2019年吉林省长春市中考数学试卷

2019年吉林省长春市中考数学试卷原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！灵师不挂怀,冒涉道转延。

——韩愈《送灵师》漂市一中 钱少锋一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）（2019•长春）如图，数轴上表示2-的点A 到原点的距离是( )A ．2-B ．2C ．12-D ．122．（3分）（2019•长春）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为( )A ．727.510⨯B ．90.27510⨯C ．82.7510⨯D ．92.7510⨯ 3．（3分）（2019•长春）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）（2019•长春）不等式20x -+的解集为( )A ．2x -B ．2x -C ．2xD ．2x5．（3分）（2019•长春）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为( )A ．911616x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．911616x y x y -=⎧⎨-=⎩C ．911616x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．6．（3分）（2019•长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C 为错误!未找到引用源。

)A ．错误!未找到引用源。

B ．3cos α米C ．3sin α米 D ．3cos α米 7．（3分）（2019•长春）如图在ABC ∆中，错误!未找到引用源。

为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使，则符合要求的作图痕迹是( )A ．B ．C ．D ．8．（3分）（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3、0)．90ACB ∠=︒，2AC BC =，则函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过点B ，则k 的值为( )A ．92B ．9C ．278D ．274二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）（2019•长春）计算355-= ．10．（3分）（2019•长春）分解因式：2ab b += ．11．（3分）（2019•长春）一元二次方程2310x x -+=的根的判别式的值是 ．12．（3分）（2019•长春）如图，直线//MN PQ ，点A 、B 分别在MN 、PQ 上，33MAB ∠=︒．过线段AB 上的点C 作CD AB ⊥交PQ 于点D ，则CDB ∠的大小为 度．13．（3分）（2019•长春）如图，有一张矩形纸片ABCD ，8AB =，6AD =．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则GCF ∆的周长为 ．14．（3分）（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线282(0)3y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ．P 为抛物线的顶点．若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 ．三、解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）（2019•长春）先化简，再求值：2+--，其中1(21)4(1)a a aa=．8 16．（6分）（2019•长春）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．17．（6分）（2019•长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．18．（7分）（2019•长春）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作O，点E在BC边上，连结AE交O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：ABE BCG∆≅∆；（2）若55OA=，求BF的长．（结果保留)π∠=︒，3AEB19．（7分）（2019•长春）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）:3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.82.5 2.23.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下： 网上学习时间x （时) 01x <12x < 23x < 34x < 人数 2 5 8 5样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：统计量 平均数 中位数 众数数值 2.4 m n根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m 的值为 ，众数的值为 ．（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．20．（7分）（2019•长春）图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 、E 、F 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB 为边画一个ABM ∆，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD 为边画一个CDN ∆，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ，使其面积为9，且90EFG ∠=︒．21．（8分）（2019•长春）已知A 、B 两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A 地匀速开往B 地，乙车从B 地沿此公路匀速开往A 地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y （千米）与甲车的行驶时间x （时)之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为 千米/时，a = ，b = ．（2）求甲、乙两车相遇后y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．22．（9分）（2019•长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，AD ，CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD == 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ．（1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ．（2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．23．（10分）（2019•长春）如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，20AC=，15BC=．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN AB⊥于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作PQMN．设PQMN与ABC∆重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB 的长为；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当PQMN为矩形时，求t的值；（3）当PQMN与ABC∆重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点时，直接写出t的值．24．（12分）（2019•长春）已知函数22,(),(1,()222x nx n x ny nn nx x x n⎧-++⎪=⎨-++<⎪⎩为常数）（1）当5n=，①点(4,)P b在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为(2,2)A、(4,2)B，当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．