算法设计与分析(详细解析(含源代码)
算法设计与分析(详细解析(含源代码))
xi=gi(X)(I=0，1，…，n-1)
则求方程组根的迭代算法可描述如下：
【算法】迭代法求方程组的根
{for (i=0;i<n;i++)
x[i]=初始近似根;
do {
for (i=0;i<n;i++)
y[i]=x[i];
for (i=0;i<n;i++)
x[i]=gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)
显然，每个分量取值为0或1的n元组的个数共为2n个。而每个n元组其实对应了一个长度为n的二进制数，且这些二进制数的取值范围为0～2n-1。因此，如果把0～2n-1分别转化为相应的二进制数，则可以得到我们所需要的2n个n元组。
【算法】
maxv=0;
for (i=0;i<2n;i++)
{B[0..n-1]=0;
for ( j=1;j<k;j++)
{for ( carry=0,i=1;i<=m;i++)
{r=(i<=a[0]?a[i]+b[i]:a[i])+carry;
a[i]=r%10;
carry=r/10;
}
if (carry) a[++m]=carry;
算法设计与分析课件
ACM国际大学生程序设计竞赛
ACM国际大学生程序设计竞赛（英文 全称：ACM International Collegiate Programming Contest（ACM-ICPC或 ICPC）是由美国计算机协会（ACM）主办 的，一项旨在展示大学生创新能力、团队 精神和在压力下编写程序、分析和解决问 题能力的年度竞赛。经过30多年的发展， ACM国际大学生程序设计竞赛已经发展成 为最具影响力的大学生计算机竞赛。赛事 目前由IBM公司赞助。
主要内容介绍（续）
• • • • 第 7章 第 8章 第 9章 第10章 概率算法 NP完全性理论 近似算法 算法优化策略
1
相关先导基础课程和算法概述
专业基础课程： 数据结构、计算机语言(C++)、操作系统 如何编写计算机程序： • 数据结构+算法 = 程序 • 算法：计算机软件的“灵魂” 算法是计算机科学和计算机应用的核心
1.2 算法复杂性分析
Ω的定义：如果存在正的常数C和自然数N0，使得当NN0时 有f(N)Cg(N)，则称函数f(N)当N充分大时下有界，且g(N)是它 的一个下界，记为f(N)=Ω (g(N))。即f(N)的阶不低于g(N)的阶。 θ的定义：定义f(N)= θ (g(N))当且仅当f(N)=O(g(N))且 f(N)= Ω (g(N))。此时称f(N)与g(N)同阶。 o的定义：对于任意给定的ε＞0，都存在正整数N0，使得 当NN0时有f(N)/Cg(N)ε,则称函数f(N)当N充分大时的阶比 g(N)低，记为f(N)=o(g(N))。 例如，4NlogN+7=o(3N2+4NlogN+7)。
调试：“调试只能指出有错误，而不能指出它们不存在 错误” 9 作时空分布图：验证分析结论，优化算法设计
算法设计与分析
算法设计与分析第 1 章绪论算法理论研究的是算法的设计技术和算法的分析技术，前者是指面对一个问题，如何设计一个有效的算法，后者则是对已设计的算法，如何评价或者判断其优劣。
二者是相互依存的，设计出的算法需要检验和评价，对算法的分析反过来又将改进算法的设计。
1.1 算法的基本概念算法的概念在计算机科学领域几乎无处不在，在各种计算机软件系统的实现中，算法设计往往处于核心地位。
例如，操作系统是现代计算机系统中不可缺少的系统软件，操作系统的各个任务都是一个单独的问题，每个问题由操作系统中的一个子程序根据特定的算法来实现。
用什么方法来设计算法，如何判定一个算法的优劣，所设计的算法需要占用多少时间资源和空间资源，在实现一个软件系统时，都是必须予以解决的重要问题。
1.1.1 为什么要学习算法用计算机求解任何问题都离不开程序设计，而程序设计的核心是算法设计。
普通来说，对程序设计的研究可以分为四个层次：算法、方法学、语言和工具，其中算法研究位于最高层次。
算法对程序设计的指导可以延续几年甚至几十年，它不依赖于方法学、语言和工具的发展与变化。
例如，用于数据存储和检索的 Hah 算法产生于 20 世纪 50 年代，用于排序的快速排序算法发明于 20 世纪 60 年代，但他们至今仍被人们广为使用，可是程序设计方法已经从结构化发展到面向对象，程序设计语言也变化了几代，至于编程工具很难维持三年不变。
所以，对于从事计算机专业的人士来说，学习算法是非常必要的。
学习算法还能够提高人们分析问题的能力。
算法可以看做是解决问题的一类特殊方法——它不是问题的答案，而是经过精确定义的①、用来获得答案的求解过程。
因此，无论是否涉及计算机，特定的算法设计技术都可以看做是问题求解的有效策略。
著名的计算机科学家科努思(Donald ·Knuth)是这样论述这个问题的：“受过良好训练的计算机科学家知道如何处理算法，如何构造算法、操作算法、理解算法以及分析算法，这些知识远不只是为了编写良好的计算机程序而准备的。
