应用离散数学命题逻辑命题和逻辑连接词题库试卷习题及答案

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离散数学习题答案及解析_2

离散数学习题答案习题一1、利用逻辑联结词把下列命题翻译成符号逻辑形式（1）他既是本片的编剧,又是导演--- P∧ Q（2）银行利率一降低,股价随之上扬--- P→ Q（3）尽管银行利率降低,股价却没有上扬--- P∧ Q（4）占据空间的、有质量而且不断变化的对象称为物质--- M ←→<S∧P∧T> （5）他今天不是乘火车去北京,就是随旅行团去了九寨沟 --- P▽ Q（6）小张身体单薄,但是极少生病,并且头脑好使--- P∧ Q ∧ R（7）不识庐山真面目,只缘身在此山中--- P→ Q〔解释：因为身在此山中,所以不识庐山真面目（8）两个三角形相似,当且仅当他们的对应角相等或者对应边成比例--- S ←→<E∨T>（9）如果一个整数能被6整除,那么它就能被2和3整除。

如果一个整数能被3整除,那么它的各位数字之和也能被3整除解：设 P –一个整数能被6整除Q –一个整数能被2整除 R –一个整数能被3整除S –一个整数各位数字之和能被3整除翻译为：〔P→〔Q ∧ R∧〔R→ S2、判别下面各语句是否命题,如果是命题,说出它的真值〔1BASIC语言是最完美的程序设计语言--- Y,T/F〔2这件事大概是小王干的--- N〔3x2 = 64 --- N〔4可导的实函数都是连续函数--- Y,T/F〔5我们要发扬连续作战的作风,再接再厉,争取更大的胜利--- N〔6客观规律是不以人们意志为转移的--- Y,T〔7到2020年,中国的国民生产总值将赶上和超过美国--- Y,N/A〔8凡事都有例外--- Y,F3、构造下列公式的真值表,并由此判别哪些公式是永真式、矛盾式或可满足式〔1〔P∨〔～P∧ Q→ Q〔2~〔4表略：〔2可满足式、〔3永真式、〔4可满足式4、利用真值表方法验证下列各式为永真式〔1~〔8略5、证明下列各等价式〔3P→〔Q∨ R⇔〔P→ Q∨〔P→ R证明：左式⇔～P∨Q∨ R⇔～P∨Q∨～P∨ R⇔〔～P∨Q∨〔～P∨ R⇔〔P→ Q∨〔P→ R⇔右式〔4〔P∧ Q∨〔R∧ Q∨〔R∧ P⇔〔P∨ Q∧〔R∨ Q∧〔R∨ P证明：左式⇔<〔P∨R∧ Q∨〔R∧ P⇔<〔P∨R∨R>>∧<〔P∨R∨P>>∧〔Q∨R∧〔Q∨P⇔〔P∨ Q∧〔R∨ Q∧〔R∨ P⇔右式6、如果P∨ Q ⇔ Q∨R,能否断定 P ⇔ R ？如果P∧ Q ⇔ Q∧R,能否断定 P ⇔ R？如果～P ⇔～R,能否断定 P ⇔ R？解：〔1如果P∨ Q ⇔ Q∨R,不能判断P ⇔ R,因为如果 Q = P∨ R, 那么P∨ Q⇔P ∨P∨ R ⇔ Q∨R,但P可以不等价于R.〔2如果P∧ Q ⇔ Q∧R,不能判断P ⇔ R,因为如果 Q = P∧ R, 那么P∧ Q⇔P ∧P∧ R ⇔ Q∧R,但P可以不等价于R.〔3如果～P ⇔～R,那么有P ⇔ R,因为～P ⇔～R,则～P <-> ～R为永真式,及有P <-> R为永真式,所以P ⇔ R.8、把下列各式用↑等价表示出来〔1<P∧Q>∨～P解：原式⇔ <<P↑Q>↑<P↑Q>>∨<P↑P>⇔ <<<P↑Q>↑<P↑Q>>↑<<P↑Q>↑<P↑Q>>>↑<<P↑P>↑<P↑P>>9、证明：{ ～→}是最小功能完备集合证明: 因为{～,∨}是最小功能完备集合,所以,如果{ ～→}能表示出∨,则其是功能完备集合。

