课时作业12：章末复习课

章末复习课
1．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为() A．(－1，5)， 3 B．(1，－5)，3
C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3
2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有()
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
3．以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是()
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝100
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
4．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有() A．1条B．2条
C．3条D．4条
5．已知圆的方程(x＋2)2＋(y－2)＝4，则点P(3，3)()
A．是圆心B．在圆上
C．在圆内D．在圆外
6．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为() A．1 B．2 2
C.7 D．3
7．一辆卡车车身宽为2.6 m，要经过一个半径为3.6 m的半圆形单向隧道，则这辆卡车限高为()
A．3.3 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
8．一辆卡车宽2.7 m，要经过一个半径为4.5 m的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过()
A．1.4 m B．3.0 m
C．3.6 m D．4.5 m
9．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b的取值范围是() A．|b|＝ 2 B．－1<b≤1，且b＝－2
C．－1≤b≤1 D．非A，B，C结论
10．圆(x－1)2＋(y－3)2＝1关于2x＋y＋5＝0对称的圆方程是()
A．(x＋7)2＋(y＋1)2＝1
B．(x＋7)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋6)2＋(y＋1)2＝1
D．(x＋6)2＋(y＋2)2＝1
11．经过原点，圆心在x轴的正半轴上，半径等于5的圆的方程是__________________．12．圆C1：x2＋y2＝4和C2：x2＋y2－6x＋8y－24＝0的位置关系是____________．13．已知两圆C1：x2＋y2＝10，C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为______________．
14．过点P(2，3)且与圆x2＋y2＝4相切的直线方程是______________________．
15．求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5交点的圆的方程．
16．已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)，求圆C的方程．
17．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0
(m∈R)．
(1)证明：直线l与圆相交；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程．
18．已知以C(2，0)为圆心的圆C和两条射线y＝±x(x≥0)都相切，设动直线l与圆C相切，并交两条射线于点A，B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
19．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
20．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5，3)．
(1)求直线l1的方程．
(2)若直线l2：x＋y＋b＝0与圆C相交，求b的取值范围．
(3)是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C7.A8.C9.B10.A
11．(x－5)2＋y2＝2512.内切13.x＋y－2＝0
14．x＝2或5x－12y＋26＝0
15．解：设所求圆的方程为(x 2＋y 2－x ＋y －2)＋m (x 2＋y 2－5)＝0.
整理，得(1＋m )x 2＋(1＋m )y 2－x ＋y －2－5m ＝0. 圆心坐标为⎝⎛⎭⎫12(1＋m )，－12(1＋m )， 代入3x ＋4y －1＝0，得m ＝－3
2
.
故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －2y －11＝0.
16．解：设所求圆的圆心是C (a ，b )，则过点M ，C 的直线与x ＋3y ＝0垂直，
⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＋3＝3(a －3)， ①(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2， ② 由①②可得，a ＝0，b ＝－4 3或a ＝4，b ＝0， 相应半径为6和2.
∴圆的方程为x 2＋(y ＋4 3)2＝36或(x －4)2＋y 2＝4. 17．(1)证明：将直线l 的方程整理为
(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，2x ＋y －7＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝1.∴直线l 过定点A (3，1)． ∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，
∴点A 在圆C 的内部．∴直线l 与圆相交．
(2)解：圆心C (1，2)，当截得的弦长为最小时，l ⊥AC ， 由k AC ＝－1
2，得直线l 的方程为y －1＝2(x －3)，
即2x －y －5＝0.
18．解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋b .A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝x ，y ＝kx ＋b ，得
A ⎝⎛⎭
⎫b 1－k ，b
1－k (k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－x ，y ＝kx ＋b ，
得B ⎝ ⎛⎭⎪
⎫－b 1＋k ，b 1＋k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1
＋x 2
2＝kb
1－k 2
， ①y ＝y 1
＋y 2
2＝b
1－k 2
. ②
由①②，得k ＝x
y ，b ＝y 2－x 2y
. ③
∵圆C 与y ＝±x 都相切 ∴圆C 的半径r ＝ 2.
∵直线AB ：kx －y ＋b ＝0与圆C 相切， ∴|2k ＋b |
k 2＋1
＝2，即2k 2＋4kb ＋b 2
－2＝0. ④ 将③代入④，得(y 2－x 2)＋4x (y 2－x 2)－2(y 2－x 2)＝0. ∵y 2≠x 2，∴y 2－x 2＋4x －2＝0，即(x －2)2－y 2＝2(y ≠0)．
当l ⊥x 轴时，线段AB 的中点M (2±2，0)也符合上面的方程，其轨迹在∠AOB 内． 19．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )，
令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，
依题意，得b ≠0且Δ＝4－4b ＞0，解得b ＜1 ，且b ≠0. (2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，
这与x 2＋2x ＋b ＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b . 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，此方程有一个根为b ， 代入，得E ＝－b －1.
∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 必过定点(0，1)和(－2，1)．证明如下： 将(0，1)代入圆C 的方程，
得左边＝02＋12＋2×0－(b ＋1)＋b ＝0＝右边＝0. ∴圆C 必过定点(0，1)． 同理可证圆C 必过定点(－2，1)．
20．解：(1)圆C 的方程化为标准方程：(x －3)2＋(y －2)2＝9，
则其圆心C (3，2)，半径r ＝3.
若设直线l 1的斜率为k ，则k ＝－1k PC ＝－1
1
2＝－2.
∴直线l 1的方程为y －3＝－2(x －5)，即2x ＋y －13＝0. (2)∵圆的半径r ＝3，
∴要使直线l 2与圆C 相交，则须有|3＋2＋b |
2≤3.
∴|b ＋5|≤3 2.
于是b 的取值范围是－3 2－5＜b ＜3 2－5. (3)设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0，y 0)，
则直线l 2与CM 垂直，于是有y 0－2
x 0－3＝1，
整理可得x 0－y 0－1＝0.
又∵点M (x 0，y 0)在直线l 2上，∴x 0＋y 0＋b ＝0.
∴由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0－y 0－1＝0，x 0＋y 0＋b ＝0，解得⎩⎨⎧
x 0＝1－b
2
，y 0
＝－1＋b
2
，代入直线l 1的方程，得1－b －1＋b
2
－13
＝0，于是b ＝－25
3∈(－3 2－5，3 2－5)，故存在满足条件的常数b .。