其等价形式:000000)()(lim )()(lim lim 0x x x f x f x x f x x f x y x x x x --=∆-∆+=∆∆→→∆→∆ （2） 微分的概念（3） 函数可导性与连续性的关系,微分与可导的关系2． 计算部分（1） 基本初等函数的导数公式，微分公式（2） 导数与微分的四则运算公式。
（3） 复合函数的链式法则（4） 隐函数求导法（5） 由参数方程确定的函数的求导法。
（6） 对数求导法（7） 高阶导数的计算（8） 一阶微分形式的不变性。
（9） 对于分段函数在分段点处的导数，通常利用定义求。
二、 典型例题选讲1、设函数)(x f 在0x x =处可导，且,2)(0='x f 则=--→h x f h x f h )()(lim 000 。
2、设0)0(=f ，且极限存在x x f x )(lim 0→，则x x f x )(lim 0→等于 ？3、若,2)(0='x f ,0)(0=x f 则=-∞→)1(lim 0h x hf h ？4、设y e x e x y e x e '+++=求,ln 。
5、求),sin(1x e y =dx dy6、求由方程022=+-xy e xy 确定的隐函数的导数dx dy。
7、设函数y x y x '=求,sin 。
8、设函数)(x y y =由参数方程t t t y t x cos sin ,cos -==确定，求dx dy 。
9、设y x x x x y '++++=求,)4(3)12()1(32。
10、讨论⎩⎨⎧<<--+≤<-+=101101)1ln()(x x x x x x f 在点0=x 处的连续性与可导性。
11、设)1ln()(x x f +=，则=-'')1(f 。
第2章--一元函数微分学
即 y lim f ( x x) f ( x)
x0
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 .
12
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函 数.
播放 13
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 y f (x x) f (x);
,
解得
x01
1,
x02
1,
从而知过点(0,-1)可作两条直线与 y x2 相切，
其斜率分别为 k1 2, k2 2,
二直线方程分别为 y 1 2x, y 1 2x.
19
四、可导与连续的关系
定理 若函数y=f(x)在点x0 处可导 则它在点x0 处必定连续 .
证明 设函数 f ( x)在点 x0可导,
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
57
三、复合函数和隐函数的求导法
1、复合函数的求导法则
定理 如果函数u ( x)在点 x0可导 , 而y f (u)
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点
★ 若函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导，且在左端 点处右可导和右端点处左可导，则称函数f(x)在闭 区间[a,b]内可导。
11
★对于任一x∈ I,都对应着 f (x) 的一个确定的 导数值， 这个函数叫做原来函数f ( x) 的导函数.
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
一元函数微分学
一元函数微分学一元函数微分学教案引言：微分学是高等数学的重要分支，它研究的是函数的变化规律和局部性质。
一元函数微分学是微分学的基础，是学习微分学的第一步。
本教案将从函数的极限、导数的定义和性质、微分中值定理以及应用等方面进行论述，帮助学生全面理解一元函数微分学的基本概念和方法。
一、函数的极限1. 函数的极限的概念函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个常数。
通过引入极限的概念，可以研究函数在某一点的趋势和变化规律。
2. 函数极限的性质函数极限具有唯一性、局部性和保号性等性质。
唯一性指函数极限只有一个确定的值；局部性指函数在某一点的极限与该点附近的函数值有关；保号性指函数在某一点的左右极限可以确定函数在该点的取值范围。
二、导数的定义和性质1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的定义是极限的一种特殊形式，通过求函数在某一点的极限可以得到函数在该点的导数。
2. 导数的性质导数具有线性性、乘积法则、商法则和复合函数法则等性质。
线性性指导数具有加法和乘法的线性性质；乘积法则指导数的乘积等于函数的导数与函数的乘积之和；商法则指导数的商等于函数的导数与函数的商之差；复合函数法则指导数的复合函数等于函数的导数与外函数的导数的乘积。
