同济大学教材高等数学答案
同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解)
解 (1)列方程,(2)解方程
练习 12-11
总习题十二
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
总习题十一
练习 12-1
练习 12-2
练习 12-3
练习 12-4
练习 12-5
练习 12-6
练习 12-7
提示：
提示：
练习 12-8
练习 12-9
总习题六
练习 7-1
练习 7-2
练习 7-3
练习 7-4
练习 7-5
练习 7-6
总习题七
练习 8-1
练习 8-2
>
练习 8-3
练习 8-4
练习 8-5
练习 2-5
总习题二
练习 3-1
练习 3-2
练习 3-3
练习 3-4
练习 3-5
练习 3-6
x
( 2)
y
y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
(2 1) 1
练习 10-4
练习 10-5
练习 10-6
练习 10-7
总习题十
练习 111
练习 112
练习 113
练习 11-4
练习 11-5
练习 11-7
练习 11-8
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
练习 8-6
练习 8-7
练习 8-8
总习题八
练习 9-1
练习 9-2
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练习 9-3
练习 9-4
总习题九
练习 10-1
练习 10-2
练习 10-3
同济大学版高等数学课后习题答案第2章
-----习题211 设物体绕定轴旋转 在时间间隔 [0 t]内转过的角度为从而转角是 t 的函数(t) 如果旋转是匀速的 那么称为该物体旋转的角速度 如果旋转t是非匀速的 应怎样确定该物体在时刻t 0 的角速度？解 在时间间隔 [t 0 t 0t] 内的平均角速度为(t 0t ) (t 0 )tt故 t 0 时刻的角速度为l i ml i m l i m(tt) (t 0) (t )t 0t 0 tt 0t2 当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却 若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 T T(t) 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解 物体在时间间隔 [t 0 t 0t]内 温度的改变量为T T(tt) T(t)平均冷却速度为T T (t t) T(t) t t故物体在时刻 t 的冷却速度为limT lim T (t t ) T (t ) T (t) t 0t t 0 t 3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元 此函数 f(x)称为成本函数成本函数 f(x)的导数 f (x)在经济学中称为边际成本 试说明边际成本 f (x)的实际意义解 f(x x)f(x)表示当产量由 x 改变到 x x 时成本的改变量f (x x) f (x)表示当产量由 x 改变到 x x 时单位产量的成本xf (x)lim 0f (x x) f ( x)表示当产量为 x 时单位产量的成本x x4 设 f(x)10x 2 试按定义 求 f ( 1)解 f ( 1)limf ( 1 x) f ( 1)10( 1x)2 10( 1)2xlimxxx 010 lim0 2 xx 2 10 lim ( 2x) 20xxx 05 证明 (cos x) sin x解 (cosx) limcos(x x) cosxxx2s i nx(x) s i nxlim2 2x 0 xlim [ s i nx(x ) s i n x] s i nx 2 x 0 2x26 下列各题中均假定 f (x 0)存在 按照导数定义观察下列极限指出 A 表示什么(1) lim f ( x 0x) f ( x 0 ) A xx 解 Alim0f (x 0x) f (x 0)xxl i mf ( xx) f (x 0) f ( x 0 )x 0x(2) lim f (x)A 其中 f(0) 0 且 f (0)存在x 0 x解 Alim f ( x) lim f (0 x) f (0) f (0)x 0 x x 0x (3) lim f (x 0 h) f (x 0 h)Ah 0h解A lim f ( x 0 h 0 lim[ f (xh 0limf (xh 0h)f (x 0 h) hh) f ( x 0 )] [ f (x 0 h) f (x 0)]h h) f (x 0)limf (xh) f ( x 0 ) hh 0hf (x 0) [ f (x 0)] 2f (x 0)7 求下列函数的导数(1)y x 4(2) y 3 x 2(3) y x1 6-----(4) y1 x(5) y1x23 5 x(6) y x232(7) y x x解 (1)y (x 4) 4x 4 1 4x 322 1 2 x (2) y (3 x 2 ) ( x 3 )2x 3331 3(3)y (x 1 6) 1 6x 1 6 1 1 6x 0 61 1 x(4) y ( 1) (x 2)x21 121 x 23 2(5) y(1)( x 2 )2x 3x 23 516 16 16 116 11 (6) y (x x) (x 5)x 5 x 555(7) y ( x2 3 x21 111 x ) (x 6) 1 x 6x 5665 68 已知物体的运动规律为 s t 3(m) 求这物体在 t 2 秒 (s)时的速度解 v(s) 3t 2 v|t 2 12(米 /秒)9 如果 f(x)为偶函数且 f(0)存在 证明 f(0)证明 当 f(x)为偶函数时 f( x) f(x)所以f (0) l i mf (x)f (0) l i m f (x) f (0) l i m f ( x) f (0)x 0xx 0x 0x 0x 0从而有 2f (0) 0 即 f (0) 010 求曲线 ysin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率x 解 因为 y cos x 所以斜率分别为2 1k 1 c o sk 2 cos 13 2f (0)2x311 求曲线 y cos x 上点 ( , 1) 处的切线方程和法线方程式3 2解 ysin x ysin3x3 23故在点 (, 1) 处 切线方程为 y 1 3(x)3 22 23法线方程为 y 1 2(x )23 312 求曲线 y e x在点 (0 1)处的切线方程 解 y e xy |x 0 1 故在 (0 1)处的切线方程为y 1 1 (x 0)即 y x 113 在抛物线 y x 2上取横坐标为 x 1 1 及 x 2 3 的两点 作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 yy(3) y(1)9 1 42x 割线斜率为 k132令 2x 4 得 x 2因此抛物线 y x 2 上点 (2 4)处的切线平行于这条割线 14 讨论下列函数在 x 0 处的连续性与可导性(1)y |sin x| (2) yx 2sin 1x 0xx 0解 (1)因为y(0) 0 lim y lim |sin x | lim ( sin x) 0x 0x 0x 0 lim ylim |sin x|lim sin xx 0x 0x所以函数在 x 0 处连续又因为y (0)l i m y( x)y(0) l i m |si nx | |si n0 |l i m s i nx1x 0x 0x 0x 0x 0xy (0) lim y( x) y(0) lim |sin x | |sin0|lim s i nx 1x 0 x 0 x 0x 0 x 0 x而 y (0) y (0) 所以函数在 x 0 处不可导-----解 因为 lim y(x) lim x 2sin10 又 y(0)0 所以函数在 x 0 处连续x 0 x 0x 又因为21 0y(x) y(0)xs i n1 l i mx l i ml i mxs i n 0 x 0xx 0xx 0x所以函数在点 x 0 处可导 且 y (0) 015 设函数 f (x)x 2x 1为了使函数 f(x)在 x 1 处连续且可导a b 应取什ax b x 1么值？解 因为lim f ( x) lim x 21 limf (x) lim (ax b)a b f(1) a bx 1x 1x1x 1所以要使函数在 x1 处连续 必须 a b 1 又因为当 a b1 时f (1)x 2 12l i m1x 1 xf (1) lim ax b 1 lim a( x 1) a b 1 lim a(x 1) ax 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 所以要使函数在 x 1 处可导 必须 a 2 此时 b 116已知 f (x)x 2x 0求 f (0)及 f(0) 又 f (0)是否存在？