第三章 粘性流体流动的微分方程
流体力学习题及答案-第三章
第三章 流体运动学3-1粘性流体平面定常流动中是否存在流函数？ 答：对于粘性流体定常平面流动，连续方程为：()()0=∂∂+∂∂yv x u ρρ； 存在函数：v t y x P ρ-=),,(和()u t y x Q ρ=,,，并且满足条件：()()yP x Q ∂∂=∂∂。
因此，存在流函数，且为：()()()dy u dx v Qdy Pdx t y x ρρψ+-=+=⎰⎰,,。
3-2轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程?答：如果流体为不可压缩流体，流动为无旋流动，那么流函数为调和函数，满足拉普拉斯方程。
3-3 就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。
（1）22222 ,2yx ym v y x x m u +⋅=+⋅=ππ （2）()()()222222222 ,yxKtxyv yxx y Kt u +-=+-=，其中m ，K 为常数。
答：（1）流场的加速度表达式为：yv v x v u t v a y u v x u u t u a x ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=y ,。
由速度分布，可以计算得到：0 ,0=∂∂=∂∂tvt u ，因此： ()222222y x x y m x u +-⋅=∂∂π，()22222y x xy m y u +-⋅=∂∂π；()22222y x xy m x v +-⋅=∂∂π，()222222y x y x m y v +-⋅=∂∂π。
代入到加速度表达式中：()()()22222222222222222222220y x x m y x xym y x y m y x x y m y x x m a x +⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⋅⋅+⋅++-⋅⋅+⋅+=πππππ()()()22222222222222222222220y x y m y x y x m y x y m y x xym y x x m a y +⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⋅⋅+⋅++-⋅⋅+⋅+=πππππ（2）由速度分布函数可以得到：()()()322222222 ,y x Kxyt v y x x y K t u +-=∂∂+-=∂∂ ()()3222232y x y x Ktx x u +-⋅=∂∂，()()3222232y x y x Kty y u +-⋅=∂∂； ()()3222232y x x y Kty x v +-⋅-=∂∂，()()3222232yx y x Ktx y v +-⋅-=∂∂。
第3章流体力学连续性方程微分形式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
du p p p du d y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt d
<I> <II> <III>
p 2、均匀不可压缩流体，即=Const； <II>= d ( )
中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。 受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D dy A
O
o’
p dx p Cx 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx P p A ( p ) dydz M M 2 x p dx 右表面 P p A ( p ) dydz N N 2 x
2 2 2 2 2 2 ，例： 拉普拉斯算符 x y z 2
2 2 2 u u u x x x u x 2 2 2 x y z 2
第三节 流体动力学基本方程式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三 项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分， 只能在一定条件下积分。 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
du p p p du du y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt dt
第三章一元流体动力学基础
d (gz p 1 u 2 ) 0
2
积分后得 gz p 1 u 2 常数
2
考虑到重度γ=ρg，将上式两端除以重力加速度g，得： z p u 2 常数 （3）
2 . 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流 线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时 有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大 的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出 现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称 驻点，速度为无穷大的点称为奇点。
)
