第三讲逻辑联结词与四种命题充要条件

名师作业练全能
第三讲逻辑联结词与四种命题充要条件班级________ 姓名___________ 考号 __________ 日期__________ 得分___________
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的
括号内.)
1. (2010天津)命题“若f(x)是奇函数，贝U f(—x)是奇函数”的否命题是()
A .若f(x)是偶函数，则f(—x)是偶函数
B •若f(x)不是奇函数，则f( —x)不是奇函数
C.若f( —x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D •若f( —x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：否命题是既否定题设又否定结论•因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则
f(—X)不是奇函数”.
答案：B
2. (2011大庆模拟)若命题p：x€ M U N,则綈p是()
A . x?M? N
B . x?M 或x?N
C. x?M 且x?N D . x€ M n N
解析：x€ M U N, 即卩x€ M 或x€ N,
•••綈p：x?M 且x?N.
答案：C
3. (2011北京东城区模拟)已知命题p, q，若p且q为真命题，则必有()
A . p真q真
B . p假q假
C. p真q假 D . p假q真
答案：A
4.
(2011东城区)设命题p：x>2是X2>4的充要条件，命题q：若字电，则a>b.则( )
A .“ p或q”为真
B .“ P且q”为真
C . p真q假
D . p, q均为假命题
2 2 a b
解析：依题意，由x>2? X2>4，而X2>4D?/X>2，所以命题p是假命题，又由二>二，两C C
边同时乘以c2得a>b，所以命题q正确，所以选择 A.
答案：A
5. 有下列四个命题：
①“若x+ y= 0,则x、y互为相反数”的否命题;
②“若a > b，则a2> b2”的逆否命题；
③“若x w—3，贝U x2—x—6>0”的否命题；
④“对顶角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是()
A . 0
B . 1
C. 2 D . 3
解析：①“若x+ y z 0，则x、y不是相反数”是真命题；②“若a2w b2,则a w b”，取a= 0, b =—1,贝U a2w b2,但a>b,故是假命题；③ “若x>—3，贝U x2—x—6w0”，解不等式x2—x —6w 0可得—2w x w 3，而x= 4>—3,不是不等式的解，故是假命题；④“相等的角是对顶角”是假命题.
答案：B
点评：本题的解法中运用了举反例的方法，举出一个反例说明一个命题不正确是该类问
题中经常用到的方法.
6. (2011惠州模拟)如果命题“綈(p或q)”是真命题，则正确的是()
A . p、q均为真命题
B. p、q中至少有一个为真命题
C. p、q均为假命题
D. p、q中至多有一个为真命题
解析：•••“綈(p或q)”是真命题，••• “p或q”为假命题，则p和q都是假命题.
答案：C
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.)
1 X
7. (2011 宜昌一中月考)已知：A = {x€ R|2<2 <8} , B= {x|—1<x<m+ 1}，若x€ B 成立
的一个充分不必要条件是x€ A,则实数m的取值范围是____________ .
解析：A = {x|—1<x<3}，由题意x€ A? x€ B 但x€ BD/? x€ A,
•••(—1,3) (—1, m + 1), • m>2.
答案：m>2
&已知P(x)：ax2+ 3x+ 2>0 ,若对任意x€ R, P(x)是真命题，则实数a的取值范围是
解析：对任意x€ R, P(x)是真命题，就是不等式ax2+ 3x+ 2>0对一切x€ R恒成立.
(1)若a = 0，不等式仅为3x+ 2>0不能恒成立.
⑵若a>0
△= 9 —
8a<0
解得a>9.
8
(3)若a<0,不等式显然不能恒成立.
综上所述，实数a>9.
8
9
答案：a>9
8
2x
9. (2011厦门市适应性练习)已知p：—;<1, q：(x+ 1)(x—m)(x —3)>0.若p是q的充
x —1
分不必要条件，则实数m的取值范围是 ___________ .
解析：p: —1<x<1，当m>3 时，q:—1<x<3 或x>m.符合题意；当m= 3 时，q : x> — 1 且X M 3.符合题意；当一1<m<3 时，q :—1<x<m 或x>3,若p? q,贝U m> 1,当m W — 1 时, 不符合题意•综上分析m的取值范围是m> 1.
答案：m》1
10. 设P :关于x的不等式a x> 1的解集是{x|x v 0}, Q：函数y= lg(ax2—x+ a)的定义
域为R，如果P和Q有且仅有一个正确，则a的取值范围为_________ .
a> 0
解析：若P真则0 v a v 1,若P假则a> 1或a< 0,若Q真，由* 2得a >
△= 1—4a v 0
1 1
2.若Q假则a W 2.
1
又P和Q有且仅有一个正确，当P真Q假时，0v a<*当P假Q真时，a> 1.
综上，得 a € [o, 1 lu [1 ,+R).
答案：@, 2 U [1,+^ )
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤.)
11. 已知：p: 1 —< 2, q: x2—2x+ 1 —m2w 0(m>0)，若綈p 是綈q 的充分而不
必要条件，求实数m的取值范围.
x一1
解析：解法一：由1 —〒W 2,得一2W x< 10.
•••綈p：x v—2 或x> 10,
由x2—2x+ 1 —m2w 0,
得 1 —m W x W 1 + m(m>0).
•••綈q：x>1 + m 或x<1 —m, (m>0), •••綈p是綈q的充分而不必要条件,
设方程x 2 + ax + 1 = 0的两实根分别为
x 1> x 2
X 1 + X 2=— a 则£
|x 1X 2= 1
x 12 + x 22= (x 1 + x 2)2 — 2x 1x 2 = a 2 — 2> 3 • |a >
•方程x 2 + ax + 1= 0(a € R )的两实根的平方和大于 3的必要条件是|a|>. 3;但a = 2时 X 1 + x 2 = 2
W
3
因此这个条件不是其充分条件.
3 3
13•已知集合 A = {y|y = x 2 — ?x + 1, x € [4, 2]}, B = {x|x + m 2> 1};命题 p : x € A ,命 题q ： x € B ,并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数
m 的取值范围.
3
解析：化简集合A ，由y = x 2 — §x + 1, 配方得y =
4)+和
4, 2】，
・
-y min = 16 , y max = 2 和2] •
• A ={yf W y w 2}
化简集合 B ，由 x + m 2> 1 ,• x > 1 — m 2,
2
B = {x|x > 1 — m }.
•••命题p 是命题q 的充分条件，• A?
m>0
••• A B 结合数轴有紅+ m W 10 解得O<m w 3.
[l — m > — 2
解法二：綈p 是綈q 的充分不必要条件即为： q 是p 的充分不必要条件•由解法一得
q ： 1 — m W x W 1 + m , p : — 2v x v 10. m > 0
点评：一般来说，条件、结论为否定式的命题，都运用等价法判断. 12.
求证方程x 2+ ax + 1 = 0(a € R )的两实根的平方和大于 3的必要条件是|a|> , 3,这个
条件是其充分条件吗？为什么?
解析：•••方程x 2+ ax + 1 = 0(a € R )有两实根，则
由条件可得：<1 + m W 10
• 0 v m W 3.
■/ x € [ • y € [
/• 1 —m2< —，解之，得m》3或m W—-
16 4 4
3 3
实数m的取值范围是（—g ,— 4］或［4，+ m）•。