二次函数经典题型总结与练习
初三《二次函数》经典习题汇编(易错题、难题)
二次函数习题讲解一、二次函数的相关概念1. 若函数的图象与轴只有一个交点, 那么的值为（）A. 0B. 0或2C. 2或－2D. 0, 2或－22．当或（）时, 代数式的值相等, 则时, 代数式的值为。
3．已知和时, 多项式的值相等, 且, 则当时, 多项式的值等于________。
二、二次函数的顶点问题1. 若抛物线的顶点在第一象限, 则的取值范围为________。
2．如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线所表示的函数解析式为, 则下列结论正确的是（）A. ,B. ,C. ,D. ,三、二次函数的对称轴问题1. 已知二次函数, 当时, 的值随值的增大而减小, 则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2. 已知二次函数, 当时, 随的增大而增大, 则实数的取值范围是________。
3．已知二次函数, 当时, 随的增大而增大, 而的取值范围是（）A. B. C. D.四、二次函数的图象共存问题1. 在同一直角坐标系中, 函数和（是常数, 且）的图象可能是（）A B C D2. 二次函数的图象如图所示, 则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）A B C D五、二次函数的图象综合问题1. 已知二次函数 的图象如图所示, 对称轴为 。
下列结论中, 正确的是（ ）A. B. C. D.2．已知二次函数 的图象如图所示, 下列结论：① ；② ；③ ；④ 。
其中, 正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43．已知二次函数 的图象如图所示, 下列4个结论：①0abc <；②20a b +=；③420a b c ++>；④b a c <+；⑤()a b m am b +>+（m 为不等于1的任意实数）。
其中正确的结论有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知二次函数 的图象如图所示, 下列结论:①0abc <；②2b a <；③240b ac ->；④0a b c ++>。
初三数学《二次函数》知识点总结和经典习题(附答案)
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =--3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
二次函数知识点总结及典型例题和练习极好
二次函数知识点总结及典型例题和练习极好知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，,特别注意a 不为零,那么y 叫做x 的二次函数;)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式;2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线,这条曲线叫抛物线; 抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点; 3、二次函数图像的画法--------五点作图法：1先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴 2求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点D;将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像;当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D;由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图;如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像; 例1 已知函数y=x 2-2x-3,1写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点;然后画出函数图象的草图；2求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：3根据第1题的图象草图,说 出 x 取哪些值时,① y=0；② y<0；③ y>0知识点二：二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：1一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，2 交点式：当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应的一元二次方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=;如果没有交点,则不能这样表示;3顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁;例1 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A1,0,B3,0两点,且过-1,16,求抛物线的解析式;例2 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点-2,0和-1,0之间包括这两点,顶点C 是矩形DEFG 上包括边界和内部的一个动点,则： 1abc 0 ＞或＜或=2a 的取值范围是例3 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点0,1的是A ．y = x − 22 + 1B ．y = x + 22 + 1C ．y = x − 22 − 3 D．y = x + 22 – 3知识点三：二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值或最小值,即当ab x 2-=时,ab ac y 442-=最值;如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤,那么,首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内,若在此范围内,则当x=ab2-时,a b ac y 442-=最值；若不在此范围内,则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性,如果在此范围内,y 随x 的增大而增大,则当2x x =时,c bx ax y ++=222最大,当1x x =时,c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内,y 随x 的增大而减小,则当1x x =时,c bx ax y ++=121最大,当2x x =时,c bx ax y ++=222最小;例1 已知二次函数的图像0≤x≤3如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是 A ．有最小值0,有最大值3 B ．有最小值－1,有最大值0 C ．