再看右端三式相加： 由于是在重力场中，故流体
dx
u x t
u x x
ux
u x y
uy
u x z
uz
X
1
p x
的质量力只是重力，则 X=0， Y＝0， Z＝－g。
dy
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
所以: Xdx+Ydy＋Zdz=-gdz
dz
u z t
u z x
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f (x, y, z,t),u f (x, y, z,t)
定常流动
非定常流动
有旋流动(rotational flow)：流体在流动中，流场中有若干处 流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动
无旋流动(irrotational flow)：在整个流场中各处的流体微团 均不绕自身轴线的旋转运动
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
粘性流体力学课件
适用于牛顿流体
流体运动微分方程——Navier－Stokes方程
y
vx v y vx vz z x x z y
Dvx p 2 x fx 2 Dt x 3 x x x
Dvy
2 y 2 y 2 y 1 p fy 2 2 x Dt y y z 2
2 z 2 z 2 z Dvz 1 p fz 2 2 2 Dt z y z x
( x z ) ( y z ) ( z 2 ) dxdydz x y z
微元体内的动量变化率
x dxdydz x方向： t z dxdydz y方向： dxdydz z方向： t t
y
运动方程
以应力表示的运动方程
p
xx
yy zz 3
这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平 均值却总是与压力大小相等。
切应力与角边形率
流体切应力与角变形率相关。
牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系， 是流体力学的虎克定律。
N-S方程
Dvx p 2 x fx 2 Dt x 3 x x x
xx dx x
每个应力有两个下标，第一个下 标表示应力作用面的法线方向； 第二个下标表示应力的作用方向
fz
fy fx
应力正负的规定
应力与所在平面的外法线方向相 同为正，否则为负：
微元体上的表面力和体积力
运动方程
应力状态及切应力互等定律
流体力学标准化作业答案第三章
流体力学标准化作业（三）——流体动力学本次作业知识点总结1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法。
2.流体流动的加速度、质点导数流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即(,,,)u u x y z t =流体质点的加速度等于速度对时间的变化率，即Du u u dx u dy u dza Dt t x dt y dt z dt ∂∂∂∂==+++∂∂∂∂投影式为x x x x x x y z y y y y y x y zz z z z z x y zu u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z ∂∂∂∂⎧=+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂⎩或 ()du u a u u dt t ∂==+⋅∇∂ 在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， ut∂∂为固定空间点，由时间变化引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起。
()u u⋅∇为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。
欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。
例如不可压缩流体，密度的随体导数D D u t tρρρ∂=+⋅∇∂（） 3.流体流动的分类（1）恒定流和非恒定流 （2）一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4.流体流动的基本概念 （1）流线和迹线流线微分方程x y zdx dy dz u u u ==迹线微分方程x y zdx dy dz dt u u u === （2）流管、流束与总流（3）过流断面、流量及断面平均流速体积流量 3(/)A Q udAm s =⎰ 质量流量 (/)mAQ udAkg s ρ=⎰断面平均流速 AudA Qv AA==⎰（4）渐变流与急变流 5. 连续性方程（1）不可压缩流体连续性微分方程0y x zu u u x y z∂∂∂++=∂∂∂ （2）元流的连续性方程121122dQ dQ u dA u dA =⎧⎨=⎩ （3）总流的连续性方程1122u dA u dA =6. 