离散数学1.1 命题与联结词

• 在命题逻辑中允许前件和后件间无必然的因果关系。
4. 条件联结词
• P：天下雨；Q：马路湿；
P
Q
P →Q
Q →P
P →Q：如果天下雨，则马路湿。 下面讨论P→Q 的真值： • 如果天下雨，则马路湿； • 如果天下雨，则马路不湿； • 如果天不下雨，则马路湿；(善意推断) • 如果天不下雨，则马路不湿； • • P：2+2=4；Q：雪是黑的； P →Q：如果2+2=4，则雪是黑的。

原子命题的符号表示：大小写英文字母：P、Q、R、 p 、q 、r、…… 带下标的大写字母：Pi，Qi，Ri，……

例如： P：北京是中国的首都。
• 命题常元：一个命题标识符P，如果表示一个确定的命题，则称 P为原子命题常元，简 称命题常元； • 命题变元：若P只表示任意命题的位置标志，或表示不确定的命题，或以原子命题为值 的变元P，称P为原子命题变元，简称命题变元。 命题变元是以命题的真值为值的变元。 命题变元不是命题。 • 命题指派：将一个命题变元 P 用一特定命题去代替，它才能确定真值，叫做对 P 的指派 或解释，记为 S(P) 或 I(P)。
是命题，真 不是命题
不是命题 是命题，真值不确定
• 请勿喧哗！
• 明天去哪里？ • 有外星人
• 曹操是明朝人
• 6+8>14 • 今天下雨 • 今天我休息 • 11+1=100
是命题，假
是命题，假 是命题，真值不确定 是命题，真值不确定 是命题，真值不确定
1.1 命题与联结词
二、命题标识符
• 命题标识符：表示原子命题的符号称为命题标识符，简称命题符。
1.1 命题与联结词 总结
• • • 复合命题的真值只取决于构成它们的各原子命题的真值，与它们 的内容、含义无关。 ∧ 、∨ 、 具有对称性；而 ┐ 、→ 没有对称性； 联结词都有从已知命题得到新的命题的作用，它们具有操作或运 算的意义。联结词可以被看做是一、二元运算或一、二元函数。
•
• •
这真开心！
你听懂了吗？ 请止步！
C : 1+1=1
• 现在是六点钟
一个陈述句能否分辨其真假与是否现 在能判断它是真是假是两件事。 • 张校长的头发有一万根
“自指谓”的陈述句 （结论是对自身而言） 不是命题 • 我所说的是假的
例:
判断下列语句哪些是命题。若是命题，指出真值。
• 巴黎在法国
P T T F F
Q T F T F
P∧Q T F F F
Q∧P T F F F
• P：今天下雨。
• Q：明天下雨。
• P∧Q：今天下雨而且明天下雨。 • P∧Q：今天与明天都下雨。
• P∧Q：这两天都下雨。
3. 析取联结词
• 设P 和Q是两个命题，由联结词∨把P，Q 连接成P∨Q，读做“P 或Q ”。 称 P ∨Q 为P，Q 的析取式复合命题。 析取联结词是“或”、“或者”的逻辑抽象。 • 析取联结词是表示可兼或，即二者可同时发生，不排斥二者发生的情况。 • 析取联结词不表示不可兼或排斥或，即非此即彼。
T
T F F
T
F T F
T
F T T
T
T F T
5. 双条件联结词
• 令P 和Q 是两个命题，由联结词把P，Q 连接成P Q，读做“P 当且仅当Q ”。称P Q 为 P 和Q 的双条件式复合命题。
• 双条件联结词又常称为同或，并用符号⊙表示。 • 双条件联结词是自然语言中的“充分必要条件”、“当且仅当”等的逻辑抽象。
第1章 命题逻辑
第1章 命题逻辑
1.1 命题与联结词 1.2 命题公式、翻译和真值表
1.3 公式分类与等价式
1.4 对偶式与蕴含式 1.5 联结词的扩充与功能完全组 1.6 公式标准型----范式 1.7 公式的主范式 1.8 命题逻辑的推理理论
1.1 命题与联结词
1.1 命题与联结词
一、命题的概念
• • • 命题：非真必假的陈述句。 具有真假意义的陈述句，且真或者假二者必居其一，也只居其一。 命题的真或假称为命题的真值。 真用T或1表示 假用F或0表示
命题的注意事项
自然语言中的感叹句、疑问句和祈使 句不是命题。 判定命题的真值会因人、因时、因地、 因标准而异。 • A : 1+1=2 B : 1+1=10
“P 条件Q ”。称P →Q 为P 和Q 的条件式复合命题， 把 P 和Q 分别称为P →Q 的前件 和后件， 或者前提和结论。
• 联结词→是自然语言中“如果…，则…”，“若…，才能…”等的逻辑抽象，是充分条
件。
• 在自然语言中，前件为假，不管结论真假，整个语句的意义往往无法判断。在命题逻
辑中，当P 为F，P →Q 为T，称为“善意推定”。
P T T F F
Q T F T F
PQ T F F T
QP T F F T
• 三角形是等边三角形当且仅当三角形的三
个内角相等。
• 2+2=4当且仅当太阳是恒星。
1.1 命题与联结词
四、命题分类 • • • 命题分两类：原子命题和复合命题 复合命题：由原子命题和联结词复合而成 判断一个命题是否为复合命题，其关键是联结词是否出现，出现联 结词则是复合命题，不出现联结词则是原子命题。
P
T T F
Q
T F T
P∨Q
T T T
Q∨P
T T T
• • •
今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。 （排斥或）----不是命题联结词 他可能是100米或400米赛跑的冠军。 （可兼或）----是命题联结词 他昨天做了二十或三十道题。 （表示近似数）----不是联结词
F
F
F
F
4. 条件联结词
• 设P 和Q 是两个命题，由联结词→把P，Q 连接成P →Q，读做 “如果P，则Q ” 或者
1.1 命题与联结词
三、联结词 联结词是逻辑联结词或命题联结词的简称，它是自然语言中连词的逻辑抽象，用它 和原子命题构成复合命题。 否定联结词 合取联结词 析取联结词 条件联结词 双条件联结词 ┐ ∧ ∨ →
. 否定联结词
• 设P 是一个命题，由联结词 ┐和命题P 构成 ┐P， 读“非P ”。 ┐P 为命题P 的 否定式复合命题。 • 联结词 ┐是自然语言中的“非”、“不”和“没有”等的逻辑抽象。
P T F
┐P
•
• •
P ：上海是一个大城市。
┐P：上海并不是一个大城市。 ┐P：上海是一个不大的城市。
F T
2. 合取联结词
• 令P 和Q 是两个命题，由联结词∧把P，Q 连接成P∧Q，读做“P 与Q ”， 或“P 合取Q ”。称P∧Q为P 和Q 的合取式复合命题。 • 联结词∧是自然语言中的“并且”，“既…又…”等的逻辑抽象。