(公开课、专题课)二次函数为背景的等腰直角三角形存在性问题
专题05 二次函数背景下的特殊三角形存在性判定(解析版)
【方法综述】特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，此类问题分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类讨论。
直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆周角是直角的性质或其逆定理。
等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。
对于定长线段为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程解决问题。
当讨论某一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过做线段垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以解决问题。
【典例示范】类型一固定边的直角三角形判定例1：如图所示，已知抛物线的图像经过点A(1,0),B(0,5),（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C,求出点C的坐标；并确定在抛物线上是否存在一点E,使△BCE是以BC为斜边的直角三角形？若存在，在图中做出所有的点E（不写画法，保留作图痕迹）；若不存在，说明理由；（3）点P是直线BC上的一个动点（P点不与B点和C点重合），过点P做x轴的垂线，交抛物线于点M,点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式。
【答案】（1）；（2）点C的坐标是（－5，0），存在，图形详见解析；（3）．（3）由点B的坐标为（0，5），点C的坐标为（-5，0），∴可得直线BC的解析式为y=x+5．∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t．又点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴所以点P的坐标为（t，t+5），点M的坐标（t，）．过点Q作QF⊥PM于点F，则△PQF为等腰直角三角形．∵∴QF=1．当点P在点M下方时，即-5﹤t﹤0时，如图1，，∴；当点P在点M上方时，t﹤-5或t＞0时，如图2，图3，，∴．综上所述：．针对训练1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为；（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P 的坐标.（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH. 延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM2=CM2.设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，∴m=2，即M（2，0）.设直线CM的解析式为y=k1x+b1，则，解之得，.∴直线CM的解析式联立，解之得或(舍去).∴.②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N.由△CFA∽△CAH得，由△FNA∽△AHC得.2．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2，∴EF＝ME+MF＝x+1．∵EF＝|x2﹣2x﹣3|，∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4，∴点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．3．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2．（2）M（﹣，）．（3）平移后的解析式为y＝﹣x﹣1+或y＝﹣x﹣1﹣．（2）如图1中，作EA⊥AB交BM的延长线于E，作EF⊥x轴于F．∵∠ABE＝∠OBC，∠BAE＝∠BOC＝90°，∴△BAE∽△BOC，∴，（3）如图2中，当直线AD向下平移时，设E（x1，y1），F（x2，y2），作EH⊥x轴于H，FG⊥x轴于G．∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF，由△EHO∽△OGF得到：，∴，∴x1x2+y1y2=0，由，消去y得到：x2+b-2=0，∴x1x2=b-2，x1+x2=0，y1y2=（-x1+b）（-x2+b）=x1x2+b2，∴2（b-2）+b2=0，解得b=-1-或-1+（舍弃），当直线AD向上平移时，同法可得b=-1+，综上所述，平移后的解析式为y=-x-1+或y=-x-1-．4．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2．（2）M（﹣，）．（3）平移后的解析式为y＝﹣x﹣1+或y＝﹣x﹣1﹣．∴C（1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），把（0，2）代入得到a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）如图1中，作EA⊥AB交BM的延长线于E，作EF⊥x轴于F．∵∠ABE＝∠OBC，∠BAE＝∠BOC＝90°，∴△BAE∽△BOC，∴，∴，∴AE＝，（3）如图2中，当直线AD向下平移时，设E（x1，y1），F（x2，y2），作EH⊥x轴于H，FG⊥x轴于G．∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF，由△EHO∽△OGF得到：，∴，∴x1x2+y1y2=0，5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1．解决问题：①若直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，则m的值是____；②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2+x+1；（2）①-；②点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）.（2）①由直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，得2m＝﹣1，即m＝﹣；故答案为：﹣；②AB的解析式为y＝x+，当PA⊥AB时，PA的解析式为y＝﹣2x﹣2，联立PA与抛物线，得，解得（舍），，即P（6，﹣14）；当PB⊥AB时，PB的解析式为y＝﹣2x+3，联立PB与抛物线，得，解得（舍），即P（4，﹣5），综上所述：△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；当t＝0时，S取最大值，即M（0，1）．由勾股定理，得AB＝＝，设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得h＝＝．点M到直线AB的距离的最大值是．6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），我们把|x1﹣x2|记为d（A、B），抛物线的顶点到x轴的距离记为d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把这样的抛物线叫做“正抛物线”．（1）抛物线y=2x2﹣2是不是“正抛物线”；（回答“是”或“不是”）．（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）是“正抛物线”，求抛物线的解析式；（3）如图，若“正抛物线”y=x2+mx（m＜0）与x轴相交于A、B两点，点P是抛物线的顶点，则抛物线上是否存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形？如果存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线y=2x2﹣2是“正抛物线”；（2）抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（3）满足条件的点C坐标为（，）或（，﹣）．