x x 0解 因为f(0) lim f (x) f (0)lim x 0x 0 x x 0x f(0) lim f (x) f (0)lim x 2 0xxx 0x 而 f (0) f (0) 所以 f (0)不存在17 已知 f(x)sin x x0 求 f (x)x x解 当 x<0 时 f(x) sin x f (x) cos x 当x>0 时 f(x) x f (x) 11因为 f (0) lim f (x) f (0) lim sin x 0 1x 0 x x 0xf (0) lim f (x)f (0) lim x 0 1所以 f (0) 1 从而x 0x x 0x f (x)cosx x1 x18 证明 双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2解 由 xy a 2得 ya 2k ya 2xx 2设 (x 0 y 0)为曲线上任一点则过该点的切线方程为y a2x 0 ) y 02 ( xx 02y x 2令 y 0并注意 x 0y 0a 解得 xx 0 2x 0为切线在 x 轴上的距 a 2令 x 0并注意 x 0y 0 a 2 解得 y a 2y 2 y0 为切线在 y 轴上的距x 0 0此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为S1|2x 0 ||2y 0 | 2|x 0 y 0 | 2a 22习题221 推导余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x(csc x)csc xcot x解 (cot x)(cosx )sin x sin x cosx cosxsin xsin 2 x2 21 2s i nx c o s x2 2 c s cxs i nxs i nx( c sxc) ( 1 ) c o xsc s cx c o xt s i nx 2s i n x 2 求下列函数的导数(1) y4 7 2 12x 5 x 4x-----(2) y 5x 3 2x 3e x (3) y 2tan x sec x 1 (4) y sin x cos x (5) y x 2ln x (6) y 3e x cos x(7) yln xxx(8) y e 2 ln 3x(9) y x 2ln x cos x(10) s 1 sint1 cost解 (1) y ( 4 7 2 12)(4x 5 7x 4 2x 112)x 5 x 4 x20x628x52x220282x6x5x2(2) y (5x 32x 3e x ) 15x22xln2 3ex(3) y (2tan x sec x 1)2sec x tan x sec x(2sec x tan x)2sec x (4) y (sin x cos x) (sin x) cos x sin x (cos x)cos x cos x sin x ( sin x) cos 2x(5) y (x 2ln x) 2x ln x x 21 x(2ln x 1)x(6) y (3e x cos x) 3e x cos x 3e x ( sin x) 3e x(cos x sin x)ln x1 x ln x1 ln x(7) y ( ) xx x 2 x 2(8) y ( e x ln 3) e x x 2 e x 2x e x ( x 2)x 2 x 43x(9) y221cos x x 2ln x ( sin x)(x ln x cos x) 2x ln x cos x x x2x ln x cos x x cos x x 2 ln x sin x(10) s (1sin t ) cost(1 cost) (1 sin t)( sin t)1 sin t cost1 cost(1 cost)2(1 cost)23 求下列函数在给定点处的导数(1) y sin x cos x 求 y和 yxx46(2)sin1cos 求d2d4(3) f (x)3 x 2求 f (0)和 f (2)5 x 5解 (1)ycos x sin xyc o s s i n3 1 3 1x22266 6yc o s s i n22 2x2 244 4(2)dsincos1sin1sincosd22d1s i nc o s 1 2 422(1)d4 244 4 2 22 42(3) f (x)32x f (0)3 f (2) 17(5 x)2525154 以初速 v 0 竖直上抛的物体其上升高度 s 与时间 t 的关系是 s v 0t 1gt 22求(1)该物体的速度 v(t)(2)该物体达到最高点的时刻解 (1)v(t) s (t) v 0 gt(2)令 v(t) 0 即 v 0 gt 0 得 t v 0这就是物体达到最高点的时刻g5 求曲线 y 2sin x x 2 上横坐标为 x 0 的点处的切线方程和法线方程 解 因为 y 2cos x 2x y |x 0 2又当 x 0 时 y 0 所以所求的切线方程为y 2x所求的法线方程为-----y 1x即x 2y 0 26求下列函数的导数(1)y (2x 5)4(2)y cos(4 3x)(3) y e 3x 2(4)y ln(1x2)(5)y sin2x(6) y a2x2(7)y tan(x2)(8)y arctan(e x)(9)y(arcsin x)2(10) y lncos x解 (1) y4(2x 5)4 1 (2x5) 4(2x 5)3 2 8(2x 5)3 (2)y sin(4 3x) (4 3x)sin(4 3x) ( 3) 3sin(4 3x)(3) y e 3 x2 ( 3x2 )(4)y1 (1 x2)1x2(5)y 2sin x (sin x) e 3x 2(6x)6xe 3x212x2x1 x2 1 x22sin x cos x sin 2x(6) y [( a21] 1 (a211(a2 x2 ) x2) 2x2) 221 (a2x2 )1x2 ( 2x)x2 2a2 (7) y sec2(x2) (x2)2xsec2(x2)(8) y1x2 (e x)e x2x1(e ) 1 e2 arcsin x (9) y2arcsin x (arcsin x)1x2(10) y1 (cosx)1( sin x) tan xcosx cosx 7 求下列函数的导数(1) y arcsin(1 2x)(2) y11 x 2x(3) y e 2 cos3x(4) y arccos 1x(5) y1 ln x1 ln x (6) y sin 2xx(7) y arcsin x(8) y ln(x a 2 x 2 ) (9) y ln(sec x tan x)(10) y ln(csc x cot x)解 (1) y1(1 2x)21 1 (1 2x)2x x 21 (1 2x) 2(2) y [(111 1 x 2)x 2) 2]1(1 x 2) 2(1213x(1 x 2 ) 2 ( 2x)x 22(1 x 2 ) 1xxxx) cos3xx(3) y (e 2) cos3x e 2(cos3x) e 2(e 2( sin 3x)(3x)21 e xxx2 c o 3sx 3e 2 s i n3x 1e 2( c o3sx6s i n3x)22-----(4) y1 1 (1)1 1 ( 1 )|x|1 (2 x 1 ( ) 2x2x 2x21)xx1(1 l n x) (1 ln x)12(5) yxx(1ln x) 2x(1 ln x)2(6) ycos2x 2 x sin 2x 1 2x cos2x sin2xx2x2(7) y1( x)1111 ( x)21 ( x )22 x 2 x x 2(8) y1x 2 (xa 2x 2 )1x 2 [1 1(a 2 x 2) ]xa 2x a 22 a 2 x 21[112 (2x)]1x a 2 22 a 2x a 2x 2x(9) y1(secx tan x) secxtan x(10) y1(csc x cot x)csc x cot xsecx tan x sec 2x secxsecx tan x cscx cot x csc 2 x cscxcscx cot x8 求下列函数的导数(1) y (arcsin x )22(2) y ln tan x2(3) y 1 ln 2 x(4) y e arctan x(5) y sin nxcos nx(6) y arctanx 1x 1(7) y arcsinxarccosx(8) y=ln[ln(ln x)](9) y1x 1 x 1 x1 x(10) y arcsin1 x1 x解 (1) y2(arcsin x ) (arcsin x)2 22( a r c s xi)n 1( x)2 1 ( x )2 222( a r c s xi) n1 x 12 1 ( ) 222x2a r c s i n24 x 2(2) y1x (tan x) 1 x sec 2 x( x)tan 2 tan2 22 2(3) y(4) y1 2 x 1x s e c2 c s cxt a n 22 1 ln 2 x 2 1 (1 ln 2 x)1 ln2 x1 2ln x ( l nx)12ln x12 1 ln 2x2 1 ln 2xxln xx1 ln2 xearctan x(arctan x)e arctan x1 x) 2( x)1 (-----e a r c t axn11x e a r c t axn1( x)2 2 2 x(1 x)(5) y n sin n 1x (sin x) cos nx sin n x ( sin nx) (nx)n sin n 1x cos x cos nx sin n x ( sin nx) nn sin n 1x (cos x cos nx sin x sin nx) n sin n 1xcos(n 1)x(6) y1( x 1) 1(x 1) ( x 1)11 ( x 1) 2x 11 (x 1)2(x 1)2 1 x 2x 1x 11arccosx 1 arcsin x1 x2 1 x 2(7) y(arccos x)21 a r c c oxs a r c s ixn1 x22( ar c c ox)s2 1 x 2 ( a r c cxo)2s(8) y1 ln(ln x)1ln(ln x)[ln(ln x)] 11(ln x)ln(ln x) ln x 1 1 1 ln x x xln x l n ( lxn)(1 1 )( 1 x1 x) ( 1 x1 x)(1 1)(9) y2 1 x 2 1 x2 1 x 2 1 x( 1 x1 x)211 x 21 x2(10) y1 (1 x) 1 (1 x) (1 x)1 1 x 1 x 1 1 x(1 x)21 x1 x1(1 x) 2x(1 x)9. 