运动微分方程（1）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）111xx x x x y z yy y y x y z zz z z x y z u u u u p X u u u x t x y zu u u u p Y u u u x t x y z u u u u p Z u u u x t x y z ρρρ∂∂∂∂∂⎫-=+++⎪∂∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪∂-=+++⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂-=+++⎪∂∂∂∂∂⎭矢量表示式1()uf p u u tρ∂+∇=+⋅∇∂ （2）粘性流体运动微分方程（N-S 方程）222111x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u pX u u u u x t x y zu u u u pY u u u u x t x y z u u u u p Z u u u u x t x y z νρνρνρ∂∂∂∂∂⎫-+∇=+++⎪∂∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪∂-+∇=+++⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂-+∇=+++⎪∂∂∂∂∂⎭矢量表示式 21()uf p u u u tνρ∂+∇+∇=+⋅∇∂ 7.理想流体的伯努利方 （1）理想流体元流的伯努利方程22p u z C g gρ++=（2）理想流体总流的伯努利方程221112221222p v p v z z g g g gααρρ++=++8.实际流体的伯努利方程 （1）实际流体元流的伯努利方程2211221222w p u p u z z h g g g gρρ++=+++（2）实际流体总流的伯努利方程2211122212w 22p v p v z z h g g g gααρρ++=+++10.恒定总流的动量方程()2211F Q vv ρββ=-∑投影分量形式()()()221122112211xx x y y y z z z F Q v v F Q v v F Q v v ρββρββρββ⎫=-⎪⎪=-⎬⎪=-⎪⎭∑∑∑标准化作业(5)——流体运动学选择题1. 用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于( )。
工程流体力学 第3章 流体运动基本概念和基本方程
流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线 上的所有流线组成的管状表面。 流束——充满流管的一束流体。 微元流束——截面积无穷小的流束。 总流——无限多微元流束组成总的流束。
3. 缓变流和急变流 缓变流— 流线近似平行；
急变流— 流线不平行；
缓变流
急变流
缓变流
急变流
4. 有效截面 流量 平均流速
v v( x, y, z, t ) ， p p( x, y, z, t ) , ( x, y, z, t )
欧拉法
Euler法（欧拉法） 描述流体运动
第一节
一
流体运动的描述方法
Z
Euler法（欧拉法 ）
流体质点运动的速度：
v x v x ( x, y , z , t ) v y v y ( x, y , z , t ) vz v z ( x , y , z , t )
n CV CS
方程含义：单位时间内控制体内流体质量的增量，等于通过 控制体表面的质量的净通量。 定常流动的积分形式的连续性方程：
dA 0
n CS
二. 定常管流
定常流动连续性方程： 应用于定常管流时：
dA 0
n CS
A1
1 1n
dA 2 2 n dA
t 0
lim
Ⅲ
t
cosdA v dA dA
CS 2 CS 2 CS 2
（dV） t Ⅰ lim cosdA v dA －n dA t 0 t CS1 CS1 CS1
CS2为控制体表面上的出流面积；
A2
截面A1上的质量流量
截面A2上的质量流量
不可压缩粘性流体的运动微分方程
32
例题：不可压缩粘性流体在距离为b的两个大水 平板间作定常层流流动，假定流体沿流动方向 的压强降已知，求:
（1）两板固定不动; （2）下板固定上板以等速U沿流动方向运动； 两板间流体运动的速度分布。
y 流向 b x
故有 f ( y ) 0 所以
vx (1 2 y) x x 2 xy
12
例题：不可压缩流体的速度分布为
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
z 答案： v z zx 2y 2
2
15
6.2不可压缩粘性流体运动微分方程
在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平 行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法
向应力和切向应力如图所示。
16
y z
әσyy әyx σyy+ әy dy yx+ әy dy әyz σzz zx әxy yz+ әy dy xy+ әx dx әσxx xz әzy fy zy σxx+ әx dx σxx zy+ әz dz fx әxz f z xy xz+ әx dx әzx dy zx+ әz dz yz dz әσzz σzz+ әz dz yx σ
40
27
v 1 2 ( v ) v f p v t
6.3基本微分方程组的定解条件
粘性流体力学.ppt
Dvy Dt
=
fy-
p y
+
x
vy x
vx y
y
2
vy y
2 3
V
z
vz y
vy z
Dvz Dt
=
fz -
p z
在 t 时间内通过控制体左侧面流入控制体的 流体质量为 u y z t 通过右侧面流出控制体的流体质量为
u
u+
x
x y z t
这里对 u 运用了泰勒级数展开，并忽略二阶 以上小量。沿x方向净流出控制体的流体质量 为