算法分析与设计
1.利用数组实现原始信息与处理结果的对应存储。
2.二维趣味矩阵的应用主对角线元素i=j；副对角线元素: 下标下界为1时i+j=n+1，下标下界为0时i+j=n-1；主上三角◥元素: i <=j；主下三角◣元素: i >=j；次上三角◤元素：下标下界为1时i +j<=n+1，下标下界为0时i+j<=n-1；次下三角◢元素：下标下界为1时i +j>=n+1，下标下界为0时i+j>=n-1；3.算法优化技巧中算术运算的妙用。
4.非数值问题的处理练习：警察局抓了a，b，c，d四名偷窃嫌疑犯，其中只有一人是小偷。
审问中的描述如下：a说：“我不是小偷。
”b说：“c是小偷。
”c 说：“小偷肯定是d 。
”d 说：“c 在冤枉人。
”现在已经知道四个人中三人说的是真话，一人说的是假话，问到底谁是小偷？提示：将以上信息数字化，用变量x 存放小偷的编号，则x 的取值范围从1取到4，就假设了他们中的某人是小偷的所有情况。
四个人所说的话就可以分别写成：a 说的话：x<>1b 说的话：x=3c 说的话：x=4d 说的话：x<>4或not(x=4)#include <stdio.h>int main(){ int x;for(x=1;x<=4;x++){if((x!=1)+(x==3)+(x==4)+(x!=4)==3)printf("%c is a thief. \n",x+64);}return 0;}运行结果：c is a thief .5. 数学模型的应用练习2：求n 次二项式各项的系数：已知二项式的展开式为：n n n n n n n n n n b C b a C b a C a C b a ++++=+-- 222110)(，要求利用杨辉三角形的规律来求解此问题。
各阶多项式的系数呈杨辉三角形的规律，因此可利用杨辉三角形的规律来编程实现。
计算机算法设计与分析代码
计算机算法设计与分析代码计算机算法设计与分析是计算机科学领域中非常重要的一门课程，它涉及到了算法的设计、实现和性能分析等方面。
在本文中，我将首先介绍算法设计与分析的概念和重要性，然后详细讨论几个常用的算法设计技巧，并给出相应的代码实现示例。
算法设计与分析是指在解决实际问题时，选择合适的算法思想和设计方法，通过对算法的正确性、效率和可靠性等方面进行分析，以找到最优的算法解决方案。
一个好的算法设计可以极大地提高程序的运行效率和质量，从而更好地满足用户的需求。
在算法设计与分析中，有许多常用的算法设计技巧和方法，例如贪心算法、分治算法、动态规划算法和回溯算法等。
下面我将以几个具体的例子来说明这些算法设计技巧的应用。
首先是贪心算法。
贪心算法是一种简单而高效的算法思想，它在每一步选择中都采取当前最优的选择，从而希望能够达到全局最优解。
一个经典的例子是找零钱问题。
假设有一定面值的货币和一个需要找零的金额，我们的目标是用最少数量的货币来找零。
下面是贪心算法的代码实现示例：```def make_change(coins, amount):coins.sort(reverse=True)num_coins = 0for coin in coins:while amount >= coin:amount -= coinnum_coins += 1if amount == 0:return num_coinselse:return -1```接下来是分治算法。
分治算法将一个大问题划分成多个小问题，分别解决小问题后再将结果合并起来，从而得到最终的解。
一个经典的例子是归并排序。
归并排序将一个数组分成两个部分，分别对两个部分进行排序，然后将两个有序的部分合并起来。
下面是归并排序的代码实现示例：```def merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left = arr[:mid]right = arr[mid:]left = merge_sort(left)right = merge_sort(right)return merge(left, right)def merge(left, right):result = []i=0j=0while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]:result.append(left[i])i+=1else:result.append(right[j])j+=1while i < len(left):result.append(left[i])i+=1while j < len(right):result.append(right[j])j+=1return result再来是动态规划算法。
《算法设计与分析》课件
常见的贪心算法包括最小生成树算法 、Prim算法、Dijkstra算法和拓扑排 序等。