离散数学复习题含答案

离散数学复习题含答案1. 集合论基础集合A和集合B的交集表示为A∩B，它包含所有既属于A又属于B的元素。

请写出集合{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的交集。

答案：{2, 3}2. 逻辑运算设命题p为“今天是周一”，命题q为“明天是周三”。

请判断复合命题“p且q”的真值。

答案：假3. 图论初步在无向图中，若存在一条路径使得起点和终点相同，则称该图为欧拉图。

请判断一个有5个顶点且每个顶点的度均为2的无向图是否一定是欧拉图。

答案：是4. 组合数学从5个不同的球中选取3个，有多少种不同的选取方法？答案：10种5. 布尔代数在布尔代数中，逻辑或运算符表示为∨，逻辑与运算符表示为∧。

请计算表达式(A∨B)∧(¬A∨¬B)的值。

答案：¬(A∧B)6. 归纳与递归给定递归关系式T(n) = 2T(n-1) + 1，初始条件为T(1) = 1，求T(3)的值。

答案：T(3) = 2T(2) + 1 = 2(2T(1) + 1) + 1 = 2(2*1 + 1) + 1 =2(3) + 1 = 77. 有限状态机在有限状态机中，状态转移可以通过一个转移函数来描述。

若状态转移函数定义为δ(q, a) = q'，其中q和q'是状态，a是输入符号，请说明该函数的作用。

答案：该函数定义了在给定当前状态q和输入符号a的情况下，有限状态机将转移到新的状态q'。

8. 正则表达式正则表达式用于描述字符串的模式。

请写出匹配任意长度的数字串的正则表达式。

答案：\d*9. 命题逻辑命题逻辑中的等价关系是指两个命题逻辑表达式在所有可能的真值赋值下具有相同的真值。

请判断命题p∨¬p和命题¬(p∧¬p)是否等价。

答案：是10. 树的遍历在计算机科学中，树的遍历有前序、中序和后序三种方式。

请简述后序遍历的步骤。

答案：后序遍历的步骤是先访问左子树，然后访问右子树，最后访问根节点。

(完整版)《离散数学》同步练习答案

华南理工大学网络教育学院《离散数学》练习题参考答案第一章命题逻辑一填空题（1)设：p：派小王去开会。

q：派小李去开会.则命题：“派小王或小李中的一人去开会" 可符号化为：（p q) (p q）。

（2）设A,B都是命题公式，A B，则A B的真值是T。

（3）设:p：刘平聪明。

q：刘平用功。

在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p q .（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。

（5）设，p：径一事;q：长一智。

在命题逻辑中,命题:“不径一事，不长一智。

" 可符号化为： p q 。

（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德摩根律为（A B）Û A B）。

（7）设，p：选小王当班长;q：选小李当班长.则命题：“选小王或小李中的一人当班长。

”可符号化为: （p q）（p q） .（8）设，P：他聪明；Q：他用功。

在命题逻辑中，命题:“他既聪明又用功。

" 可符号化为：P Q .（9）对于命题公式A,B,当且仅当 A B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A B。

（10)设:P：我们划船.Q:我们跑步.在命题逻辑中，命题:“我们不能既划船又跑步.”可符号化为：（P Q) 。

（11）设P，Q是命题公式,德·摩根律为：（P Q）P Q) 。

（12）设P:你努力.Q：你失败。

在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。

”可符号化为：P Q .（13）设p：小王是100米赛跑冠军。

q:小王是400米赛跑冠军。

在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军.”可符号化为：p q。

（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A C为一重言式时,称C可由A逻辑地推出。

二．判断题1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。

（）2.命题公式p q r是析取范式。

( √ )3.陈述句“x + y > 5”是命题。

离散数学考试题及详细参考答案

离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

b)我今天进城，除非下雨。

c)仅当你走，我将留下。

2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。

（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。

（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。

（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。

（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。

离散数学期末考试试题(有几套带答案1)