（2）当y=0时，﹣x2+bx=0，解得x=0或b，∵b＞0，∴d（A，B）=b，由题意解得b=0（舍弃）或b=4，∴抛物线的解析式为假设存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形，分两种情形：①如图1中，作AC⊥AP交抛物线于点C，厉害PC，作PE⊥x轴交AC于D．∴AE=2，PE=4，由△ADE∽△P AE,可得∴∴DE=1，∴D(2,1)，∴直线AD的解析式为由解得或∴②如图2中，作PC⊥AP交抛物线于C，交y轴于D，连接AC，作PE⊥x轴于E.由△ADP∽△P AE,可得即∴∴AD=5，∴D(0,−5)，∴直线AD的解析式为由解得或综上所述,满足条件的点C坐标为(92,94)或(52,−154).综上所述，满足条件的点C坐标为或7．已知，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点M的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，）或（1，﹣）．（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，设点M的坐标为（1，m），则CM=，AC==，AM=．分两种情况考虑：①当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m﹣3）2，解得：m=，∴点M的坐标为（1，）；②当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，即1+（m﹣3）2=4+m2+10，解得：m=﹣，∴点M的坐标为（1，﹣）．综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，）或（1，﹣）．类型二固定边的等腰三角形例2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上是否存在点D（与点A 不重合）使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；(2)存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；(3)存在满足条件的D点，其坐标为（5，6）．(2)如图1，作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；(3)如图2，①当D点在直线BC的上方时，过A点作AD1∥BC，交抛物线于D1，此时，使得S△DBC＝S△ABC，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，∵AD1∥BC，∴设直线AD11的解析式为y＝x+n，把A（﹣1，0）代入得，0＝﹣1+n，则n＝1，∴直线AD1的解析式为y＝x+1，解得或，∴D1的坐标为（5，6），②当D点在直线BC的下方时，由直线AD1的解析式为y＝x+1可知直线AD1和y轴的交点E的坐标为（0，1），∴CE＝5，∴直线AD的解析式为y＝x﹣10，∵方程x2﹣3x﹣4＝x﹣10无实数根，故存在满足条件的D点，其坐标为（5，6）．针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D．(1)求线段AC的长度；(2)P为线段BC上方抛物线上的任意一点，点E为（0，﹣1），一动点Q从点P出发运动到y轴上的点G，再沿y轴运动到点E．当四边形ABPC的面积最大时，求PG+GE的最小值；(3)将线段A B沿x轴向右平移，设平移后的线段为A'B'，直至A'P平行于y轴（点P为第2小问中符合题意的P点），连接直线CB'．将△AOC绕着O旋转，设旋转后A、C的对应点分别为A''、C'，在旋转过程中直线A''C'与y轴交于点M，与线段CB'交于点N．当△CMN是以MN为腰的等腰三角形时，写出CM的长度．【答案】(1)AC＝；(2)PG+GE的最小值为；(3)CM的长度为：2﹣或．(2)过点P作y轴的平行线交BC于点H，设：P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），S四边形ABPC＝S△ABC+S△PBC，S△ABC是个常量，∴四边形ABPC的面积最大时，只需要确定S△PBC最大即可，S△PBC即＝PH•（x B）＝（﹣m2+m+2+m﹣2）＝（﹣m2+2m），当m＝时，函数取得最大值，此时P（，2），过点E作RE⊥GR，使RE与y轴夹角为45度，则GR＝GE，则：PG+GE＝PG+GR，当P、G、R三点共线时，PG+GE有最小值，直线ER的方程为y＝﹣x﹣1…①，则：直线PR方程的k值为1，其方程为：y＝x+…②，联立①、②解得：R（﹣，），则：PR＝，即PG+GE的最小值为；(3)①当MN＝CM时，②当MN＝CN时，过点N作NS⊥CM，设N的横坐标为n，∵tan∠MCN＝＝2，∴CS＝n，CM＝n，∵∠MA″A′＝∠MCC′＝∠CMC′＝∠A′MA″，∴A′A″＝A′M＝2﹣n＝，∴CM＝n＝；故：CM的长度为：2﹣或．2．如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．（1）求直线AD的解析式．（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由。
二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)
_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式〔1〕、【一般式】抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解； 〔2〕、【顶点式】抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进展判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况 △ ＞ 0与x 轴交点 方程有的实数根△ ＜ 0 与x 轴交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A 〔x 1，y 〕，B 〔x 2，y 〕 (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式： 两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 那么由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：A 〔0，5〕和B 〔－2，3〕，那么AB ＝。
4、 常见考察形式1〕A 〔1,0〕，B 〔0，2〕，请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线〞：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2〕A 〔-2,0〕，B 〔1，3〕，请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆〞：分别过线段的两个端点作线段的垂线，再以线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：〔1〕直接用面积公式计算；〔2〕割补法；〔3〕铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽〞〔a 〕，中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高〞〔h 〕． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
专题02 二次函数中的存在性问题之等腰三角形(19眉山)(解析版)
