数学建模 人口迁移的动态分析

数学建模期末考查题数学建模期末考查是检验我们学习情况，也是培养我们的数学建模能力，团队合作能力，也有助于我们思考能力的锻炼，所以数学建模期末题我们会认真对待，用我们所学、尽我们所能的完成它。

我们选择的题是：人口迁移的动态分析。

参与成员：日期： 2010年 12月 15日摘要本文主要是计算A1、A2、A3三地区经过迁移后的人口及人口比例的变化，经过分析列出方程组，利用C程序计算出10年后、100年后三地区的人口数。

由计算所得绘制出人口数量的走势图，加以数据的分析，进而对时间无限的增长各地区人口比例的稳定性进行了很好的分析。

通过对该问题的数学模型建立，培养了团队合作能力，锻炼了我们的发散思维能力，增强了用数学方法解决实际问题的能力。

关键词：人口迁移模型，研究性学习，VC++，递归方法问题重述在工业化的进程中，经济欠发达地区的人口会向经济发达地区迁移，形成一个稳定的朝向城市的人口流动趋势。

假设有三个地区1A 、2A 、3A ，第一年初三个地区的总人口为1亿人，各个地区人口在总人口中的比例分别是25％、35％、40％。

地区1A 每年有人口的1％流向地区2A ，有人口的1％流向地区3A ；地区2A 每年有人口的1％流向地区3A ，有人口的2％流向地区1A ；地区3A 每年有人口的3％流向地区1A ，有人口的2％流向地区2A 。

（1）假如三个地区的总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，问10年以后三个地区的人口各是多少？100年以后呢？时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。

（2）设地区1A 的人口自然增长率5‰；地区2A 的人口自然增长率为7‰；地区3A 的人人口自然增长率为11‰。

并且假定人口迁移是在每年初或年末一次完成的，问10年以后三个地区的人口各是多少？100年以后呢？时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。

问题分析：（1）、我们需要建立一个描述这3个地区人口流动的模型，并求出在多少年后A 1、A 2、A 3地区的人口。

问题假设1、A 1、A2、A 3地区是相对封闭的地区，人口的流动只发生在这3个地区。

2、问题中提过3个地区的总人口不变，所以假设该3个地区的出生率等于死亡率。

在问（2） 中则不是，A 1、A 2、A 3地区的人口是增长的，没个地区的增长率不一样，而迁移的时候是在增长了人口后。

3、假设人口的迁移时是一次性完成的，在每年末完成。

4、每个地区的迁入、迁出的比例不变。

5、符号的说明：A ij （i=1、2、3，j=1、2、3…..）：A i 地区在j 年后的人口数。

r i (i=1、2、3)：为Ai 地区的自然增长率。

问题的解决问题（1）我们从问题中获得的信息可以列出数学表达式如下：设x为总人口数，则: 第一年：A11=0.25*x+0.35*x*0.02+0.40*x*0.03-0.25*x*0.02A21=0.35*x+0.25*x*0.01+0.40*x*0.02-0.35*x*0.03A31=0.40*x+0.25*x*0.01+0.35*x*0.01-.0.40*x*0.05第二年则在第一年的基础上迁移：A12=0.25* A11+0.35* A21*0.02+0.40* A31*0.03-0.25* A11*0.02A22=0.35* A21+0.25* A11*0.01+0.40* A31*0.02-0.35* A21*0.03A32=0.40* A31+0.25* A11*0.01+0.35* A21*0.01-.0.40* A31*0.05第三年则在第二年的基础上迁移…以此类推，用递归的方法可求出某年的A1、A2、A3地区的人口。

问题（2:）：从问题中分析可知：每个地区每年增长了人口后，则迁移人口数则与问题（1）有所不同，用已知的数据和条件求A1、A2、A3地区迁移过后的人口。

设A1、A2、A3地区未增长时的总人口数是x,则：第一年：A11=0.25*x*(1+0.005)+0.35*x*(1+0.007)*0.02+0.40*x*(1+0.011)*0.03-0.25*x*(1+0.005)*0.02A21=0.35*x*(1+0.007)+0.25*x*(1+0.005)*0.01+0.40*x*(1+0.011)*0.02-0.35*x*(1+0.007)*0.03A31=0.40*x*(1+0.011)+0.25*x*(1+0.005)*0.01+0.35*x*(1+0.007)*0.01-0.40*x*(1+0.011)*0.05第二年则在第一年的基础上迁移，同时也有人口的增长：A12=0.25*A11*(1+0.005)+0.35*A21*(1+0.007)*0.02+0.40*A31*(1+0.011)*0.03-0.25*A11 *(1+0.005)*0.02A22=0.35*A21*(1+0.007)+0.25*A11*(1+0.005)*0.01+0.40*A31*(1+0.011)*0.02-0.35*A21 *(1+0.007)*0.03A32=0.40*A31*(1+0.011)+0.25*A11*(1+0.005)*0.01+0.35*A21*(1+0.007)*0.01-0.40*A31*(1+0.011)*0.05第三年在第二年的基础上迁移，同时也有人口的增长…..运用递归的方法就可求出某年的A1、A2、A3地区的人口。

