ch2单相交流电路

第2 章单相交流电路2.1 交流电的基本知识2.2 正弦交流电的表示法2.3 正弦交流电的相加与相减2.4 纯电阻电路2.5 纯电感电路2.6 纯电容电路2.7 电阻与电感串联电路*2.8 电阻、电感和电容串联电路及谐振*2.9 电感线圈与电容并联电路2.10 电路的功率因数*2.11 电阻、电感和电容并联电路及谐振2.1交流电路的基本知识2.1.1交流电的基本概念大小和方向随时间作周期性变化，并且在一个周期内的平均值为零的电压、电流和电动势统称为交流电。

图(c)、(d)为交流电图(a)、(b)为直流电OOOOπ2πO电路中物理量的表示方法：交流电的参考方向：电路图中标出的方向是电压、电动势和电流的参考方向，由于实际方向反复变化，与参考方向相同的为正，反之为负。

+生产和生活中常用的是正弦交流电，简称交流电。

直流电用大写的英语字母表示，如：U S 、I 、U 。

交流电用小写的英语字母表示，如：e s 、i 、u 。

2.1.2正弦交流电的相关量即描述正弦交流电特征的物理量1. 周期(T)正弦量变化一次所需的时间，单位为秒(s)。

2. 频率(f)单位时间内完成的周期数，单位为赫[兹](Hz)。

频率与周期互为倒数。

3. 角频率(ω)单位时间内变化的电角度，单位为弧度/秒(rad/s)T、f、ω之间的关系π2πO4. 瞬时值5. 最大值6. 有效值正弦量在任一瞬间的值。

用小写字母表示，如：i 、u 、e 。

瞬时值中最大的值，也称幅值。

用带下标m 的大写字母表示，如：I m 、U m 、E m 。

交流电流i 通过电阻R 在一个周期内产生的热量和直流I 通过同样的电阻在相等的时间内产生的热量相等，该直流I 就定义为交流电流i 的有效值。

O6. 有效值根据上述，可得mm707.02I I I ==同理：mmm m707.02;707.02E E E U U U ====一般情况人们所说的交流电压或电流的大小，以及测量仪表所指示的值都是有效值有效值用大写字母表示，如U 、I 、E 。

7. 相位图示交流电流的波形可用数学式表示为tI i ωsin m =它的初始值为零)sin(0m ϕω+=t I i 数学式表示为：它的初始值不为零计时起点(t = 0)到达最大值或某一特定值所需时间也就不同。

iωtOϕπ2πO在t = 0 时刻以前，正弦交流电具有的角度称为初相角，用表示，简称初相。

0ϕ7. 相位而)(0ϕω+t 称为相位角，简称相位。

相位能反映正弦交流电流变化进程。

例如，图示波形在相位π=+21)(0ϕωt 时，电流为最大；当π=+)(0ϕωt 电流为零。

相位和初相位的单位都是弧度。

i ωtOϕ8. 相位差两个同频率正弦交流电的相位之差。

相位差可以比较两个同频率正弦量之间的相位关系(如超前或滞后，同相或反相)。

设两个同频率交流电流)sin()sin(02m 2201m 11ϕωϕω+=+=t I i t I i 相位差为02010201)()(ϕϕϕωϕωϕ-=+-+=t t 由于两个电流的频率相同，所以相位差等于初相位之差。

Oωti u iu例：)90 sin(m ︒+=t U u ω)30 sin(m ︒+t I i ω两正弦量为︒30︒90相位差︒=︒-︒=603090ϕ则称电压超前电流60 ︒或电流滞后电压60︒。

而超前是指：电压总比电流先经过对应的最大值或零值。

相位差角用小于或等于π表示。

︒60ti Oi1i2i3i1与i3反相i1 与i2 同相O 2.2正弦交流电的表示法把正弦量的三要素特征表示出来。

2.2.1波形图表示法可以直观地表达出交流电的特征。

最大值I mI m角频率ω或周期T ω初相角ϕ0(ϕ0= 0)ϕ0I m Tϕ2.2.2解析式表示法)sin()sin(m m u i t U u t I i ϕωϕω+=+=mm 707.02I I I ==mm 707.02U U U ==其中2.2.3旋转矢量表示法正弦量用矢量表示后，可以将复杂的三角函数运算转换成矢量运算，简化了运算过程。