离散数学试题(A卷及答案）一、证明题（10分）1)(P∧(Q∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)R证明: 左端(P ∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R((P ∨Q)∨(P∨Q))∧R T∧R(置换)R2)∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D, (C∨D)→⌝E, ⌝E→(A∧⌝B), (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S证明：(1) (C∨D)→⌝E(2) ⌝E→(A∧⌝B)(3) (C∨D)→(A∧⌝B)(4) (A∧⌝B)→(R∨S)(5) (C∨D)→(R∨S)(6) C∨D(7) R∨S2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) 证明（1）∃xP(x)(2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))(4)P(a)→Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)∧R(a)(10)∃x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）证明∵x∈A-（B∪C）⇔x∈A∧x∉（B∪C）⇔x∈A∧（x∉B∧x∉C）⇔（x∈A∧x∉B）∧（x∈A∧x∉C）⇔x∈（A-B）∧x∈（A-C）⇔ x∈（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={<x,y>| x,y∈N∧y=x2}，S={<x,y>| x,y∈N∧y=x+1}。

离散数学考试题目及答案

离散数学考试题目及答案1. 试述命题逻辑中的等价关系和蕴含关系。

答案：命题逻辑中的等价关系是指两个命题在所有可能的真值赋值下都具有相同的真值。

若命题P和Q等价，则记作P⇔Q。

蕴含关系是指如果命题P为真，则命题Q也为真，但Q为真时P不一定为真。

若命题P蕴含Q，则记作P→Q。

2. 证明：若集合A和B的交集非空，则它们的并集包含A和B。

答案：设x属于A∩B，即x同时属于A和B。

根据并集的定义，若元素属于A或B，则它属于A∪B。

因此，x属于A∪B。

由于x是任意属于A∩B的元素，所以A∩B≠∅意味着A∪B至少包含A∩B中的所有元素，即A∪B包含A和B。

3. 给定一个有向图G，如何判断G中是否存在环？答案：判断有向图G中是否存在环，可以采用深度优先搜索（DFS）算法。

在DFS过程中，记录每个顶点的访问状态，如果遇到一个已访问过的顶点，且该顶点不是当前路径的直接前驱，则表示存在环。

4. 描述有限自动机的组成部分及其功能。

答案：有限自动机由以下几部分组成：输入字母表、状态集合、转移函数、初始状态和接受状态集合。

输入字母表定义了自动机可以接收的符号集合；状态集合包含了自动机所有可能的状态；转移函数定义了在给定输入符号和当前状态的情况下，自动机如何转移到下一个状态；初始状态是自动机开始工作时的状态；接受状态集合包含了所有使自动机接受输入字符串的状态。

5. 什么是图的连通分量？如何确定一个无向图的连通分量？答案：图的连通分量是指图中最大的连通子图。

在一个无向图中，如果两个顶点之间存在路径，则称这两个顶点是连通的。

确定无向图的连通分量可以通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法。

从任一顶点开始搜索，搜索过程中访问的所有顶点构成一个连通分量。

重复此过程，直到所有顶点都被访问过，即可确定图中所有连通分量。

《离散数学》练习题和参考答案

《离散数学》练习题和参考答案《离散数学》练习题和参考答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P 答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝⌝（2）QQ→P⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x满足x+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( ) (3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

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第1章：命题逻辑
§1.1 命题与逻辑连接词
习题1.1
1. 下列哪些语句是命题,在是命题地语句中,哪些是真命题,哪些是假命题,哪些命题地真值现在还不知道？
（1）有四大发明。

（2）你喜欢计算机吗？
（3）地球上海洋地面积比陆地地面积大。

（4）请回答这个问题！
（5）632=+。

（6）107<+x 。

（7）园地面积等于半径地平方乘以圆周率。

（8）只有6是偶数,3才能是2地倍数。

（9）若y x =,则z y z x +=+。

（10）外星人是不存在地。

（11）2120年元旦下大雪。

（12）如果311=+,则血就不是红地。

解是真命题地有：（1）,（3）,(7),(8) , (9) ,（12） ;是假命题地有：（5）;
是命题但真值现在不知道地有： (10), (11);不是命题地有：（2）,（4）,（6）。