u
u
从上式可得
+ u + v + w = 0
1.6
用场论符号表示为： t x y z
+ v = 0
t
利用散度公式 v = v + v
质点 导数表达式，（1D.7）+式 可v =改0写为
Dt
1.7
静止固壁： v 0 （粘附条件）
运动固壁： v流 v固
自由界面上：pnn p0 , pij 0i j
即在自由界面上，法向应力等于自由界面上的压力，切向应
力为零。
对于温度场，还可以有温度边界条件，即
或
qw
k
T n
w
T Tw
式中 Tw 是物面上的温度。qw 为通过单位面积传递给流 体 T / n
第三章流体流动的基本概念和方程
第三章流体流动的基本概念和方程引言：流体流动的特点1、流体的变形运动2、描述流体运动的主要物理量流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系l 3.1研究流体运动的两种方法连续介质模型：我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。
描述流体运动的各物理量（如速度、加速度等）均应是空间点的坐标和时间的连续函数流场（flow field ）：流体质点运动的全部空间。
流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange ）方法，另一种是欧拉（Euler ）方法。
一、拉格朗日方法1、分析方法：又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。
2、位置表示：这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻t ，任一流体质点的位置可表为：（velocity ）和加速度（acceleration ）为：4、密度表示：流体的密度（density ）、压强（pressure ）和温度（temperature ) 写成a 、b 、t 的函数，即ρ= ρ( a , b , c , t ) , p = p ( a , b , c , t ) , t = t ( a , b , c , t)二、欧拉法1、分析方法：又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。
2、表示：流体质点的流动是空间点坐标（x , y , z ）和时间t 的函数，流体质点的三个速度分量表示为：流体质点密度表示：（3——6）式（ 3 一 6 ）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间t 求导就可得流体质点沿运动轨的三个速度分量根据矢量分析的点积公式间的变化而产生的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的第一项tw t v t u ∂∂∂∂∂∂、、 ○2第二部分，迁移加速度（ acceleration of transport )：是某一瞬时由于流体质点速度随空间点的变化而引起的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的后三项z u w y u v x u u ∂∂∂∂∂∂、、等 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度（ total acceleration ）5、流体质点的加速度的物理意义如图 3 一 1 所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面 2 比截面 1 小，则截面 2 的速度就要比截面 1 的速度大。
2019年传递过程原理讲课提纲04粘性流体运动的微分方程及其应用2.doc
§2—4 N —S 方程在柱坐标及球坐标中的表示 1. 柱坐标中的表示x= rcos αy= rsin αz= z在r 分量方向 zuu r u u r u r u u u r z r r r r ∂∂+-∂∂+∂∂+∂∂2αααθ = ()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂-2222222111z u u r u r ru r r r r p X r rr r ααυρα 在α分量方向zuu r u u u r u r u u u z r r ∂∂++∂∂+∂∂+∂∂αααααααθ = ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂-2222222111z u r u r u r ru rr r p r X r αααααυαρ 在z 分量方向zuu u r u r u u u z z z z r z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂αθα = ]1)(1[122222zu u r r u r r r z p X zz z z ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂-αυρ 2. 