设函数 f(x)和 g(x)可导且 f 2(x) g 2(x) 0 试求函数 y f 2 (x) g 2 (x) 的导数解 yf 1[ f 2(x) g2 (x)]22 (x)g 2(x)1[2 f (x) f ( x) 2g(x) g ( x)] 2f 2(x)g2(x)f (x) f (x)g(x)g (x)f 2 (x)g 2 (x)10设 f(x)可导求下列函数 y 的导数dy dx(1) y f(x2)(2)y f(sin2x) f(cos2x)解 (1) y f (x2) (x2)f(x2) 2x 2x f (x2)(2)y f(sin2x) (sin2x) f (cos2x) (cos2x)f(sin2x) 2sin x cos x f (cos2x) 2cosx ( sin x)sin 2x[f (sin2x)f(cos2x)]11求下列函数的导数(1)y ch(sh x )(2)y sh x e ch x(3)y th(ln x)(4)y sh3x ch2x(5)y th(1 x2)(6)y arch(x2 1)(7)y arch(e2x)(8)y arctan(th x)(9)y ln chx12 x 2ch(10)y ch2( x 1) x 1解 (1) y sh(sh x) (sh x) sh(sh x) ch x(2) y ch x e ch x sh x e ch x sh x e ch x(ch x sh2x)(3) y1(ln x)12 (ln x)2 (ln x)ch x ch-----(4) y3sh 2x ch x 2ch x sh x sh x ch x (3sh x 2) (5) ych 21 2 (1 x 2)2 2xx 2 )(1 x )ch (1 (6) y1 1(x 2 1)2x( x 2 1)x 4 2x 2 2(7) y1(e 2x)2e2x(e 2x )21 e 4 x 1 (8) y 1(th x) 1 1 1 1 1 (thx) 2 1 th 2 x ch 2 x 1 2 2sh x ch xch 2x 1 1ch 2 x sh 2x 1 2sh 2 x(9) y1 (ch x) 1 (ch 2x)ch x2ch 4 xsh x 1 2ch x shxch x2ch 4 xsh x shx sh x ch 2x shxch xch 3x ch 3xsh x (ch 2 x 1) sh 3x th 3xch 3xch 3x(10) y2ch(x1) [ch(x1)] 2ch(x1) sh(x1) ( x 1)x 1x 1x 1 x 1 x 1sh(2x 1(x 1) (x 1)2sh(2 x 1)(x 1)2( x 1)2 )x 1x 112 求下列函数的导数(1) y e x (x 2 2x 3)(2) y sin 2x sin(x 2) (3) y (arctan x )22(4) yln xx ne t e (5) ye t ett(6) y ln cos 1x(7) y e sin 2 1x(8) y x x(9) yxarcsinx4 x 22(10) y arcsin2t1 t 2解 (1) y e x (x 2 2x 3) e x (2x 2) ex( x 2 4x 5)(2) y2 222sin x cos x sin(x ) sin x cos(x ) 2xsin2x sin(x 2) 2x sin 2x cos(x 2)(3) y 2arctanx1 1 4 arctan x2 1 x 2 2 x 2 4 241 xnln x nxn 11 n ln x(4) yxx 2nx n 1(5) y(e te t )(e t e t ) (e t e t )(e te t )4e 2t(e t e t )2(e 2t 1) 211111 1 1(6) y sec x (cos x ) sec x ( sin x ) ( x 2 ) x 2tanx(7) y esin 21 ( sin 21) e sin 21xxx( 2sin 1) cos1( 1 ) xxx2122 1s i nx 2 s i nexx(8) y1x (x x )2 1 (1 1 ) 2 xxx2 x2 x 1 4 xxx(9) y arcsinxx1 12 1 ( 2x) arcsin x21 x2 2 4 x 2 24-----(10) y1 ( 2t ) 12 (1 t 2) 2t (2t) 1 (2t)2 1 t 21 ( 2t )2 (1 t 2) 21 t21 t21 t22(1 t 2)2(1 t 2)(1 t 2)2 (1 t 2 )2 |1 t 2 |(1 t 2 )习题231 求函数的二阶导数(1) y 2x 2ln x (2) y e2x 1(3) y xcos x (4) y e t sin t (5) y a 2 x 2 (6) y ln(1 x 2)(7) y tan x1(8) yx 3 12(9) y (1 x )arctan x(10) ye xx(11) y x 2xe(12) y ln( x 1 x 2 )解 (1) y 4x1 y4 1xx2(2) y e 2x 12 2e 2x 1y 2e2x 1 2 4e 2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) ye tsin t e tcos t e t(cos t sin t)ye t (cos t sin t) e t ( sin t cos t) 2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xa2ya2x2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1 x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x6x(2x3 1) (x3 1)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n2x1 x2(10)y e x x e x 1e x( x 1)x2x2y [e x( x 1) e x] x2 e x( x 1) 2x e x(x2 2x 2)x4x3(11)y e x 2x e x2(2x)e x2(12x2 )yx22x24xx22 e2x (12x )e2xe(32x )(12)y12( x1x2 )12(12x 2 )12x 1 x x 1 x 2 1 x 1 x y1(1 x2 )12x x1 x2 1 x22 1 x2)(1 x) 2 1 x-----2 设 f(x)(x6(2)?10)f解 f(x) 6(x5f(x)43 10)30(x 10) f (x) 120(x 10)f(2)120(210)32073603若 f (x)存在求下列函数 y 的二阶导数d2ydx2(1)y f(x2)(2)y ln[ f(x)]解 (1)y f(x2) (x2) 2xf(x2)y2f(x2)2x 2xf(x2)2f(x2) 4x2f(x2)(2) y1 f (x)f (x)f(x) f (x) f ( x) f(x)f( x) f (x)[ f ( x)] 2 y[ f ( x)]2[ f ( x)]24试从dx 1导出dy y(1) d 2 x ydy 2( y ) 3(2)d 3x3( y )2y y dy3( y )5解(1) d 2x d dx d1d1dx y1ydy2dy dy dy y dx y dy( y )2y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2 s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy2y (C12e x C22e x)2(C1e x C2e x)(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2)y sin2x(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y nx n 1(n1)a1x n 2 (n2)a2x n 3a n 1y n(n1)x n 21 n 32n 4n 2 (n 1)(n2)a x(n 2)(n 3)a x ay(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y 2sin x cos x sin2xy 2c o 2sx 2s i n2(x)2-----y22 c o s2x()22 s i n2x( 2)22y(4)23 c o s2x(2) 23 s i n2(x 3 )22y(n)2n 1s i n2x[ (n 1)]2(3)y ln x 1y 1 x1xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3y(n)(1)( 2)( 3) ( n 2)x n 1( 1)n 2(n 2)!