2020北京人大附中高三(下)统练一数学含答案
北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学4月考参考答案及评分标准
人大附中2019~2020 学年度高三4 月质量检测试题
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题 4 分，共40 分．）
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共30 分）
注：①13题其他合理答案也给分，如：从 2 月10 日开始两个省的新增人数都在下降；2 月10 日两个省的新增人数在一周内都达到了最大值；等等。
要求至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差，并且给出的两个数据信息都是正确，才给满分5 分；若两个结论都没有涉及到平均数或方差，两个数据信息都正确也要扣2 分。
②14题第一个空 2 分，第二个空3 分
三、解答题（本大题共 6 小题，满分85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明）
16.
17.。
北京人大附中2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
北京人大附中2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=2．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．925．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则ST （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 7．复数432iz i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-8．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}69．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4月份)(解析版)
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．（4分）集合A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，3）2．（4分）已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±13．（4分）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y＝x+2B．y＝sin x C．y＝x﹣x3D．y＝2x4．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，则S6＝（）A．10B．9C．8D．75．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣6．（4分）设a，b，c为非零实数，且a＞c，b＞c，则（）A．a+b＞c B．ab＞c2C．D．7．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．2，且∉S B．2，且∈SC．，且D．，且8．（4分）已知点M（2，0），点P在曲线y2＝4x上运动，点F为抛物线的焦点，则的最小值为（）A．B．2（﹣1）C．4D．49．（4分）已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）①绕着x轴上一点旋转180°；②沿x轴正方向平移；③以x轴为轴作轴对称；④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称．A．①③B．③④C．②③D．②④10．（4分）设函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解x i（i＝1，2，3，4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）（x3﹣x4）的取值范围是（）A．（0，101]B．（0，99]C．（0，100]D．（0，+∞）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．（5分）在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为．12．（5分）若向量满足，则实数x的取值范围是．13．（5分）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处．①．②．14．（5分）函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为．15．（5分）集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．（13分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足下列3个条件中的2个条件：①函数f（x）的周期为π；②x＝是函数f（x）的对称轴；③f（）＝0且在区间（，）上单调．（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，且PO＝AD＝2BC＝2CD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角O﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得AB⊥DE，若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由．18．（14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）19．（14分）设函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．（15分）设椭圆，直线l1经过点M（m，0），直线l2经过点N（n，0），直线l1∥直线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1⊥x轴，求四边形ABCD的面积；（Ⅱ）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n＝0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．21．（14分）对于正整数n，如果k（k∈N*）个整数a1，a2，…，a k满足1≤a1≤a2≤…≤a k ≤n，且a1+a2+…+a k＝n，则称数组（a1，a2，…，a k）为n的一个“正整数分拆”．记a1，a2，…，a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n；a1，a2，…，a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n．（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，a k）是n的一个“正整数分拆”，且a1＝2，求k的最大值；（Ⅲ）对所有的正整数n，证明：f n≤g n；并求出使得等号成立的n的值．（注：对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，a k）与（b1，b2，…，b n），当且仅当k ＝m且a1＝b1，a2＝b2，…，a k＝b m时，称这两个“正整数分拆”是相同的．）2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．【分析】求出集合B，再求出交集【解答】解：A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＞3或者x＜﹣1}，则A∩B＝（3，+∞），故选：A．2．【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可．【解答】解：因为z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，所以，解可得a＝﹣1．故选：C．3．【分析】分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解．【解答】解：A：y＝x+2为非奇非偶函数，不符合题意；B：y＝sin x的值域[﹣1，1]，不符合题意；C：y＝x﹣x3为奇函数且值域为R，符合题意；D：y＝2x为非奇非偶函数，不符合题意．故选：C．4．【分析】先求出公差，再根据求和公式即可求出．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，∴a3﹣2d+a3+d＝5，∴4﹣d＝5，解得d＝﹣1，∴a1＝2+2＝4，a6＝a1+5d＝4﹣5＝﹣1，∴S6＝＝＝9，故选：B．5．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cosα的值．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设点B（x，y），则x+yi＝（1+2i）•（cos90°+i sin90°），即x+yi＝﹣2+i，∴x＝﹣2，y＝1，即B（﹣2，1）．由题意，sin（α﹣90°）＝＝﹣cosα，∴cosα＝﹣＝﹣，故选：A．6．【分析】利用不等式的可加性得a+b＞2c，由此可判断选项C正确．【解答】解：∵a＞c，b＞c，∴a+b＞2c，∴．故选：C．7．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出个各棱长．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：AB＝BC＝CD＝AD＝DE＝2，AE＝CE＝2，BE＝．故选：D．8．【分析】设出P的坐标，利用已知条件化简表达式，通过基本不等式求解最小值即可．【解答】解：设P（x，y），可得＝＝＝x≥2＝4．当且仅当x＝2时取得最小值4．故选：D．9．【分析】结合图象直接观察得解．【解答】解：由图象可知，函数f（x）具有周期性，且有对称轴，故②④正确．故选：D．10．【分析】由函数的图象及性质判断出x1，x2，x3，x4之间的关系，进而把所求式子转化为函数y＝x﹣在[，1）上取值范围，即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）＝的图象如右：关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解，可得y＝f（x）的图象与直线y＝a有四个交点，可以判断0＜a≤1，x1+x2＝2×（﹣5）＝﹣10，|lgx3|＝|lgx4|≤1，且≤x3＜1，1＜x4≤10，可得﹣lgx3＝lgx4，即lgx3+lgx4＝0，即有x3x4＝1，x4＝，故（x1+x2）（x3﹣x4）＝﹣10（x3﹣），又由函数y＝x﹣在[，1）上递增，可得函数y＝x﹣在[，1）上的值域为[﹣9.9，0），可知﹣10（x3﹣）的取值范围为（0，99]．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式的x8项的系数．