球坐标中的表示x= (rsin α)cos φ y= (rsin α)sin φ z= rcos α r 分量：ru u u r u u r u r u u u r r r r r 22sin φαφαφααθ+-∂∂⋅+∂∂+∂∂+∂∂ ]sin 1)(2sin 1sin sin 11[122222222φαααφαααααυρφαα∂∂++∂∂+-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-u ctg u u u ru r u r r u r r r r p X r r r r r ＝yy图 19α分量：rctg u r u u u r u u r u r u u u r r αφααθφααφαααα2sin -+∂∂⋅+∂∂+∂∂+∂∂]s i n c o s 2s i n 2s i n 1s i ns i n 11[11222222222222φααααφαααααυαρφααααα∂∂--∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-u r r u u r u r u r r u r r r p r X r ＝φ分量：rc t g u u r u u u r u u r u r u u u r r r θφααθφφφφφαφφ++∂∂⋅+∂∂+∂∂+∂∂s i n ]sin cos 2sin sin 2sin 1sin sin 11[sin 112222222222222φαααφαφαααααυφαραφφφφφ∂∂+-∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-u r r u u r u r u r r u r r r p r X r ＝§3 流体运动方程的应用§3-1 平壁间的稳定层流设平板无限大，相互平行，作层流运动一维稳定流动，不可压缩于是 u y =u z =0 (1) 由连续性方程有0=∂∂xu x(2) 又对稳定流动0=∂∂θxu (3) 故N —S 方程简化为：)(12222zu y u X x px x ∂∂+∂∂+=∂∂υρ 对无限大平板可认为 0=∂∂z u x 故022=∂∂zu x， 又在x 方向X = 0x图 20于是 222211dy u d dx dpy u x p x x υρυρ=⇒∂∂=∂∂ 边界条件(Boundary Condition) y=y 0, u x =0 初始条件(Initial condition) y=0,0=dydu x于是 ()22021y y dx dp u --=μ 及 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20max 1y y u u 式中： dxdpy u ⋅-=20max 21μ 又设平板的宽度为w ，则流体流过二平行平板间的体积流量为⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-===Ay v y dx dp w udy w udA Q 0300322μ 另一方面，若设平板间的主体流速（即截面平均流速）为u b 则有Q V =u b ·B ·(2y 0)可得： 2031y dx dp u b ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=μ故 32=x b u u 及 203y u dx dp b μ-=§3-2 圆形直管内的稳定层流化工原理中已得出了相应的结论。
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另一部分是量的对流变化，即该量由于流
体质点的运动，由一点移动到另一点时该
量所发生的变化，称为“对流导数”。
上式表明：当流体质点在dθ时间内，由 空间的一点（x，y，z）移动到另一点 （x＋dx，y＋dy，z＋dz）时，流体密度 对时间的变化率。
连续性方程用随体导数形式表达为：
ux uy uz 1 D 0 x y z D
法线应力： 拉伸方向为正，即向外为正；
压缩方向为负，即向内为负。
y
(前) zx
(左) xx dy (下) yx
yx
yx
y
dy(上)
xx
xx
x
dx(右)
dz
zx
zx
z
dz(后)
dx
x
z X方向上作用于流动的流体 微元的机械应力分量图
考察一个流体微元在x方向上所受到的机械 应力情况。此微元的6个表面都受到与之
即总净输出量为：
(输出的质量流率）－（输入的质量流率）
(ux uy uz )dxdydz
x y z
在θ时，微元体的质量为ρdxdydz，
在θ＋d θ时，其质量变为
dxdydz ( d )dxdydz ( d )dxdydz
累积的质量速率为上述两项之差除以dθ
0
上式的物理意义分析：
（3－3）
与传递过程有关的许多物理量（如压力、
密度、速度、温度、浓度等）都是位置和
时间的连续函数，
对于ρ有： f (x, y, z, ) （3－4）
将ρ进行全微分得：
d d dx dy dz
x y z
写成全导数的形式为：
（3－5）
d dx dy dz d x d y d z d
（3－6）
各项物理意义：
（1）偏导数
表示某固定点处流体密度随时间的变化率。
因为x，y，z固定时，后三项均为零，
d d
（2）全导数
d d
它可想象为当测量运动流体密度时，观察
代入方程（3－9）得：
1 D ux uy uz D x y z
（3－13）
流体微元的体积膨胀速率或形变速率
速度向量的散度实际上表述了三个轴线方 向上的线性形变速率。
上述方程的物理意义是：
速度向量的散度 gu 等于流体运动时体积
膨胀速率。此概念很重要，后面要用到多 次。
随体导数中的物理量可以为标量如（压力、
密度、温度、浓度等），也可以为矢量如
（速度）
流体密度ρ的随体导数可表示为：
D D
ux
x
uy
y
uz
z
（3－8）
局部导数
对流导数
随体导数由两部分组成，其一为局部变化，
即量在空间的一个固定点上随时间的变化，
称为“局部导数”