( 1)n (n 2)!x n 1x n 1(4) y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3) y x2sin 2x求y(50) .xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4) cos x所以y(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x v(99)ch x v(100) sh x所以y(100)u(100)v C1 u(99) v C2u(98) v C 98 u v(98) C99 u v(99)u v(100)100100100100100ch x xsh x(3)令 u x2 v sin 2x则有u2x u 2 u0v(48)248 sin(2x48)248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)C5048u v(48)C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x2sin 2x50xc o 2sx12252 (s i n2x)2习题231求函数的二阶导数(1)y 2x2 ln x(2)y e2x 1(3)y xcos x(4)y e t sin t(5)y a2 x2(6)y ln(1 x2)(7)y tan x1(8) yx3 1(9) y (1 x2)arctan x(10) y e xx-----(11) y xe x2(12) y ln( x1x2 )解 (1) y4x1y41x x2(2) y e2x 1 2 2e2x 1y2e2x 1 2 4e2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) y e t sin t e t cos t e t (cos t sin t)y e t(cos t sin t) e t (sin t cos t)2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xx2a2ya2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x 6x(2x3 1) (x31)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n 2x21 x(10)y e x x e x1 e x( x 1)x2x2y[e x ( x 1) e x ] x 2 e x ( x 1) 2x e x (x 2 2x 2)x4x3(11) ye x 2 x e x 2 (2x) e x 2 (1 2x 2 )yx 22x (1 2x 2x22e 2x ) e4x 2xe (3 2x )(12) y1( x1x 2 ) 1 (1 2x ) 1x 1 x 2x 1 x 22 1 x 21 x 2y1(1 x 2) 12xx1 x21 x 22 1 x 2)(1 x) 21 x2 设 f(x) (x 10)6f (2) ?解 f (x) 6(x 10)5 f (x) 30(x 10)4f (x) 120(x 10)3f(2) 120(2 10)3 2073603 若 f (x)存在 求下列函数(1) y f(x 2)(2) y ln[ f(x)]解 (1)yf(x 2) (x 2) 2xf (x 2) y 2f(x 2) 2x 2xf (x 2) (2) y1 f (x)f (x)f (x) f (x) f( x) f (x) y2[ f ( x)]4 试从dx 1导出dy y(1) d 2xydy 2( y ) 3(2)d 3x 3( y )2 y ydy3( y )5解 (1) d 2xd dxd 1dy2dy dydyyd 2 yy的二阶导数d x 22f (x 2) 4x 2f (x 2)f ( x) f (x) [ f ( x)] 2[ f ( x)]2d1dx y 1y dx y dy( y )2 y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy212e x C22x21x2e x)y (C e ) (C e C(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2) y sin2x-----(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y n 11n 2(n2 n 3n 1nx(n 1)a x2)a x ay n(n1)x n 2 (n1)(n2)a1x n 3(n 2)(n 3)a2x n 4a n 2y(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y2sin x cos x sin2xy2c o 2sx 2s i n2(x)2y22 c o s2x() 22 s i n2x( 2)22y(4) 23 cos(2x2) 23 sin(2x 3 )22(n)n 1y 2 s i n2x[ (n 1)](3)y ln x 1y 1x 1 xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3(n)( 1)( 2)( 3)( n 2)x n 1( 1)n 2 (n 2)!( 1)n (n 2)!y x n 1x n 1 (4)y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3)y x2sin 2x 求 y(50) .所以所以xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4)cos xy(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x(99)ch x(100)sh xv vy(100) u(100) v C1 u(99)v C2u(98)v C 98 u v(98)C99 u v(99)u v(100) 100100100100(3)令 u x2u 2xv(48)100ch x xsh xv sin 2x 则有u 2 u0248 sin(2x 48 )248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50) C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x 2sin 2x50xc o 2sx1 2 2 52 (2s i n2x)习题241求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数dydx(1)y2 2x y 9 0(2)x3 y3 3axy 0(3)xy e x y(4)y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得-----2y y 2y 2x y 0于是(y x)y yyyy x(2)方程两边求导数得3x 2 3y 2y 2ay 3axy 0于是(y 2 ax)y ayx 2yay x 2y2ax(3)方程两边求导数得yxy e x y(1 y ) 于是(x e x y )y e x y ye x yyyx e x y(4)方程两边求导数得y e y xe yy于是(1 xe y )y e yye y1 xey222在点 ( 2a, 2a) 处的切线方程和法线方程2 求曲线 x3y 3 a34 4解 方程两边求导数得 2 x31 13 2y 3 y 031于是yx31y 3在点 (2a,2a) 处 y 144所求切线方程为y2a ( x2a) 即 x y 2 a442所求法线方程为y2a (x2a) 即 x y 04423 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d ydx22 2(1) x y 1(2) b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2 (3) y tan(x y)(4) y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得2x 2yy 0yx yy ( x)y xxy xy y y 2x 21yy 2y 2y 3 y 3(2)方程两边求导数得2b 2 x 2a 2 yy 0yb 2 xa2yy x( b 2 x)b 2 y xy b 2 a 2 y ya2y2a2y 2b 2 a 2 y 2 b 2 x 2b 4a2a 2 y3a 2 y3(3)方程两边求导数得y sec 2(x y) (1 y )2y)1y s e c( x2y) 2y) 11 s e c(xc o s( x2y)21s i n(xc o s(x y)12y)y 2s i n( xy23 y23( 112 )2(1 y 2 )y 5yyy(4)方程两边求导数得yyy e xe y-----yeyeyey1 xe y1 (y 1)2 yye y y (2 y) e y ( y ) e y (3 y) y e 2 y (3 y)(2 y)2(2 y)2(2 y)34 用对数求导法求下列函数的导数(1) y ( x )x1 x (2) y5x 525 x2(3) yx 2(3 x)4( x 1)5(4) y xsin x 1e x解 (1)两边取对数得ln y xln|x| xln|1 x|，两边求导得1 y ln x x 1 l n1( x) x 1y x 1 x 于是y ( x)x[ l nx1 ]1 x 1 x 1x(2)两边取对数得ln y1ln |x 5|1l nx(22)两边求导得5251 y1 1 12x2y5 x 525 x 2于是y 1 5x 5[11 2x ]5 5 x 2 2x 5 5 x 2 2(3)两边取对数得ln y1l nx( 2) 4 l n3( x) 5l n x( 1)2两边求导得1 y 1 3 45y 2(x 2)x x 1于是yx 2(3x)4 [ 12)4 5 ](x 1)52(x x 3 x 1(4)两边取对数得ln y1ln x1ln s i nx1l n1( e x )两边求导得22 41 y1 1 c o xte xy 2x24(1 e x )于是yxs i nx 1 e x[11c o xte x]2x 2 4(1 e x )1 x 22c o tx e x ]4 xs i nx 1 e [ x e x1 dy5求下列参数方程所确定的函数的导数dxx at 2(1)y bt2x (1 sin ) (2)ycos解 (1)dyy t 3bt 2 3b tdxx t 2at 2ady ycos sin(2) dx x 1 sincos6 已知xe tsin t, 求当 t 3 时 dy的值y e tcost. dx解dy y te t cost e t sin t costsin t dxx t e tsin t e tcost sintcostdy 1 3 1 3 当 t 时 2 2 3 2dx 1 3 1 3 32 27 