有最小值－1,有最大值3D ．有最小值－1,无最大值例2某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天l80元时,房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元x为10的正整数倍．1设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；2设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式；3一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大最大利润是多少元知识点四、二次函数的性质1、二次函数的性质2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中,c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时,抛物线开口向上a <0时,抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab 2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：0,c3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标;因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆,在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点; 当∆>0时,图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时,图像与x 轴有一个交点； 当∆<0时,图像与x 轴没有交点;例1 抛物线y=x 2-2x -3的顶点坐标是 .例2 二次函数522-+=x x y 有A ． 最大值5-B ． 最小值5-C ． 最大值6-D ． 最小值6- 例3 由二次函数1)3(22+-=x y ,可知A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3-=xC ．其最小值为1D ．当3<x 时,y 随x 的增大而增大例4 已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是 A.4<kB.4≤kC.4<k 且3≠kD.4≤k 且3≠k例5 下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是 ． A ．y = x 2 B ．y = x －１ C ． y = 错误! x D ．y = 错误!例6 若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时,y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是A ．m =lB ．m >lC ．m ≥l D．m ≤l知识点五、二次函数图象的平移① 对于抛物线y=ax 2+bx+c 的平移通常先将一般式转化成顶点式()2y a x h k =-+,再遵循左加右减,上加下减的的原则化为顶点式有两种方法：配方法,顶点坐标公式法;在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后,在写顶点式时,要减去顶点的横坐标,加上顶点的纵坐标;② c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上下平移m m ＞0个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2③ 当然,对于抛物线的一般式平移时,也可以不把它化为顶点式c bx ax y ++=2：向左右平移m m ＞0个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2例1 将抛物线2y x =-向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是 A ．2(2)y x =-+ B ．22y x =-+ C ．2(2)y x =-- D ．22y x =--例2 将抛物线y=x 2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______. 例3 抛物线2y x =可以由抛物线()223y x =+-平移得到,则下列平移过程正确的是 A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位补抛物线y=2x 2-3x-7在x 轴上截得的线段的长度为______________ 公式抛物线y=ax 2+bx+c 在x 轴上截得的线段的长度为______________知识点六：抛物线c bx ax y ++=2中, a 、b 、c 的作用 1a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.2b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故：①0=b 时,对称轴为y 轴；②0>a b 即a 、b 同号时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab即a 、b 异号时,对称轴在y 轴右侧.口诀---左同,右异 a 、b 同号,对称轴在y 轴左侧 3c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点0,c ：①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则0<ab. 例1 如图为抛物线2y ax bx c =++的图像,A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点,且OA =OC =1,则下列关系中正确的是A ．a ＋b=－1B ．a －b=－1C ．b<2aD ．ac<0例2 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋ca≠0在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是 A ．a>0 B ．b ＜0 C ．c ＜0 D ．a ＋b ＋c>0例 3 如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息：1240b ac ->；2c >1；32a －b <0；4a +b +c <0;你认为其中错误．．的有 A ．2个 B ．3个C ．4个D ．1个例4 如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交,其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭,下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例5 如图,是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋ca≠0的图象的一部分,给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c ＞0．