【解答】解：二项式（x2+2）6展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•2r＝2r•x12﹣2r，令12﹣2r＝8，解得r＝2，故二项式（x2+2）6展开式中的x8项的系数为：22＝60，故答案为：60．12．【分析】先利用向量数量积的坐标运算得出，再解关于x的不等式即可．【解答】解：因为：向量；∴＝x2+2x；∴⇒x2+2x＜3⇒﹣3＜x＜1；故实数x的取值范围是：（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．【分析】直接由频率折线图得结论．【解答】解：由频率折线图可知，甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．故答案为：①甲省控制较好，确诊人数趋于减少；②乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．14．【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，当x＝0时，2x+＝；当x＝a时，2x+＝2a+，∴2a+≤，∴0＜a≤，故答案为：π；．15．【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．【解答】解：A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，x≥0，y≥0时，即x+y＝a表示在第一象限内的线段将x，y分别换成﹣x，﹣y方程不变，因此|x|+|y|＝a关于x轴对称，也关于y轴对称那么，集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}表示点集为正方形，∵|xy|+1＝|x|+|y|∴|xy|﹣|x|﹣|y|+1＝0即（|x|﹣1）（|y|﹣1）＝0∴|x|＝1或|y|＝1即x＝±1，y＝±1B＝{（x，y）|x＝±1，或x＝±1}，表示2组平行线，A∩B为8个点，构成正八边形①如图1，∠AOB＝45°又A（1，a﹣1），∴tan∠xOA＝a﹣1，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝1，即2a﹣2＝2a﹣a2，∴a2＝2∵a＞0，∴a＝②如图2，∠AOB＝45°又A（a﹣1，1）∴tan∠xOA＝，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝＝1，即2a﹣2＝﹣2a+a2，∴a2﹣4a+2＝0，解得a＝2+或a＝2﹣（舍），综上a＝或a＝2+．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．【分析】（Ⅰ）由题意知应选择①②，由①求出ω的值，由②结合题意求出φ的值，写出函数的解析式；（Ⅱ）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）由题意知选择①②；由函数f（x）的周期为π，得ω＝＝2；又x＝是函数f（x）的对称轴，所以2×+φ＝+kπ，k∈Z；解得φ＝+kπ，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）．（Ⅱ）x∈[0，]时，2x+∈[，]，所以sin（2x+）∈[，1]，所以函数f（x）在x∈[0，]内的值域是[，1]．17．【分析】（Ⅰ）易证四边形AOBC是平行四边形，进而得到AB∥OC，由此得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面OPC及平面PCD的法向量，利用向量公式得解；（Ⅲ）假设存在，设出点E的坐标，通过AB⊥DE时，它们的数量积为0，建立方程即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵O是AD的中点，AD＝2BC＝2，BC∥AD，∴OA∥BC，且OA＝BC＝1，∴四边形AOBC是平行四边形，∴AB∥OC，∵AB不在平面POC内，OC在平面POC内，∴AB∥平面POC；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，四边形OBCD也为平行四边形，又OD＝CD＝1，CD⊥AD，∴四边形OBCD是正方形，则OB⊥OD，又PO⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），P（0，0，2），C（1，1，0），D（0，1，0），，设平面OPC的一个法向量为，则，可取，设平面PCD的一个法向量为，则，可取，设二面角O﹣PC﹣D的平面角为θ，则；（Ⅲ）假设线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE，设E（r，t，s），则（r，t，s﹣2）＝λ（1，1，﹣2）＝（λ，λ，﹣2λ），故，即E （λ，λ，2﹣2λ），∴，又，∴，解得，故线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE．18．【分析】（I ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，再求出结论即可；（II ）根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X ＝0，1，2，求出分布列和数学期望； （III ）根据题意，求出即可．【解答】解：（I ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为， 在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1＝5万人； （II ）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人， 记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，选出的8名男生中随机抽取2人，则X ＝0，1，2， 则P （X ＝0）＝，P （X ＝1）＝，P （X ＝2）＝，X 的分布列如下：x 0 1 2 p故E （X ）＝0，（III ）m 的最小值为4．19．【分析】（Ⅰ）求出函数在x＝2处的导数f′（2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）根据导函数在（1，e）上存在零点，则f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，得到函数f（x）的最小值，构造函数g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．【解答】（Ⅰ）解：根据条件f′（x）＝+2x﹣（a+2），则当x＝2时，f′（2）＝+4﹣（a+2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝+2x﹣（a+2）＝，又因为导函数f′（x）在（1，e）上存在零点，所以f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，且当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（）＝aln+﹣（a+2）＝alna﹣﹣（1+ln2）a，设g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，则g′（x）＝lnx+1﹣﹣（1+ln2）＝lnx﹣﹣ln2，则g′′（x）＝﹣＜0，所以g′（x）在（2，2e）上单调递减，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），所以g（x）＞﹣e2，则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．【分析】（Ⅰ）易知，此时四边形ABCD为矩形，且，由此求得面积；（Ⅱ）设直线l1的方程，并与椭圆方程联立，可得到|AB|的长度，同理可得|CD|的长度，由|AB|＝|CD|，可得m2＝n2，进而得证；（Ⅲ）运用反证法，假设平行四边形ABCD为矩形，但此时推出直线l1⊥x轴，与题设矛盾，进而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，且四边形ABCD 为矩形，∴；（Ⅱ）证明：由题可设，l1：x＝ty+m（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（t2+2）y2+2mty+m2﹣2＝0，∴，且△＝4m2t2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＞0，即t2﹣m2+2＞0，∴＝＝，同理可得，∵四边形ABCD为平行四边形，∴|AB|＝|CD|，即m2＝n2，由m≠n，故m＝﹣n，即m+n＝0，即得证；（Ⅲ）不能为矩形，理由如下：点O到直线l1，直线l2的距离分别为，由（Ⅱ）可知，m＝﹣n，∴点O到直线l1，直线l2的距离相等，根据椭圆的对称性，原点O应为平行四边形ABCD的对称中心，假设平行四边形ABCD为矩形，则|OA|＝|OB|，那么，则，∴x1＝x2，这是直线l1⊥x轴，这与直线l1的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边形ABCD不为矩形．21．【分析】（Ⅰ）由“正整数分拆”的定义能求出整数4的所有“正整数分拆”．（Ⅱ）欲使k最大，只须a i最小，由此根据n为偶数和n为奇数，能求出k的最大值．（Ⅲ）当n为奇数时，f n＝0，满足f n≤g n；当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他对应了各数均为奇数的分拆，从而f n≤g n；当n＝2时，f2＝g2；当n＝4时，f4＝g4；当n≥6时，f n≤g n．由此能证明f n≤g n，并能求出等号成立的n的值为2，4．【解答】解：（Ⅰ）解：整数4的所有“正整数分拆”有：（4），（1，3），（2，2），（1，1，2），（1，1，1，1，）．（Ⅱ）解：欲使k最大，只须a i最小，当n为偶数时，a1＝a2＝…＝a k＝2，k＝，当n为奇数时，a1＝a2＝…＝a k﹣1＝2，a k＝3，k＝．（Ⅲ）证明：①当n为奇数时，不存在a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，即f n＝0，满足f n≤g n；②当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他至少对应了（1，1，…，1）和（1，1，…，1，a1﹣1，a2﹣1，…，a k﹣1）这两种各数均为奇数的分拆，∴f n≤g n；③当n＝2时，a i均为偶数的“正整数分拆“只有：（2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1），f2＝g2；当n＝4时，a i均为偶数的”正整数分拆“只有：（4），（2，2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1，1），（1，3），f4＝g4；当n≥6时，对于每一种a i均为偶数的”正整数分拆“，除了各项不全为1的奇数分拆之外至少多出一个各为1的”正整数分拆“（1，1，…，1），∴f n≤g n．综上，使得f n≤g n中等号成立的n的值为2，4。
2020届北京市人民大学附属中学高考模拟(4月)数学试题解析