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程(1)x sin t在 t处y cos2t4x3at (2)1 t 2在 t=2 处y 3at 21 t 2解 (1) dyy t2sin 2tdxx tcost-----dy 2sin(2)当 t时42 2 2 x02y0 0 dx4cos2242所求切线方程为y 2 2(x2) 即2 2x y 2 0 2所求法线方程为y1(x 2 )即 2x 4y1222(2) y t 6at (1t2 )3at 2 2t6at(1t 2 )2(1t 2 )2x t 3a(1t 2)3at2t3a3at 2 (1t 2 )2(1t 2)2dy y t6at2tdx x t3a3at 21t 2当 t 2 时dy 2 24x 6a ydx1223050所求切线方程为012a 5y12 a 4(x6a)即 4x 3y 12a 0535所求法线方程为y12 a3(x 6a)即 3x 4y 6a 0545d 2 y 8求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2x t 2(1)2y 1 t. xacost(2)y bsin t(3)x3e t y2e t(4)x f t (t )设 f(t)存在且不为零y tf t (t) f (t)dy y t1 d 2 y(y x)t1解 (1)t 21 dx x t t dx2x t t t3(2) dy y tbcostbcot tdx x t asin t ab 2 d 2 y (y x )t a csc t b dx 2 x t asin ta 2 sin 3 tdy y t 2e t22t(3) dx x t3e t3ed 2y( y x )t2 2t3 2e4 3tdx 2x t3e te9 (4) dy y t f (t) tf (t) f (t)dx x tf (t)td 2 y ( y x )t 1dx 2x tf (t)9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数(1) x 1 t 2y t t3(2)x ln(1 t 2) y t arctan t解 (1)dy (t t 3)1 3t2dx (1 t 2 )2t1 3t 2d 2y ( 2t )1 ( 1 3) dx 22t4 t 3 t1 1 3d 3y 4 ( t 3t )3(1 t 2)dx 32t8t 5dy (t arctan t)11(2)1 t 21 tdx [ln(1 t 2)]2t 21 t21d 2 y ( 2t) 1 t 2 dx 22t 4t1 t 23d y-----1 t 2d 3 y ( 4t ) t 4 1dx 3 2t 8t 31t 210 落在平静水面上的石头 产生同心波纹 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s 问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为 r 对应圆面积为 S 则 S r 2 两边同时对 t 求导得S t 2 rr当 t 2 时 r 6 2 12 r t 6故 S t t 22 126 144( 米 2 秒)| 其速率为 4m 2/min11 注水入深 8m 上顶直径 8m 的正圆锥形容器中 当水深为 5m 时 其表面上升的速度为多少？解水深为 h 时 水面半径为 r1 h 水面面积为 S 1 h 21hS 1 h 1 h 224水的体积为 Vh 33 34 12dV 12 3h 2dh dh 4 dVdt dt dt h 2 dt已知 h 5(m)， dV 4 (m 3/min) 因此 dh 4 dV 4 4 16(m/min)dtdt h 2 dt252512 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形筒中 开始时漏斗中盛满了溶液 已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时 其表面下 降的速率为 1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在 t 时刻漏斗在的水深为 y 圆柱形筒中水深为 h 于是有1 62 18 1r 2 y 52hy 3y3由 r得 r 代入上式得 6 18 31 62 18 1 ( y ) 2 y 23 3 3 5 h即162 18 1y 3 52 h 两边对 t 3 33求导得1 y2 y 52 h32t当 y 12 时 y t1 代入上式得1 122( 1) 16h t32 52 0.64 (cm/min).25。
同济大学《高等数学》[上册]的答案解析
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练习 2-5
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总习题四
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练习 3-3
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练习 3-4
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练习 4-3
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练习 4-4
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同济大学版高等数学b1教材答案
同济大学版高等数学b1教材答案第1章集合与函数1.1 集合的概念1. 一个集合是由一些确定的对象组成的整体，它们被称为该集合的元素。
2. 集合可以用列举法、描述法、区间表示法等多种方式进行表示。
3. 集合之间的相等关系是通过元素是否相同来确定的。
4. 自然数集、整数集、有理数集等是常见的数学集合。
1.2 常用数集1. 自然数集 N = {0, 1, 2, 3, ...}，其中0一般包含在自然数集中，但有时可不包含。
2. 整数集 Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。
3. 有理数集 Q = {p/q | p, q ∈ Z, q ≠ 0 }。
4. 实数集 R 是包含有理数集和无理数集的集合。
5. 复数集 C = {a + bi | a, b ∈ R, i^2 = -1 }。
1.3 集合的运算1. 并集：A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}。
2. 交集：A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。
3. 差集：A - B = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}。
4. 补集：A' = {x | x 不属于 A}，其中 U 为全集。
1.4 函数的概念与性质1. 函数是两个集合之间的一种对应关系，每个自变量在函数中有唯一的对应值。
2. 函数可以用映射图、解析式、函数表等方式来表示。
3. 函数可以分为定义域、值域、单调性、奇偶性等多个性质。
第2章三角函数2.1 弧度制与角度制1. 角度制是通过度数来度量角的大小。
2. 弧度制是通过弧长与半径之比来度量角的大小，常用符号为rad。
3. 180° = π rad，1° = π/180 rad。
2.2 任意角与三角函数1. 任意角是指不限于标准位置的角。
2. 边长比可以用来表示三角函数的值。
2.3 三角函数的定义1. 正弦函数：sinθ = y/r。
2. 余弦函数：cosθ = x/r。
同济大学高等数学第七版上下册答案详解
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
( 2)
2
(2 1)
1
(1 1)
1
(1 )
y
0
+
+
+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(0 1)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
-
-
-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
( 1)
-1
同济高等数学第三版上册答案详解
同济高等数学第三版上册答案详解同济大学高等数学第三版上册是比较有名的一本数学教材，最新出版的三版包含了更多的知识和技能。
下面是同济高等数学第三版上册答案详解：第一章：实数和函数1.练习题：1、设x与y为实数，请计算：（1）（2x-3)/(x+2y) = 2x/ (x+2y) - 3/ (x+2y)（2）x+|y|-2y = x-y+2（|y|-|y|）=x-y2、如果a>0,b>0，那么：（1）1/a +1/b = 1/a + 1/b =(ab)/ab=1（2）(a-b)/ab = a/ab - b/ab = (a/b) -13、D=(a +b )2 /4，那么，D/(ab)= (a+b)2/4(ab) =(a+b)/2 2.定理：1、对任何实数x，均有：x-x=02、若a＞b，则a-b＞03、若a＞0，b＞0，则a/b＞1第二章：多项式、函数和系数1.练习题：1、如果a+b=3,且a*b=2，那么：（1）a2 +b2 = 9+4=13（2）a3 + b3 = 8+1=92、若多项式P(x)=2x3+7x2-3x+20，则：（1）P（1）= 2*1^3+7*1^2-3*1+20=26（2）P（-2）=2*(-2)^3+7*(-2)^2-3*(-2)+20=-182.定理：1、若系数a+b=3，则a*b=3-a2、若多项式P(x)=ax3 +bx2 +cx +d，则P(x+h)=a(x+h)3 +b(x+h)2 +c(x+h) +d第三章：极坐标与向量1.练习题：1、如果向量m=(-2,4)，则（1）|m|=根号(-2)^2+4^2=根号20=4.47213（2）m方向的极坐标r=4.47213，O=45°2、若向量m=(3,-3)，则（1）向量m的极坐标r=根号3^2 +(-3)^2 =根号18 =4.24264，\theta=135°（2）向量m在极坐标中的表示法为(4.24264,135°)2.定理：1、若向量a=(a1,a2)和向量b=(b1,b2)，则向量a+b=(a1+b1,a2+b2)2、若向量a=(a1,a2)，则|a|=根号a1^2 +a2^2。