其中正确的命题是 ．只要求填写正确命题的序号例6 如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是A ．m ＝n ,k ＞hB ．m ＝n ,k ＜hC ．m ＞n,k ＝hD ．m ＜n ,k ＝h知识点七：中考二次函数压轴题中常用到的公式1、两点间距离公式：如图：点A 坐标为x 1,y 1,点B 坐标为x 2,y 2,则AB 间的距离,即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+- 这实际上是根据勾股定理得出来的2、中点坐标公式：如图,在平面直角坐标系中,A 、B 两点的坐标分别为11()A x y ，,22()B x y ， ,AB 中点P 的坐标为()p p x y ，．由12p p x x x x -=-,得122p x x x +=, 同理122p y y y +=,所以AB 的中点坐标为1212()22x x y y++，． 3、两平行直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1,y=k 2x+b 2,那么k 1=k 2,也就是说当我们知道一条直线的k 值,就一定能知道与它平行的另一条直线的k 值;4、两垂直直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1,y=k 2x+b 2,那么k 1×k 2=-1,也就是说当我们知道一条直线的k 值,就一定能知道与它垂直的另一条直线的k 值;对于这一条,只要能灵活运用就行,不需要理解以上四条,我称它们为坐标系中的“四大金刚”1x px 2x 12x x -12y y -1y 2y Py APBO yx例1 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点,与y 轴交于点C,点D 是该抛物线的顶点．1求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；2点P 是x 轴上一个动点,过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q,试探究：随着P 点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形 若存在,请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．3请在直线AC 上找一点M,使△BDM 的周长最小,求出M 点的坐标．例2 如图,已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A ﹣1,0,C2,3两点,与y 轴交于点N ．其顶点为D ．1求抛物线及直线AC 的函数关系式； 2设点M3,m,求使MN+MD 的值最小时m 的值；3若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B,E 为直线AC 上的任意一点,过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F,以B,D,E,F 为顶点的四边形能否为平行四边形 若能,求点E 的坐标；若不能,请说明理由； 4若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值．例3 如图,抛物线423412--=x x y 与x 轴交于A,B 两点点B 在点A 的右边,与y 轴交于C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为m,0,过P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q;ADCEBOADC EBOA DCEBO1求点A 、B 、C 的坐标；2当点P 在线段OB 上运动时,直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N;试探究m 为何值时,四边形CQMD 是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM 的形状,并说明理由;3当点P 在线段EB 上运动时,是否存在点Q,使⊿BDQ 为直角三角形,若存在,请直接写出Q 点坐标；若不存在,请说明理由;练 习1、平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2．5 m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m,则学生丁的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示A ．1．5 mB ．1．625 mC ．1．66 mD ．1．67 m2、已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞,则使y=k 成立的x 值恰好有三个,则k 的值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．33. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则反比例函数ay x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是 .4. 如图,已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点－1,0,1,－2,当y 随x 的增大而增大时,x 的取值范围是 ．xyO11（1,-2）cbx x y ++=2-15. 在平面直角坐标系中,将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°,所得抛物线的解析式是 ．A ．2(1)2y x =-++B ．2(1)4y x =--+C ．2(1)2y x =--+D ．2(1)4y x =-++6. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图,其对称轴1-=x ,给出下列结果①ac b 42>②0>abc ③02=+b a ④0>++c b a ⑤0<+-c b a ,则正确的结论是A ①②③④B ②④⑤C ②③④D ①④⑤7．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如上表：从上表可知,下列说法中正确的是 ．填写序号①抛物线与x 轴的一个交点为3,0； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6； ③抛物线的对称轴是12x =； ④在对称轴左侧,y 随x 增大而增大．8. 如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点A 的坐标是－2,4,过点A 作AB ⊥y 轴,垂足为B ,连结OA ．1求△OAB 的面积；2若抛物线22y x x c =--+经过点A ．①求c 的值；②将抛物线向下平移m 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部不包括△OA B 的边界,求m 的取值范围直接写出答案即可．