2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月）数学试题一、单选题1．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =I （ ） A ．(3,)+∞ B ．(,1)(3,)-∞-+∞U C ．(2,)+∞D ．(2,3)答案：A计算()(),13,B =-∞-+∞U ，再计算交集得到答案. 解：{}()()2230,13,B x x x =-->=-∞-⋃+∞，{}2,A x x x R =>∈，故(3,)A B =+∞I .故选：A . 点评：本题考查了交集运算，属于简单题.2．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±答案：C将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案. 解：因为2222(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，所以20a ->且210a -=，解得1a =-. 故选：C 点评：本题考查复数的基本定义，属基础题.3．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+ B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2xy =答案：C依次判断函数的值域和奇偶性得到答案. 解：A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2xy =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；故选：C . 点评：本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7答案：B 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案.解：3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B . 点评：本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A ．B ．CD ．25-答案：A设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，利用诱导公式即可得到答案.解：如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β==+ 依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A 点评：本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题. 6．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 答案：C取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 解：,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 点评：本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.7．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ，且23SB ．22S ，且3SC ．22S ∈，且23S ∉D ．22S ∈，且23S ∈答案：D首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长. 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体， 如图所示：所以：2AB BC CD AD DE =====，22AE CE ==，22(22)223BE =+=.故选：D.. 点评：本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.8．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ） A 3B ．51)C ．5D ．4答案：D如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案. 解：如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=， 设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x yx x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-，当4x x=，即2x =时等号成立. 故选：D .点评：本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 9．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③ B ．③④C ．②③D ．②④答案：D计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 解：()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in 2x f x xx x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D . 点评：本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A ．(]0101， B ．(]099， C ．(]0100， D ．()0+∞，答案：B画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 解：()21010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .点评：本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.二、填空题11．在二项式()622x +的展开式中，8x 的系数为________. 答案：60直接利用二项式定理计算得到答案. 解：二项式()622x +的展开式通项为：()6212216622rr r r rr r T Cx C x --+=⋅=⋅，取2r =，则8x 的系数为226260C ⋅=.故答案为：60. 点评：本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．若向量()()221a x b x ==r r ，，，满足3a b ⋅<r r ，则实数x 的取值范围是____________.答案：()3,1-根据题意计算223a b x x ⋅=+<r r，解得答案. 解：()()221a x b x ==r r ，，，，故223a b x x ⋅=+<r r ，解得31x -<<.故答案为：()3,1-. 点评：本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13．函数()24f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________. 答案：π8π直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.解：()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 点评：本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 14．集合{}(,),0A x y x y a a =+=>，{}(,)1B x y xy x y =+=+，若A B I 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________①a 的值可以为2；②a 的值可以为2； ③a 的值可以为22+； 答案：②③根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算AC ：()21y x =-，得到()1,21A -，()21,1C+，得到答案.解：如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，集合B ：1xy x y +=+，故()()110x y --=，即1x =或1y =， 集合A ：x y a +=，A B I 是平面上正八边形的顶点所构成的集合， 故AC 所在的直线的倾斜角为22.5︒，tan 22.521AC k =︒=-，故AC ：()21y x =-，解得()1,21A -，此时2a =，()21,1C+，此时22a =+.故答案为：②③.点评：本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.三、双空题15．在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.①_________________________________________________. ②_________________________________________________.答案：甲省比乙省的新增人数的平均数低 甲省比乙省的方差要大 直接根据折线图得到答案. 解：根据折线图知：①甲省比乙省的新增人数的平均数低；②甲省比乙省的方差要大. 故答案为：甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大. 点评：本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.四、解答题16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足下列3个条件中的2个条件：①函数()f x 的周期为π； ②6x π=是函数()f x 的对称轴；③04f π⎛⎫=⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调.（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域. 答案：（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域. 解：（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=；由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈；由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意，若②③成立，则264k m ππωπωππ+-=-12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立， 所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.17．在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，//BC AD ，CD AD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，且222PO AD BC CD ====（Ⅰ）求证：//AB 平面POC ； （Ⅱ）求二面角O PC D --的余弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在点E ，使得AB DE ⊥，若存在指出点E 的位置，若不存在请说明理由.