三、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理是微分中值定理的一种特殊形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且在两个端点处的函数值相等，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于零。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一般形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于函数在两个端点处的斜率。
四、应用1. 函数的单调性和极值通过导数的正负可以判断函数的单调性和极值。
当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减；当导数等于零时，函数可能存在极值。
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学是微积分的重要内容之一，主要研究函数的变化率、斜率、极值、凹凸性等性质。
以下是一元函数微分学的内容概要总结：
1. 导数与微分，导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率，常用符号表示为f'(x)或者dy/dx。
微分是函数在某一点附近的线性近似，常用符号表示为dy。
2. 函数的求导，通过求导可以得到函数在某一点的导数，可以通过极限的定义或者导数的运算法则进行求导。
3. 导数的应用，导数可以用来求函数的极值，判断函数的增减性和凹凸性，求曲线的渐近线，解决最优化问题等。
4. 微分方程，微分方程是关于未知函数及其导数的方程，是自然科学和工程技术中描述变化规律的重要数学工具。
5. 泰勒公式，泰勒公式是函数在某点附近的多项式逼近公式，可以用来近似计算函数的值。
6. 函数的高阶导数，除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等高阶导数，可以描述函数的曲率、加速度等性质。
7. 微分学与积分学的关系，微分学和积分学是微积分的两大分支，它们之间通过微积分基本定理建立了联系，即导数与原函数的
关系。
以上是一元函数微分学的内容概要总结，涵盖了导数与微分、
函数的求导、导数的应用、微分方程、泰勒公式、高阶导数以及微
分学与积分学的关系等内容。
希望能对你有所帮助。
第三章-一元函数微分学
第三章 一元函数微分学§3.1 基本概念与主要结果例1 设)(x f 定义在()+∞,0上且在1=x 处可导, 对任意0,>y x 有()()()y xf x yf xy f +=, 证明 )(x f 在()+∞,0上处处可导, 并求)('x f 与)(x f . 证明 令1==y x ，得)1(f =2)1(f ,)1(f =0, 当0>x 时有()()=-+h x f h x f ()=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+hx f x h x f 1.1()()()=--⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+hxf x f x h xf x f x h 111()+xx f ()xhf x h f 11-⎪⎭⎫ ⎝⎛+,于是)('x f ()()=-+=←h x f h x f x 0lim ()()1'f x x f +.下面解微分方程()1'f x y dx dy += （1）.令x y u =，即ux y =，有u dx du x dx dy +=，代入（1）式化简得()xf dx du 1'=，即()Cx x x f u +=ln 1'.令1=x ,得0=C ,故()()x x f x f ln 1'=,()()).ln 1(1''x f x f +=例2 设)(x f 在[]b a ,上可导, ()()0==b f a f , 导数)('a f 与)('b f 存在且)('a f .0)('>b f . 证明 存在()b a c ,∈使得()0=c f .证明 不妨设0)('>a f ,0)('>b f ,由于()()=--+←ax a f x f ax lim 0)('>a f ,存在01>δ,当()11,δ+∈a a x 时，()()011>--ax a f x f 由01>-a x 得()()01=>a f x f .又由()()=---←bx b f x f b x lim0)('>b f ,存在02>δ,当()b b x ,22δ-∈时, ()()022>--b x b f x f ,从而()()02=<b f x f .取充分小,1δ 2δ使得-<+b a 1δ 2δ. 从而有21x x <,在],[21x x 上利用连续函数的介值性定理存在()()b a x x c ,,21⊂∈使得()0=c f .