x … －2 －1 0 1 2 … y…4664…1的图象经过点Ac,－x=3;”题9、“已知函数c=+y+xbx2目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字;根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；若不能,请说明理由;10、如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD= 90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A-1,0,B -1,2,D 3,0,连接DM,并把线段DM 沿DA方向平移到ON,若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．1求抛物线的解析式2抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在,求出点P的坐标；若不存在．请说明理由;3设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点,当点Q在什么位置时有QE QC-最大并求出最大值;11、如图,抛物线y =21x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,且A 一1,0．⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状,证明你的结论；⑶点Mm,0是x 轴上的一个动点,当CM+DM 的值最小时,求m 的值．ABCDO E NM xy图12、在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC 分别落在x轴和y轴的正半轴上;设抛物线y=ax2+bx+ca<0过矩形顶点B、C.1当n＝1时,如果a=－1,试求b的值；2当n＝2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N 两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式；3将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O,②直接写出a关于n的关系式.。
专题2.4 求二次函数解析式常考类型(六大题型)(解析版)
专题2.4 求二次函数解析式常考类型（六大题型）【题型1 开放型】【题型2 一般式】【题型3 顶点式】【题型4两根式】【题型5平移变换型】【题型6 对称变换型】【题型1 开放型】【典例1】（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+1（答案不唯一） ．【答案】y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【解答】解：由题意得：b＝0，a＜0，c＞0，∴这个二次函数的解析式可以是：y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【变式1-1】（2023•锡山区校级模拟）写出一个顶点坐标是（1，2）且开口向下的抛物线的解析式 y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一） ．【答案】y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．【解答】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2），∴a＜0，设函数解析式为y＝a（x﹣1）2+2，只要a＜0取值即可；故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．【变式1-2】（2023•静安区校级一模）请写出一个以直线x＝3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是 y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一） ．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）【答案】y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一）．【解答】解：满足题意的抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2+2．本题答案不唯一．故答案为：y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一）．【题型2 一般式】【方法点拨】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式2y ax bx c=++（a，b，c为常数，0a¹），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；【典例2】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a x2+bx+c的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得a+b+c=0c=−54a+2b+c=3解得a=−1 b=6 c=−5所以，所求函数的解析式为y=−x2+6x−5．y=−x2+6x−5=−(x−3)2+4．所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x = 3．【变式2-1】已知二次雨数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，-3)。
(完整版)自己总结很经典二次函数各种题型分类总结.doc
二次函数题型分类总结题型 1、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）1、下列函数中，是二次函数的是.① y=x2－ 4x+1；② y=2x 2；③ y=2x2+4x；④ y=－ 3x；⑤ y=－ 2x－ 1；⑥ y=mx2+nx+p；⑦ y =(4,x) ；⑧ y=－ 5x。
2+2t ，则 t ＝ 4 秒时，该物体所经过的路2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t （秒）的关系式为s=5t程为。
3、若函数 y=(m2+2m－ 7)x 2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则m的取值范围为。
4、若函数 y=(m－ 2)x m－2 +5x+1 是关于x的二次函数，则m的值为。
5、已知函数 y=(m－ 1) x m2 1 +5x－ 3 是二次函数，求m的值。
题型 2、二次函数的对称轴、顶点、最值4ac-b 2（技法：如果解析式为顶点式y=a(x － h) 2+k，则最值为 k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c 则最值为4a1．抛物线 y=2x 2 +4x+m 2－ m 经过坐标原点，则m的值为。