对于我们来说求解问题时，首先想到的是运用Microsoft Visual C++来编程:问题（1）的解：运用C程序求出，在人口总数不变的情况下：10年后地区人口数为:A1=36248300，A2=34517400，A3=29234400；100年后地区人口数为：A1=53847500，A2=29437900，A3=16714600；当时间无限增长时，用C++程序可求的3个地区的人口趋于稳定了，则人口比例也趋于稳定，也可作出人口—时间的曲线图，可看出曲线到后面已趋于稳定。

问题（2）的解：10年后地区的人口数:A1=38497300，A2=37122300，A3=32457200；100年后地区人口数：A1=104040000，A2=59793000，A3=35793400；当时间无限增长时，用C++程序运算可求出A1与A2、、A2与A3的人口比例趋于1.6~1.8之间，则可知人口比例趋于稳定。

模型的结果分析1、在总人口保持不变时，随着时间的推移，各地区的人口数量会趋于一个稳定值。

2、在人口自然增长率固定时，随着时间的推移，各地区的人口数量虽然不会达到一个稳定值，会不断地上升，但最终各地区的人口比例也会趋于一个稳定水平。

模型的优缺点：优点：人口迁移在有限年内找到其规律，建立模型，虽然模型求解要用到计算机帮助，但程序原理简单，求解方便。

缺点：人口迁移局限在了一个很小的地方，忽略了其他地区的迁入和迁出到其他地区的情况，假定了3个地区的总人口不变和人口自然增长率不变，这是与实际不太相符的。

程序清单#include<stdio.h>#include<stdlib.h>void count_p(){double a,b,c;int i;int p;double A1,A2,A3;A1=2.5e7;A2=3.5e7;A3=4e7;printf("请输入需要计算的时间（以年为单位）:");scanf("%d",&p);if(p<0){while(p<0){printf("输入错误!请重新输入!\n");scanf("%d",&p);}}for(i=1;i<=p;i++){a=A1;b=A2;c=A3;A1=a+b*0.02+c*0.03-a*0.01-a*0.01;A2=b+a*0.01+c*0.02-b*0.01-b*0.02;A3=c+a*0.01+b*0.01-c*0.03-c*0.02;}printf("%d年后个地区人口数统计如下：\n",p);printf("A1地区人口数：%g\n",A1);printf("A2地区人口数：%g\n",A2);printf("A3地区人口数：%g\n",A3);}count_p2(){double a,b,c;int i;int p;double A1,A2,A3;A1=2.5e7;A2=3.5e7;A3=4e7;printf("请输入需要计算的时间（以年为单位）:");scanf("%d",&p);if(p<0){while(p<0){printf("输入错误!请重新输入!\n");scanf("%d",&p);}}for(i=1;i<=p;i++){a=A1;b=A2;c=A3;A1=(a+A1*0.005)+(b+A2*0.007)*0.02+(c+A3*0.011)*0.03-(a+A1*0.005)*0.01-(a+A1*0.0 05)*0.01;A2=(b+A2*0.007)+(a+A1*0.005)*0.01+(c+A3*0.011)*0.02-(b+A2*0.007)*0.01-(b+A2*0.0 07)*0.02;A3=(c+A3*0.011)+(a+A1*0.005)*0.01+(b+A2*0.007)*0.01-(c+A3*0.011)*0.03-(c+A3*0.0 11)*0.02;}printf("%d年后个地区人口数统计如下：\n",p);printf("A1地区人口数：%g\n",A1);printf("A2地区人口数：%g\n",A2);printf("A3地区人口数：%g\n",A3);}main(){int j;while(1){printf("\t\t\t人口动态分析人口计算\n");printf("\t\t\t1流动趋势人口计算\n");printf("\t\t\t2考虑增长率在内的人口计算\n");printf("\t\t\t3退出程序\n");printf("请输入选择:");scanf("%d",&j);if(j<0||j>3){while(j<0||j>3){printf("\n");printf("输入错误！请重新输入！\n");printf("请输入选择:");scanf("%d",&j);}}printf("\n");switch(j){case 1:count_p();break;case 2:count_p2();break;case 3:system("cls");printf("\n\n\n\n\n\n\t\t\t\t谢谢使用!!\n");exit(0);}}}附录：问题（1）100年内人口数目曲线：问题（2）100年内人口数目曲线：参考文献数学建模（第二版）徐全智杨晋浩编著数学模型（第三版）姜启源谢金星叶俊编著。