第四章 圆与方程 章末复习与总结
2020版人教A数学必修2：第四章 圆与方程 章末总结
题型探究·素养提升
题型一 圆的方程 [典例1] (2018·安徽宿州高二期末)求适合下列条件的圆的方程. (1)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);
解:(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
b 4a,
则有 3 a2 2 b2 r2, 解得 a=1,b=-4,r=2 2 .
2 选 C.
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点 A(1,0),B(0, 3 ),C(2, 3 ),则△ABC 外 接圆的圆心到原点的距离为( B )
(A) 5 3
(B) 21 3
(C) 2 5 (D) 4
3
3
解析:设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
所以
1 D F 0, 3 3E F 0, 7 2D 3E F
解析:圆 M:x2+y2-2ay=0 的圆心 M(0,a),半径为 a.所以圆心 M 到直线 x+
y=0 的距离为 a ,由直线 y+x=0 被圆 M 截得弦长为 2 2 知 a2- a2 =2,
2
2
故 a=2.即 M(0,2),且圆 M 半径为 2.又圆 N 的圆心 N(1,1),且半径为 1,
由|MN|= 2 ,且 2-1< 2 <2+1.故两圆相交.故选 B.
题型二 直线与圆的位置关系 [典例2] 已知点P(1,5),圆C:x2+y2-4x-4y+4=0. (1)过点P作圆的切线PT,T为切点,求线段PT的长; 解:(1)化圆 C:x2+y2-4x-4y+4=0 为(x-2)2+(y-2)2=4, 得圆心为 C(2,2),半径 r=2.
人教A版必修二第四章圆与方程复习课件
y
B
O
x
2 2 2 2 x y 4 25 x y 3．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长
|AB|的值
解法二：（弦长公式）
x 2 y 2 25
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
联立方程组 消去二次项
2 2 x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0 ②
①-②得 x 2 y 1 0 ③ 把上式代入①
x 2x 3 0 ④ (2)2 4 1 (3) 16
• 1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等 于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点 叫做圆心，定长叫做圆的半径. • 2.圆的方程 • （1）标准方程：以（a,b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a） 2+（y-b）2=r2.
• （2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. • 当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的
画板 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 d
| Aa Bb C | A B
2 2
则
位置 d与 r
图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
当-2 2 <b<2
高中数学《第四章圆与方程小结》65PPT课件
即 x－3＝0.
又点 C(1，2)到直线 x－3＝0 的距离 d＝3－1＝2＝r， 即此时满足题意，所以直线 x＝3 是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为 y－1＝k(x－3)， 即 kx－y＋1－3k＝0， 则圆心 C 到切线的距离 d＝|k－2k＋2＋1－1 3k|＝r＝2，
解得 k＝34. ∴切线方程为 y－1＝34(x－3)，即 3x－4y－5＝0. 综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x－3＝0 或 3x－ 4y－5＝0.
4．若经过两点 A（－1，0）、B（0，2）的直线l 与圆（x 1）2 ( y a)2 1
相切，则a =
.
5．求圆（x 1）2 ( y 1)2 1上的点到直线3x 4y 3 0 的距离的最大最小 值 [解] 最大距离为3 最小距离为1
知识像一艘船
让它载着我们 驶向理想的 ……
[解] 如图，直线L过圆心，且与直 线3x+4y=25垂直于点M， 此时，l 与圆有两个交点A、B， ∵原点到直线3x+4y=25的距离 |OM|=5， ∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离 的 最大值为：|AM|=|OM|+r=5+1=6 最小值为：|BM|=|OM|-r=5-1=4
知识点三：切线问题
例 3 已知点 P( 2 1,2 2) ，点 M(3，1)，圆 C：(x 1)2 ( y 2)2 4 (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程； (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长．
[解] 由题意得圆心 C(1，2)，半径长 r＝2.