答案：（Ⅰ）详见解析；10；（Ⅲ）存在，点E 为线段PC 的中点. （Ⅰ）连结OC ，BC AO =，//BC AD ，则四边形ABCO 为平行四边形，得到证明.（Ⅱ）建立如图所示坐标系，平面PCD 法向量为1(0,2,1)n =u r，平面POC 的法向量2(1,1,0)n BD ==-u u r u u u r，计算夹角得到答案.（Ⅲ）设(,,)E x y z ，计算(,1,22)DE λλλ=--u u u r ，(1,1,0)AB =u u u r，根据垂直关系得到答案. 解：（Ⅰ）连结OC ，BC AO =，//BC AD ，则四边形ABCO 为平行四边形.//AB OC AB POC OC POC ⎧⎪⊄⎨⎪⊂⎩平面平面//AB ⇒平面POC . （Ⅱ）PO ⊥平面ABCD ，CD ADOD BC CD⊥⎧⇒⎨==⎩四边形OBCD 为正方形. 所以OB ，OD ，OP 两两垂直，建立如图所示坐标系，则(1,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)B ，设平面PCD 法向量为1(,,)n x y z =u r ，则1110(0,2,1)0n CD n n PD ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu vu v u u u v ， 连结BD ，可得BD OC ⊥，又BD PO ⊥所以，BD ⊥平面POC ，平面POC 的法向量2(1,1,0)n BD ==-u u r u u u r，设二面角O PC D --的平面角为θ，则121210cos 5||||n n n n θ⋅==⋅u r u u r u r u u r .（Ⅲ）线段PC 上存在点E 使得AB DE ⊥，设(,,)E x y z ，(,,2)(1,1,2)(,,22)PE PC x y z E λλλλλ=⇒-=-⇒-u u u r u u u r(,1,22)DE λλλ=--u u u r ，(1,1,0)AB =u u u r ，102AB DE AB DE λ⊥⇒⋅=⇒=u u u r u u u r ，所以点E 为线段PC 的中点. 点评：本题考查了线面平行，二面角，根据垂直关系确定位置，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数; (Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明)答案：(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 (Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 解：(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===.故分布列为：X1 2 p5141528328()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥.故m 的最小值为4. 点评：本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19．设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 答案：(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 (Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x--==，故02a x=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.解：(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点，设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.点评：本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20．设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l P 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 答案：(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 (Ⅰ)计算得到故1,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛- ⎝⎭，1,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2D ⎛- ⎝⎭，计算得到面积.(Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k mx x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k=-≠-，得到结论. 解：(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N ，故1,2A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220kx k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD =AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=，相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 点评：本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g .(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.) 答案：(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2nk =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n = (Ⅰ)根据题意直接写出答案. (Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时，根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案. 解：(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=.(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==；当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =. 点评：本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(一)(5月份)(有答案解析)
5.答案：D
解析：解：根据几何体的三视图知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何 体，如图所示；
则该多面体的距离最大的两个面为截面三角形， 所以这两个平面三角形对应顶点距离的最大值是面对角线的长，为 2 ． 故选：D． 根据三视图知该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，结合图形得出该多 面体的距离最大的两个面为截面三角形，求出这两个平面三角形对应顶点距离的最大值 是面对角线的长． 本题考查了利用三视图求几何体结构特征的应用问题，是基础题．
第 2 页，共 16 页
（2）设数列{ }的前 n 项和为 Tn，求证： ≤Tn＜ ．
16. △ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且满足
．
（Ⅰ）求 cosA 的值； （Ⅱ）若△ABC 外接圆半径为 3，
，求△ABC 的面积．
17. 已知如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=4，
（x）（e 是自然对数的底数），且 f（0）=1，若关于 x 的不等式 f（x）-m＜0 的解 集中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是______ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分） 15. 已知等差数列{an}的公差 d≠0，它的前 n 项和为 Sn，若 S5=70，且 a2，a7，a22 成等 比数列． （1）求数列{an}的通项公式；
19. 已知函数 f（x）=alnx-ex-1+1，其中 a∈R．
（1）若 x=1 是函数 f（x）的导函数的零点，求 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）≤0 对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数 a 的取值范围．
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题2024.10.28一、单选题1.在空间直角坐标系中，(1,2,1)a = 为直线l 的一个方向向量，(2,,4)n t =为平面α的一个法向量，且//l α，则t =（）A.3B.-3C.1D.-12.若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n，则可能使//l α的是（）А.(1,0,0),(2,0,0)m n ==-B.(1,3,5),(1,0,1)m n ==C.(0,2,1),(1,0,1)m n ==--D.(1,1,3),(0,3,1)m n =-=3.已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）.A.若//,//m n m α，则//n αB.若,m ααβ⊥⊥，则//m βC.若,αγβγ⊥⊥，则//αβD.若//,//,m n m αβα⊥，则n β⊥4.已知向量a = ，单位向量b 满足|2|a b += ,a b的夹角为（）А.π6B.π4C.π3D.2π35.已知,αβ是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，且,a b αβ⊂⊂，则“//a b ”是“//αβ”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.在下列条件中，能使M 与A ，B ，C 一定共面的是（）A.2OM OA OB OC =--B.111532OM OA OB OC=++ C.0MA MB MC ++= D.0OM OA OB OC +++= 7.在斜三棱柱111ABC A B C -中，00,A B 分别为侧棱11,AA BB 上的点，且知001BB A A =，过001,,A B C 的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（）A.2:1B.4:3C.3:2D.1:18.在正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AC 的中点，则异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为（）A.3B.3-C.3-D.39.