例3设)(x f 在(,)-∞+∞上二阶导数连续，且0)0(=f ，定义函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≠==0,0,0')(x xx f x f x g ,证明 )(x g 在(,)-∞+∞上有一阶连续的导函数.证明 显然当0≠x 时, )(x g 是连续的,又 ()()()()()0'00lim limlim 00f x f x f x x f xg x x x =--==←←→()0g =,故)(x g 在(,)-∞+∞上连续.由导数的定义,()()()=--=←00lim 0'0x g x g g x ()()=-←x f x x f x 0'lim 0()()=-←200'lim xxf x f x ()()().20''20''lim 0f x f x f x =-←因此)(x g 在0=x 处可导,从而)(x g 在(,)-∞+∞上处处可导.当0≠x 时, ()=x g ',()()2'xx f x xf -, 由于()=→x g x 'lim 0()()20'lim xx f x xf x -→()x x xf x 2''lim 0→=()2''lim 0x f x →=()20''f =()0'g =. 因此)('x g 在0=x 处连续, 从而)('x g 在(,)-∞+∞上处处连续.例4 设)(x f 在[]b a ,上可导，证明)('x f 具有介值性即[]b a x x ,,21∈∀（不妨设21x x <）及介 于)('1x f 与)('2x f 之间的任意值μ，存在()21,x x ∈ξ使得μξ=)('f .证明 不妨设()21')('x f x f <<μ，令()x x f x F μ-=)(.则)(x F 在[]b a ,上连续且()μ-=)(''x f x F .由连续函数的最值定理,)(x F 在[]b a ,上有最小值, 设最小值点为ξ.由于()0)(''11<-=μx f x F ,故存在],[21x x x ∈使()()011<--x x x F x F ,从而()()()ξF x F x F ≥>1,即ξ≠1x ,类似可证ξ≠2x .由Fermat 定理(极值的必要条件), 0)('=ξF ,即μξ=)('f .注 此结论称为达布定理, 也称为导数的介值性定理.推论 若)(x f 在()b a ,内处处可导, 则)('x f 不能有第一类间断点,即具有第一类间断点的函数不存在原函数.证明 因)(x f 在()b a ,内处处可导, 所以对任意()b a x ,0∈,当0x x >时, )(x f 在],[0x x 上满足拉格朗日中值定理的条件, 故存在()x x ,0∈ξ, 使得()()()ξ'00f x x x f x f =--.又x x <<ξ0,故+→0x x 时有+→0x ξ,于是有()()()()=--==+→+000'0lim'x x x f x f x f x f mx x ()()0''lim 00+=+→x f f x ξξ,这说明)('x f 在0x 处有右极限时必有()=0'x f ()()0''lim 00+=+→x f f x ξξ,同理可证若)('x f 在0x 处有左极限时有()=0'x f ()()0''lim 00-=-→x f f x ξξ.所以在()b a ,内任意一点0x 处除非至少有一侧)('x f 无极限（这时0x 为)('x f 的第二类间断点），否则)('x f 在此处连续即.()=-0'0x f ()=0'x f ()0'0+x f .例5 设)(x f 在()b a ,内可导且()0'+a f ()x f ax 'lim +→=存在.证明 (1) ()0+a f ()x f ax +→=lim 存在；(2) 若补充定义()a f ()x f ax +→=lim ,则右导数()a f '+存在且()=+a f '()0'+a f .证明 (1) 设()0'+a f ()l x f ax ==+→'lim , 由极限的局部有界性, 存在01>δ,当()1,δ+∈a a x时，()1'<-l x f ,由此得()l x f +<1'.0>∀ε, ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=∃l 1,min 1εδδ,当()δ+∈a a x x ,,21时,由拉格朗日中值定理, ()()()()εδξ<+<-=-l x x f x f x f 1'2121其中ξ介于21,x x 之间.由柯西收敛准则, ()0+a f ()x f ax +→=lim 存在.(2) 补充定义()a f ()x f ax +→=lim ,当()b a x ,∈时,由拉格朗日中值定理,()()()()a x f a f x f -=-ξ',其中ξ介于x a ,之间,当+→a x 时有+→a ξ且()()()=--=+→+ax a f x f a f ax lim '()()0''lim +=+→a f f a ξξ.推论 若)(x f 在()b a ,内可导且()0'+a f ,()a f '+都存在, 则()=+a f '()0'+a f .