(1)∵( 2＋1－1)2＋(2－ 2－2)2＝4，
例 4 设圆的方程为 x2 y2 13 ，它与斜率为- 2 的直线相切，求切线的
必修2第四章直线和圆复习
必修2第四章直线和圆复习一圆的标准方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程；能用待定系数法、几何法求圆的标准方程.知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程； （2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. 例题精讲：【例1】过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）.A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4解：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件, 再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程. A 不满足条件. 所以，选C.另解：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r , 因为圆心C 在直线x +y －2=0上, ∴b =2－a .由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1. 因此，所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4. 选C.【例2】求下列各圆的方程：（1）过点(2,0)A -，圆心(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B -- 解：（1）设所求圆的方程为222(3)(2)x y r -++=. 则222(23)(02)r --++=， 解得229r =. ∴ 圆的方程为22(3)(2)29x y -++=. （2）圆心在线段AB 的垂直平分线3y =-上，代入直线270x y --=得2x =，圆心为(2,3)-，半径r =∴ 圆C 的方程为22(2)(3)5x y -++=.【例3】一个圆经过点(5,0)A 与(2,1)B -，圆心在直线3100x y --=上，求此圆的方程.解：设圆心(,)P a b ，则3100a b --=⎧= 解得13a b =⎧⎨=-⎩.圆的半径5r ===. ∴ 圆的标准方程为22(1)(3)25x y -++=.另解：线段AB 的中点'5201(,)22P -+，即'31(,)22P . 直线AB 的斜率101257k -==---. 所以弦AB 的垂直平分线的方程为137(22y x -=-，即7100x y --=.解方程组31007100x y y --=⎧⎨--=⎩，得13x y =⎧⎨=-⎩， 即圆心(1,3)P -.圆的半径5r ===. ∴ 圆的标准方程为22(1)(3)25x y -++=.点评：两种解法，都是先求出圆心与半径，第一种解法用设圆心坐标后列方程而求，第二种解法用两条直线的交点求圆心. 由上可得，解法关键都是如何求圆心与半径.二圆的一般方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的一般方程；能用待定系数法求圆的一般方程.知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,22D E--，半径长的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程. 解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 则442202595309130D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩， 解得8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴ 圆的方程为2282120x y x y +--+=.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.解：配方得[]222(3)(14)16x m y m m ⎡⎤-++--=+⎣⎦，该方程表示圆，则有160m +>，得1(,)6m ∈-+∞，此时圆心的轨迹方程为2314x m y m=+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--， 由1(,)6m ∈-+∞得x =m +317(,)6∈+∞. ∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，17(,)6x ∈+∞ 【例3】已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点轨迹方程. （教材P 133 例5 另解）（利用中点坐标公式可更简单）解：设圆22(1)4x y ++=的圆心为P (-1,0)，半径长为2，线段AB 中点为M(x , y ).取PB 中点N ,其坐标为(142-+,032+)，即N (32,32).∵ M 、N 为AB 、PB 的中点, ∴ MN ∥P A 且MN =12P A =1. ∴ 动点M 的轨迹为以N 为圆心，半径长为1的圆. 所求轨迹方程为：2233()(122x y -+-=.点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即圆的定义. 解法关键是连接PB ，取PB 的中点N ，得到MN 的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标，然后找出相关的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.【例4】求经过(4,2),(1,3)A B -两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 当0x =时，20y Ey F ++=，则122E y y +=-； 当0y =时，20x Dx F ++=，则122D x x +=-. 则1644201930((422D E F D E F D E ⎧⎪++++=⎪+-++=⎨⎪⎪-+-=⎩， 解得352D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴ 圆的方程为223520x y x y +--+=.点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.三 直线与圆的位置关系学习目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离d =，比较d 与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<.2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式d =例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为 . 解：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离1d ==， ∴ a ＝－1. 【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.解：由题意，列出方程组22220(3)9x y x y --=⎧⎨-+=⎩，消y 得251440x x -+=，得12145x x +=，1245x x =. 设直线220x y --=与圆22(3)9x y -+=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21|||AB x x =-==.