专题02 二次函数中的存在性问题之等腰三角形【典例1】（2019•眉山）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1），即可求解；（2）PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG），即可求解；（3）分MN＝DM、NM＝DN、DN＝DM，三种情况分别求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1）=−49x2−169x+209，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，−49m2−169m+209），则PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（−49m2−169m+209−4﹣2m）=−89（m+174）2+252，∵−89＜0，故当m=−174时，矩形PEFG周长最大，此时，点P 的横坐标为−174； （3）∵∠DMN ＝∠DBA ， ∠BMD +∠BDM ＝180°﹣∠ADB ， ∠NMA +∠DMB ＝180°﹣∠DMN ， ∴∠NMA ＝∠MDB ， ∴△BDM ∽△AMN ，AN BM=AM BD，而AB ＝6，AD ＝BD ＝5， ①当MN ＝DM 时， ∴△BDM ≌△AMN ，即：AM ＝BD ＝5，则AN ＝MB ＝1； ②当NM ＝DN 时， 则∠NDM ＝∠NMD ， ∴△AMD ∽△ADB ，∴AD 2＝AB ×AM ，即：25＝6×AM ，则AM =256， 而AN BM=AM BD，即AN6−256=2565，解得：AN =5536； ③当DN ＝DM 时，∵∠DNM ＞∠DAB ，而∠DAB ＝∠DMN ， ∴∠DNM ＞∠DMN ， ∴DN ≠DM ； 故AN ＝1或5536．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练1】抛物线y =−29x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，顶点为C ，对称轴交x 轴于点D ，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与C ，D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【点拨】（1）函数的表达式为：y=29（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）确定PB、CE的表达式，联立求得点F（2−2m3，0），S△PCF=12×PC×DF=12（2﹣m）（2−2m3−2）＝5，即可求解；（3）分当CP＝CF、CP＝PF、CP＝PF三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）函数的表达式为：y=29（x+1）（x﹣5）=−29x2+89x+109；（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：函数PB的表达式为：y=−13mx+5m3，∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为3m，将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：y=3mx+(2−6m)，解得：x＝2−2m 3，故点F（2−2m3，0），S △PCF =12×PC ×DF =12（|2﹣m |）（|2−2m 3−2|）＝5， 解得：m ＝5或﹣3，故点P （2，﹣3）或（2，5）； （3）由（2）确定的点F 的坐标得： CP 2＝（2﹣m ）2，CF 2＝（2m 3）2+4，PF 2＝（2m 3）2+m 2，①当CP ＝CF 时，即：（2﹣m ）2＝（2m 3）2+4，解得：m ＝0或365（0舍去），②当CP ＝PF 时，同理可得：m =−9±3√132， ③当CF ＝PF 时，同理可得：m ＝±2（舍去2）， 故点P （2，365）或（2，﹣2）或（2，−9−3√132）或（2，−9+3√132） 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练2】如图，直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，与x 轴另一交点为A ，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上找一点E ，使EC +ED 的值最小，求EC +ED 的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得∠APB ＝∠OCB ？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）如图1，作点C 关于x 轴的对称点C ′，连接CD ′交x 轴于点E ，则此时EC +ED 为最小，即可求解；（3）分点P 在x 轴上方、点P 在x 轴下方两种情况，分别求解．【解答】解：（1）直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：{−9+3b +c =0c =3，解得：{b =2c =3，故函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3， 令y ＝0，则x ＝﹣1或3，故点A （﹣1，0）；（2）如图1，作点C 关于x 轴的对称点C ′，连接CD ′交x 轴于点E ，则此时EC +ED 为最小，函数顶点D 坐标为（1，4），点C ′（0，﹣3）， 将CD 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：y ＝7x ﹣3， 当y ＝0时，x =37， 故点E （37，0），则EC +ED 的最小值为DC ′=√1+(4+3)2=5√2； （3）①当点P 在x 轴上方时，如下图2，∵OB ＝OC ＝3，则∠OCB ＝45°＝∠APB ，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m，则PB＝P A=√2m，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝m2+（√2m﹣m）2，解得：m2＝8+4√2，则PB2＝2m2＝16+8√2则y P=√PB2−22=2+2√2；②当点P在x轴下方时，则y P＝﹣（2+2√2）；故点P的坐标为（1，2+2√2）或（1，﹣2﹣2√2）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练3】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE=14OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）点A（2，0）、点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即可求解；（2）PE=14OD，则PE＝（14x2+12x﹣2−12x+2）=14（﹣x），求得：点D（﹣5，0），利用S△PBE=12PE×BD=12（14x2+12x﹣2−12x+2）（﹣4﹣x），即可求解；（3）BD ＝1＝BM ，则y M ＝﹣BM sin ∠ABC ＝﹣11√5=−√55，即可求解．【解答】解：（1）点A 的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，则点B （﹣4，0）， 则函数的表达式为：y ＝a （x ﹣2）（x +4）＝a （x 2+2x ﹣8）， 即：﹣8a ＝﹣2，解得：a =14， 故抛物线的表达式为：y =14x 2+12x ﹣2；（2）将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +n 并解得： 直线BC 的表达式为：y =−12x ﹣2，则tan ∠ABC =12，则sin ∠ABC =15， 设点D （x ，0），则点P （x ，14x 2+12x ﹣2），点E （x ，−12x ﹣2），∵PE =14OD ，∴PE ＝（14x 2+12x ﹣2+12x +2）=14（﹣x ），解得：x ＝0或﹣5（舍去x ＝0）， 即点D （﹣5，0） S △PBE =12×PE ×BD =12（14x 2+12x ﹣2+12x +2）（﹣4﹣x ）=58； （3）由题意得：△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形，①当BD ＝BM 时，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ， BD ＝1＝BM ，则MH ＝y M ＝BM sin ∠ABC ＝1×5=√55， 则x M =20+2√55， 故点M （−20+2√55，√55）；②如图，当BD＝DM时，过点D作DH⊥BC于H，∴BM＝2BH，在Rt△BHD中，BH＝BD cos∠ABC=2√5 