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点,2O PA AB ==，若//OG 平面EFC ，则AG =（）A.12B.34C.23D.110.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，3BC EC =，点P 在底面正方形ABCD 内移动（包含边界），且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 长度的最大值为（）A.319010C. D.1663二、填空题11.在空间直角坐标系中，点(1,2,1)A -关于xOy 平面的对称点的坐标为_______________.12.如图：矩形A B C D ''''的长为4cm ，宽为2cm,O '是A B ''的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD 的直观图，则四边形ABCD 的周长为______________cm.13.已知向量(2,1,0),(1,0,2)a b ==- ，若向量a kb + 与23a b +的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是______________.14.已知圆锥PO (P 为圆锥顶点，O 为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，A ，B ，C 为底面圆周上三点，若空间一动点Q 满足2(12)PQ xPA yPB x y PC =++-- ，则||PQ的最小值为_____________.15.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）.，则以下结论正确的是____________.（填序号）①BF ⊥平面EAB ;②该二十四等边体的体积为203；③该二十四等边体外接球的表面积为8π；④PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为2.三、解答题16.如图，AB 是圆柱的底面直径且2,AB PA =是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周AB 上靠近点A 的三等分点，点E 在线段PA 上.（1）求圆柱的表面积与体积;（2）求三棱锥P-ABC 的体积;（3）若D 是PB 的中点，求CE DE +的最小值.17.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为BC 的中点，点M 在1BD 上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M 唯一确定，并解答问题.条件①:MA MC =;条件②:EM AD ⊥；条件③://EM 平面11CDD C .（1）求证:M 为1BD 的中点;（2）求直线EM 与平面MCD 所成角的大小;（3）求点E 到平面MCD 的距离.18.如图，在四棱锥P OACB -中，PO ⊥平面ABC ，且10,2PA O =为ABC 的外心，1,30AC BC BAC ︒==∠=.（1）求证://AC 平面PBO ;（2）若点M 在线段PC （不含端点）上运动，设平面PAO ⋂平面PBC l =，当直线l 与平面ABM 所成的角最大时，求二面角O BM A --的正弦值.北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题参考答案2024.10.28一、单选题1.答案:B解析:因为//l α，所以2240a n t ⋅=++=，解得3t =-.故选B.2.答案:D解析：因为//l α，所以m n ⊥ ，即0m n ⋅=，满足条件的只有选项D ，故选D.3.答案:D解析:A://,//m n m α，则//n α或n α⊂，错误;B:,m ααβ⊥⊥，则//m β或m β⊂，错误;C :,αγβγ⊥⊥，则,αβ相交或平行，错误；D://,m n m α⊥，则n α⊥，又//αβ，故n β⊥，正确.故选D.4.答案:C解析:因为a = ，所以||2a = .又|2|a b += ，所以2|2|12a b += ，即224412a a b b +⋅+= ，所以44412a b +⋅+= ，则1a b ⋅= 所以11cos ,212||||a b a b a b ⋅〈〉===⨯.又,[0,π]a b 〈〉∈ ，所以π,3a b 〈〉= .故选C.5.解：//a b 推不出//,//αβαβ也推不出//a b ，所以"//a b "是"//αβ"的既不充分也不必要条件.6.答案:C解析：对于A 选项，由于21101--=≠，所以不能得出M ，A ，B ，C 共面.对于B 选项，由于1111532++≠，所以不能得出M ，A ，B ，C 共面.对于C 选项，由于MA MB MC =--，则,,MA MB MC 为共面向量，所以M ，A ，B ，C 共面.对于D 选项，由0OM OA OB OC +++= 得OM OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以不能得出M ，A ，B ，C 共面.故选C.7.解:设三棱柱111ABC A B C -的体积为V侧棱1AA 和1BB 上各有一动点00,A B 满足001BB A A =，∴四边形00A B BA 与四边形0011A B B A 的面积相等.故四棱锥00C A B BA -的体积等于三棱锥1C ABA -的体积等于13V .则四棱锥0011C A B B A -的体积等于23V .故过001,,A B C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2:18.解:连接DE ，设正四面体ABCD 的棱长为2，因为G ，F 分别为AC ，CD 的中点，则//GF AD ，所以异面直线AE ，FG 所成角为DAE ∠（或其补角），在ADE 中，则2AE DE AD ===，由余弦定理可得2223cos23AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅，所以异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为33.9.答案:C解析:以A 为坐标原点，,,AB AD AP的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.由题意可得002200P B (，，),(，，),020220D C (，，),(，，),110O (，，)，则(1,0,1),(0,1,1)F E ，所以(1,2,1),(1,1,0)FC FE =-=-.设平面EFC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0,n FC n FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,0,x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩解得,3,y x z x =⎧⎨=⎩令1x =，则1,3y z ==.所以平面EFC 的一个法向量为(1,1,3)n =.因为//OG 平面EFC ，所以0n OG ⋅=.设(0,0,)G a ，则(1,1,)OG a =--，所以1130a --+=.解得23a =，所以20,0,3G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即23AG =.故选C.10.答案:B解析:依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,0,3),(1,3,0),(3,3,3)D E B，设(,,0)(,[0,3])P x y x y ∈，所以11(3,3,3),(1,3,3)B P x y D E =---=-，则11330B P D E x y ⋅=+-=，则33x y =-，所以0333y ≤-≤，即[0,1]y ∈.而1B P == ，由二次函数的单调性可知22391061810181010t y y y ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，当1y =时，max 22t =，则1maxB P =.故选B.二、填空题11.答案:(1,2,1)解析:点(1,2,1)A -关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,1).12.解：由斜二测画法知：与x 轴平行或重合的线段其长度不变、与横轴平行的性质不变；与y 轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与y '轴平行的性质不变.还原出原图形如图所示的平行四边形，其中4cm,22AB A B OC O C ''''====⨯=，6cm BC ∴==，所以原图形的周长为2(46)20cm ⨯+=.13.答案:11|4{k k >-且32k ⎫≠⎬⎭解析：因为(2,1,0),(1,0,2)a b ==- ，所以(2,1,2),23(1,2,6)a kb k k a b +=-+= .因为向量a kb +与23a b +的夹角为锐角，所以()(23)22121140a kb a b k k k +⋅+=-++=+> ，解得411k >-.当()//(23)a kb a b ++ 时，212126k k -==，解得32k =，所以实数k 的取值范围为11|4{k k >-且32k ⎫≠⎬⎭.14.答案解析:因为2(12)PQ xPA yPB x y PC =++-- ，所以22PQ PC xPA xPC yPB yPC -=-+- ，即2CQ xCA yCB =+ ，所以,,CQ CA CB共面.又A ，B ，C 为底面圆周上三点，所以点Q 为平面ABC 上一点.由题意知PO ⊥平面ABC ，所以||||PQ PO ≥ ，又圆锥PO 的轴截面是边长为2的等边三角形，所以||PO = ，所以||PQ的最小值.15.答案:②③④解析:将几何体补成正方体1111ORLI O R L I -，以点O 为坐标原点，1,,OR OI OO 所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.对于①，100210AB (，，)，(，，)，201221E F (，，)，(，，)，所以(0,1,1),(1,1,0)BF AB == ，则0BF AB ⋅≠，故①错误;对于②，该二十四等边体是在正方体1111ORLI O R L I -上截去8个全等的三棱锥而成，且三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高为1，故该二十四等边体的体积3211202811323V =-⨯⨯⨯⨯=，故②正确;对于③，易知正方体1111ORLI O R L I -的中心(1,1,1)X为该二十四等边体外接球的球心，且该球的半径为XA ==，因此，该二十四等边体外接球的表面积为28π=，故③正确；对于④，易知平面EBFN 的一个法向量为(1,0,0),(1,2,2),(2,1,2)n P N = ，所以(1,1,0)PN =-，所以cos ,2||n PN n PN n PN ⋅〈〉===‖，故PN 与平面EBFN所成角的正弦值为2，故④正确.故答案为②③④.三、解答题16.解:（1）圆柱的底面直径2AB =，故半径1r =，且高2h PA ==，可得圆柱的表面积为222π2π2π12π126πS r rh =⨯+=⨯+⨯⨯=圆柱，圆柱的体积为22ππ122πV r h ==⨯⨯=.