高三第一轮复习数学---逻辑联结词与四种命题

高三第一轮复习数学---逻辑联结词与四种命题

一、教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；

理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用． 二、教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．

三、教学过程：

（一）主要知识： （一）逻辑联结词

1．命题：可以判断真假的语句叫做命题 2．逻辑联结词：“或（∨）”、“且（∧）”、“非（┐）”这些词叫做逻辑联结词。

或：两个简单命题至少一个成立 且：两个简单命题都成立， 非：对一个命题的否定 3．简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。

4．表示形式：用小写的拉丁字母p 、q 、r 、s …来表示简单的命题，

复合命题的构成形式有三类：“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”

5．

1．一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用┐p 和┐q 分别表示p 和q 的否定。于是四种命题的形式为：

原命题：若p 则q （q p ⇒） 逆命题：若q 则p )(p q ⇒ 否命题：若┐p 则┐q )(q p ⌝⇒⌝ 逆否命题：若┐q 则┐p )(p q ⌝⇒⌝ 2．四种命题的关系：

3．一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系： （1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。 （2）原命题为真，它的否命题不一定为真。 （3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。

互 逆 互 为 为 否

逆

逆 互 互 互 逆

（4）逆命题为真，否命题一定为真。 （三）几点说明

1．逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义：

以“P 或q ”为例：一是p 成立但q 不成立，二是p 不成立但q 成立，三是p 成立且q 成立， 2．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论 3．真值表 P 或q ：“一真为真”， P 且q ：“一假为假”

4．互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。 5．反证法运用的两个难点：1）何时使用反证法 2）如何得到矛盾。

（二）主要方法： 1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；

2．通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”、“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；

3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ”的形式；

4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾． （三）例题分析：

例1．已知复合命题形式，指出构成它的简单命题， （1）等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边，

（2）垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的两条弧， （3）34≥

（4）平行四边形不是梯形 解：（1）P 且q 形式，其中p ：等腰三角形顶角的角平分线垂直底边， q ：等腰三角形顶角的角平分线平分底边；

（2）P 且q 形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦， q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧

（3）P 或q 形式，其中p ：4＞３，q ：４＝３ （4）非p 形式：其中p ：平行四边形是梯形。

练习1（变式1）分别写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题

（1）p ：5是有理数，q ：5是无理数

（2）p ：方程x 2+2x-3=0的两根符号不同，q ： 方程x 2+2x-3=0的两根绝对值不同。 例2．（四种命题之间的关系）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

（1）若q<1，则方程x 2+2x+q=0有实根，（2）若ab=0，则a=0或b=0，（3）若x 2+y 2=0，则x 、y 全为零。 解：（1）逆命题：若方程x 2+2x+q=0有实根，则q<1，（假）

否命题：若q ≥1，则方程x 2+2x+q=0无有实根，（假） 逆否命题：若方程x 2+2x+q=0无实根，则q ≥1，（真）

（2）逆命题：若a=0或b=0，则ab=0，（真）

否命题：若ab ≠0，则a ≠0且 b ≠0，（真） 逆否命题：若a ≠0且 b ≠0，则ab ≠0，（真）

（3）逆命题：若x 、y 全为零，则x 2+y 2=0（真）

否命题：若x 2+y 2≠0，则x 、y 不全为零（真） 逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2+y 2≠0（真）

练习2（变式2）判断下列命题的真假，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假

（1）若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0, （2）若a>b ，则ac 2>bc 2

（3）若在二次函数y=ax 2+bx+c 中b 2-4ac<0，则该二次函数图象与x 轴有公共点。 例3．反证法的应用

已知函数f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，a,b ∈R 对命题“若a+b ≥0则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”

(1)写出逆命题，判断其真假，并证明，(2)写出逆否命题,判断其真假，并证明。 解：（1）逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)，则a+b ≥0（真）

用反证法证明：假设a+b<0，则a<-b b<-a, ∵f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则f(a)

∴f(a)+f(b)

（2）逆否命题：若f(a)+f(b)

因为命题⇔它的逆否命题，所以可证明原命题为真命题即可，从略。 例4．已知命题p ：方程2

10x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程

244(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围． 分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．

解：由命题p 可以得到：2400m m ⎧∆=->⎨>⎩

∴2m >

由命题q 可以得到：2

[4(2)]160m ∆=--< ∴26m -<< ∵p 或q 为真，p 且q 为假 ∴,p q 有且仅有一个为真

当p 为真，q 为假时，2

62,6m m m orm >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩

当p 为假，q 为真时，2

2226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩

所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．

例5．已知函数()f x 对其定义域内的任意两个数,a b ，当a b <时，都有()()f a f b <，证明：()0f x =至多有一个实根．

解：假设()0f x =至少有两个不同的实数根12,x x ，不妨假设12x x <， 由方程的定义可知：12()0,()0f x f x == 即12()()f x f x =①

由已知12x x <时，有12()()f x f x <这与式①矛盾

因此假设不能成立 故原命题成立．

注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．

例6．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：2

0(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） A.假设,,a b c 都是偶数 B.假设,,a b c 都不是偶数 C.假设,,a b c 至多有一个是偶数 D.假设,,a b c 至多有两个是偶数