贪心算法的时间复杂度和空间复杂度 通常都比较优秀，但在某些情况下可 能需要额外的空间来保存状态。
动态规划
常见的动态规划算法包括斐波那契数列、背包 问题、最长公共子序列和矩阵链乘法等。
动态规划的时间复杂度和空间复杂度通常较高，但通 过优化状态转移方程和状态空间可以显著提高效率。
动态规划算法的时间和空间复杂度分析
动态规划算法的时间复杂度通常为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。
04 经典问题与算法实现
排序问题
冒泡排序
通过重复地遍历待排序序列，比较相邻元素的大小，交换 位置，使得较大的元素逐渐往后移动，最终达到排序的目 的。
快速排序
采用分治策略，选取一个基准元素，将比基准元素小的元 素移到其左边，比基准元素大的元素移到其右边，然后对 左右两边的子序列递归进行此操作。
动态规划是一种通过将原问题分解为若干个子 问题，并从子问题的最优解推导出原问题的最 优解的算法设计方法。
动态规划的关键在于状态转移方程的建立和状态 空间的优化，以减少不必要的重复计算。
回溯算法
01
回溯算法是一种通过穷举所有可能情况来求解问题的算法设计方法。
02
常见的回溯算法包括排列组合、八皇后问题和图的着色问题等。
空间换时间 分治策略 贪心算法 动态规划
通过增加存储空间来减少计算时间，例如使用哈希表解决查找 问题。
将问题分解为若干个子问题，递归地解决子问题，最终合并子 问题的解以得到原问题的解。
在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的 选择，从而希望导致结果是最好或最优的。
通过将问题分解为相互重叠的子问题，并保存子问题的解，避 免重复计算，提高算法效率。
编程中的算法设计与分析
编程中的算法设计与分析在计算机编程领域，算法是解决问题的方法和步骤的描述，是程序设计的核心内容。
算法的设计与分析是编程中不可或缺的重要环节，它决定了程序的效率和性能，直接影响着程序的运行速度和资源利用情况。
本文将讨论编程中的算法设计与分析的重要性，并探讨一些常用的算法设计方法和分析技巧。
一、算法设计的重要性算法设计是解决问题的关键步骤之一，它直接决定了程序的质量和功能。
一个优秀的算法设计能够提高程序的运行效率和性能，减少资源消耗。
相反，一个糟糕的算法设计可能导致程序运行缓慢、消耗大量内存或者产生错误的结果。
良好的算法设计能够帮助程序员更好地解决实际问题。
通过合理的算法设计，可以降低问题的复杂度，减少解决问题的时间和空间消耗。
算法设计还能提高程序的可读性和可维护性，使程序具备良好的扩展性和适应性。
二、常用的算法设计方法1. 贪心算法贪心算法是一种简单而高效的算法设计方法。
它通过在每一步选择当前最优解，逐步构建最终解。
贪心算法通常适用于问题具有最优子结构的情况，即最优解可以通过一系列局部最优选择得到。
2. 动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的算法设计方法。
它通常将原问题划分为若干个子问题，并保存子问题的解，避免重复计算。
动态规划的关键在于定义状态和状态转移方程，通过递推求解最终解。
3. 回溯算法回溯算法是一种穷举搜索的算法设计方法。
它通过尝试所有可能的解，并在每一步进行选择和回退，找到问题的解。
回溯算法通常适用于问题的解空间较小的情况，但由于需要穷举搜索，效率较低。
三、算法分析的重要技巧1. 时间复杂度分析时间复杂度是衡量算法运行时间的指标。
它表示算法执行所需的时间与问题规模的关系。
常见的时间复杂度有O(1)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)等。
通过对算法的时间复杂度进行分析，可以评估算法的运行效率。
2. 空间复杂度分析空间复杂度是衡量算法所需内存空间的指标。
它表示算法所使用的额外空间与问题规模的关系。
算法设计与分析实验报告
实验一找最大和最小元素与归并分类算法实现（用分治法）一、实验目的1．掌握能用分治法求解的问题应满足的条件；2．加深对分治法算法设计方法的理解与应用；3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。
二、实验内容1、找最大和最小元素输入n 个数，找出最大和最小数的问题。
2、归并分类将一个含有n个元素的集合，按非降的次序分类（排序）。
三、实验要求（1）用分治法求解问题（2）上机实现所设计的算法；四、实验过程设计（算法设计过程）1、找最大和最小元素采用分治法，将数组不断划分，进行递归。
递归结束的条件为划分到最后若为一个元素则max和min都是这个元素，若为两个取大值赋给max，小值给min。
否则就继续进行划分，找到两个子问题的最大和最小值后，比较这两个最大值和最小值找到解。
2、归并分类使用分治的策略来将一个待排序的数组分成两个子数组，然后递归地对子数组进行排序，最后将排序好的子数组合并成一个有序的数组。