5，∴BM=4√5 5，过点M作MG⊥x轴于G，MG＝BM•sin∠ABC=4 5，BG＝BM•cos∠ABC=8 5，点M（−285，45）；故点M坐标为（−20+2√55，√55）或（−285，45）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【精练4】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1），即可求解；（2）PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG），即可求解；（3）分MN＝DM、NM＝DN、DN＝DM，三种情况分别求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y=−49（x+5）（x﹣1）=−49x2−169x+209，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，−49m2−169m+209），则PE=−49m2−169m+209，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（−49m2−169m+209−4﹣2m）=−89（m+174）2+252，∵−89＜0，故当m=−174时，矩形PEFG周长最大，此时，点P的横坐标为−17 4；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，ANBM =AMBD，而AB＝6，AD＝BD＝5，①当MN＝DM时，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；②当NM ＝DN 时， 则∠NDM ＝∠NMD ， ∴△AMD ∽△ADB ，∴AD 2＝AB ×AM ，即：25＝6×AM ，则AM =256， 而AN BM=AM BD，即AN6−256=2565，解得：AN =5536； ③当DN ＝DM 时，∵∠DNM ＞∠DAB ，而∠DAB ＝∠DMN ， ∴∠DNM ＞∠DMN ， ∴DN ≠DM ； 故AN ＝1或5536．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【精练5】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =13x 2−13x ﹣4交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ． （1）点P 为线段BC 下方抛物线上的任意一点，一动点G 从点P 出发沿适当路径以每秒1个单位长度运动到y 轴上一点M ，再沿适当路径以每秒1个单位长度运动到x 轴上的点N ，再沿x 轴以每秒√2个单位长度运动到点B ．当四边形ACPB 面积最大时，求运动时间t 的最小值；（2）过点C 作AC 的垂线交x 轴于点D ，将△AOC 绕点O 旋转，旋转后点A 、C 的对应点分别为A 1、C 1，在旋转过程中直线A 1C 1与x 轴交于点Q ．与线段CD 交于点I ．当△DQI 是等腰三角形时，直接写出DQ 的长度．【点拨】（1）过点B 作BK ⊥BC 交y 轴于点K ，作P ′H ⊥BK 交BK 于点H 、交y 轴于点M 、交x 轴于点N ，则此时运动的时间最小，即可求解；（2）将△AOC 绕点O 旋转，相当于存在一个半径为OR 圆O ，在整个旋转过程中，AC 始终为垂直于OR 的切线，确定圆的半径OR 后，分OR 靠近x 轴、y 轴两种大情况，分别在四个象限逐次求解即可． 【解答】解：（1）y =13x 2−13x ﹣4，令x ＝0，则y ＝﹣4，令y ＝0，则x ＝3或﹣4， 故点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，﹣4）， 则直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣4， S 四边形ACPB ＝S △ABC +S △PBC ，∵S △ABC 为常数，∴只要S △PBC 取得最大值，四边形ACPB 面积即为最大， 设点P （x ，13x 2−13x ﹣4），则点S （x ，x ﹣4），S △PBC =12×PS ×OB =12×4×（x ﹣4−13x 2+13x +4）=−23x 2+43x ， ∵−23＜0，则S △PBC 有最大值，即四边形ACPB 面积有最大值， 此时，x ＝2，故点P （2，−103）；作点P 关于y 轴的对称点P ′（﹣2，−103）， 过点B 作BK ⊥BC 交y 轴于点K ，作P ′H ⊥BK 交BK 于点H 、交y 轴于点M 、交x 轴于点N ， 则此时运动的时间最小， t ＝P ′M +MN +√22BN ＝PM +MN +HN ，直线BK ⊥BC ，则直线BK 的表达式为：y ＝﹣x +b ， 将点B 的坐标代入上式并解得： 直线BK 的表达式为：y ＝﹣x +4…①，同理可得直线P ′H 的表达式为：y ＝x −43⋯②，联立①②并解得：x =83， 故点H （83，43），则t ＝P ′H =√(−2−83)2+(−103−43)2=14√23， 故运动时间t 的最小值为14√23；（2）∵AC ⊥AD ，则直线CD 的表达式为：y =34x ﹣4， 故点D （163，0）；如图2，过点O 作OR ⊥AC 于点R ，由面积公式得：12OR ×AC =12OA ×OC ，即：OR =3×45=125， 设∠ACD ＝α，则tan α=34，sin α=35， 则tan2α=247，tan 12α=12（证明见备注）， 情况一：当OR 靠近y 轴时，①当OR 在一、三象限时，如图3，4：在图3中，IQ＝ID，则OQ=ORsinα=12535=4，故QD=163+4=283；在图4中，IQ＝ID，同理QD=163−4=43；②当OR在二、四象限时，如图5，6：在图5中，DI＝DQ，则∠DQI＝∠DIQ=12∠ODC=12α，OQ=ORsin12α=12√55，则DQ=12√55−163，在图6中，同理可得：DQ=12√55+163；情况二：当OR靠近x轴时，如下图：当点R在二、四象限时，如图7，见左侧图，同理可得：DQ=163+52=476；见右侧图，同理可得：DQ=163−52=176；当点R 在一、三象限时，如图8，同理可得：DQ =163−6√53（左侧图）或163+6√53（右侧图）；综上，DQ 的长度为283或43或12√55−163或12√55+163或476或176或163−6√53或163+6√53．备注：已知tan α=34，求tan2α和tan 12α．如图△ABD 是以BD 为底的等腰三角形，AC ⊥BD ，过点D 作DH ⊥AB ，则设：∠DAC ＝∠BAC ＝α，tan α=34，设BC ＝CD ＝3a ，则AC ＝4a ， 由三角形的面积公式得：12AH ×AB =12×DB ×AC ，解得：AH =6a×4a 5a=245， 则sin2α＝sin ∠BAD =DHAD =2425，tan2α=247， 同理可得：tan 12α=12．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，通过画图确定图象的位置，避免遗漏．【精练6】如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，AB ＝4，交y 轴于点C ，对称轴是直线x ＝1．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC ，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x ＝1的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标； （3）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q ．