（2）因为点C 是圆柱底面圆周AB 上靠近点A 的三等分点，且2AB =，而ABC 为直角三角形，从而30ABC ︒∠=，得1,AC BC ==，所以111123323P ABC ABC V S h -==⨯⨯⨯= .（3）将平面PAC 绕PA 旋转到和平面PAB 共面，此时C 点在BA 的延长线上，设为点C '，可得CE DE C E DE '+=+，即当,,C E D '三点共线时，C E DE '+取最小值C D '，由题意π1,342PBA BP BD BP BC BA AC ''∠======+=，所以C D '=，故CE DE +.17.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解析：（1）证明：选条件①:由MA =MC ，根据正方体1111ABCD A B C D -M 为1BD 上的任意一点，所以不成立;选条件②:EM AD ⊥.连接1CD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，由BC ⊥平面11CDD C ，因为1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥，又因为,//EM AD AD BC ⊥，所以EM BC ⊥，因为1,EM CD ⊂平面1BCD ，所以1//EM CD ，又因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点.选择条件③://EM 平面11CDD C .连接1CD ，因为//EM 平面11,CDD C EM ⊂平面1BCD ，且平面1BCD ⋂平面111CDD C CD =，所以1//EM CD ，因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点.（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，1,,DA DC DD 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,1,1)D C E M ，所以(0,2,0),(1,1,1),(0,1,1)DC DM EM ===- ，设平面MCD 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m DC y m DM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1x =，则0,1y z ==-.于是(1,0,1)m =- ，设直线EM 与平面MCD 所成的角为θ，则||1sin |cos ,|2||||m EM m EM m EM θ⋅===⋅ ，所以直线EM 与平面MCD 所成角的大小为30︒，（3）点E 到平面MCD的距离为2||sin sin 302EM θ︒==.18.解析：（1）证明：如图所示，连接OC，因为O 为ABC 的外心，所以OA OB OC ==，又因为1AC BC ==，所以OAC OBC ≅ .所以()111802306022ACO BCO ACB ︒︒︒∠=∠=∠=⨯-⨯=，所以,OAC OBC 均为等边三角形，所以1OA AC BC OB ====，四边形OACB 为菱形，所以//AC OB .又AC ⊂/平面,PBO OB ⊂平面PBO ，所以//AC 平面PBO .（2）记AB OC D = ，因为//,BC AO BC ⊂/平面,PAO AO ⊂平面PAO ，所以//BC 平面PAO .又因为平面PAO ⋂平面,PBC l BC =⊂平面PBC ，所以//BC l .如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x ，y 轴，过点D 且平行于OP 的直线为z 轴建立空间直角坐标系.因为102PA =，所以62OP ==，则311631,0,0,0,,0,0,,,0,0,0,,0222222B C P A O ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以316316,,0,0,1,,,,222222BC BA PC BP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .因为点M 在线段PC （不含端点）上运动，设1)0(PM PC λλ=<< ，所以316,(1)222BM BP PM λλ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭ .设平面ABM 的法向量为()1111,,n x y z = ，则有110,0,n BA n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以11110,316(1)0,222x y z λλ=⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭⎩令12y =，则11231z λλ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以1120,2,31n λλ⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ，设直线l 与平面ABM 所成的角为α，则111sin cos ,||n BC n BC n BC α⋅==12==当且仅当121λ=-，即12λ=时取等号，即M 为PC 中点时，直线l 与平面ABM 所成的角最大，所以1(0,2,0)n = .又3136,,0,,0,2224OB BM ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面OBM 的法向量为()2222,,n x y z = ，则有220,0,n OB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222210,220,24x y x z ⎧-+=⎪⎪+=⎩令21x =，则22y z ==，所以2n = .所以1212122cos ,2n n n n n n ⋅=== ，设二面角O BM A --的平面角为θ，则2sin 2θ==，所以二面角O BM A --的正弦值为2.。
人大附中2020-2021学年度12月考数学答案
人大附中2020-2021学年度高三12月统一练习数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）B （3）C （4）B（5） D （6）C（7）A（8）D（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）240（12）(,[22,)-∞-+∞ （13）11112()(,)(,)22222-- （1432（15）①②③注：第14题第一空3分，第二空2分；第15题不全对得3分，选④得0分． 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以BC AD ∥．…………… 1分 又因为AD PBC ⊄平面，BC PBC ⊂平面， 所以AD PBC ∥平面．…………… 2分 又因为AD ADE ⊂平面，ADE PBC l =平面平面，所以AD l ∥．…………… 3分 又因为AD ABCD ⊂平面，l ABCD ⊄平面， 所以l ABCD ∥平面．…………… 4分（Ⅱ）因为四边形ABCD 是正方形，P A ⏊平面ABCD ，AB AD ABCD ⊂，平面，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． …………… 5分 建立空间直角坐标系A xyz -，如图．不妨设正方形ABCD 的边长为1，设0AP a =>，则(0 0 0)A ，，，(1 1 0)C ，，，(0 1 0)D ，，，(0 0 )P a ，，，因为点E 是线段PC 的中点，所以11( )222E a，，． 所以(1 )1PC a =-，，，(0 1 0)AD =，，，11( )222a AE =，，． …………… 7分 因为1AE BC ==1，所以a =，所以(11 PC =，11( 22AE =，．…………… 8分设平面ADE 的法向量为()x y z =，，n ，则00AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n即011022y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩．， 令1z =，则x =．于是( 1)=n ．……………10分所以2cos PC PC PC⋅-〈〉===，n n n ……………12分 所以直线PC 与平面ADE……………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）设0CD a =>．因为224BC AB AD CD ===， 所以422BC a AB a AD a ===，，． 所以3AC AD DC a =+=．…………… 2分在ABC △中，222222249161cos 2412AB AC BC a a a A AB AC a +-+-===-⋅．…………… 5分 （Ⅱ）所以A ∠为钝角，sinA…………… 7分 又因为ABC △的面积为1sin 2AB AC A ⋅⋅=，所以23a =所以2a =或2-（舍）．……………10分所以BD =……………13分（18）（共14分）解：法一 选择条件①．…………… 1分（Ⅰ）因为123n n a a +=+，*n ∈N ，所以132(3)n n a a ++=+．…………… 3分又因为11a =，所以{3}n a +是首项为134a +=，公比为2的等比数列． 所以1134(2)2n n n a -++=⋅=，123n n a +=-，*n ∈N ．…………… 7分（Ⅱ）假设数列{}n a 中存在三项i j k a a a ，，成等差数列，不妨设i j k a a a ≤≤．所以2i k j a a a +=，即11123232(23)i k j +++-+-=⋅-，1222i k j ++=．……………10分因为21112220n n n n n a a ++++-=-=>， 所以{}n a 为递增数列，i j k <<．所以1122k i j i --++=，与12 2k i j i --+，均为偶数矛盾． 所以假设不成立，结论得证．……………14分法二 选择条件③．…………… 1分（Ⅰ）因为11n n a S +=+，211n n a S ++=+，*n ∈N ，所以2111n n n n n a a S S a ++++-=-=． …………… 3分 所以212n n a a ++=，*n ∈N ．又因为11a =，21111122a S a a =+=+==， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列． 所以12n n a -=，*n ∈N ．…………… 7分（Ⅱ）假设数列{}n a 中存在三项i j k a a a ，，成等差数列，不妨设i j k a a a ≤≤．所以2i k j a a a +=，即111222(2)i k j ---+=⋅，1222i k j ++=．……………10分因为1112220n n n n n a a --+-=-=>， 所以{}n a 为递增数列，i j k <<．所以1122k i j i --++=，与12 2k i j i --+，均为偶数矛盾． 所以假设不成立，结论得证．……………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()(1)ln 2f x x a x a x =-++，0x >． 