2．抛物 y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（ 1，3），则 b＝， c＝ .3．抛物线 y＝ x2＋3x 的顶点在 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4．若抛物线 y＝ ax2－ 6x 经过点 (2 ，0) ，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )A. 13B. 10C. 15D. 142＋ bx ＋c( )5．若直线 y＝ ax＋ b 不经过二、四象限，则抛物线y＝ axA. 开口向上，对称轴是y 轴B. 开口向下，对称轴是y 轴C. 开口向下，对称轴平行于y 轴D. 开口向上，对称轴平行于y 轴2 16．已知抛物线 y＝ x ＋ (m－1)x －4 的顶点的横坐标是2，则 m的值是 _.7．抛物线 y=x 2+2x－ 3 的对称轴是。
二次函数常考题、易错题、压轴题集锦
二次函数常考题、易错题、压轴题集锦本文汇总了二次函数的常考题、易错题和压轴题，希望能帮助你复和提高对二次函数的理解。
常考题1. 求二次函数的顶点坐标：求二次函数的顶点坐标：二次函数的标准形式为 $y=ax^2+bx+c$，顶点坐标可以通过$x=-\frac{b}{2a}$ 公式计算得出。
2. 求二次函数的对称轴方程：求二次函数的对称轴方程：二次函数的对称轴方程为 $x=-\frac{b}{2a}$，其中 $a$ 和$b$ 分别为二次函数的系数。
3. 判断二次函数的开口方向：判断二次函数的开口方向：若 $a>0$，则二次函数开口向上；若 $a<0$，则二次函数开口向下。
易错题1. 判断二次函数的图像与坐标轴的交点数量：判断二次函数的图像与坐标轴的交点数量：二次函数的图像与 $x$ 轴交点的数量可能为零、一个或两个。
交点数量可通过判别式 $b^2-4ac$ 的正负性来确定。
- 若 $b^2-4ac>0$，则图像与 $x$ 轴有两个交点；- 若 $b^2-4ac=0$，则图像与 $x$ 轴有一个交点；- 若 $b^2-4ac<0$，则图像与 $x$ 轴没有交点。
2. 求二次函数的零点：求二次函数的零点：二次函数的零点即方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，可以求得零点。
请注意判别式$b^2-4ac$ 的正负性对根的情况有影响。
压轴题1. 求二次函数与 $y$ 轴的交点坐标：求二次函数与 $y$ 轴的交点坐标：当 $x=0$ 时，二次函数与 $y$ 轴交点的坐标为 $(0, c)$。
2. 求二次函数的极值：求二次函数的极值：当二次函数开口向上时，函数的极小值为顶点纵坐标；当二次函数开口向下时，函数的极大值为顶点纵坐标。
这些常考题、易错题和压轴题，是二次函数的重点和难点，希望你在复习中能充分掌握。
加油！。
二次函数经典分类讲解以及练习题_
一、二次函数的定义定义： y=ax ² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式练习：1、y=-x ²，y=2x ²-2/x ，y=100-5 x ²，y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。
2.当m_______时,函数y=(m+1) χ - 2χ+1 是二次函数？ 二、二次函数的图像及性质1、二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的同象是一条 ，其顶点坐标为 对称轴式 2、增减性练习： 1、y=2x 2对称轴 顶点坐标2、y=x 2-1对称轴 顶点坐标3、y=-3(x+2)2对称轴 顶点坐标4、y=4(x-3)2+1对称轴 顶点坐标5、y=-2x 2+6x-1对称轴 顶点坐标 三、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ y=ax2+bx+c(a ≠0)2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k ），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式. y=a(x-h)2+k(a ≠0)3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a ≠0) 练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。
例1已知二次函数y=ax2+bx+c 的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。
求a 、b 、c 。
四、a ，b ，c 符号的确定 练习7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。
初三二次函数经典题型及解析
初三二次函数经典题型及解析一、二次函数基础概念题型初三二次函数的概念可是很重要的哦。
比如说，给你一个函数表达式，像y = ax²+bx + c（a≠0），然后问你这个函数是不是二次函数。
这时候你就得瞅准了，a不能等于0哦，要是a等于0了，那就变成一次函数了。
就像y = 3x + 2，这就是一次函数，和二次函数可不一样啦。
还有那种给你实际问题，让你列出二次函数表达式的题。
比如说，一个小球从高处落下，它下落的高度h和时间t 的关系，根据物理知识和二次函数的概念，你就能列出h = 1/2gt²（这里g是重力加速度，是个常数）这样的表达式。
这种题就需要你理解二次函数在实际中的意义，把实际问题转化成数学表达式。
二、二次函数图像题型二次函数的图像那可太有趣了。
它的图像是一条抛物线呢。
当a＞0的时候，抛物线开口向上，就像一个笑脸一样；当a＜0的时候，抛物线开口向下，就有点像哭脸啦。
对称轴是x = -b/2a这个公式可一定要记住哦。
比如说，给你一个二次函数y = 2x² - 4x + 1，先求对称轴，把a = 2，b = -4代入对称轴公式，得到x = -(-4)/(2×2)=1。
然后你还可以求顶点坐标，把x = 1代入函数表达式，就能算出y的值啦。
还有那种通过图像判断a、b、c的取值范围的题。
如果抛物线开口向上，那a＞0；如果对称轴在y轴左侧，那么b和a同号，如果对称轴在y轴右侧，b和a异号；当x = 0时，y = c，所以看图像与y轴交点就知道c的取值啦。
三、二次函数最值题型二次函数的最值问题也是经常考的呢。
对于二次函数y = ax²+bx + c（a≠0），当a＞0时，函数有最小值，这个最小值就在顶点处取得，也就是y = (4ac - b²)/4a；当a＜0时，函数有最大值，同样是在顶点处取得这个值。
比如说，有个二次函数y = -x²+2x + 3，因为 a = -1＜0，所以这个函数有最大值。
二次函数知识点总结及相关典型题目(含答案)