设运动时间为t （t ＞0）秒． ①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【点拨】（1）将A 、B 关坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，即可求解；（2）确定直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，根据点E 、F 关于直线x ＝1对称，即可求解； （3）①△AOC 与△BMN 相似，则MB MN=OA OC或OC OA，即可求解；②分OQ ＝BQ 、BO ＝BQ 、OQ ＝OB 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1））∵点A 、B 关于直线x ＝1对称，AB ＝4， ∴A （﹣1，0），B （3，0），代入y ＝﹣x 2+bx +c 中，得：{−9+3b +c =0−1−b +c =0，解得{b =2c =3，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3， ∴C 点坐标为（0，3）；（2）设直线BC 的解析式为y ＝mx +n ， 则有：{n =33m +n =0，解得{m =−1n =3，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3， ∵点E 、F 关于直线x ＝1对称， 又E 到对称轴的距离为1， ∴EF ＝2，∴F 点的横坐标为2，将x ＝2代入y ＝﹣x +3中，得：y＝﹣2+3＝1，∴F（2，1）；（3）①如下图，连接BC交MN于Q，MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，△AOC与△BMN相似，则MBMN =OAOC或OCOA，即：3−2t−4t+4t+3=3或13，解得：t=32或−13或1（舍去32、−13），故：t＝1；②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论，第一种，当OQ＝BQ时，∵QM⊥OB∴OM＝MB∴2t＝3﹣2t∴t=3 4；第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中∵∠OBQ＝45°，∴BQ=√2BM，∴BO=√2BM，即3=√2(3−2t)，∴t=6−3√24；第三种，当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时t＝0 而t＞0，故不符合题意综上述，当t=34秒或6−3√24秒时，△BOQ为等腰三角形．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
二次函数中等腰三角形的存在问题
零点是函数图像与x轴相交的点，用于解方程 和确定函数的根。
二次函数的最值是函数图像的最高点（最大 值）或最低点（最小值），在寻求极值时非 常重要。Leabharlann II. 等腰三角形的性质定义
等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形， 拥有一些特殊的性质和几何关系。
面积
等腰三角形的面积可以通过底边的长度和高度 来计算，其中高度与等边的长度有关。
2. Johnson, L. (2019). "Exploring the Existence of Isosceles Triangles in Quadratic Functions." Geometrical Review, 30(4), 267-286.
3. Wang, Y. (2018). "Applications of Isosceles Triangles in Quadratic Function Analysis." Mathematica, 55(3), 189-205.
二次函数中等腰三角形的 存在问题
本演示将探讨二次函数中等腰三角形的存在问题。我们将介绍二次函数和等 腰三角形的基本概念，并深入研究二次函数中等腰三角形的性质及其应用。
I. 介绍
二次函数
二次函数是一个具有二次方的多项式函数，可呈现多种形态和特征。
等腰三角形
等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形，具有一些特殊的几何性质。
周长
等腰三角形的周长可以通过两条等边的长度和 第三条边的长度来计算。
内角
等腰三角形的内角具有特定的测量值，其中包 括基角、等边角和顶角。
IV. 二次函数中等腰三角形的探讨
1
确定三角形三个顶点坐标
二次函数背景下的直角三角形的存在性问题
二次函数背景下的直角三角形的存在性问题教学目标：（1）理解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．（2）掌握一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比，相似或勾股定理列方程．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．（3）经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧体会分类讨论数学思想，体验解决问题方法的多样性。
教学重点：（1）能够正确地分析问题，转化问题，合理利用条件解决问题（2）确定动点位置的方法及数形结合，分类讨论思想和方程思想的培养教学难点：能够正确地分析问题，转化问题，合理利用条件解决问题教学过程：一、课前小测：1.直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长是2.已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6,动点P、Q分别同时从A、B出发，其中点P在线段AB上向点B移动，速度是2单位每秒；点Q在线段BC上向点C运动，速度是1单位每秒。
设运动时间为t（秒），当t= 秒时，△BPQ是直角三角形。
二、新课学习：（一）经典模型模型再现：3.已知：定点A(2, 1) 、B(6, 4)和动点M（m, 0）, 存在直角三角形ABM,求点M的坐标。
.1.勾股定理（暴力法---两点间距离公式）利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解。
其基本解题思路是列点.列线.列式。
2.“K型相似”（一线三等角）（三）典例讲解4. 如图，直线与抛物线交于点A （0，1），B （4，3）两点。
与轴交于点D 。
（学生操练）（1）求直线和抛物线的解析式；（2)动点P 在x 轴上移动，当△PAB 是直角三角形时，求点P 的坐标 （3）动点P 在y 轴上移动，当△PAB 是直角三角形时，求点P 的坐标 （4）动点P 在坐标轴上移动，当△PAB 是直角三角形时，求点P 的坐标5.如图,在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标是(4,0)，并且OA =OC =4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上。
二次函数背景下的等腰三角形存在性问题
图9B C O y x A 二次函数背景下的等腰三角形存在性问题1．已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，其斜边AB 与x 轴重合（其中OA<OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图1）。
（1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式。
（4分）（2）如图2，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m >0，n >0），连接DP 交BC 于点E 。
①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标。
（3分） ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由。
（3分）2．如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC .(1)求线段OC 的长.：(2)求该抛物线的函数关系式．：(3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.3.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点图11 图2 图3(02)A ，，点(10)C -，，如图所示：抛物线22y ax ax =+-经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的t 值.B AC xy（0，2） （－1，0）。
(完整版)二次函数中的存在性问题(等腰三角形的存在性问题)