同济大学版高等数学课后习题答案第2章
同济大学版高等数学课后习题答案第2章习题2-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称tθω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解在时间间隔[t 0, t 0+?t]内的平均角速度ω为 tt t t t-?+=??=)()(00θθθω,故t 0时刻的角速度为)()()(lim lim lim 000000t tt t t tt t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔[t 0, t 0+?t]内, 温度的改变量为 ?T =T(t +?t)-T(t), 平均冷却速度为tt T t t T t T ?-?+=??)()(,故物体在时刻t 的冷却速度为)()()(lim lim 00t T tt T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义.解 f(x +?x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量.xx f x x f ?-?+)()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量的成本. xx f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim)(0表示当产量为x 时单位产量的成本.4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 xx x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2200)1(10)1(10lim )1()1(lim)1(20)2(lim 102lim 10020-=?+-=??+?-=→?→?x xx x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x .解 xxx x x x ?-?+='→?cos )cos(lim )(cos 0xxx x x +-=→?2sin )2sin(2limx x xx x x sin ]22sin )2sin([lim 0-=+-=→?. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:(1)A xx f x x f x =?-?-→?)()(lim 000;解xx f x x f A x ?-?-=→?)()(lim000)()()(lim 0000x f xx f x x f x '-=?--?--=→?-. (2)A xx f x =→)(lim 0, 其中f(0)=0, 且f '(0)存在; 解)0()0()0(lim )(lim00f x f x f x x f A x x '=-+==→→. (3)A h h x f h x f h =--+→)()(lim 000. 解hh x f h x f A h )()(lim000--+=→hx f h x f x f h x f h )]()([)]()([lim00000----+=→ hx f h x f hx f h x f h h )()(lim)()(lim 000000----+=→→ =f '(x 0)-[-f '(x 0)]=2f '(x 0). 7. 求下列函数的导数: (1)y =x 4; (2)32x y =; (3)y =x 1. 6; (4)xy 1=;(5)21xy =;(6)53x x y =;(7)5322x x x y =;解 (1)y '=(x 4)'=4x 4-1=4x 3 .(2)3113232323232)()(--=='='='x x x xy . (3)y '=(x 1. 6)'=1.6x 1. 6-1=1.6x 0. 6.(4)23121212121)()1(-----=-='='='x x x xy .(5)3222)()1(---='='='x x xy .(6)511151651653516516)()(x x x x xy =='='='-.(7)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y .8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m). 求这物体在t =2秒(s)时的速度.解v =(s)'=3t 2, v|t =2=12(米/秒).9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 证明当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), 所以)0(0)0()(lim 0)0()(lim 0)0()(lim)0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→, 从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0.10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率:π32=x , x =π.解因为y '=cos x , 所以斜率分别为 2132cos 1-==πk , 1cos 2-==πk .11. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式.解y '=-sin x ,233sin3-=-='=ππx y ,故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y ,法线方程为)3(3221π--=-x y .12. 求曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程. 解y '=e x , y '|x =0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为 y -1=1?(x -0), 即y =x +1.13. 在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y '=2x , 割线斜率为421913)1()3(=-=--=y y k .令2x =4, 得x =2.因此抛物线y =x 2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线. 14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性: (1)y =|sin x|;(2)=≠=0001sin 2x x xx y . 解 (1)因为 y(0)=0,0)sin (lim |sin |lim lim 00=-==---→→→x x y x x x ,0sin lim |sin |lim lim 00===+++→→→x x y x x x ,所以函数在x =0处连续. 又因为 1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000-=-=--=--='---→→→-x x x x x y x y y x x x ,1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000==--=--='+++→→→+xx x x x y x y y x x x , 而y '-(0)≠y '+(0), 所以函数在x =0处不可导.解因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y(0)=0, 所以函数在x =0处连续. 又因为01sin lim 01sin lim0)0()(lim 0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y '(0)=0.15. 设函数>+≤=1 1)(2x b ax x x x f 为了使函数f(x)在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f(1)=a +b ,所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 . 又因为当a +b =1时211lim )1(21=--='-→-x x f x ,a x x a xb a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111, 所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1. 16. 已知?<-≥=0 0)(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？解因为 f -'(0)=10lim )0()(lim00-=--=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x , 而f -'(0)≠f +'(0), 所以f '(0)不存在.17. 已知f(x)=?