2. 令p ,q 为如下简单命题：p ：气温在零度以下。

q ：正在下雪。

用p ,q 与逻辑联接词符号化下列复合命题。

（1）气温在零度以下且正在下雪。

（2）气温在零度以下,但不在下雪。

（3）气温不在零度以下,也不在下雪。

（4）也许在下雪,也许气温在零度以下,也许既下雪气温又在零度以下。

（5）若气温在零度以下,那一定在下雪。

（6）也许气温在零度以下,也许在下雪,但如果气温在零度以上就不下雪。

（7）气温在零度以下是下雪地充分必要条件。

解（1）q p ∧;（2）q p ⌝∧;（3）q p ⌝∧⌝;（4）q p ∨;
（5）q p →;（6）)()(q p q p ⌝→⌝∧∨;（7）q p ↔。

3. 令原子命题p ：你地车速超过每小时120公里,q ：你接到一张超速罚款单,用p ,q 与逻辑联接词符号化下列复合命题。

（1）你地车速没有超过每小时120公里。

（2）你地车速超过了每小时120公里,但没接到超速罚款单。

（3）你地车速若超过了每小时120公里,将接到一张超速罚款单。

（4）你地车速不超过每小时120公里,就不会接到超速罚款单。

（5）你接到一张超速罚款单,但你地车速没超过每小时120公里。

（6）只要你接到一张超速罚款单,你地车速就肯定超过了每小时120公里。

解（1）p ⌝;（2）q p ⌝∧;（3）q p →;（4）q p ⌝→⌝;
（5）p q ⌝∧;（6）p q →。

4. 判断下列各蕴涵式是真是假。

（1）若211=+,则422=+。

T （2）若211=+,则522=+。

F （3）若311=+,则422=+。

T （4）若311=+,则522=+。

T （5）若猪会飞,那么422=+。

T （6）若猪会飞,那么522=+。

T （7）若311=+,猪就会飞。

T （8）若211=+,猪就会飞。

F 解（1）T;（2）F;（3）T;（4）T;（5）T;（6）T;（7）T;（8）F 。

5. 给出下列各蕴涵形式命题地逆命题,否命题与逆否命题。

（1）如果今天下雪,我明天就去滑雪。

（2）只要有测验,我就来上课。

（3）只有当正整数没有1与它自己以外地因数时,它才是质数。

解：
（1）逆命题：如果我明天去滑雪,今天就会下雪;
否命题：如果今天不下雪,我明天就不去滑雪;
逆否命题：如果我明天没去滑雪,今天就没下雪。

（2）逆命题：我来上课,就有测验;
否命题：只要没有测验,我就不来上课;
逆否命题：我不来上课,就没有测验。

（3）逆命题：正整数是质数,则它没有1与它自己以外地因数;
否命题：只有当正整数有1与它自己以外地因数时,它才不是质数;
逆否命题：正整数不是质数,则它有1与它自己以外地因数。

6. 你会用什么样地布尔检索寻找关于新泽西州海滩地网页？如果你想找关于泽西岛（在英吉利海峡）海滩地网页呢？
解寻找关于新泽西州海滩网页地布尔检索为：“NEW”AND“JERSEY”AND “BEACHES”,寻找关于泽西岛（在英吉利海峡）海滩网页地布尔检索为（“JERSEY”AND “BEACHES”）AND（NOT“NEW”）。

7. 你会用什么样地布尔检索寻找关于徒步旅行西弗吉尼亚地网页？如果你想找关于徒步旅行弗吉尼亚地网页,而不是西弗吉尼亚呢？
解寻找关于徒步旅行西弗吉尼亚网页地布尔检索为：“W ALKING TOUR”AND “VIRGINIA”AND“WEST”,寻找关于徒步旅行弗吉尼亚地布尔检索为（“W ALKING TOUR”AND“VIRGINIA”）AND（NOT“WEST”）。