二次函数中的存在性问题(等腰三角形)[07福建龙岩]如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =． （1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点， 是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条 件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 解：（1）抛物线的对称轴5522a x a -=-= （2）(30)A -， (54)B ， (04)C ，把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得16a =-215466y x x ∴=-++（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，2BM = ① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．222228480AB AQ BQ ∴=+=+= 在1Rt ANP △中，1PN ==== 152P ⎛∴ ⎝⎭ ② AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △．在2Rt BMP △中，22MP ==== 252P ⎛∴ ⎝⎭③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△．312P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK = 3(2.51)P ∴-，[07广西河池]如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． 点M 从O 点出发，以每秒1的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ， 求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．（1）把x =0代入224233y x x =-++得点C 的坐标为C （0，2） 把y =0代入224233y x x =-++得点B 的坐标为B （3，0）（2）连结OP ，设点P 的坐标为P （x ，y ）OBPC S 四边形=OPC S △+OPB S △ =112322x y ⨯⨯+⨯⨯= 3223x ⎛+- ⎝∵ 点M 运动到B 点上停止，∴03x ≤≤∴23324S x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（03x ≤≤）（3）存在． BC=13 ① 若BQ = DQ∵ BQ = DQ ，BD = 2 ∴ BM = 1 ∴OM = 3-1 = 2 ∴2tan 3QM OC OBC BM OB ∠=== ∴QM =23 所以Q的坐标为Q （2，23） ． ② 若BQ =BD =2 ∵ △BQM ∽△BCO ，∴BQ BC =QM CO =BMBO∴=2QM∴ QM∵BQ BC =BM OB ∴ 3BM∴ BM ∴ OM = 3 ··················································· 11分 所以Q 的坐标为Q （313-，13） ··················································· 12分[07年云南省]已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ）， 请求出△CBE 的面积S 的值；（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并 写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由． 解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ∴(1)(5)y a x x =--． 又∵抛物线经过点(0,5)C ∴55a =，1a =．∴抛物线的解析式为2(1)(5)65y x x x x =--=-+．（2）∵E 点在抛物线上， ∴m = 42–4×6+5 = -3．∵直线y = kx +b 过点C （0， 5）、E （4， –3）， ∴5,4 3.b k b =⎧⎨+=-⎩解得k = -2，b = 5．设直线y =-2x +5与x 轴的交点为D ，当y =0时，-2x +5=0，解得x =52．∴D 点的坐标为（52，0）． ∴S =S △BDC + S △BDE =1515(5)5+(5)32222⨯-⨯⨯-⨯=10．（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形．理由如下：∵220024254AP BP ==+=>，∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线 交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、4P 、5P 、6P ， 除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点． （说明：只说出P 点个数但未简要说明理由的不给分）xyC B AE–1 1 O[07山东威海]如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式． （3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如21y x =+，2y x x =+，2(1)2y x =-+或223y x x =-+，2(1)y x =+，2(1y x =-．（2）设抛物线2l 的函数表达式为2y x bx c =++，点(12)A ，，(31)B ，在抛物线2l 上，12931b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩，解得9211.2b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线2l 的函数表达式为291122y x x =-+． （3）229119722416y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，C ∴点的坐标为97416⎛⎫⎪⎝⎭，．过A B C ，，三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D E F ，，， 则2AD =，716CF =，1BE =，2DE =，54DF =，34FE =． ABC ADEB ADFC CFEB S S S S ∴=--△梯形梯形梯形117517315(21)22122164216416⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．x图①x图②x图③x延长BA 交y 轴于点G ，设直线AB 的函数表达式为y mx n =+， 点(12)A ，，(31)B ，在直线AB 上，213.m n m n =+⎧∴⎨=+⎩，解得125.2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB 的函数表达式为1522y x =-+．G ∴点的坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设K 点坐标为(0)h ，，分两种情况： 若K 点位于G 点的上方，则52KG h =-．连结AK BK ，． 151553122222ABK BKG AKG S S S h h h ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯--⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△． 1516ABK ABC S S ==△△，515216h ∴-=，解得5516h =．K ∴点的坐标为55016⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若K 点位于G 点的下方，则52KG h =-．同理可得，2516h =．K ∴点的坐标为25016⎛⎫⎪⎝⎭，． （4）作图痕迹如图③所示． 由图③可知，点P 共有3个可能的位置．注：作出线段AB 的中垂线得1分，画出另外两段弧得1分．