≥<0 0sin x x x x , 求f '(x) .解当x<0时, f(x)=sin x , f '(x)=cos x ; 当x>0时, f(x)=x , f '(x)=1; 因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=---→→x x x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→xx x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而f '(x)=?≥<0 10cos x x x .18. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解由xy =a 2得xa y 2=, 22xa y k -='=.设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为)(02020x x x a y y --=-. 令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x ax y x =+=, 为切线在x轴上的距.令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距.此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)'=-csc 2x ; (csc x)'=-csc xcot x .解 xx x x x xx x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ?-?-='=' x xx x x 22222csc sin 1sin cos sin-=-=+-=. x x xx x x cot csc sin cos )sin 1()(csc 2?-=-='='. 2. 求下列函数的导数: (1)1227445+-+=xxxy ;(2) y =5x 3-2x +3e x ;(3) y =2tan x +sec x -1; (4) y =sin x ?cos x ; (5) y =x 2ln x ; (6) y =3e x cos x ; (7)xx y ln =;(8)3ln 2+=xe y x;(9) y =x 2ln x cos x ; (10)tt s cos 1sin 1++=;解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xxxy2562562282022820xxxx x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3ex .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ?tan x =sec x(2sec x +tan x).(4) y '=(sin x ?cos x)'=(sin x)'?cos x +sin x ?(cos x)' =cos x ?cos x +sin x ?(-sin x)=cos 2x . (5) y '=(x 2ln x)'=2x ?ln x +x 2?x 1=x(2ln x +1) . (6) y '=(3e x cos x)'=3e x ?cos x +3e x ?(-sin x)=3e x (cos x -sin x).(7)22ln1ln 1)ln (x x x xx x x x y -=-?='='.(8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=?-?='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x)'=2x ?ln x cos x +x 2?x1?cos x +x 2 lnx ?(-sin x)2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x .(10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t tt t t t t t tt s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=dd .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) .解 (1)y '=cos x +sin x , 21321236sin 6cos 6+=+=+='=πππx y ,222224sin 4cos 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d ,)21(4222422214cos 44sin 214πππππθρπθ+=?+?=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=. 求:(1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 解(1)v(t)=s '(t)=v 0-gt .(2)令v(t)=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻.5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程.解因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x , 所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0.6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4 (2) y =cos(4-3x); (3)23x e y -=;(4) y =ln(1+x 2); (5) y =sin 2x ; (6)22x a y -=;(7) y =tan(x 2); (8) y =arctan(e x ); (9) y =(arcsin x)2; (10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1?(2x +5)'=4(2x +5)3?2=8(2x +5)3. (2) y '=-sin(4-3x)?(4-3x)'=-sin(4-3x)?(-3)=3sin(4-3x). (3)22233236)6()3(xx x xe x e x e y ----=-?='-?='.(4)222212211)1(11x x x x x x y +=?+='+?+='. (5) y '=2sin x ?(sin x)'=2sin x ?cos x =sin 2x . (6))()(21])[(22121222122'-?-='-='-x a x a x a y2122)2()(21x a x x x a --=-?-=-.(7) y '=sec 2(x 2)?(x 2)'=2xsec 2(x 2).(8)xx xx e e e e y 221)()(11+='?+='. (9) y '21arcsin2)(arcsin arcsin 2xx x x -='?=. (10)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='?='. 7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(1-2x);(2)211x y -=;(3)x e y x 3cos 2-=;(4)xy 1arccos =;(5)x x y ln 1ln 1+-=;(6)xx y 2sin =; (7)x y arcsin =;(8))ln(22x a x y ++=;(9) y =ln(sec x +tan x); (10) y =ln(csc x -cot x). 解 (1)2 221)21(12)21()21(11x x x x x y --=---='-?--='.(2))1()1(21])1[(21212212'-?--='-='---x x x y 2321)1()2()1(21x x x x x --=-?--=-.(3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xx x x)3sin 63(cos 213sin 33cos 21222x x e x e x e xxx+-=--=---. (4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x xy +-=+--+-='.(6)222sin 2cos 212sin 22cos xx x x xx x x y -=?-??='.(7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=?-='?-='.(8)])(211[1)(12222222222'+++?++='++?++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++?++=.(9)x x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12 =++='+?+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12 =-+-='-?-='.8. 求下列函数的导数: (1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=;(4)x e y arctan =; (5)y =sin n xcos nx ; (6)11arctan -+=x x y ;(7)xx y arccos arcsin =;(8) y=ln[ln(ln x)] ; (9)xx x x y-++--+1111; (10)xx y +-=11arcsin.