在合并过程中，比较两个子数组的首个元素，将较小的元素放入辅助数组，并指针向后移动，直到将所有元素都合并到辅助数组中。
五、源代码1、找最大和最小元素#include<iostream>using namespace std;void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin); int main() {int n;int left=0, right;int fmax, fmin;int num[100];cout<<"请输入数字个数：";cin >> n;right = n-1;cout << "输入数字:";for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}MAXMIN(num, left, right, fmax, fmin);cout << "最大值为：";cout << fmax << endl;cout << "最小值为：";cout << fmin << endl;return 0;}void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin) { int mid;int lmax, lmin;int rmax, rmin;if (left == right) {fmax = num[left];fmin = num[left];}else if (right - left == 1) {if (num[right] > num[left]) {fmax = num[right];fmin = num[left];}else {fmax = num[left];fmin = num[right];}}else {mid = left + (right - left) / 2;MAXMIN(num, left, mid, lmax, lmin);MAXMIN(num, mid+1, right, rmax, rmin);fmax = max(lmax, rmax);fmin = min(lmin, rmin);}}2、归并分类#include<iostream>using namespace std;int num[100];int n;void merge(int left, int mid, int right) { int a[100];int i, j,k,m;i = left;j = mid+1;k = left;while (i <= mid && j <= right) {if (num[i] < num[j]) {a[k] = num[i++];}else {a[k] = num[j++];}k++;}if (i <= mid) {for (m = i; m <= mid; m++) {a[k++] = num[i++];}}else {for (m = j; m <= right; m++) {a[k++] = num[j++];}}for (i = left; i <= right; i++) { num[i] = a[i];}}void mergesort(int left, int right) { int mid;if (left < right) {mid = left + (right - left) / 2;mergesort(left, mid);mergesort(mid + 1, right);merge(left, mid, right);}}int main() {int left=0,right;int i;cout << "请输入数字个数：";cin >> n;right = n - 1;cout << "输入数字:";for (i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}mergesort(left,right);for (i = 0; i < n; i++) {cout<< num[i];}return 0;}六、运行结果和算法复杂度分析1、找最大和最小元素图1-1 找最大和最小元素结果算法复杂度为O(logn）2、归并分类图1-2 归并分类结果算法复杂度为O(nlogn）实验二背包问题和最小生成树算法实现（用贪心法）一、实验目的1．掌握能用贪心法求解的问题应满足的条件；2．加深对贪心法算法设计方法的理解与应用；3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。
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常用算法设计方法要使计算机能完成人们预定的工作，首先必须为如何完成预定的工作设计一个算法，然后再根据算法编写程序。
计算机程序要对问题的每个对象和处理规则给出正确详尽的描述，其中程序的数据结构和变量用来描述问题的对象，程序结构、函数和语句用来描述问题的算法。