2.2.3旋转矢量表示法旋转矢量表示法：选一矢量其长度表示交流电的最大值(或有效值)；例：)sin(0m ϕω+=t I i 矢量与横轴的夹角表示初矢量以角速度ω逆时针旋转。

相角，ϕ> 0 在横轴的上方，ϕ< 0 在横轴的下方；)sin(0m ϕω+=t I i[例] 某两个正弦交流电流，其最大值为2 A和3 A ，初相角为ω，角频率为和 63π-π，作出它们的旋转矢量，写出其对应的解析式。

[解]选定2 和3 为矢量长度，在横轴上方与下方63ππ和角度作矢量，且以角速度ω逆时针旋转。

对应的解析式为A)6sin(3A)3sin(221π-=π+=t i t i ωωωωωω两个同频率交流电流，旋转的速度一样，则两个旋转矢量在空间的相对位置固定，这样，可将旋转矢量看成在t = 0 时刻的相对静止矢量(不需标注ω)。

从矢量图上可求出相位差，即两矢量之间的夹角；从矢量图上可判断正弦量的相位关系，逆时针在前的为超前，图示矢量为i 1 超前i 2 角π/2。

2.3正弦交流电的相加和相减2.3.1波形合成法用已知的两个同频正弦交流电各瞬时值逐点相加的方式，描述出相加的波形图。

[例][解]2120m 22102m 1 )sin( )sin(i i i t I i t I i +=+=+=求和ϕωϕωO ωtii ϕϕ02ϕ01i 1i 2若计算两电流之差，可采用)(2121i i i i i -+=-=2.3.2矢量运算法将两个或几个同频率的正弦交流电矢量作在同一坐标图中，利用矢量的平行四边形法则求其矢量和，矢量和的长度和辐角即为交流电求和后的最大值(或有效值)和初相角。

[例][解]图为两个正弦量的矢量，试求u 1+ u 2。

作平行四边形V 504030222221=+=+=U U U)53sin(250︒+=t u ωU 2=40V U 1=30V U 2=40V U1=30V U︒==53a r c t a n 12UU ϕ2.4纯电阻电路2.4.1电流与电压的关系+-设电阻两端输入正弦电压tU u ωsin m =根据欧姆定律tR U R u i ωsin m ==t I i ωsin m =电流与电压的关系为:(1)u 和i 的频率相同；(2)u 和i 的相位相同；(3)u 和i 的最大值、有效值满足欧姆定律RU I R U I == ;m mu纯电阻电路波形图与矢量图u +-ωtiOu ui电流与电压波形矢量图UI2.4.2功率1. 瞬时功率)2cos 1(sin sin sin 2m m m m t UI t I U tI t U ui p ωωωω-==⋅==2. 有功功率u ωt O ipO ωt P = U I瞬时功率在一个周期内的平均值称为有功功率R U I R UI P I U P 22mm 2====或有功功率是定值P[例]电炉的额定电压U N = 220 V ，额定功率P N = 1 000 W ，在220 V 的交流电源下工作，求电炉的电流和电阻。