所以(1)()()1a x x a f x x a x x--'=--+=．因为()f x 在区间(1)+∞，上单调递增， 所以对1x ∀>，(1)()()0x x a f x x--'=≥，即0x a ->． 所以1a ≤．当1a ≤时，对1x ∀>，(1)()()0x x a f x x--'=>， 所以()f x 在区间(1)+∞，上单调递增． 所以a 的取值范围是( 1]-∞，．…………… 4分（Ⅱ）① 当0a ≤时，令()0f x '=，得()1x a =舍或，② 当01a <<时，令()0f x '=，得1x a =或，③ 当1a =时，对0x ∀>，(1)()0x f x x-'=≥（当且仅当1x =时取等号）， 所以()f x 在区间(0)+∞，上单调递增． ④ 当1a >时，令()0f x '=，得1x a =或，当1a =时，1不是极值点； 当1a >或1a <时，1是极值点．……………12分（Ⅲ）存在，满足条件的实数a 的个数为2．……………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）依题意，222224110c a a b a b c a b c ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪>⎩，，，，，解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22182x y +=． …………… 5分（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，(0)M t ，，0t ≠，则(0)N t -，．因为(2 1)P ，，所以直线PM 方程为12t y x t -=+-． 联立2218212x y t y x t ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩-，，得22[(1)2]80x t x t +---=，…………… 7分即222(22)4(1)480t t x t t x t -+--+-=，22(2)[(22)24]0x t t x t --+-+=， 所以2122422t x t t -=-+，221221244222222t t t t y t t t t t ---+-=⋅+=--+-+． 同理2222422t x t t -=++，2224222t t y t t ---=++．……………11分猜想：直线AB 过定点(0)Q u ，，其中u 待定．证明：因为11()QA x y u -，，22()QB x y u -，， 1221222222222222334434 ()()244224422424()22222222222216(2)8(2)448(2)(2)4x y u x y u t t t t t t t t u t t t t t t t t t t t t t t u t t t t u t t t ---------+---=⋅-⋅---+++++-+-+++---=-++-+-=+． 所以当2u =-时，QA QB ∥恒成立．所以直线AB 即直线l 过定点(02)Q -，．……………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）① 因为(1)(2)1r r ==，4222n ==， 所以(1)(2)2n r r =<． 所以表①的“尖点”的个数为0．…………… 2分② 因为(1)(2)3r r ==，4222n ==，(1)(4)1c c ==，(2)(3)2c c ==，2122m ==，所以(1)(2)2n r r =≥，(1)(4)2m c c =≤，(2)(3)2m c c =>， 所以表②的“尖点”为(1 1)，，(1 4)，，(2 1)，，(2 4)，共4个．…………… 4分（Ⅱ）由题知，2m =，设21n k =+，*k ∈N ． （1）当(1)(2)2nr r <，时，数表A 的“尖点”的个数为0； （2）当(1)(2)22n n r r ≥<，时，或当(1)(2)22n nr r <≥，时，数表A 的“尖点”的个数小于或等于n ； （3）当(1)(2)2nr r ≥，时，(1)(2)1r r k ≥+，． 所以(1)(2)(21)(1)(2)22c c c k r r k ++⋅⋅⋅++=+≥+． 因此，(1)(2) (21)c c c k ⋅⋅⋅+，，，中，至多有2k 项不超过1． 所以数表A 的“尖点”的个数不超过4k ，即22n -．…………… 9分构造实例如下：令101 2112 2j j k a j k k k =⎧=⎨=++⎩，，，…，，，，，…，，211 2012 2j j k a j k k k =⎧=⎨=++⎩，，，…，，，，，…，，121n n a a ==，即数表A 为：则(1)(2)12r r k ==+>，(1)(2)(1)12c c c n ==⋅⋅⋅=-==，()22m c n =>．所以此数表的“尖点”的个数为2(1)22n n -=-． ……………10分（Ⅲ）不妨设(1)(2) ()2n r r r u ≤⋅⋅⋅，，，，0(1)(2) ()2nr u r u r m ≤++⋅⋅⋅<，，，， 0(1)(2) ()2m c c c v ≤⋅⋅⋅≤，，，，(1)(2) ()2mc v c v c n m <++⋅⋅⋅≤，，，， u m ≤，v n ≤，u v ∈N ，，m n ，均为偶数．11()()mni j S r i c j ====∈∑∑N ．① 依题意2mnuv =，所以2m u m ≤≤，2n v n ≤≤． 所以1()24mi n mn S r i u ==≥⋅≥∑，13()()224n j m mv mnS c j v m n v mn ==≤⋅+⋅-=-≤∑． 因此，344mn mn S ≤≤，S ∈N ． ……………13分②（1）当1 2 2m i =⋅⋅⋅，，，，1 2 2nj =⋅⋅⋅，，，时，令1ij a =，当1 2 22m mi m =++⋅⋅⋅，，，，1 2 j n =⋅⋅⋅，，，时，令0ij a =， 则2m u =，v n =，2mn uv =．此时，S 可为42mn mn S S ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 中任一元．……………14分（2）当1 2 2m i =⋅⋅⋅，，，，1 2 2nj =⋅⋅⋅，，，时，令0ij a =，当12 i m =⋅⋅⋅，，，，1 2 22n nj n =++⋅⋅⋅，，，时，令1ij a =， 则u m =，2n v =，2mn uv =．此时，S 可为324mn mn S S ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 中任一元．……………15分综上所述，S 的取值范围为344mn mn S S ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭N ．。
北京市人大附中2020届高三第二学期数学统练试题及答案(一)
人大附中高三下学期数学统练（一） 3.24一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.若复数a+i 2i的实部与虚部相等，则实数a =（）A.−1B.1C.−2D.22.若集合A ={y |y =sinx,x ∈R },B ={−2,−1,0,1,2},则集合(∁R A)∩B 等于() A.{−2,−1} B.{−2,−1,0,1,2}C.{−2,−1,2}D.{−2,2}3.如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m,n ，则图形Ω面积的估计值为（） A.ma nB.namC.ma 2nD.na 2m4.下列函数中，为偶函数且有最小值的是() A.f (x )=x 2+x B.f (x )=|lnx | C.f (x )=xsinxD.f (x )=e x +e −x5.在四边形ABCD 中，“∃λ∈R,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.从原点向圆x 2+y 2−12y +27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π7.双曲线的左右焦点分别为F 1,F 2且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若∆F 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为() A.√2B.1+√2C.1+√3D.2+√38.已知函数f (x )=log 2x −2log 2(x +c ),其中c >0.若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1，则c 的取值范围是（） A.(0,14]B.[14,+∞)C.(0,18]D.[18,+∞)9.如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)=cos2(ωx+φ)（ω,φ为常数）的图象如图所示（图象经过点(1,0)），那么ω的值为()A．1B．2C．3D.410.如图所示，在平面多边形AQBRCSDP中，SD=PD，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q 及P,D,C,R共线，四边形ABCD是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂直的面有n对，则（）A.n=3B.n=4C.n=5D.n=6二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）11.二项式(2x+1x)5的展开式中x3的系数为.12.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为.13..在∆ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=若B=60°，则sinC=14.设某商品的需求函数为Q=100−5P,，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1（其中EQEP=−Q′QP,Q′是Q的导数），则商品价格的取值范围是.15.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，当x1,x2∈[0,2]且x1≠x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0给出下列命题：（1）且f(2)=0是T=4是函数f(x)的一个周期（2）直线是函数的一条对称轴（3）函数y=f(x)在[−6,−4]上是增函数（4）函数y=f(x)在[−6,6]上有四个零点.其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）（16）(本小题满分14分),a4=4,n∈N∗在等比数列{a n}中，a1=12（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设b n=a n+n−6,，数列{b n}的前n项和为S n，若S n>0，求n的最小值.17.（本小题满分14分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.18.