算法数据结构是程序的两个重要方面。
算法是问题求解过程的精确描述，一个算法由有限条可完全机械地执行的、有确定结果的指令组成。
指令正确地描述了要完成的任务和它们被执行的顺序。
计算机按算法指令所描述的顺序执行算法的指令能在有限的步骤内终止，或终止于给出问题的解，或终止于指出问题对此输入数据无解。
通常求解一个问题可能会有多种算法可供选择，选择的主要标准是算法的正确性和可靠性，简单性和易理解性。
其次是算法所需要的存储空间少和执行更快等。
算法设计是一件非常困难的工作，经常采用的算法设计技术主要有迭代法、穷举搜索法、递推法、贪婪法、回溯法、分治法、动态规划法等等。
另外，为了更简洁的形式设计和藐视算法，在算法设计时又常常采用递归技术，用递归描述算法。
一、迭代法迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
上述算法用C程序的形式表示为：【算法】迭代法求方程的根{ x0=初始近似根；do {x1=x0；x0=g(x1)；/*按特定的方程计算新的近似根*/} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；}迭代算法也常用于求方程组的根，令X=（x0，x1，…，x n-1）设方程组为：x i=g i(X) (I=0，1，…，n-1)则求方程组根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程组的根{ for (i=0;i<n;i++)x[i]=初始近似根;do {for (i=0;i<n;i++)y[i]=x[i];for (i=0;i<n;i++)x[i]=gi(X);for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)if (fabs(y[i]-x[i])>delta) delta=fabs(y[i]-x[i])；} while (delta>Epsilon)；for (i=0;i<n;i++)printf(“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x[i])；printf(“\n”)；}具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
二、穷举搜索法穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，并从中找出那些符合要求的候选解作为问题的解。
【问题】将A、B、C、D、E、F这六个变量排成如图所示的三角形，这六个变量分别取[1，6]上的整数，且均不相同。
求使三角形三条边上的变量之和相等的全部解。
如图就是一个解。
程序引入变量a、b、c、d、e、f，并让它们分别顺序取1至6的整数，在它们互不相同的条件下，测试由它们排成的如图所示的三角形三条边上的变量之和是否相等，如相等即为一种满足要求的排列，把它们输出。
当这些变量取尽所有的组合后，程序就可得到全部可能的解。
细节见下面的程序。
【程序1】# include <stdio.h>void main(){ int a,b,c,d,e,f;for (a=1;a<=6;a++)for (b=1;b<=6;b++){if (b==a) continue;for (c=1;c<=6;c++){if (c==a)||(c==b) continue;for (d=1;d<=6;d++) {if (d==a)||(d==b)||(d==c) continue;for (e=1;e<=6;e++) {if (e==a)||(e==b)||(e==c)||(e==d) continue;f=21-(a+b+c+d+e);if ((a+b+c==c+d+e))&&(a+b+c==e+f+a)) {printf(“%6d,a);printf(“%4d%4d”,b,f);printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e);scanf(“%*c”);}}}}}}按穷举法编写的程序通常不能适应变化的情况。
如问题改成有9个变量排成三角形，每条边有4个变量的情况，程序的循环重数就要相应改变。
对一组数穷尽所有排列，还有更直接的方法。
将一个排列看作一个长整数，则所有排列对应着一组整数。
将这组整数按从小到大的顺序排列排成一个整数，从对应最小的整数开始。
按数列的递增顺序逐一列举每个排列对应的每个整数，这能更有效地完成排列的穷举。
从一个排列找出对应数列的下一个排列可在当前排列的基础上作部分调整来实现。
倘若当前排列为1，2，4，6，5，3，并令其对应的长整数为124653。
要寻找比长整数124653更大的排列，可从该排列的最后一个数字顺序向前逐位考察，当发现排列中的某个数字比它前一个数字大时，如本例中的6比它的前一位数字4大，这说明还有对应更大整数的排列。