另解：圆心C 的坐标是(3,0)，半径长3r =. 圆心到直线220x y --=的距离d =所以，直线220x y --=被圆22(3)9x y -+=截得的弦长是==. 【例3】若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线在y 轴上的截距是 .解：圆的标准方程为22(2)(1)2x y ++-=，则圆心(2,1)C -，半径r 设过点(1,0)P -的直线方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=.∴ 圆心到切线的距离d r ==1k =.∴ 直线方程为1y x =+，在y 轴上的截距是1.点评：研究直线和圆的相切，简捷的方法是利用公式d r ==，还可以由方程组只有一个实根进行解答. 选择恰当的方法，是我们解题的一种能力.【例4】设圆上的点A （2，3）关于直线x +2y =0的对称点仍在这个圆上，且与直线x -y +1=0相交的弦长为求圆的方程.解：设A 关于直线x +2y =0的对称点为A ’. 由已知得AA ’为圆的弦，得到AA ’的对称轴x +2y =0过圆心. 设圆心P （-2a ，a ），半径为r ， 则r =|P A |=(-2a -2)2+(a -3)2.又弦长，圆心到弦AA ’的距离为d∴ 22(31)22a R -=+， 即4(a +1)2+(a -3)2=2+2(31)2a -， 解得a =-7或a =-3.当a =-3时，r a =-7时，r ∴ 所求圆方程为(x -6)2+(y +3)2=52或(x -14)2+(y +7)2=244.点评：在解答与圆的弦长相关的一些问题时，常用勾股定理，得到圆心到弦的距离d 、半径r 、半弦长的一个勾股式. 这种方法与方程组的思想求解弦长问题相比，计算过程较为简单. 四圆与圆的位置关系学习目标：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想，用解方程组判别位置关系或求交点坐标.知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+； （3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-；例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.解：（1）∵圆1C 的圆心为（3,0），半径为1r =2C 的圆心为（0，2），半径为2r =又12||C C =12||r r -＜12||C C <12r r +，∴圆1C 与2C 相交.（2）由①－②，得公共弦所在的直线方程为320x y -=.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.解：设所求圆的方程为22628x y y ++-22(64)0x y x λ+++-=，即22(1)(1)662840x y x y λλλλ+++++--=,则所求圆的圆心为33(,)11λλλ--++.∵圆心在直线40x y --=上， ∴334011λλλ-+-=++，解得17λ=-.∴ 所求圆的方程为2x ＋27320y x y -+-=【例3】已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为 A.22(1)1x y ++= B.221x y += C.22(1)1x y ++= D.22(1)1x y +-= 解：已知圆的半径1r =，圆心(1,0)，圆心(1,0)关于直线y x =-的对称点为(0,1)-， 则圆C 的方程为22(1)1x y ++=. 选C.点评：圆关于直线的对称图形仍然是圆，半径不变，圆心关于直线对称. 我们要掌握一些常见对称问题的解答思路，例如点关于直线的对称，曲线关于直线的对称，曲线关于点的对称等，解答理论基础有中点坐标公式、垂直时斜率乘积为－1、代入法、转化思想.同时，我们也要掌握一些简单对称，如点(,)a b 关于直线y x =的对称点为(,)b a .【例4】求圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦的长.解：由题意，列出方程组22224044120x y x y x y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，消去二次项，得2y x =+. 把2y x =+代入2220x y x y +-+=，得220x x +=，解得122,0x x =-=，于是120,2y y ==，两圆的交点坐标是(2,0)A -，(0,2)B，所以，公共弦长||AB =. 另解：由题意，列出方程组 22224044120x y x y x y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，消去二次项，得2y x =+，它即公共弦所在直线的方程. 圆2240x y +-=的圆心到直线20x y -+=的距离为d =所以，两圆的公共线长为==点评：为何两圆的方程消去二次项后，即为公共弦所在直线的方程，我们易由曲线系的知识可得. 比较方程思想与几何方法求解两圆的公共弦长，几何方法更为简捷. 先求公共弦所在直线，再求一圆心到直线的距离，通过公式.五直线与圆的方程的应用【例1】实数,x y 满足222410x y x y ++-+=， 求下列各式的最大值和最小值：（1）y；（2）2x y -. 解：原方程为22(1)(2)4x y ++-=，表示以(1,2)P -为圆心，2为半径的圆. （1）设4yk x =-，几何意义是：圆上点(,)M x y 与点(4,0)Q 连线的斜率. 由图可知当直线MQ 是圆的切线时，k 取最大值与最小值。
数学第四章知识点总结
第四章圆与方程知识点总结4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程C ：222()()x a y b r -+-= 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的方程 2、点00(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：4.1.2 圆的一般方程1、方程022=++++F Ey Dx y x○1、当0422＞F E D -+时，方程022=++++F Ey Dx y x 为圆的一般方程，其中圆心为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径长为F E D 42122-+，即44222222F E D E y D x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ○2、当0422=-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 表示点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ○3、当0422＜F E D -+时，方程022=++++F Ey Dx y x 无解，不表示任何图形。
2、圆的一般方程的特点：(1)①2x 和2y 的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
补充：已知直径两端点的圆的方程公式推导:以()()2211,,x y x B y A ，为直径的两端点的圆的方程是()()()()02121=--+--y y y y x x x x4.2.1 直线与圆的位置关系几何法：直线0y x =++C B A l ：，圆心C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆心C 到直线l 的距离d 。
