19-20版：3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域（步步高）

§3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域学习目标 1.理解二元一次不等式(组)的解、解集的概念.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.3.能把平面区域用不等式(组)表示．知识点一二元一次不等式(组)的概念1．含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．2．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．3．满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)称为二元一次不等式(组)的一个解．4．所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．知识点二二元一次不等式表示的平面区域1．在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．2．对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得值的符号都相同．3．在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0(或<0)表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．知识点三二元一次不等式组表示的平面区域1．二元一次不等式组的解集为组中各不等式解集的交集，其表示的平面区域是组中各不等式表示区域的公共部分．2．画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：(1)画线——画出不等式组中各不等式所对应的方程表示的直线(如果原不等式中带等号，则画成实线，否则画成虚线)；(2)定侧——将某个区域内的一个特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；(3)求交——在确定了各个不等式所表示的平面区域后，再求这些平面区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域，“直线定界，特殊点定域”的方法仍然适用．1．点(1,2)是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＞0，x ＋y <2的解．( × )2．x >1也可理解为二元一次不等式，其表示的平面区域位于直线x ＝1右侧．( √ ) 3．点(1,2)不在2x ＋y －1>0表示的平面区域内．( × )4.⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0表示的平面区域为第一象限．( √ )题型一 二元一次不等式解的几何意义例1 已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ． 答案 (－7,24)解析 点(3,1)和(－4,6)必有一个是3x －2y ＋a ＞0的解，另一个点是3x －2y ＋a <0的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3×3－2×1＋a ＞0，3×(－4)－2×6＋a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3×3－2×1＋a <0，3×(－4)－2×6＋a ＞0，即(3×3－2×1＋a )[3×(－4)－2×6＋a ]<0， (a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.反思感悟 对于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0两侧的点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若Ax 1＋By 1＋C ＞0，则Ax 2＋By 2＋C <0，即同侧同号，异侧异号．跟踪训练1 经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围． 解 由题意知直线l 的斜率存在，设为k . 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，由题意知A ，B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有(k ＋1)(2k －2)≤0，所以－1≤k ≤1.题型二 二元一次不等式表示的平面区域命题角度1 由不等式画平面区域例2 画出不等式x ＋4y <4表示的平面区域． 解 先作出边界x ＋4y ＝4，因为这条线上的点都不满足x ＋4y <4， 所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x ＋4y －4， 因为0＋4×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)在x ＋4y －4<0表示的平面区域内，所以不等式x ＋4y <4表示的平面区域在直线x ＋4y ＝4的左下方． 所以x ＋4y <4表示的平面区域如图阴影部分所示．反思感悟 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别是当C ≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C ＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点． 跟踪训练2 不等式x －2y ＋6>0表示的平面区域在直线x －2y ＋6＝0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方 答案 B解析 在平面直角坐标系中画出直线x －2y ＋6＝0，观察图象(图略)知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x －2y ＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x －2y ＋6>0表示的平面区域内，故选B. 命题角度2 给不等式组画平面区域 例3 画出下列不等式组所表示的平面区域． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤3，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <2，2x ＋y ≥1，x ＋y <2.解 (1)x －2y ≤3，即x －2y －3≤0，表示直线x －2y －3＝0上及左上方的区域；x ＋y ≤3，即x ＋y －3≤0，表示直线x ＋y －3＝0上及左下方的区域；x ≥0表示y 轴及其右边区域；y ≥0表示x 轴及其上方区域．综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示．(2)x －y <2，即x －y －2<0，表示直线x －y －2＝0左上方的区域； 2x ＋y ≥1，即2x ＋y －1≥0，表示直线2x ＋y －1＝0上及右上方的区域； x ＋y <2表示直线x ＋y ＝2左下方的区域．综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示．反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包含边界．跟踪训练3 用平面区域表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 的解集．考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解 不等式y <－3x ＋12，即3x ＋y －12<0，表示的平面区域在直线3x ＋y －12＝0的左下方；不等式x <2y ，即x －2y <0，表示的是直线x －2y ＝0左上方的区域．取两区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集．题型三 二元一次不等式组表示平面区域的应用 例4 已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．0或1 答案 A解析 条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，要使约束条件表示直角三角形区域， 直线kx －y ＝0要么垂直于直线x ＝1， 要么垂直于直线x ＋y －4＝0，∴k ＝0或k ＝1. 当k ＝0时，直线kx －y ＝0，即y ＝0，交直线x ＝1， x ＋y －4＝0于点B (1,0)，C (4,0)． 此时约束条件表示△ABC 及其内部， 其面积S △ABC ＝12·|BC |·|AB |＝12×3×3＝92≠1.同理可验证当k ＝1时符合题意． 反思感悟 平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解，再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解． 跟踪训练4 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是 ． 答案 13解析 由题意可得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)． 则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为△ABC 及其内部．直线y ＝kx ＋1过点A .要把△ABC 分成面积相等的两部分，需过BC 中点M ⎝⎛⎭⎫32，32. 此时k ＝32－132－0＝1232＝13.数形结合的魅力典例 我们可以验证点(1,2)是不等式x －y <6的一个解．怎么证明直线x －y ＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x －y <6的解？证明 设点A (x 0，y 0)位于直线x －y ＝6左上方区域， 则过点A 作直线AB ∥y 轴，交直线x －y ＝6于点B .设B (x 0，y 1)，则有y 0＞y 1. ∵B 在直线x －y ＝6上， ∴x 0－y 1＝6.由y 0＞y 1，得－y 0<－y 1，x 0－y 0<x 0－y 1＝6. 即点(x 0，y 0)满足不等式x －y <6.∴x －y ＝6左上方半平面区域任一点均是x －y <6的解．[素养评析] 提升学生的数形结合能力，是培养直观想象核心素养的一大具体任务，本例证明任务是代数问题：不等式的解的问题．在证明过程中，我们把“直线左上方区域”这一几何条件，转化成数：y 0＞y 1，再借助代数手段：不等式性质，严谨证明了一个初看无从下手的问题，完善诠释了数形结合的魅力.1．不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)答案 D解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内，故选D.2．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,6)B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞)答案 A解析 由题意知，(－3＋2－a )(9－3－a )<0， 即(a ＋1)(a －6)<0，∴－1<a <6.3．(1)画出⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，y ＞2x 表示的平面区域；(2)画出(y －2x )(x －2y ＋4)≥0表示的平面区域． 解1．二元一次不等式(组)的一个解对应一个坐标点，解集对应点集一般形成一个平面区域． 2．画边界直线．画出不等式所对应的方程表示的直线，若此区域包括边界，则直线画成实线；若不包括边界，则画成虚线(即看不等式能否取到等号)．3．特殊点定域．确定边界后，只需在直线的某一侧取一特殊点(原点不在边界上时，常取原点，在边界上时，取坐标轴上的点)验证其坐标是否满足二元一次不等式，若满足不等式，则区域为特殊点所在一侧，不满足，则为另一侧． 简记为“直线定界，特殊点定域”．。