但为了顺序从小到大列举出所有的排列，不能立即调整得太大，如本例中将数字6与数字4交换得到的排列126453就不是排列124653的下一个排列。
为了得到排列124653的下一个排列，应从已经考察过的那部分数字中选出比数字大，但又是它们中最小的那一个数字，比如数字5，与数字4交换。
该数字也是从后向前考察过程中第一个比4大的数字。
5与4交换后，得到排列125643。
在前面数字1，2，5固定的情况下，还应选择对应最小整数的那个排列，为此还需将后面那部分数字的排列顺序颠倒，如将数字6，4，3的排列顺序颠倒，得到排列1，2，5，3，4，6，这才是排列1，2，4，6，5，3的下一个排列。
按以上想法编写的程序如下。
【程序2】# include <stdio.h># define SIDE_N 3# define LENGTH 3# define VARIABLES 6int A,B,C,D,E,F;int *pt[]={&A,&B,&C,&D,&E,&F};int *side[SIDE_N][LENGTH]={&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A};int side_total[SIDE_N];main{}{ int i,j,t,equal;for (j=0;j<VARIABLES;j++)*pt[j]=j+1;while(1){ for (i=0;i<SIDE_N;i++){ for (t=j=0;j<LENGTH;j++)t+=*side[i][j];side_total[i]=t;}for (equal=1,i=0;equal&&i<SIDE_N-1;i++)if (side_total[i]!=side_total[i+1] equal=0;if (equal){ for (i=1;i<VARIABLES;i++)printf(“%4d”,*pt[i]);printf(“\n”);scanf(“%*c”);}for (j=VARIABLES-1;j>0;j--)if (*pt[j]>*pt[j-1]) break;if (j==0) break;for (i=VARIABLES-1;i>=j;i--)if (*pt[i]>*pt[i-1]) break;t=*pt[j-1];* pt[j-1] =* pt[i]; *pt[i]=t;for (i=VARIABLES-1;i>j;i--,j++){ t=*pt[j]; *pt[j] =* pt[i]; *pt[i]=t; } }}从上述问题解决的方法中，最重要的因素就是确定某种方法来确定所有的候选解。
下面再用一个示例来加以说明。
【问题】背包问题问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。
设n个物品的重量和价值分别存储于数组w[ ]和v[ ]中，限制重量为tw。
考虑一个n 元组（x0，x1，…，x n-1），其中x i=0 表示第i个物品没有选取，而x i=1则表示第i个物品被选取。
显然这个n元组等价于一个选择方案。
用枚举法解决背包问题，需要枚举所有的选取方案，而根据上述方法，我们只要枚举所有的n元组，就可以得到问题的解。
显然，每个分量取值为0或1的n元组的个数共为2n个。
而每个n元组其实对应了一个长度为n的二进制数，且这些二进制数的取值范围为0～2n-1。
因此，如果把0～2n-1分别转化为相应的二进制数，则可以得到我们所需要的2n个n元组。
【算法】maxv=0;for (i=0;i<2n;i++){ B[0..n-1]=0;把i转化为二进制数，存储于数组B中;temp_w=0;temp_v=0;for (j=0;j<n;j++){ if (B[j]==1){ temp_w=temp_w+w[j];temp_v=temp_v+v[j];}if ((temp_w<=tw)&&(temp_v>maxv)){ maxv=temp_v;保存该B数组；}}}三、递推法递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。
设要求问题规模为N的解，当N=1时，解或为已知，或能非常方便地得到解。
能采用递推法构造算法的问题有重要的递推性质，即当得到问题规模为i-1的解后，由问题的递推性质，能从已求得的规模为1，2，…，i-1的一系列解，构造出问题规模为I的解。
这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地，由已知至i-1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至得到规模为N 的解。
【问题】阶乘计算问题描述：编写程序，对给定的n（n≦100），计算并输出k的阶乘k！（k=1，2，…，n）的全部有效数字。