关于群的定义的一点注记
群的等价定义及其证明
群的等价定义及其证明1 引言群是具有一种代数运算的代数系，是代数结构中重要的一种．群的系统研究起源于19世纪初Galois 研究多项式方程根式解的问题．这是数学史中一块众所周知的里程碑．随后人们在理解了Galois 的思想之后，于19世纪中叶给出了抽象群的概念，开始以公理化的方式研究群．群论是近世代数的重要内容，近世代数又在近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用，因而群论是现代科学技术的数学基础之一．时至今日，群论的发展已日趋完善，在各个学科领域得到广泛的应用．为了便于学习、掌握群的知识和全面、深刻理解群的概念，以下给出了群的近十种定义，并通过证明，阐明群的各个定义间的等价关系．2 预备知识代数系[]1(23)P - 设A 、B 是两个非空集合，映射σ:A B C ⨯→称为A B ⨯到C 的一个代数运算．称(),,A B C σ⨯是一个代数系，特别地，当B C =时，称σ是A 左乘B 的代数运算，当A C=时，称σ为B 右乘A 的代数运算，当A B C ==时，称σ为A 的一个二元运算，此时代数系统记作()σ,A 或简记作A ．半群[]1(5)P 设() ,A 是一个代数系统，定义A 的一个二元运算“ ”，我们称它为乘法运算，如果“ ”满足结合律，则称() ,A 是一个半群．幺半群[]1(7)P () ,A 是半群，如果有e G ∈，恒有a ae ea ==，则称e 是A 的单位元，又称幺元，() ,A 就称为幺半群．为简便其间，在以下群的定义当中所定义的二元运算，即乘法运算“ ”不再书写．3 群的定义定义 1[]1(24)P 若幺半群() ,G 中每个元都有逆元，则称() ,G 是一个群．定义 2 设G 是半群，G 中存在左幺元素e （即对a G ∈，均有ea a =），并且G 中每个元素a均有左逆元素1-a ( 即1a a e -=)， 则称G 是一个群．定义 3[]2(33)P 一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于的G 任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个左单位元e ，能让ea a =，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个左逆元a1-，能让1a a e -=． 定义 4[]3(21)P 设G 是半群，对于任意元素a 、b ∈G ，方程ax =b 和xa =b 在G 都可解，则称G 为群．定义 5[]2(31)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的 ;Ⅱ．结合律: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元素a 、b 、c 都对;Ⅲ．对于G 的任意两个元a 、b 来说ax =b 和ya =b 都在G 里有解．定义 6[]2(35)P G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: ∀a 、b ∈G ，∃c G ∈，使ab =c ;Ⅱ．结合律: ∀a 、b 、c G ∈， ()bc a =()c ab ;Ⅲ．右单位元: ∃e G ∈，∀a ∈G ，a ea =;Ⅳ．右逆元: ∀a ∈G ， ∃1-a ∈G ，e a a =-1．定义 7[]3(21)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个单位元e ，使a ea ae ==，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ， G 里至少存在一个逆元1-a ，使 a a 1-=a 1-a =e ．定义 8 设一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: a ∀、b G ∈，ab ∈G ;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c G ∈，()bc a =()cab 成立; Ⅲ．存在右单位元，即对∀a ∈G ae =a ;Ⅳ．存在左逆元，即对a ∀∈G ∈∃-1a G 使得e a a =-1;Ⅴ．左商不变性: 对a ∀、b ∈G ， 都有11--=bb aa．4 群的等价证明(为了简便只对定义间的不同条件做等价证明)定义1⇒定义2 由定义1可知G 中有单位元e ，对∈∀a G 使得a ae ea ==，且每个元都有逆元．显然，G 中存在左幺元e 使a ae =．并且G 中每个元素均有左逆元1-a ，使得1a a e -=．定义2⇒定义3 显然成立．定义3⇒定义4 从定义3的条件可知G 中存在左单位元e ，并且对a ∀、b G ∈，G 中1a -∃、1b -使得1a a e -=，1b b e -=，ea a =，由封闭性1ba G -∈，显然1ba a b -=，即xa b =在G 中有解，再由ax b =，可得11a ax a b --=．显然易得1ex x a b -==，且有1a b G -∈，因而ax b =在G 中也有解．定义4⇒定义5 显然成立．定义5⇒定义6 由定义5可知，在G 里对a G ∀∈ ，ax a =有解，设x e G =∈即ae a =．对b G ∀∈， ya b =在G 里有解，则be yae ya b ===，所以e 为右单位元．