高等数学 同济大学版 习题5-1 课后答案

高等数学 同济大学版 习题5-1 课后答案

1. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.

解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i n

a

b a x i -+

=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: n

a

b x i -=

∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i n

a

b a x i i -+==ξ, 作和 n

a

b i n a b a x f S n

i i i n

i n -⋅

+-+

=∆=∑∑==]1)[()(21

1

ξ ∑=+-+-+-=n i i n

a b i n a b a a n a b 12

222]1)()(2[

]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n

a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)

12)(1()()1)(()[(2

22

+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b .

第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }n

a

b -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==n

i i i b

a x f dx x f S 1

0)(lim )(ξλ

]16)

12)(1()()1)(()[(lim 2

22

+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n

a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(3

1

]1)(31)()[(3322.

2. 利用定积分定义计算下列积分:

(1)xdx b

a ⎰(a <

b ); (2)dx e x ⎰1

0.

解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n

a

b x i -=

∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i n

a

b a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是

∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+

=∆=n

i n n

i i i n b

a n

a

b i n a b a x xdx 1

1

)(lim lim ξ

)(2

1

]2)

1()()([lim )(222

22

a b n n n a b a b a a b n -=+-+

--=∞

→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n

x i 1

=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点

n

i

x i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是

) (1lim 1lim 211

10n n n n n n i n i n x

e e e n

n e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑

⎰

1)

1(]1[lim

1])(1[1

lim 1

1

111-=--=--⋅

=∞

→∞→e e n e e e e e n

n

n n n

n n n n .

3. 利用定积分的几何意义 说明下列等式: (1)121

0=⎰xdx ; (2)411

02π

=-⎰dx x ;

(3)⎰-=π

π0sin xdx ;

(4)⎰⎰=-2022

cos 2cos π

ππxdx xdx .

解 (1)⎰1

02xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.

(2)⎰-1

021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的4

1:

4

141121

2ππ=⋅⋅=-⎰dx x . (3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即

⎰-=π

π0sin xdx .

(4)

⎰-22

cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2 ,2[π

π-一段所围成的图形的面积. 因为cos x

为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos π

xdx , 即

⎰⎰=-2022

cos 2cos π

ππxdx xdx .

4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .

解 建立坐标系如图. 用分点i n

H

x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为n

H

x i =

∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为

2211

8.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L n

n n H L n H

i n H L x L x P n n

i n n

i i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑

∑.

将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).

5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=b

a b

a dx x f k dx x kf )()(; (2)a

b dx dx b

a b

a -==⋅⎰⎰1.

证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→b

a n

i i i n

i i i b

a dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1

01

0ξξλλ.

(2)a b a b x x dx n

i i n

i i b

a -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 10

1

01

0λλλ.

6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+4

12)1(dx x ; (2)⎰+π

π

454

2

)sin 1(dx x ;

(3)⎰3

3

1arctan xdx x ;

(4)⎰-0

22

dx e x

x

.

解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以

)14(17)1()14(24

12-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(64

12≤+≤⎰dx x . (2)因为当

ππ

4

5

4≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )4

45(2)sin 1()445(145

4

2π

πππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,

即 ππππ

2)sin

1(45

4

2≤+≤⎰dx x .

(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,3

1[上的最大值M 与最小值m .

2

1arctan )(x x x x f ++='. 因为当

33

1≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间

]3 ,3

1[上单调增加. 于是

3

631arctan

31)31(π

=

==f m , 3

3arctan 3)3(π

=

==f M .

因此

)3

13(3

arctan )3

13(3

63

3

1-

≤

≤-

⎰π

π

xdx x ,

即

3

2arctan 9

3

3

1ππ

≤

≤⎰xdx x . (4)先求函数x

x e x f -=2

)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .

)12()(2

-='-x e x f x

x , 驻点为2

1

=x .

比较f (0)=1, f (2)=e 2,

41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是

)02()02(22

04

12

-⋅≤≤-⎰--e dx e e x

x

,

即 4102

2

222---≤≤-⎰e dx dx e e x

x .

7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:

(1)若在[a , b ]上 f (x )≥0, 且0)(=⎰b

a dx x f , 则在[a ,

b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰b

a dx x f ;

(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a b

a dx x g dx x f )()(, 则在[a

b ]上f (x )≡g (x ).

证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.

再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2

)

()(0x f x f >. 于是

0)(2

)

()()()()()(0>-≥

≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f d

c b

d d c c a b a . 这与条件0)(=⎰b

a dx x f 相矛盾. 因此在[a ,

b ]上f (x )≡0.

(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.

再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2

)

()(0x f x f >

. 于是

⎰

⎰>-≥

≥b

a

d

c

c d x f dx x f dx x f 0)(2

)

()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰b

a dx x f . 假如0)(>⎰b

a dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰b

a dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰b

a dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,

b ]上F (x )≥0且

0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰b

a b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,

由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).

4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰1

03dx x ？ (2)⎰2

12dx x 还是⎰2

13dx x ？ (3)⎰2

1ln xdx 还是⎰2

12)(ln dx x ？ (4)⎰1

0xdx 还是⎰+1

0)1ln(dx x ？

(5)⎰10dx e x 还是⎰+1

0)1(dx x ？

解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥1

03102dx x dx x . 又当0x 3, 所以⎰⎰>1

03102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤2

132

12dx x dx x . 又因为当1

132

12dx x dx x .

(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥2

122

1)(ln ln dx x xdx . 又因为当1(ln x )2, 所以⎰⎰>2

122

1)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1

01

0)1ln(dx x xdx . 又因为当0ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1

01

0)1ln(dx x xdx .

(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥101

0)1(dx x dx e x . 又因为当01+x , 所以⎰⎰+>1

01

0)1(dx x dx e x .