例6 设)(x f 在[]b a ,上连续, ()()b f a f =,且在()b a ,内有连续的右导数)('x f +()()hx f h x f x -+=+←0lim ()b x a <<，试证存在()b a ,∈ξ使()0'=+ξf . 证明 （1）若≡)(x f 常数,则0)('≡+x f ,结论显然. (2)若)(x f 不恒为常数,则只需证()b a ,,∈∃βα分别有()0'≤+αf ，()0'≥+βf 则由)('x f +的连续性，便知结论成立.事实上,由)(x f 在[]b a ,上连续,故在[]b a ,上必有最大最小值,而()()b f a f =,因此最值至少有一个在内部达到.设()b a ,∈α为)(x f 的最大值点（内部为最小值点类似讨论）,于是()α'+f ()()0lim ≤--=+←ααεx f x f x .任取一点()α,a c ∈,因)(x f 在[]α,c 上连续,)(x f 在[]α,c 上必有一点αβ<达到了最小值,于是()β'+f ()()0lim ≥--=+←βββx f x f x ,故我们的目的达到了.§3.2 微分中值定理及其应用例1 设)(x f 在[]b a ,上可导,()()0==b f a f , 导数)('a f 与)('b f 存在且)('a f .0)('>b f . 证明方程()0'=x f 在()b a ,内至少有两个根.证明 由§3.1中例2的结论知存在()b a c ,∈使得()0=c f .在[]c a ,,[]b c ,上分别使用罗尔定理，()c a ,1∈∃ξ与()b c ,2∈ξ使得()()0''21==ξξf f ,从而结论得证.例2 设)(x f 在[]b a ,上非负且三阶可导, 方程()0=x f 在()b a ,内有两个不同的实根 证明存在()b a ,∈ξ使得()0'''=ξf .证明 设函数)(x f 在()b a ,内两个不同的实根为21x x <且()()021==x f x f .由罗尔定理, ()21,x x c ∈∃使得()0'=c f (1).又()0≥x f ,从而21,x x 为f (x )的极小值点,由Fermat 定理,()()0''21==x f x f (2).对)('x f 在[]c x ,1,[]2,x c 上用罗尔定理,则()c x x ,13∈∃,()24,x c x ∈∃使得()()0''''43==x f x f .再对)(''x f 在[]43,x x 上用罗尔定理,存在()()b a x x ,,43⊂∈ξ使()0'''=ξf .例3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导, 过点()()a f a A ,与点()()b f b B ,的直线与曲线()x f y =于 点()()c f c C ,，其中b c a <<.证明存在()b a ,∈ξ,使得()0''=ξf .证明 由条件对)(x f 在[]c a ,,[]b c ,上分别使用拉格朗日中值定理，()c a ,1∈∃ξ与()b c ,2∈ξ使得()()()AC k ca c f a f f =--=1'ξ,()()()CB k b c b f c f f =--=2'ξ,由于C B A ,,三点共线,故对)('x f 在[]b a ,上应用罗尔定理, 存在一点()()b a ,,21⊂∈ξξξ,使()0''=ξf .例4 设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()0==b f a f . 试证对任意的()+∞∞-∈,α,存在()b a ,∈ξ,使得()()ξαξf f ='.注 由()()ξαξf f =',可得()()0'=-ξαξf f ，即ξ为()()0'=-x f x f α的零点.又()[]=-'xe xf α()x e x f α-'()x e x f αα--,令()()x e x f x F α-=,检验罗尔定理的条件,这是显然的.例5 若)(x f , )(x g 在[]b a ,上可导且0)('=x g ,则存在()b a ,∈ξ,使得()()()()()()ξξξξ''g f b g g f a f =--. 证明 构造函数()()()()()()()x f b g x g a f x g x f x F --=,检验罗尔定理的条件,这是显然的.例6 设)(x f , )(x g 在[]b a ,上可导,且[]b a x x ,,21∈∀,21x x ≠,有()()021==x f x f . 证明存在()b a ,∈ξ,使()()()0''=+ξξξg f f .证明 构造函数()()()x g e x f x F =,检验罗尔定理的条件,这是显然的.例7 设)(x f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,()00=f ,且对任意()1,0∈x 都有()0≠x f 。