代数法：直线0y x =++C B A l ：，圆心C ：022=++++F Ey Dx y x ，两方程联立，消去x 或者y ，得到关于y 或者x 的一元二次方程，其判别式△4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系．设两圆的连心线长为21C C ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当2121r r C C +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当2121r r C C +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 2121r r C C +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||2121r r C C -=时，圆1C 与圆2C 内切； （5）当||2121r r C C -<时，圆1C 与圆2C 内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 4.3.1空间直角坐标系1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
高考数学二轮复习章节概述(人教版必修二)第四章
数学·必修2(人教A版)
圆与方程
1．圆与方程．
(1)回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
2．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．
3．空间直角坐标系．
(1)通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．
(2)通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．
4．学习本章要注意的问题．
在平面解析几何初步的教学中，同学们的学习将经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法．
圆的知识的学习要注意与初中知识的衔接，特别是要充分利用同学们初中已学习过的知识．如点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系均已在初中讲过．利用几何意义解决许多与圆相关的问题往往比较方便，但作为解析几何的基本思想用代数研究几何问题也要充分重视，并为以后学习圆锥曲线打好基础．。
圆与方程复习
第四章．圆与方程复习一．学习目标：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式；初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 二．典题精讲【例1】 直线y=x+b 与曲线x=21y -有且仅有一个公共点，则b 的取值范围___________针对练习当曲线y=1+24x -与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是（ ）A.（0，125）B.（43,31］C.（43,125］D.（125，+∞）【例2】点P （x,y ）满足(x-2)2+y 2=1， 求：（1）xy的最大值； （2）求22x y +的范围 （3）y-x 的最小值.【例3】已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.三．知识反馈1.若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）. A ．30x y --= B ．230x y +-= C ．10x y +-= D ．250x y --=2.设直线过点(0,a )，其斜率为1, 且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的值为（ ）. A.±±2 B.±±4.3.圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ）.A ．36 B. 18C.D. 4.圆(x-3)2+(y+4)2=1关于直线x+y=0对称的圆的方程是( ) A.(x+3)2+(y-4)2=1 B.(x-4)2+(y+3)2=1C.(x+4)2+(y-3)2=1 D.(x-3)2+(y-4)2=15.两圆(x-a)2+(y-b)2=c 2和(x-b)2+(y-a)2=c 2相切，则( ) A.(a-b)2=c 2B.(a-b)2=2c 2C.(a+b)2=c2D.(a+b)2=2c 26.已知方程x 2+y 2+4x-2y-4=0，则x 2+y 2的最大值是( ) A.9 B.14 C.14-56 D.3+57.圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程 . 8.过点(1的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ .9.求与y 轴相切，在直线y=x 上截得的弦长为72,且圆心在直线x-3y=0上的圆的方程.10.已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.四．能力提高1．若坐标原点在圆x 2+y 2-2mx+2my+2m 2-4=0的内部，则实数m 的取值范围是( ) A.(-1，1) B.(22,22-) C.(3,3-) D.(2,2-) 2.Rt△ABC 的斜边为AB ，点A(-2，0),B(4，0)，则△ABC 的重心G 的轨迹方程是( ) A.(x-1)2+y 2=1(x≠0) B.(x-1)2+y 2=4(y≠0) C.(x-1)2+y 2=1(y≠0) D.(x+1)2+y 2=1(y≠0)3.设M={(x ，y)|x 2+y 2≤25}，N={(x ，y)|(x-a)2+y 2≤9}，若M∩N=M，则实数a 的取值范围是_____.4.已知圆C ：x 2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0,（1）求证：对m∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点. （2）设l 与圆C 交于A 、B 两点，若|AB|=17，求l 的倾斜角. （3）求弦AB 的中点M 的轨迹方程.。
高一数学人教A版必修二 课件 第四章 圆与方程 4 章末高效整合
圆与方程
知能整合提升
1．明确圆的两种方程，掌握待定系数法 (1)圆的标准方程： (x－ a)2＋(y－ b)2＝ r2，其中，圆心是 C(a， b)，半径长 是 r. 圆的一般方程： x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0(D2＋ E2－ 4F>0)，其中，圆心是
D E 1 － ，－ ，半径长是 2 2 2
法二：设所求圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
2 2 2 2－a ＋－3－b ＝r ， 2 2 2 根据已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， 3a＋b＋5＝0
a＝－1， ⇒b＝－2， r2＝10，
所以所求圆 C 的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
1．已知动圆 C 经过点 A(2，－3)和 B(－2，－5)． (1)当圆 C 面积最小时，求圆 C 的方程； (2)若圆 C 的圆心在直线 3x＋y＋5＝0 上，求圆 C 的方程．
解析：
(1)要使圆 C 的面积最小，则 AB 为圆 C 的直径．
1 圆心 C(0，－4)，半径 r＝ |AB|＝ 5， 2 所以所求圆 C 的方程为 x2＋(y＋4)2＝5.