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0CA EF BD第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ Ｄ ）DO424O424O 424O 424yx2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤22114k x x ＋－，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ． 于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2=∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴2a m =- .这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m 2m -∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，．（2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ． （3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ． 222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ， 解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ， 解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ． 因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜． ∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ a c x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝． 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝，∴ a x 321-＝，a x 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．。
初中数学《二次函数》十大题型汇编含解析
二次函数【十大题型】【题型1 辨别二次函数】 (1)【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 (3)【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】 (4)【题型4 二次函数的一般形式】 (6)【题型5 求二次函数的值】 (7)【题型6 判断函数关系】 (9)【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】 (11)【题型8 列二次函数关系式(增长率)】 (14)【题型9 列二次函数关系式(循环)】 (15)【题型10 列二次函数关系式(销售)】 (16)知识点1：二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．【题型1 辨别二次函数】【例1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，yy一定是xx的二次函数的是（）A．yy=2aaxx2B．yy=2xx+aa2C．yy=2xx2−1D．yy=xx2+1xx【答案】C【分析】本题考查二次函数的识别，形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．【详解】解：A，当aa=0时，yy=2aaxx2=0，不是二次函数，不合题意；B，yy=2xx+aa2，yy是xx的一次函数，不合题意；C，yy=2xx2−1，yy一定是xx的二次函数，符合题意；D，yy=xx2+1xx中含有分式，不是二次函数，不合题意；故选C．【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（）A．yy=2xx−1B．yy=√xx2−1C．yy=xx2−1D．yy=12xx【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如yy=aaxx2+bbxx+cc （aa、b、c为常数，aa≠0）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A、函数yy=2xx−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、函数yy=√xx2−1根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、函数yy=xx2−1是二次函数，故本选项符合题意；D、函数yy=12xx分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：C．【变式1-2】（23-24九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（）（1）yy=3(xx−1)2+1；（2）yy=1xx2−xx；（3）SS=3−2tt2；（4）yy=xx4+2xx2−1；（5）yy=3xx(2−xx)+3xx2；（6）yy=mmxx2+8．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa,bb,cc为常数，aa≠0)的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成yy=aaxx2+bbxx+cc(aa,bb,cc为常数，aa≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．【详解】解：（1）yy=3(xx−1)2+1是二次函数，故符合题意；（2）yy=1xx2−xx，不是二次函数，故不符合题意；（3）SS=3−2tt2是二次函数，故符合题意；（4）yy=xx4+2xx2−1不是二次函数，故不符合题意；（5）yy=3xx(2−xx)+3xx2=6xx不是二次函数，故不符合题意；（6）yy=mmxx2+8，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；综上所述，二次函数有2个．故选：B．【变式1-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①yy=5xx−5；②yy=3xx2−1；③yy=4xx3−3xx2；④yy=2xx2−2xx+1；⑤yy=1xx2．其中是二次函数的是．【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①yy=5xx−5为一次函数；②yy=3xx2−1为二次函数；③yy=4xx3−3xx3自变量次数为3，不是二次函数；④yy=2xx2−2xx+1为二次函数；⑤yy=1xx2函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．【题型2 由二次函数的定义求字母的值】【例2】（23-24九年级下·广东东莞·期中）已知函数yy=(mm−1)xx mm2+1是二次函数，则mm=．【答案】−1【分析】根据定义得：形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa、bb、cc是常数，且aa≠0)的函数是二次函数，列方程可求得答案．【详解】解：依题意得：mm2+1=2且mm−1≠0，解得mm=−1．故答案为：−1．