2019年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）如图，数轴上表示2-的点A 到原点的距离是( )A ．2-B ．2C ．12-D ．12【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．【解答】解：数轴上表示2-的点A 到原点的距离是2，故选：B ．2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为( )A ．727.510⨯B ．90.27510⨯C ．82.7510⨯D ．92.7510⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：82.7510⨯．故选：C ．3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形． 故选：A ．4．（3分）不等式20x -+的解集为( )A ．2x -B ．2x -C ．2xD ．2x【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x 的取值．【解答】解：移项得：2x --系数化为1得：2x ．故选：D ．5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为( )A ．911616x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．911616x y x y -=⎧⎨-=⎩C ．911616x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．911616x y x y -=⎧⎨+=⎩ 【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．【解答】解：设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为：911616x y x y -=⎧⎨+=⎩． 故选：D ．6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C 为( )A ．3sin α米B ．3cos α米C ．3sin α米D ．3cos α米 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin 3BC BC AB α==，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：sin 3BC BC AB α==， 故3sin ()BC m α=．故选：A ． 7．（3分）如图，在ABC ∆中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使2ADC B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是( )A ．B ．C ．D ．【分析】由2ADC B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠知B BCD ∠=∠，据此得DB DC =，由线段的中垂线的性质可得答案．【解答】解：2ADC B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠， B BCD ∴∠=∠，DB DC ∴=，∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选：B ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3、0)．90ACB ∠=︒，2AC BC =，则函数(0,0)ky k x x=>>的图象经过点B ，则k 的值为( )A ．92B ．9C ．278D ．274【分析】根据A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3、0)可知3OA OC ==，进而可求出AC ，由2AC BC =，又可求BC ，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B 的坐标，再求出k 的值．【解答】解：过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3、0)，3OA OC ∴==，在Rt AOC ∆中，2232AC OA OC =+=， 又2AC BC =，32BC ∴=， 又90ACB ∠=︒，45OAC OCA BCD CBD ∴∠=∠=︒=∠=∠，32232CD BD ∴==⨯=， 39322OD ∴=+=9(2B ∴，3)2代入k y x =得：274k =， 故选：D ．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 9．（3分）计算355-= 25 ． 【分析】直接合并同类二次根式即可求解． 【解答】解：原式25=． 故答案为：25．10．（3分）分解因式：2ab b += (2)b a + ． 【分析】直接提取公因式b ，进而分解因式即可． 【解答】解：2(2)ab b b a +=+． 故答案为：(2)b a +．11．（3分）一元二次方程2310x x -+=的根的判别式的值是 5 ． 【分析】根据根的判别式等于24b ac -，代入求值即可． 【解答】解：1a =，3b =-，1c =，∴△224(3)4115b ac =-=--⨯⨯=，故答案为：5．12．（3分）如图，直线//MN PQ ，点A 、B 分别在MN 、PQ 上，33MAB ∠=︒．过线段AB 上的点C 作CD AB ⊥交PQ 于点D ，则CDB ∠的大小为 57 度．【分析】直接利用平行线的性质得出ABD ∠的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：直线//MN PQ ，33MAB ABD ∴∠=∠=︒， CD AB ⊥， 90BCD ∴∠=︒，903357CDB ∴∠=︒-︒=︒．故答案为：57．13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD ，8AB =，6AD =．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则GCF ∆的周长为 422+ ．【分析】根据折叠的性质得到45DAF BAF ∠=∠=︒，根据矩形的性质得到2FC ED ==，根据勾股定理求出GF ，根据周长公式计算即可．【解答】解：由折叠的性质可知，45DAF BAF ∠=∠=︒，6AE AD ∴==，2EB AB AE ∴=-=，由题意得，四边形EFCB 为矩形，2FC ED ∴==， //AB FC ， 45GFC A ∴∠=∠=︒， 2GC FC ∴==，由勾股定理得，2222GF FC GC =+， 则GCF ∆的周长422GC FC GF =++=+ 故答案为：422+．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线282(0)3y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ．P 为抛物线的顶点．若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 2 ．【分析】先根据抛物线解析式求出点A 坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M 坐标，利用点M 为线段AB 中点，得出点B 坐标；用含a 的式子表示出点P 坐标，写出直线OP 的解析式，再将点B 坐标代入即可求解出a 的值． 【解答】解：抛物线282(0)3y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ，8(0,)3A ∴，抛物线的对称轴为1x =∴顶点P 坐标为8(1,)3a -，点M 坐标为8(2,)3点M 为线段AB 的中点，∴点B 坐标为8(4,)3设直线OP 解析式为(y kx k =为常数，且0)k ≠ 将点8(1,)3P a -代入得83a k -=8()3y a x ∴=-将点8(4,)3B 代入得88()433a =-⨯ 解得2a = 故答案为：2．三、解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）先化简，再求值：2(21)4(1)a a a +--，其中18a =．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案． 