x[07山东泰安]如图，在OAB △中，90B ∠=，30BOA ∠=，4OA =，将OAB △绕点O 按逆时针方向旋转至OA B ''△，C 点的坐标为（0，4）． （1）求A '点的坐标； （2）求过C ，A '，A 三点的抛物线2y ax bx c =++的解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P ，使以O A P ，，为顶点的三角形 是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）过点A '作A D '垂直于x 轴，垂足为D ,则四边形OB A D ''为矩形 在A DO '△中，A D OA ''=sin 4sin 6023A OD '∠=⨯=2OD A B AB''=== ∴点A '的坐标为(2 （2）(04)C ，在抛物线上，4c ∴= 24y ax bx∴=++(40)A ，，(2A '，在抛物线24y ax bx =++上 16440424a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，3a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴所求解析式为23)42y x x =++． （3）①若以点O 为直角顶点，由于4OC OA ==，点C 在抛物线上，则点(04)C ，为满足条件的点． ②若以点A 为直角顶点，则使PAO △为等腰直角三角形的点P 的坐标应为(44)，或(44)-，，经计算知；此两点不在抛物线上．③若以点P 为直角顶点，则使PAO △为等腰直角三角形的点P 的坐标应为(22)，或(22)-，，经计算知；此两点也不在抛物线上．综上述在抛物线上只有一点(04)P ，使OAP △为等腰直角三角形[08广东梅州]如图11所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ， AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于 AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ． （3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）解： （1） DC ∥AB ，AD =DC =CB ， ∴ ∠CDB =∠CBD =∠DBA ， ∠DAB =∠CBA ， ∴∠DAB =2∠DBA ，∠DAB +∠DBA =90 ， ∴∠DAB =60 ， ∠DBA =30 ， AB =4， ∴DC =AD =2， R t ∆AOD ，OA =1，OD =3，.∴A （-1，0），D （0， 3），C （2， 3）．（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A （－1，0），B （3，0）， 故可设所求为 y =a （x +1）（ x -3） 将点D （0，3）的坐标代入上式得， a =33-． 所求抛物线的解析式为 y =).3)(1(33-+-x x ···································· 7分 其对称轴L 为直线x =1． ········································································· 8分 （3） ∆PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L 与DB 不平行，DB 的垂直平分线与L 仅有一个交点P 1，P 1D =P 1B ，∆P 1DB 为等腰三角形； ·········································································· 9分 ②因为以D 为圆心，DB 为半径的圆与直线L 有两个交点P 2、P 3，DB =DP 2，DB =DP 3， ∆P 2DB ， ∆P 3DB 为等腰三角形；③与②同理，L 上也有两个点P 4、P 5，使得 BD =BP 4，BD =BP 5． ··················· 10分 由于以上各点互不重合，所以在直线L 上，使∆PDB 为等腰三角形的点P 有5个．[08福建南平]如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC ，O 为原点，点A C ，分别在x 轴，y 轴上，点B 坐标为(2)m ，（其中0m >），在BC 边上选取适当的点E 和点F ，将OCE △沿OE 翻折，得到OGE △；再将ABF △沿AF 翻折，恰好使点B 与点G 重合，得到AGF △，且90OGA ∠=．（1）求m 的值；（2）求过点O G A ，，的抛物线的解析式和对称轴； （3）在抛物线的对称轴．．．上是否存在点P ，使得OPG △是 等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出．．．． 所有满足条件的点P 的坐标（不要求写出求解过程）． （1）(2)B m ，，由题意可知2AG AB ==2OG OC ==OA m =90OGA ∠=，222OG AG OA ∴+= 222m ∴+=．又0m >，2m ∴=（2）过G 作直线GH x ⊥轴于H ，则1OH =，1HG =，故(11)G ，．又由（1）知(20)A ，， 设过O G A ，，三点的抛物线解析式为2y ax bx c =++ 抛物线过原点，0c ∴=．又抛物线过G A ，两点，1420a b a b +=⎧∴⎨+=⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩∴所求抛物线为22y x x =-+ ∴它的对称轴为1x =．（3）答：存在,满足条件的点P 有(10)，，(11)-，，(112)，，(112)+，．[08湖南株洲]如图（1），在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，-2），点B 的坐标为（3，-1），二次函数2y x =-的图象为1l .（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A 、B 两点，记抛物线为2l ，如图（2），求抛物线2l 的函数解析式及顶点C 的坐标.（3）设P 为y 轴上一点，且ABC ABP S S ∆∆=，求点P 的坐标.（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点Q ，使QAB ∆为等腰三角形. 若存在，请判断点Q 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.（1）222345y x x y x x =-+-=-+-或等 （满足条件即可） ……1分（2）设2l 的解析式为2y x bx c =-++，联立方程组21193b c b c-=-++⎧⎨-=-++⎩， 解得：911,22b c ==-，则2l 的解析式为291122y x x =-+-， ……3分点C 的坐标为（97,416-） ……4分（3）如答图23-1，过点A 、B 、C 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则2AD =，716CF =，1BE =，2DE =，54DF =，34FE =.得：1516ABC ABED BCFE CFD S S S S ∆=--=梯形梯形梯形A . ……5分延长BA 交y 轴于点G ，直线AB 的解析式为1522y x =-，则点G 的坐标为（0，52-），设点P 的坐y ox 图（1）yo x 图（2） l 1l 2标为（0，h ）①当点P 位于点G 的下方时，52PG h =--，连结AP 、BP ，则52ABP BPG APG S S S h ∆∆∆=-=--，又1516ABC ABP S S ∆∆==，得5516h =-，点P 的坐标为（0，5516-）. …… 6分②当点P 位于点G 的上方时，52PG h =+，同理2516h =-，点P 的坐标为（0，2516-）.综上所述所求点P 的坐标为（0，5516-）或（0，2516-） …… 7分(4) 作图痕迹如答图23-2所示.由图可知，满足条件的点有1Q 、2Q 、3Q 、4Q ，共4个可能的位置. …… 10分答图23-2EF 答图23-1[08浙江温州]如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=． 点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=．