高等数学第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分甲 内容要点一．导数与微分概念 1．导数的定义设函数()x f y =在点0x 的某邻域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商） 记作()0x f '，或0x x y ='，0x x dx dy =，()0x x dx x df =等。
并称函数()x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆， 则()()()0000limx x x f x f x f x x --='→我们也引进单侧导数概念。
右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。
切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()()()0001x x x f x f y -'-=-()()00≠'x f 设物体作直线运动时，路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则()0t f '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
一元函数微分学.docx
一元函数微分学第2章一元函数微分学教学耍求1・知道极限概念数列极限、函数极限、左右极限知道极限存在的充分必耍条件2•了解无穷小量概念了解无穷小量与无穷大量的关系知道无穷小量的性质如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量3•掌握极限的四则运算法则掌握两个重要极限掌握求极限的一般方法4•了解函数在一点连续的概念知道左连续和右连续的概念知道函数在一点间断的概念会求函数的间断点5•理解导数定义会求曲线的切线知道可导与连续的关系6•熟练掌握导数基木公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则掌握求简单隐函数的导数7 •了解微分概念会求函数的微分&知道高阶导数概念会求函数的二阶导数本章重点极限的计算导数的概念导数、微分的计算木章难点极限的概念复合函数导数的计算内容结构课堂教学-经济数学基础教学设计一、极限的概念 附课件演示极限一教师主页—电大在线3、函数极限二 xfxx 01im=A 1 当x Ox 吋有Axf )(记作xf )(记作xfxx Olim=A3 当xOx吋有Axf )(记作xfxxOlim 二A注意 1 当xOx时极限存在的充要条件是左、右极限相等即xfxxOlim 二 A xfxx 01im= xfxx Olim二A这充要条件常用于讨论分段函数在分段点处的极限是否存在例题3 另见导学17页跟我练习2 极限存在的两个前提条件①确定自变量的变化过程②在这一变化过程中函数值f(x)无限地逼近于一确定的常数A4、常用的一些基本极限详见导学16页附0二、无穷小量详见导学17页1、定义极限为零的量必须注明自变量的变化过程跟我练习2、性质①有限个无穷小量的代数和、乘积仍是无穷小量②无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量3、无穷小量的倒数——无穷大量内容讲解*无穷小量三、函数的连续与间断1、定义内容讲解*函数的连续性设函数xf在点Ox的邻域内有定义若满足001 imxfxfxx则称函数xf在点Ox处连续.点Ox是xf的连续点.函数f (x)在Ox处连续等价于f (x)在Ox处左、右都连续2、初等函数在其定义域内都连续其极限值等于函数值即OOlimxfxfxx跟我练习3、分段函数的连续性的判断根据分段点处是否左右都连续例题1例题2跟我练习四、求极限的方法1、极限的四则运算内容讲解*极限的四则运算法则例题12、利用连续性求极限)(limOxfx = f(Ox)例题 33、0型或型极限的计算详见导学19页10型极限的计算方法用分解因式或分式有理化等方法消去极限为零的因子再取极限例题2例题4型极限的计算方法分子、分母同吋除以分母的最高次项不包括系数例题3 导学练习4、利用两个重要的极限求极限详见导学20页⑴XxxsinlimO二 1 （00型）可推广成中心sinlimO0二1 “即三个括号填的代数式必须一致”例题12xlim 1+x1 x二 e 或Olim1二e 都是1型可推广成e中心11 lim 或 elllim 屮心例题235、课后练习连接网页五、导数与微分的概念1、导数的定义 内容讲解*引例2内容讲解*引例3解*引例1内容讲解*导数定义函数y 二f (x)在点Ox 处的导数 是函数在点Ox 处的变化率 数的改变量 y与自变量改变量 x 的比值的极限x 0 跟我练习例题内容讲①用定义计算函数导数的步骤是第一步自变量改变量Ox+ x -Ox时计算函数的改变量y二"0x+ x)-f (Ox)它是x的函数第二步计算比值Xy第三步求极限OlimXXy当极限存在时其极限就是导数值0 /Xf 当极限②左、右导数左导数00值不存在吋函数f(x)在点Ox处不可导。