（本小题满分15分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A–DC–B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在,请指明点M的位置；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）已知函数f (x )=12x 2−alnx (a >0).（Ⅰ）若a =2,求f (x )在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f (x )在区间[1,e]上的最小值；（III ）若f (x )在区间[1,e]上恰有两个零点，求a 的取值范围. 20.（本小题满分14分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)、F 2(c,0),|F 1F 2|=4√2,离心率e =2√23.过直线l:x =a 2c上任意一点M ，引椭圆C 的两条切线，切点为A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）①在圆中有如下结论：“过圆x 2+y 2=r 2上一点P(x 0,y 0)处的切线方程为：x 0x +y 0y =r 2".由上述结论类比得到:“过椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0),上一点P(x 0,y 0)处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）. ②利用①中的结论证明直线AB 恒过定点(2√2,0).21.（本小题满分14分）在数列中{a n }中，a n =1n (n ∈N ∗)从数列{a n }中选出k(k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项子列.例如数列12,13,15,18为{a n }的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足−18<d <0;（Ⅲ）如果{c n }为数列{a n }的一个m(m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1+c 2+c 3+···+c m ≤2−12m−1人大附中高三下数学统练一参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.A 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D 9.B 10.C11.80 12.2√3 13.17;1314 14.(10,20)15.（1），（2），（4）；（注：14题少解给3分，有错解不给分）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） （16）(本小题满分14分)解：（I ）由数列{a n }为等比数列，且a 1=12,a 4=4 得a 4=a 1q 3=4,解得q =2,···············2分则数列{a n }的通项公式a n =a 1q n−1=2n−2,n ∈N ∗····················5分 （II ）b n =a n +n −6=n −6+2n−2,S n =(−5−4+···+n −6)+(2−1+20+···+2n−2)=n(n−11)2+2n −12,·················10分当n ≥5时，n(n−11)2≥−15，2n −12≥312，所以S n >0;则n =4时，S 4=−4×7+24−12<0; 当n =3时，S 3=−3×8+23−12<0; 当n =2时，S 2=−2×9+22−12<0; 当n =1时，S 1=−1×10+21−12<0;所以，n 的最小值为5.………………..14分 17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33.………………..4分 （Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，X =35×4+(a −35)×7元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 X 的分布列为：X 136 147 154 189 203P110 310 210 310 110E (X )=136×110+147×310+154×210+189×310+203×110=165510=165.5（元）.………………..11分（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.………………..14分 18.（本小题满分15分）（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ， 又在∆ABD 中，AE ⊥BD 于E ，AE ⊂平面ABD 所以AE ⊥平面BCD ,………………..4分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE ⊥EF . 由题意可知EF ⊥BD ，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以EF,ED,EA 所在直线 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E −xyz , 不妨设AB =BD =DC =AD =2，则BE =ED =1. 由图1条件计算得，AE =√3,BC =2√3,BF =√33则E (0,0,0),D (0,1,0),B (0,−1,0),A(0,0,√3),F (√33,0,),C(√3,2,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 设平面ADC 的法向量为n =(x,y,z)，则 {n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{√3x +y =0,y −√3z =0.令z =1，则y =√3,x =1，所以n =(1,√3,−1), 平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以cos <n,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EA⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|=−√55, 所以二面角A −DC −B 的余弦值为√55··············10分 （III ）设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]由于AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,0,−√3) 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(√33,0,−√3),其中λ∈[0,1], 所以EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33λ,0(1−λ)√3),由EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即√33λ−(1−λ)√3=0,解得λ=34∈(0,1).所以在线段AF 上存在点M 使EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥平面ADC ,且AM AF=34···············15分 19.（本小题满分14分）解：（I ）a =2,f (x )=12x 2−2lnx,f ′(x )=x −2x ,f ′(1)=−1,f (1)=12f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +2y −3=0.………………..3分 （II ）由f ′(x )=x −ax =x 2−a x由a >0及定义域为(0,+∞)，令f′(x)=0,得x =√a .①若√a ≤1,即0<a ≤1,在(1,e)上，f′(x)>0，f(x)在[1,e]上单调递增， 因此,f(x)在区间[1,e]的最小值为f (1)=12②若1<√a <e ,即1<a <e 2,在（1,√a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(√a,e)上， f′(x)>0，f(x)单调递增，因此f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(√a)=12a(1−lna).③若√a ≥e ,即a ≥e 2,在(1,e)上，f′(x)<0，f(x)在[1,e]上单调递减， 因此,f(x)在区间[1,e]上的最小值为f (e )=12e 2−a综上，当0<a ≤1时，f min (x )=12；当1<a <e 2时，f min (x )=12a (1−lna ); 当a ≥e 2时，f min (x )=12e 2−a;····················9分(III)由（II ）可知当0<a ≤1或a ≥e 2时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当1<a <e 2时，要使f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则{ 12a(1−lna)<0f (1)=12>0,f (e )=12e 2−a >0即{a >e a <12e 2,此时，e <a <12e 2所以，a的取值范围为(e,12e2)·············14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由F1F2=4√2，离心率e=2√23得c=2√2,a=3∴b=1椭圆C的方程为：x 29+y2=1;···················5分（Ⅱ）①类比圆的切线方程得：过椭圆C:x 29+y2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为：x0x9+y0y=1···················8分②l的方程为：x=9√24············9分设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M的纵坐标为t，即M(9√24,t),············10分由①的结论MA的方程为x1x9+y1y=1···············11分又其过M(9√24,t)点，∴√2x1+4ty1=4∗同理有√2x2+4ty2=4∗∗·················12分∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)，在直线√2x+4ty=4上············13分当x=2√2,y=0时，方程√2x+4ty=4恒成立，∴直线AB过定点(2√2,0)··········14分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：答案不唯一.如3项子列12,13,16;·················3分（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0，所以d=b2−b1<0.………………4分若b1=1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得b2≤12，所以d=b2−b1≤12−1=−12b5=b1+4d,b5>0,所以4d=b5−b1=b5−1>−1,即d>−14这与d≤−12矛盾。