（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． （3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=，290C ∠+∠=，1C ∴∠=∠．84cos 1cos 10C ∴∠===，45QM QP ∴=，1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=．②当PQ RQ =时，312655x -+=，6x ∴=． ③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===．tan QR BA C CR CA ==， 366528x -+∴=，152x ∴=．综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形．A BCD ER P H QA BCD ER P H QM2 1 HA B CDE RPHQ二次函数中的存在性问题(直角三角形)[08辽宁十二市]如图16，在平面直角坐标系中，直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．x。
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
2022/1/27
1 等腰三角形存在性问题解决方法； 2 二次函数背景下的等腰三角形问题；
2022/1/27
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
A
B
C
分类讨论：一般情况下分三种情况进行讨论
1.AB=AC; 2.BA=BC; 3.CA=CB
2022/1/27
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题 3.PA=PC
Ｃ
D
A
2022/1/27
P5 E
作AC的垂直平分线与对称轴的交点即为Ｐ PCD APE，PE=1故P5(1,1)
thanks
2022/1/27
第三类讨论
方法一：设x轴上的P(a, 0)由PA=PO得
y
a2 16 (a 3)2, a 7 故P( 25 , 0) 66
同理设y轴上的P(0, b)由PA=PO得
A
O
x
( 25 , 0)(0, 25)
6
4
b2 (4 b)2 9,b 25 P(0, 25)
8
8
方法二：OA的中点为( 3 , 2),直线OA：y 4 x
A
P1
2022/1/27
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
Ｃ
P3 A
2.AC=AP
以C为圆心CA为半径作圆，设P3(1, c)P4 (1, d) 由勾股定理得 c2 32 2 5, d 2 32 2 5 c 11, d 11 P3(1, 11)P4 (1, 11)
P4
2022/1/27
2022/1/27
y 1 x2 x 4，对称轴为直线x 1 2
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
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A P1
A P3
0
3
P2
P4
0
3
两垂线一圆
在抛物线y=x2-x-2上是否存在点P ，使△PAC是以AC
为直角边的三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；
①当PCA 900时
P1
(
1 2
,
7 4
)
y=x2-x-2
②当PAC 900时
P2
(
1 2
,
3 4
)
（-1，0）A O
（0，-2）C
2.如图，抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、B两点（点A在 点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的 对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1． （1）求抛物线及直线AF的解析式；
（2）在直线AF上是否存在 点P，使△CFP是直角三角形？ 若存在，求出P点坐标；若不 存在，说明理由．
自学检测1（5分钟）
1.已知：如图一次函数y＝0.5x＋1的图象与x轴交于点A， 与y轴交于点B；二次函数y＝0.5x2＋bx＋c的图象与一 次函数y＝0.5x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、 E两点且D点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若 存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
x 轴交于点M ，问在直线 x 1 上是否存在点P，使△CMP为
等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
若不存在，请说明理由． P1 y
P2 C
P3 BM
x
A
P4
1.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(3，0)、 C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小 时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？ 若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在， 请说明理由．
（3）在（2）的结论
下，直线x＝1上是否 存在点M，使△MPQ
为等腰三角形？若存在，
请求出所有点M的坐标；
若不存在，请说明理 由．
自学指导2（6分钟）
已知：O为坐标原点，A(2, 1)，点P是x轴上一 动点，当△AOP是直角三角形求P点坐标
y
A
0
x
已知：O为坐标原点，A(2,4),点P是直线x=3 上一动点，当△AOP是直角三角形求P点坐标.
C
2．如图9，抛物线 y ax2 8ax 12a(a 0) 与轴交于
A,B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C
在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使
△OCA∽△OBC.
(1)求线段OC的长.：
y
(2)求该抛物线的函数关系式．
(3)在X轴上是否存在点P，
使△BCP为等腰三角形？
等腰直 角三角
形
存
在性
XXXX中学校
授课教师：xxx
问
题
：
1、如图，0为坐标原点,D(4,3)，在x轴上找一点P使得 与O点，D点构成等腰三角形，这样的等腰三角形能画 多少个?并求出P点坐标.yＤO
x
①当OD=OP时
y
Ｄ
P1
O
P2 x
OP OD 32 42 5
P1 5,0, P2 5,0
（3）在抛物线上是否存在点M， 使△ACM是以AC为直角边的三 角形？若存在，求出M点坐标； 若不存在，说明理由．
①利用两腰相等
②当DO=DP时
y
Ｄ
③当PO=PD时
y Ｄ
E
O
B
P4 x
O
P3 F x
PB OB 4
OE 5 2
OP 5
5 4
OP
25 8
P4 8,0
②利用“三线合一”
2
P3
25 8
,0
两圆一中垂线
③利用图形相似或 勾股定理
先找点,后求解 找点方法:两圆一线
2、如图,已知点A(1,0)、点B (－3,0)和点C(0,3).直线 x 1与
C
若存在，求出所有符合
条件的点P的坐标；若不 存在，请说明理由.
O
AD
B
x
图9
1. 已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12， 0）和C（0，－6），对称轴为直线x＝2． （1）求该抛物线的解析式： （2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段 AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某 一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使 线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒） 和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；