解 (1)'?=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y )2()2(11)2(arcsin 22'?-?=x x x21)2(11(arcsin 22-?=x x . 242arcsin 2x x-=(2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'??='?='x x x x x yx x x csc 212sec 2tan 12=??=.(3))ln 1(ln 121ln 1222'+?+=+='x xx y )(ln ln 2ln 1212'??+=x x x x x x 1ln 2ln 1212??+=xx x2ln 1ln +=.(4))(arctan arctan '?='x e y x)()(112arctan'?+?=x x e x)1(221)(11arctan 2arctanx x e x x e x x+=?+?=.(5) y '=n sin n -1x ?(sin x)'?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?(nx)' =n sin n -1x ?cos x ?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?n =n sin n -1x ?(cosx ?cos nx -sin x ?sin nx)= n sin n -1xcos(n +1)x . (6)222 211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--?-++='-+?-++= '.(7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-='22)(arccos arcsin arccos 11x x x x +?-=22)(arccos 12x x -=π.(8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'??='?='x x x x x y)ln(ln ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ?=??=. (9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111x x -+-=.(10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-?+--='+-?+--=')1(2)1(1x x x -+-=.9. 设函数f(x)和g(x)可导, 且f 2(x)+g 2(x)≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解])()([)()(212222'+?+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'?+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=.10. 设f(x)可导, 求下列函数y 的导数dxdy :(1) y =f(x 2);(2) y =f(sin 2x)+f(cos 2x).解 (1) y '=f '(x 2)?(x 2)'= f '(x 2)?2x =2x ?f '(x 2). (2) y '=f '(sin 2x)?(sin 2x)'+f '(cos 2x)?(cos 2x)'= f '(sin 2x)?2sin x ?cos x +f '(cos 2x)?2cosx ?(-sin x) =sin 2x[f '(sin 2x)- f '(cos 2x)]. 11. 求下列函数的导数: (1) y =ch(sh x ); (2) y =sh x ?e ch x ; (3) y =th(ln x); (4) y =sh 3x +ch 2x ; (5) y =th(1-x 2); (6) y =arch(x 2+1); (7) y =arch(e 2x ); (8) y =arctan(th x);(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y解 (1) y '=sh(sh x)?(sh x)'=sh(sh x)?ch x . (2) y '=ch x ?e ch x +sh x ?e ch x ?sh x =e ch x (ch x +sh 2x) . (3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ?='?='.(4) y '=3sh 2x ?ch x +2ch x ?sh x =sh x ?ch x ?(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-?-='. (6)222)1()1(112422++='+?++='x x x x x y .(7)12)(1)(142222-='?-='x xx x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11?+=?+='?+=' x x x 222sh 211sh ch 1+=+=. (9))ch (ch 21)ch (ch 124'?-'?='x x x x y x x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4??-= xx x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -?=-=x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-?=. 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同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
练习3-7
总习题三
x
(, 0)
0
f(x)
+
不存在
-
0
+
f(x)
↗
2
极大值
↘
极小值
↗
练习4-2
练习4-3
练习4-4
>>>
总习题四
练习5-1
练习5-2
练习5-3
练习5-4
总习题五
练习6-2
练习6-3
总习题六
练习7-1
练习7-2
练习7-3
练习7-4
练习7-5
练习7-6
总习题七
练习8-1
练习8-2
>
练习8-3
练习8-4
练习8-5
练习8-6
练习8-7
练习8-8
总习题八
练习9-1
练习9-2
>>
<<>>
<<
练习9-3
练习9-4
总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
练习10-5
练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
练习112
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
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同济大学教材高等数学答案
高等数学作为理工科学生必修的一门课程，涉及到许多复杂的数学
概念和计算方法。
对于学生来说，解答作业题目是提高数学能力和理
解程度的重要途径之一。
因此，提供同济大学教材高等数学答案对于
学习者来说具有重要意义。
本篇文章将针对同济大学教材高等数学课程中的一些主要章节和题型，提供相应的答案解析，以供学习者参考。
一、微积分：
1. 极限与连续：
答案解析：
对于求极限的题目，常用的方法有代入法、夹逼法、洛必达法则等。
对于连续性的题目，需要根据函数定义进行证明。
2. 一元函数微分学：
答案解析：
对于一元函数的导数计算，常用的方法有基本导数公式、链式法则、隐函数求导等。
对于函数的单调性和极值，需要结合导数的符号和二阶导数进行讨论。
3. 一元函数积分学：
答案解析：
对于定积分的计算，常用的方法有不定积分法、定积分法和分部积
分法等。
对于曲线下面积和弧长的计算，需要根据题目给出的条件进行求解。
4. 多元函数微分学：
答案解析：
对于多元函数的偏导数计算，需要使用偏导数的定义和基本公式。
对于函数的方向导数和梯度，需要根据给定的方向向量进行计算。
二、线性代数：
1. 向量与空间：
答案解析：
对于向量的线性相关性和线性无关性，需要根据向量的线性组合进
行判断。
对于向量空间的基和维数，需要找出向量组的极大无关组。
2. 矩阵与行列式：
答案解析：
对于矩阵的运算，包括矩阵的相加、相乘、转置等，需要使用相应
的定义和规则。
对于行列式的计算，可以使用余子式展开或高斯消元法等方法。
3. 线性方程组：
答案解析：
对于线性方程组的解的存在性和唯一性，可以通过矩阵的秩和行最简形判断。
对于齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的求法，可以使用矩阵的初等变换。
三、常微分方程：
1. 一阶常微分方程：
答案解析：
对于一阶常微分方程的可分离变量型、一阶线性微分方程和齐次线性微分方程，可以使用相应的解法进行求解。
对于一阶常微分方程的变量分离型、恰当微分方程和一般线性微分方程，需要使用相应的变换方法。
2. 二阶常微分方程：
答案解析：
对于二阶常微分方程的齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程，可以使用特征方程和待定系数法进行求解。
对于二阶常微分方程的常系数线性微分方程和变系数线性微分方程，需要根据题目给出的条件进行求解。
以上是对同济大学教材高等数学中的一些主要章节和题型的答案解析。
通过学习教材和参考答案，学生可以更好地理解和掌握高等数学
的知识和技巧。
希望本文的内容对于同济大学高等数学学习者有所帮助。