D2＋ E2－ 4F.
注意：二元二次方程表示圆的条件是 x2 和 y2 的系数相等，且没有 xy 项．
(2)圆的标准方程和一般方程中都含有三个参变量(a，b，r 或 D，E，F)．求 圆的方程时，由题意得到三个独立的条件，利用待定系数法求出三个参变量的 值即可． (3)解题时选用圆的标准方程或一般方程的一般原则是： 如果已知圆心或半 径长或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点， 通常可用圆的一般方程． 求圆的方程时，注意运用圆的几何性质，简化运算．
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【例 5】 已知三条直线 l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3： 2x＋y－1＝0 两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的 方程．
[解] 画图如下：
由直线方程易知 l2 平行于 x 轴，l1 与 l3 互相垂直， ∴三个交点 A，B，C 构成直角三角形， ∴经过 A，B，C 三点的圆就是以 AB 为直径的圆．
第四章 圆与方程
章末复习与总结
1．求圆的方程 求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方 程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般 步骤为： (1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得 a，b，r(或 D，E， F)的方程(组)；(3)解出 a，b，r(或 D，E，F)；(4)代入圆的方程．
即 k＝0 或 k＝－274， 所以直线 l 的方程为 y＝0 或 7x＋24y－28＝0.
(2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线 l1 的方程为 y－b＝k(x －a)，k≠0，则直线 l2 的方程为 y－b＝－1k(x－a)．因为圆 C1 和 圆 C2 的半径相等，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等，即
易错点 1 求解圆方程漏解致误
【例 6】 已知某圆圆心在 x 轴上，半径长为 5，且截 y 轴 所得线段长为 8，求该圆的标准方程．
[解] 解法一：如图所示， 由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8， ∴|AO|＝4.在 Rt△AOC 中， |OC|＝ |AC|2－|AO|2 ＝ 52－42＝3.
设点 C 坐标为(a,0)， 则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3. ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25. 解法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25. ∵圆截 y 轴所得线段长为 8，∴圆过点 A(0,4)．代入方程得 a2＋16＝25， ∴a＝±3. ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
1．分类讨论思想 分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的 重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分 问题后，从而增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时 要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时 都要分类讨论．
【例 4】 已知直线 l 经过点 P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2 ＋(y＋2)2＝25 截得的弦长为 8，求直线 l 的方程．
[解] 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心为(－1，－2)，半径长 r＝5.
①当直线 l 的斜率不存在时，则 l 的方程为 x＝－4，由题意 可知直线 x＝－4 符合题意．
②当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y＋3＝k(x＋4)， 即 kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知|－k＋12＋＋k42k－3|2＋822＝52， 解得 k＝－43，即所求直线方程为 4x＋3y＋25＝0. 综上所述，满足题设的 l 方程为 x＝－4 或 4x＋3y＋25＝0.
|1－k－13＋－k2a－b|＝5＋1k41－＋ak12－b，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|， 从而 1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk 或 1＋3k＋ak－b ＝－5k－4＋a＋bk， 即(a＋b－2)k＝b－a＋3 或(a－b＋8)k＝a＋b－5， 因为 k 的取值范围有无穷多个， 所以ab＋ －ba－ ＋23＝ ＝00， 或aa－ ＋bb＋ －85＝ ＝00， ，
[答案] C
[易错点拨] 1．解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽视了斜率不存在的情况， 而错误地选A；若只考虑斜率不存在的情形，而忽视了斜率存在的情况，而错误地 选B. 2．过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的 条数，经过圆外一点可以作圆的两条切线，求解中若只求出一个斜率，则另一条必 然斜率不存在．
2．数形结合思想 数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少 的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化 上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目 会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻 译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较 “绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件 列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算 量，大大降低出错的概率．
故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 整理得 x2＋y2－2x－2y＝－1.① 由已知得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2 ＋y2 ＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.② 由①可知 x2＋y2－2y＝2x－1，③ 将③代入②得|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x ＋22.