【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc中，aa是常数，本题关键点为aa≠0．【变式2-1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果yy=2xx|mm|+3xx−1是关于xx的二次函数，则mm=．【答案】±2【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接利用二次函数的定义得出答案．【详解】解：∵yy=2xx|mm|+3xx−1是关于x的二次函数，∴|mm|=2，解得：mm=±2．故答案为：±2．【变式2-2】（23-24九年级上·湖北·周测）如果函数yy=(kk−1)xx kk2−kk+2+kkxx−1是关于x的二次函数，则kk=．【答案】0【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到kk−1≠0且kk2−kk+2=2，然后解不等式和方程即可得到k的值．【详解】解：根据题意，得kk−1≠0且kk2−kk+2=2，解得kk=0．故答案为：0．【变式2-3】（23-24九年级下·广东广州·期末）如果yy=(kk−3)xx�kk－1�+xx−3是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是．【答案】敏敏【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得|kk−1|=2，kk−3≠0，即可求解；理解定义：“一般地，形如yy=aaxx2+bbxx+cc（a、b、c是常数，aa≠0）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键．【详解】解：∵yy=(kk−3)xx�kk－1�+xx−3是二次函数，∴|kk−1|=2，解得kk1=3，kk2=−1，又∵kk−3≠0，即kk≠3，∴kk=−1，故敏敏正确．【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数yy=(kk−1)xx2+kkxx−1（kk是常数）是二次函数，那么kk的取值范围是．【答案】kk≠1【分析】根据：“形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)，这样的函数叫做二次函数”，得到kk−1≠0，即可．【详解】解：由题意，得：kk−1≠0，∴kk≠1；故答案为：kk≠1．【变式3-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数yy=(mm2−mm)xx2+(mm−1)xx−2（m为常数）．(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．【答案】(1)mm=0；(2)mm≠1且mm≠0．【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题．【详解】（1）解：依题意mm2−mm=0且mm−1≠0，所以mm=0；（2）解：依题意mm2−mm≠0，所以mm≠1且mm≠0．【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．【变式3-2】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于xx的二次函数yy=(aa2−1)xx2+xx−2，则aa的取值范围是（）A．aa≠1B．aa≠−1C．aa≠±1D．为任意实数【答案】C【分析】根据二次函数定义可得aa2−1≠0，解出答案即可．【详解】因为关于xx的二次函数yy=(aa2−1)xx2+xx−2，∴aa2−1≠0，解得：aa≠±1．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)概念，熟练掌握二次函数定义是解题关键．【变式3-3】（23-24九年级下·四川遂宁·期中）已知函数yy=(mm2-2)xx2+(mm+√2)xx+8．若这个函数是二次函数，求mm的取值范围【答案】mm≠√2且mm≠-√2【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式mm2-2≠0，解不等式即可求得．【详解】解：∵函数yy=(mm2-2)xx2+(mm+√2)xx+8是二次函数，∴mm2-2≠0，解得mm≠±√2，故答案为：mm≠√2且mm≠-√2．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．【题型4 二次函数的一般形式】【例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数yy=xx2−3xx+5的二次项是，一次项系数是，常数项是．【答案】xx2−3 5【分析】根据二次函数的定义判断即可。
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二次函数专项讲解与练习1、性质问题例（2013山东泰安，19，3分）设A 123(2,),(1,),(2,)y B y C y -是抛物线2(1)y x m=-++上的三点，则123,,y y y 的大小关系为（ ）A.123y y y >>B.132y y y >>C.321y y y >>D.213y y y >>方法一：把A 、B 、C 三点的坐标分别代入2(1)y x m =-++，得y 1=-1+m, y 2=-4+m, y 3=-9+m,所以123y y y >>.方法二：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+a ，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A 关于对称轴的点A′是（0，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，于是y 1＞y 2＞y 3．故选A ．练习：10、（2013浙江省衢州，10，3分）已知二次函数y ＝－12x2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( )A .y 1＞y 2＞y 3B . y 1＜y 2＜y 3C .y 2＞y 3＞y 1D . y 2＜y 3＜y 110【解析】因为a =－12<0，此二次函数的开口方向向下，又y ＝－12x2－7x ＋152＝－12( x +7)2＋32，抛物线的对称轴为x =-7，当x ＞0＞-7时，y 随x 的增大而减少，故y 1＞y 2＞y 3．【答案】A6、（2011广东肇庆，10，3分）二次函数有（C ）A ． 最大值B ． 最小值C ． 最大值D ． 最小值2、平移问题例：（2013年四川省德阳市）在同一平面直角坐标系内，将函数1422++=x x y 的图象沿x 轴方向向右平移2个单位长度后再沿y 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是 A.（1-，1） B.（1，2-）C.（2，2-）D.（1，1-）解析：函数1422++=x x y 变形为22(1)1y x =+-平移后的解析式为22(1)2y x =--，所以顶点为（1，-2）．故选B.习题：2、（2013山东泰安，12，3分）将抛物线y=3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. 