圆与方程复习课

第四章
《圆与方程》一轮复习资料
学生姓名
【知识归类】 一.圆的方程
点M(x °,y °)与圆(x a)
2
(y b)2 r 2的关系的判断方法：
(1) (x o a)2 (y o b)2>r 2，点在 ； (2)
(X 。

a)2 (y ° b)2 = r 2
，点在 ;
(3) (x o a)2
(y o b)2
<r 2
，点在
.
2.
般方
程：
x 2
2
y Dx Ey F 0
(1)当 D 2
E 2
4F
0时,
方程表示圆
，圆心为
，半径为 ;
(2)当 D 2
E 2 4F
时,
方程只有实数解 x
D y —，即只表示
2
2
(3)当 D 2
E 2 4
F 0
时, 方程
.
综上所述，方程x
2
2
y
Dx Ey F 0表示的曲线不一定是圆.
3.求圆的方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a ,
b , r ;若利用一般方程，需要求出 D, E , F ;
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

二.直线与圆的位置关系
.. 2 2 2
1.判断方法：已知直线 Ax By C 0与圆(x a) (y b) r ,
(1)过圆外一点的切线：①斜率 k 不存在，验证是否成立 ②斜率k 存在，设点斜式方程，用圆心到该
直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】
(2)过圆上一点的切线：一般情况下，由圆心和切点连线与切线垂直求出切线斜率，再用点斜式求出切线
方程。

3 •直线被圆所截的弦长的求法
①联立直线与圆的方程求出交点坐标，再利用两点间距离公式进行求解
②利用半径r、弦心距d和弦长AB的一半构成的直角三角形，结合勾股定理进行求解
AB 2J r2d2
三•圆与圆的位置关系
1 •判断方法
(1)代数法：(与直线与圆的位置关系判定类似)
(注：当两圆相交时，两圆方程相减消去二次项所得二元一次方程即为相交弦所在直线的方程。

)
(2)几何法：设两圆的连心线长为I，则判定圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
当I 口「2时，圆C1与圆C2 _______________ ；当I 「1 「2时，圆C1与圆C2 _______________ ；
当I「1 「2丨I 「1 ____________________________________ 「2时，圆C1与圆C2 __________________________________ ；当I I「1「2 I时，圆6与圆C2 ___________________________ ；
当I |「1 QI时，圆C1与圆C2 ________________ •
2.求两圆公共弦长的两种方法：
①联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间距离公式进行求解
②求出两圆公共弦所在直线的方程，将问题转化为直线被圆截得的弦长问题
【例题讲解】
【题型一】圆的方程的求解
1 •求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.
2•已知VABC的三个顶点坐标 A (0, 0), B (1, 1), C (4, 2),求它的外接圆方程，并指出这个圆的圆心坐标和半径.
【题型二】直线与圆、圆与圆的位置关系
3•已知直线、3x y 2 3
0和圆x 2 y 2
4，判断此直线与圆的位置关系
4 .若直线y x m 与曲线y 、4 x 2
有且只有一个公共点，求实数
m 的取值范围.
2 2
5•圆(x 3) (y 3) 9上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有几个？
2 2 2 2
6•判断圆C 1 : x y 2x 6y 26 0与圆C 2 : x y 4x 2y 4 0的位置关系,
【题型三】圆的切线问题 7•已知圆O : x
2
y 2 4，求过点P 2,4与圆O 相切的直线方程.
2 2
&求半径为4,与圆x y 4x 2y 4 0相切，且和直线 y 0相切的圆的方程.
【题型四】弦长问题
10.已知O O : x 2 + y 2
= 4，求过点M (1 , J2 )且长度为2J3的弦所在的直线方程.
2 2 2 2
11.求两圆x y x y 2 0和x y 5的公共弦长。

12.直线L 经过点(5,5)，且和圆x 2
+y 2
=25相交，截得的弦长为 4, 5 ,求直线L 的方程。

【题型五】圆中的对称冋题
2 2
2
9 •求直线l : 3x y 6 0被圆C : x 2
y 2x 4y 0截得的弦AB 的长.
12•求圆x y 2x 6y 9 0关于直线2x y 5 0对称的圆的方程。

2 2
13.求圆x 1 y 1 4关于点2,2对称的圆的方程.
【题型六】圆中的最值问题
14•求圆x2 y2 4x 4y 10 0上的点到直线x y 14 0的最大距离与最小距离的差。

2 2 2 2
15.( 1 )圆O：x 3) (y 4) 1 , P(x,y)为圆O1上动点，求d x y的最大、最小值.
⑵圆O2：(x 2)2 y2 1 , P(x, y)为圆上任一点•求的最大值.
x 1
2 2 I I 2 2 16•已知A( 2,0) , B(2,0)，点P在圆(x 3) (y 4) 4上运动，求PA PB的最小值.
⑷已知圆C 的方程为x 2 y 2 2y 3
0，过点P( 1,2)的直线l 与圆C 交于A,B 两点，若使 AB
最小，则直线I 的方程是
(5)在圆的方程为x 2 y 2 2x 6y 0内，过定点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为
AB 和CD,则四
变式训练:
(1)已知X
2 2
y 1 0,则.x 1 y 1的最小值为
⑵若实数x, y 满足x 2
2
y 8x 6y 16 0,则x y 1的最大值为
⑶若实数x,y 满足(x 1)2 (y 1)2 2求x y 4的最大值与最小值
边形ABCD的面积为
(6)已知P是直线3x 4y 8 0上的动点，PA,PB是圆x2y2 2x 2y 1 0的切线，A,B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值是
⑺ 已知直线I : x y 4 0与圆C (x 1)2 (y 1)2
2，则C 上各点到丨距离的最小值为
【题型七】 轨迹问题
2 2
18•已知线段 AB 的端点B 的坐标是(4, 3)，端点A 在圆(x 1) y 4上运动，求线段 AB 的中
点M 的轨迹方程.
19、过点A(4,0)作直线L 交圆O:x 2+y 2
=4于B,C 两点，求线段BC 的中点P 的轨迹方程。

17•已知点 M 与两个定点 0(0,0),
1
A(3,0)的距离的比为 ，求点M 的轨迹方程。