∵0≤x≤2， ∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2 的最大值为 22，最小值为 18. 又三个圆的面积之和为 π|P2A|2＋π|P2B|2＋π|P2O|2＝π4(|PA|2 ＋|PB|2＋|PO|2)， ∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值为121 π，最小值为92π.
解法三：设圆心为 C，则 CA⊥l，又设 AC 与圆的另一交点 为 P，则 CA 方程为 y－6＝－34(x－3)，
即 3x＋4y－33＝0. 又 kAB＝63－ －25＝－2，∴kBP＝12， ∴直线 BP 的方程为 x－2y－1＝0. 解方程组x3－x＋2y4－y－1＝ 330＝，0， 得yx＝ ＝37.， ∴P(7,3)．∴圆心为 AP 中点5，92，半径为|AC|＝52.∴所求圆 的方程为(x－5)2＋y－922＝245.
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解法二：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为 C， 由 CA⊥l，A(3,6)、B(5,2)在圆上，
32＋62＋3D＋6E＋F＝0， 52＋22＋5D＋2E＋F＝0， 得－－DE22－－63×43＝－1，
解得DE＝＝－－91，0， F＝39.
∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
[解] (1)由于直线 x＝4 与圆 C1 不相交，所以直线 l 的斜率 存在．设直线 l 的方程为 y＝k(x－4)，圆 C1 的圆心到直线 l 的距 离为 d，因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3，所以 d＝
22－ 32＝1.由点到直线的距离公式得 d＝|－3k1－＋1k－2 4k|，从 而 k(24k＋7)＝0.
是( )
A．y＝1
B．x＝3
C．x＝3 或 y＝1
D．不确定
[解析] 由题意知，点 A 在圆外，故过点 A 的切线应有两 条．当所求直线斜率存在时，设其为 k，则直线方程为 y－1＝k(x － 3) ， 即 kx － y ＋ 1 － 3k ＝ 0. 由于直 线 与圆相 切 ，所以 d ＝ |2k－01＋＋1k－2 3k|＝1，解得 k＝0，所以切线方程为 y＝1.当所求直 线斜率不存在时，x＝3 也符合条件．综上所述，所求切线方程 为 x＝3 或 y＝1.
[易错点拨] 1．若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心 在x轴负半轴的情况而导致出错． 2．借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究 问题，就要考虑到几何图形的各种情况．
易错点 2 过一点求圆的切线方程时致误
【例 7】 过点 A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1 相切的直线方程
由yx＋－12＝y＝00，， 解得yx＝＝－－12.， ∴点 A 的坐标为(－2，－1)． 由y2＋x＋1＝y－01，＝0， 解得yx＝＝－1，1. ∴点 B 的坐标为(1，－1)． ∴线段 AB 的中点坐标为－12，－1. 又∵|AB|＝|1－(－2)|＝3. ∴圆的方程是x＋122＋(y＋1)2＝94.
3，可得 A(0，－1,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)， B1( 3，0,2)，C1(0,1,2)．
[易错点拨] 1．解答此题不是以OB，OC，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角 坐标系，而是以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，进而 错误地求出A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)． 2．求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系，这也是正确利用坐 标求解此类问题的前提．建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两两垂 直，且符合右手法则．
易错点 3 空间直角坐标系的应用误区 【例 8】 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，所有棱长都为 2， 侧棱 AA1⊥底面 ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．
[解] 取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1，可得 BO⊥AC， 分别以 OB、OC、OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系．因为三棱柱各棱长均为 2，所以 OA＝OC＝1，OB＝
2．直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是 重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应 充分利用圆的几何性质以简化解题过程． (2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利 用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆 的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析 问题．
【例 3】 在△ABO 中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，P 是 △ABO 的内切圆上一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆 面积之和的最大值与最小值．
[解] 如图所示，建立平面直角坐标 系，
使 A，B，O 三点的坐标分别为 A(4,0)， B(0,3)，O(0,0)．
设内切圆的半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)， 则 2r＋|AB|＝|OA|＋|OB|，∴r＝1.
【例 1】 有一圆与直线 l：4x－3y＋6＝0 相切于点 A(3,6)， 且经过点 B(5,2)，求此圆的方程．