【解答】解：原式2244144a a a a =++-+81a =+，当18a =时，原式812a =+=．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为59．17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，由题意列出方程：9000900051.2x x-=，解方程即可．【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，由题意得：9000900051.2x x-=，解得：300x=，经检验，300x=是原方程的解，且符合题意；答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．18．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作O，点E在BC边上，连结AE交O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：ABE BCG∆≅∆；（2）若55AEB∠=︒，3OA=，求BF的长．（结果保留)π【分析】（1）根据四边形ABCD 是正方形，AB 为O 的直径，得到90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒，根据余角的性质得到EBF BAF ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接OF ，根据三角形的内角和得到905535BAE ∠=︒-︒=︒，根据圆周角定理得到270BOF BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AB 为O 的直径，90ABE BCG AFB ∴∠=∠=∠=︒，90BAF ABF ∴∠+∠=︒，90ABF EBF ∠+∠=︒，EBF BAF ∴∠=∠，在ABE ∆与BCG ∆中，EBF BAFAB BC ABE BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABE BCG ASA ∴∆≅∆；（2）解：连接OF ，90ABE AFB ∠=∠=︒，55AEB ∠=︒， 905535BAE ∴∠=︒-︒=︒， 270BOF BAE ∴∠=∠=︒， 3OA =，∴BF的长70371806ππ⨯==．19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）:3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.82.5 2.23.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：5 8 5样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m的值为 2.5 ，众数的值为．（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数；（2）由平均数乘以18即可；（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可．【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数m的值为2.5 2.52.52+=，众数为2.5；故答案为：2.5，2.5；（2）2.41843.2⨯=（小时），答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．（3）1320013020⨯=（人)，答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．20．（7分）图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个ABM∆，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个CDN∆，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且90∠=︒．EFG【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．【解答】解：（1）如图①所示，ABM∆即为所求；（2）如图②所示，CDN∆即为所求；（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；21．（8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时)之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为75 千米/时，a = ，b = ． （2）求甲、乙两车相遇后y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a 、b 的值； （2）运用待定系数法解得即可；（3）求出甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可． 【解答】解：（1）乙车的速度为：(270602)275-⨯÷=千米/时，27075 3.6a =÷=，27060 4.5b =÷=．故答案为：75；3.6；4.5；（2）60 3.6216⨯=（千米），当2 3.6x <时，设11y k x b =+，根据题意得：1111203.6216k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11135270k b =⎧⎨=-⎩， 135270(2 3.6)y x x ∴=-<；当3.6 4.6x <时，设60y x =，∴135270(2 3.6)60(3.6 4.5)x x y x x -<⎧=⎨<⎩；（3）甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为：20(27070)606-÷=（小时）， 此时甲、乙两车之间的路程为：201352701806⨯-=（千米）．答：当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米． 22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2 如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，AD ，CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD == 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ．（1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为2 ．（2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．【分析】教材呈现：如图①，连结ED ．根据三角形中位线定理可得//DE AC ，12DE AC =，那么DEG ACG ∆∆∽，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明13GE GD CE AD ==； 结论应用：（1）如图②．先证明BEF DAF ∆∆∽，得出12BF DF =，那么13BF BD =，又12BO BD =，可得16OF OB BF BD =-=，由正方形的性质求出62BD =出2OF ；（2）如图③，连接OE ．由（1）易证2BFOF=．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出BEF ∆与OEF ∆的面积比2BFOF==，同理，CEG ∆与OEG ∆的面积比2=，那么CEG ∆的面积BEF +∆的面积2(OEG =∆的面积OEF +∆的面积）1212=⨯=，所以BOC ∆的面积32=，进而求出ABCD 的面积3462=⨯=．【解答】教材呈现： 证明：如图①，连结ED ．在ABC ∆中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，//DE AC ∴，12DE AC =， DEG ACG ∴∆∆∽，∴2CG AG ACGE GD DE===， ∴3CG GE AG GDGE GD ++==， ∴13GE GD CE AD ==；结论应用： （1）解：如图②．四边形ABCD 为正方形，E 为边BC 的中点，对角线AC 、BD 交于点O ，//AD BC ∴，1122BE BC AD ==，12BO BD =， BEF DAF ∴∆∆∽，∴12BF BE DF AD ==， 12BF DF ∴=， 13BF BD ∴=，12BO BD =， 111236OF OB BF BD BD BD ∴=-=-=，正方形ABCD 中，6AB =，BD ∴=，2OF ∴=．