使用2 h ，消耗电能是多少？[解]由于电炉可以看成纯电阻负载，所以A 55.4A 2201000N N N ===U P I 电炉的电阻为Ω4.48Ω55.4220===I U R 工作2 h 消耗的电能为hkW 2h W 0002h W 21000⋅=⋅=⋅⨯==pt W2.5纯电感电路2.5.1电流与电压的关系忽略电阻的线圈接在交流电源上称为纯电感电路。

u 设通过线圈的电流为tI i ωsin m =由于电流的变化在线圈中产生自感电动势e L ，而e L 、u 、i 满足下列关系：ti L e u L ΔΔ-==经整理)2sin()2sin(m m π+=π+=t U t LI u ωωωt I i ωsin m =)2sin()2sin(m π+=π+=t U t LI u ωωω比较i 与u 式(1)i 与u 的频率相同;(2)i 与u 相位差,2π即电压超前电流，2π(3)i 与u 最大值与有效值关系为2π或说电流滞后电压；U m = ωLI mU =X L I U m = X L I mX L = ωL = 2πf L其中称为电感的感抗，单位是欧姆(Ω)。

纯电感电路波形图与矢量图ωti O u ui 电流与电压波形矢量图uU X Lf2πf L电感的电抗2.5.2功率1. 瞬时功率tUI ui p ω2sin ==2. 有功功率有功功率是瞬时功率在一个周期内的平均值。

显然0=P 3. 无功功率Q纯电感元件的交流电路中只有能量互换，将能量交换时功率的最大值称为无功功率Q 。

Q = UI = X L I 2单位：乏(var )u ,i ,pO[例]纯电感线圈，电感L = 300 mH ,接至[解]V sin 2220t u ω=的工频电源上，求电感线圈的电流有效值和无功功率；若改接在有效值为100 V 交流电源上，测得其电流为0.4 A ，求该电源的频率是多少？(1)f = 50 Hz 时X L = ωL = 2πfL= 2×3.14 ×50 ×0.3 Ω= 94.2 ΩA 34.2A 2.94220===L X U I Q = UI = 220×2.34 var = 514.8 var (2)接100 V 交流电源时Ω250Ω4.0100===I U X L Hz 133Hz 3.014.322502=⨯⨯=π=f X f L2.6纯电容电路2.6.1电流与电压的关系电容损耗很小，一般可看成纯电电容。

设通过电容的电压为：tU u ωsin m =由电流和电容量定义知u 、i 满足下列关系：t u C t Cu t q i ΔΔΔΔΔΔ===经整理)2sin()2sin(m m π+=π+=t I t CU i ωωωu +-u+-比较u 与i 式(1)u 与i 的频率相同;(2)电流超前电压，2π(3)i 与u 最大值与有效值关系为2π或电压滞后电流；I m = ωCU m U =X CI 其中称为电容的电抗，单位欧姆(Ω)tU u ωsin m =)2sin()2sin(m m π+=π+=t I t CU i ωωωC f C X C π==211ωm m 1U X I C=纯电容电路波形图与矢量图ωti O u i u 电流与电压波形矢量图I X C f 电容的电抗u +-2πfC 1U2.6.2功率1. 瞬时功率tUI uip ω2sin ==2. 有功功率电容有功功率与电感一样都为零。

即=P 3. 无功功率QQ = U I = X C I 2单位：乏(var )uiuO2.7电阻与电感串联电路2.7.1电流与电压的关系设电路中的电流tI i ωsin m =电阻与电感两端的电压为t U t R I u R ωωsin sin m m ==)2πsin()2πsin(m m +=+=t U t X I u L L ωω)2πsin(sin m m ++=+=t U t U u u u L R L R ωω)sin(m ϕω+=t U u 电源电压uu L +-u R +-u+-)2πsin(sin m m ++=+=t U t U u u u L R L R ωω)sin(m ϕω+=t U u u R +-u +-u L+-(1)作矢量图求电压u 的有效值和初相角ϕU RU LUϕ根据矢量图可得22LR U U U +=RX Larctan=ϕ解之总电压)sin(2ϕω+=t U u 电压有效值之间为三角形关系(2)根据公式22LR U U U +=解出电压与电流有效值之间关系2222)()(I X RI U U U L LR+=+=ZI X R I L=+=2222L X R Z +=称为电阻和电感串联电路的阻抗，单位欧姆(Ω)Z ⎥、R 、X L 关系构成与电压相似的三角形关系，称阻抗三角形。