23(2)3y x =++ B.23(2)3y x =-+522-+=x x y 5-5-6-6-C.23(2)3y x =+-D.23(2)3y x =--【解析】平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，3），因为平移抛物线的形状不变，所以平移后的抛物线的解析式为：y=3(x+2)2+3. 【答案】A.13. 抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b 、c 的值为 （ B ） A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=23、解析式问题例：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．练习：9.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式．11．二次函数y ＝x 2－mx ＋m －2的图象的顶点到x 轴的距离为,1625求二次函数解析式．4、a,b,c 与图像关系问题例：（2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。
你认为其中错误．．的有（D ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．1个习题：4、（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2=4a ；c bx x y ++=2322--=x x y 2y ax bx c =++240b ac ->1,12⎛⎫⎪⎝⎭④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 41、（2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是 （B ） A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b <2a D ． ac <05、图像综合问题例：4、（2011湖南湘潭市，8，3分）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（C ）练习1、（2011山东德州6,3分）已知函数（其中）的图象 如下面右图所示，则函数的图象可能正确的是2、（2011四川凉山州，12，4分）二次函数的图像如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是（ ）2y ax bx c =++1+=ax y a x y +=2))((bx a x y --=a b >b ax y +=2y ax bx c =++ay x=y bx =第6题图6、对称问题例：y=2x 2+x+4关于点（2,1）对称图形的解析式 练习：1、（07江西）已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．2、y=x2+4x 关于原点和点（1,1）对称的解析式分别是：7、不等式问题例：y 1=-x 2-1,y 2=-3x 2+9求y 1<y 2的x 范围 练习：已知y 1=2x 2-3,y 2=4x 2-5,求y 1<y 2且y2>0的x 范围 8、应用题 例：1,2 练习：1、（2011泰安）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件。
（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？家庭作业1、（2013广州市，2， 3分）将二次函数y=x 2的图像向下平移1个单位。
则平移后的二次函数的解析式为（ ）A. y= x 2 －1B. y= x 2 +1C. y= (x －1)2D. y= (x+1)2 【解析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”进行解题．【答案】解：∵向下平移1个单位∴y =x 2－1．故得到的抛物线的解析式是y= x 2－1．2、（2011山东滨州，7，3分）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( B )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位3、（2011山东日照，17，4分）如图，是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1；④a -2b +c ＞0．其中正确的命题是 1,3 ．（只要求填写正确命题的序号）4、（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( D )A ． a >0B ． b ＜0C ． c ＜0D ． a ＋b ＋c >05、（2011安徽芜湖，10，4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.()223y x =+-2y x =2y ax bx c =++ay x=y bx c =+6、（2011山东潍坊，12，3分）已知一元二次方程的两个实数根、满足和x1*x2=3，那么二次函数的图象有可能是（ ）7、（2011甘肃兰州，5，4分）抛物线的顶点坐标是A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－2，1）D ．（2，－1）8、（2011湖南永州，13，3分）由二次函数，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线 C ．其最小值为1 D ．当时，y 随x 的增大而增大9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝53 ，求这条抛物线的解析式；10． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。
11、y=2x2+2x+3关于点（3,2）x 轴和点（3,2）对称的解析式分别是什么？ 12、求已知y 1=x 2+1，y 2=2x+4,求y 1>y 2时x 的范围13、（2010山东潍坊）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD ，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平米30米，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？20(0)ax bx c a ++= >1x 2x 124x x +=2(0)y ax bx c a =++>221y x x =-+1)3(22+-=x y 3-=x 3<x14、（2010 内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，． （1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．y x y kx b =+65x =55y =75x =45y =y kx b =+W W x x。