dy
d
、uz
dz
d
ux、uy、uz 为流体流速在三个坐标轴的分量。
此时，上述方程即可表明流体密度为位置、
时间及流体速度u的函数。此种随流体运动
的导数称为“随体导数”或“真实导数”，
或称拉格朗日（Lagrangian)导数，记为
D
D
ux
x
uy
y
uz
z
（3－7）
xy y
图中标出一个流体微元y－ z平面上三个机械应力分量
xx 的作用情况， xx 为法向应
xz
x 力分量， xz 和 xy 为切向应
z
力分量，即剪应力分量
下标的含义为： 第一个下标x为应力分量的作用面与x轴相 垂直， 第二个下标表示应力分量的作用力方向分 别为x轴，y轴和z轴方向。 显然，两个下标均相同时，即表示法线应 力。
微分衡算方程又称为变化方程，它们 描述与动量、热量和质量传递有关的物理 量如速度、密度、压力、温度、组分浓度 等随位置和时间变化的普遍规律。
本章重点是微分质量衡算和微分动量 衡算方程。
第一节 连续性方程
连续性方程：对于单组分系统或组成无变 化的多组分系统，应用质量守恒定律进行 微分衡算得到的方程。
D
（3－20）
分解为x，y，z三轴方向上的分量时，分
别为：
dFx
dFix
dxdydz
Dux
D
（3－21a）
dFy
dFiy
dxdydz
Du y
D
（3－21b）
dFz
dFiz
dxdydz
Duz
D
（3－21c）
i－表示惯性力 dFx、dFy、dFz 为作用在上述流体微元上的 合力在x，y，z方向上的分量。
ux uy uz 0 x y z
（3－15）
适用于稳态和非稳态流动。此式非常有用！
3－3 柱坐标系和球坐标系中的连续性方程
在研究圆管、圆筒形流道内的流动时， 在相同半径上的所有各点都具有相同的速 度及其它物理量，此时用柱坐标系表达连 续性方程最为方便。同理，当流动系统的 范围面为球形或其一部分时，采用球坐标 最方便。
－方位角
'－时间
ur、u、uz 为三个方向上的流体速度分量
球坐标系上的连续性方程：
'
1 r2
r
(r2ur )
1
r sin
(u
sin )
1
r sin
(u )
0
－全纬度
（3－16）
－方位角
u、u、ur 为球坐标系方向上的速度分量。
在进行动量、能量和质量衡算及对流体的 运动进行分析时，有两种方法。
一是欧拉（Euler）方法：在流体运动 的空间内固定某一位置，并且固定被研究 流体的体积，但其质量随时间而变，据此
来分析该固定位置流体状况的变化，从而 获得整个流场流体运动的规律。
另一是拉格朗日（Lagrange）方法： 在流体运动的空间内，选择某一固定质量 的微元，观察者追随此流体微元一起运动， 并根据此运动着的流体微元的状态变化来 研究整个流场流体运动的规律。此时，流 体质量固定，位置变化，体积也可能变化。
d
（3－18）
采用Lagrange方法，对于质量衡定且以相 同流速跟随流体运动的微元流体，方程 （3－18）可写成：
F M Du
D
（3－19）
方程（3－19）是向量方程，可以分别为x，
y，z三个方向的分量加以描述，其中的质
量M可用密度与体积的积表示为：dxdydz
于是有： dF dxdydz Du
ddFFxyBB
0 g
dFzB 0
（3－23a） （3－23b） （3－23c）
2 表面力
该力来自该流体微元毗邻的外部流体，由 静压力和粘性力所提供，所以又称为机械 力。对单位表面而言称为表面应力或机械 应力。表面应力可分为法向和切向两部分， 即法向应力和剪应力。表面应力记为τ。
（3）可压缩和不可压缩流体。
（4）牛顿型流体和非牛顿型流体。 它是研究动量、热量和质量传递过程的最 基本、最重要的微分方程之一。
3－2 对连续性方程的分析和简化
将连续性方程展开可得其另一种形式为：
(ux
x
u y y
uz z
) ux
x
uy
y
uz
z
合外力的每一个分量都由两类力组成： （1）质量力或体积力，指作用在整个流 体微元上的外力，记为 FB
（2）机械力或表面力，指作用在流体诸 表面上的外力，记为 FS 分别说明如下：
1 质量力 在传递过程中，仅限于考察处于重力场作 用下的流体，所以对于一个流体微元来说， 在x方向上的质量力分量 dFxB为：
dFxB X dxdydz
（3－22）
X－单位质量流体的质量力在x方向上的分
量，因只考虑重力场的作用，所以X又指单
位质量流体所承受的重力在x方向上的分
量 Fxg ，可写成：
X g cos Fxg
式中β为x轴方向与重力方向之间的夹角。
因x方向为水平方向，故X＝0，同理Z＝0，
Y＝g 则有：
第三章 粘性流体流动的微分方程
前面已讨论了总质量、总能量及总质 量衡算方程，用它们可以解决工程设计中 的许多问题。
总衡算的对象是某一宏观控制体。
特点：由进出口流股的状态、控制体范围 与环境之间的交换情况去确定内部某些量 发生的总变化。 例：总质量衡算只是考察流体通过圆管的 平均速度，而不能确定截面上的速度分布， 这一问题要由微观衡算来解决，微观衡算 所依据的定律与总衡算一样。
因此在点（x，y，z）处的质量通量为ρu
根据质量守恒定律，对此微元体进行质量 衡算得：
输出的质量流率－输入的质量流率 ＋累积的质量流率＝0
首先分析x方向流过此微元体的质量流率：
设微元体左侧平面处的质量通量为ρux ， 则输入微元体的质量流率＝ρux dydz
右侧平面处的质量通量为
(ux
ux
第二节 运动方程
通过微分质量衡算，导出了连续性方程。 同样，微分动量衡算可以导出流体的运动 方程。两者结合便可解决许多流体运动问 题。这两方程是三传的基础方程。
1 运动方程的推导
流体运动所遵循的牛顿第二定律可表述为： 流体的动量随时间的变化率等于作用在该 流体上的诸外力的向量和。