故答案为2；（2）解：如图③，连接OE ． 由（1）知，13BF BD =，16OF BD =，∴2BFOF=． BEF ∆与OEF ∆的高相同， BEF ∴∆与OEF ∆的面积比2BFOF==， 同理，CEG ∆与OEG ∆的面积比2=，CEG ∴∆的面积BEF +∆的面积2(OEG =∆的面积OEF +∆的面积）1212=⨯=， BOC ∴∆的面积32=， ABCD ∴的面积3462=⨯=． 故答案为6．23．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，20AC =，15BC =．点P 从点A 出发，沿AC 向终点C 运动，同时点Q 从点C 出发，沿射线CB 运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P 到达终点时，P 、Q 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，过点P 作PN AB ⊥于点N ，连结PQ ，以PN 、PQ 为邻边作PQMN ．设PQMN 与ABC ∆重叠部分图形的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒．（1）①AB 的长为 25 ；②PN 的长用含t 的代数式表示为 ．（2）当PQMN 为矩形时，求t 的值；（3）当PQMN 与ABC ∆重叠部分图形为四边形时，求S 与t 之间的函数关系式； （4）当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN 一边中点时，直接写出t 的值．【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB 的长，根据三角函数即可计算出PN ． （2）当PQMN 为矩形时，由PN AB ⊥可知//PQ AB ，根据平行线分线段成比例定理可得CP CQCA BC=，即可计算出t 的值． （3）当PQMN 与ABC ∆重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．PQMN 在三角形内部时，Ⅱ．PQMN 有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．（4）当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN 的中点，Ⅱ．过QM 的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t 值．【解答】解：（1）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，20AC =，15BC =．2222201525AB AC BC ∴=++．∴3sin 5CAB ∠=， 由题可知5AP t =，3sin 535PN AP CAB tt ∴=∠==． 故答案为：①25；②3t ．（2）当PQMN 为矩形时，90NPQ ∠=︒，PN AB ⊥，//PQ AB ∴，∴CP CQCA BC=， 由题意可知5AP CQ t ==，205CP t =-，∴20552015t t-=， 解得127t =， 即当PQMN 为矩形时127t =．（3）当PQMN ABC ∆重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．如解图（3）1所示．PQMN 在三角形内部时．延长QM 交AB 于G 点， 由（1）题可知：4cos sin 5A B ==，3cos 5B =，5AP t =，155BQ t =-，3PN QM t ==．cos 4AN AP A t ∴==，cos 93BG BQ B t ==-，sin 124QG BQ B t ==-，．PQMN 在三角形内部时．有0QM QG <，03124t t ∴<-，1207t∴<． 254(93)16NG t t t ∴=---=-．∴当1207t<时，PQMN 与ABC ∆重叠部分图形为PQMN ，S 与t 之间的函数关系式为23(16)348S PN NG t t t t ==-=-+．Ⅱ．如解图（3）2所示．当0QG QM <<，PQMN 与ABC ∆重叠部分图形为梯形PQMG 时，即：01243t t <-<，解得：1237t <， PQMN 与ABC ∆重叠部分图形为梯形PQMG 的面积2111()(16)(3124)1496222S NG PN QG t t t t t =+=-+-=-+． 综上所述：当1207t<时，2348S t t =-+．当1237t <，2114962S t t =-+．（4）当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN 一边中点时，有两种情况， Ⅰ．如解题图（4）1，//PR BC ，PR 与AB 交于K 点，R 为MN 中点，过R 点作RH AB ⊥，PKN HKR B ∴∠=∠=∠，39cot 344tNK PN PKN t=∠==， NR MR =，////HR PN QM ，1(16)2NH GH t ∴==-，12HR GM =，3(124GM QM QG t t ∴=-=--)712t =-．11(712)22HR GM t ==-．133cot (712)(712)248KH HR HKR t t ∴=∠=-⨯=-，NK KH NH +=，∴931(712)(16)482t t t +-=-， 解得：10043t =， Ⅱ．如解题图（4）2，//PR BC ，PR 与AB 交于K 点，R 为MQ 中点，过Q 点作QH PR ⊥，HPN A QRH ∴∠=∠=∠，四边形PCQH 为矩形， 339sin 2510t tHQ QR QRH ∴=∠== 205PC t =-， 920510tt ∴-=，解得20059t =．综上所述：当10043t =或20059时，点P 且平行于BC 的直线经过PQMN 一边中点时，24．（12分）已知函数22,(),(1,()222x nx n x ny nn nx x x n⎧-++⎪=⎨-++<⎪⎩为常数）（1）当5n=，①点(4,)P b在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为(2,2)A 、(4,2)B ，当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4，求n 的取值范围． 【分析】（1）①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++；②当5x 时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458； （2）将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n <时，图象与线段AB 只有一个交点；将点(2,2)代入2y x nx n =-++和21222n ny x x =-++中，得到2n =，83n =， 所以823n <时图象与线段AB 只有一个交点； （3）当x n =时，42n >，得到8n >；当2n x =时，1482n+，得到312n ，当x n =时，22y n n n n =-++=，4n <．【解答】解：（1）当5n =时，2255(5)155(5)222x x x y x x x ⎧-++⎪=⎨-++<⎪⎩， ①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++，92b ∴=； ②当5x 时，当5x =时有最大值为5； 当5x <时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458； （2）将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，185n ∴=， ∴1845n <时，图象与线段AB 只有一个交点；将点(2,2)代入2y x nx n =-++中，2n ∴=，将点(2,2)代入21222n n y x x =-++中，83n ∴=，823n ∴<时图象与线段AB 只有一个交点；综上所述：1845n <，823n <时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）当x n =时，22112222n n y n n =-++=，42n>，8n ∴>； 当2nx =时，182n y =+，1482n+，312n ∴， 当x n =时，22y n n n n =-++=，4n <；∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或3142n<． 【素材积累】1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。