且有ax e =在G 中有解，设1x a -= 即1aae -=．由a 的任意性可得，对于G 里的每个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，使1aa e -=．定义6⇒定义7 由定义6可知，G 里面存在右单位元e ，对于a G ∀∈，都有右逆元即1ae a aa e -==，．设元1a -的右逆元为11a -，即111a a e --=，又111111a ea a a e ----=，可得1111a aa a e ---=，得1a a e -=．显然1a -同为a 的左逆元，又由于1ae aa a ea a -===，e 同时为左单位元，所以G 里面至少存在一个单位元e ，能让ae ea a ==．同样G 里面至少存在一个逆元1a-能使11aa a a e --==，其中a G ∀∈．定义7⇒定义8 由定义7可知，在G 里存在右单位元e ，使得a G ∀∈，ae a = ，存在逆元，即对于a G ∀∈，1a G -∃∈使得11a a aa e --==．显然G 的每一个元a 存在左逆元1a G -∈，使得1a a e -=．且对a b G ∀∈，，即11a b G --∃∈，，使得11aa bb --=．定义8⇒定义1 设G 为一个非空集合，根据定义8可知，G 中存在右单位元e ，使得对a G ∀∈，都有ae a =．且每个元都有左逆元．则有1e G -∈，使得11e e e e --==．且可知1ee ee e -==．对1a G -∈使得1a a e -=，11aa ee e --==．由a 的任意性可知，G 里每个元素都有右逆元．又由1ae aa a a -==，可得ea a =，即e 同时为左单位元．显然(),G 为幺半群，且每个元都有逆元．5 有限群定义[]2(3840)P -设 G 是一个有限非空集合，对于一个叫做乘法的代数运算， 称G 是一个群，假如满足: Ⅰ．封闭性: a b G ∀∈、，bc G ∈;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c ∈ G ，()bc a =()c ab 成立;Ⅲ．左消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若zy zx =，则y x =，右消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若yz xz =，则y x =．证明 （此处用定义１的各个条件证明G 是一个群）集合G 是代数运算封闭且满足结合律．则首先是个半群．因G 为限集，不妨设G n =，对于a G ∀∈，设'121{,,,,}n n G a a a a+=⋅⋅⋅，显然'G 中元素的个数有1n +个．又有'G G ⊂，所以'G 中至少有两个元素相等．在此不妨,(11)i ja a j i n =≤≤≤+．再设G 存在元素1e ，使得1j j a e a =，那么i j a a =等价于1j i j j a a a e -=，由左消去律得1i j a e G -=∈，显然同样有1j i j j i j e a a a a a -===，有i j a a =得1i j i j j aa a aa ---=，由右消去律可得i j a a a -=，即1e a a =，易知1ae a =．对∀b G ∈，同理有2e G ∈，使得22e b be b ==．由等式1212ae be e ae b =，变形整理得12ae b ae b =，由消去律可得12e e =．不妨设12e e e ==，由,a b 的任意性，可知对c G ∀∈，有ec ce c ==，即G 存在单位元e ．由以上可知对于a G ∀∈，显然有m a e =，(m 为整数)．令11m aa --=，则11a a aa e --==，所以G 里每个元素都有逆元．6 群与对称性以及几种特殊群6.1 对称和群的关系这里所讲的对称概括的说是：若考虑的对象A 是一个带有若干关系的集合M （数学中的对象大致都具有这种形式）时，我们就把所有保持这些关系不变的，集合M 的一一变换的全体所购成的群看作是这个对A 的对称，即为集合M 的对称群[]4(11)P ． 在此补充以下几个定义．1) 置换：一个有限集合的一一变换叫作一个置换[]()250P ．2) 置换群：一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群[]()250P ．3) n 次对称群:若一包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫作n 次对称群，这个群通常用n S 来表示[]()250P ．下面通过一个例子阐述对称群的意义和实质．我们把以数域F 中的数作系数的n 元多项式的全体记作[]12,,,n F x x x ⋅⋅⋅(或简记作[]F x )，每一n 元多项式可以唯一地表示为不同类单项式的有限线性和:()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅1212nn a x x x ααααα=⋅⋅⋅∑．其中()12,,,n αααα=⋅⋅⋅，{}0i Z α+∈而a F α∈．令{}12,,n M x x x =⋅⋅⋅，则M 的n 次对称群n S 中的元素就是{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅的一个置换，略去字母x 的下标，这时一一变换可记作1212n n i i i σ⋅⋅⋅⎛⎫= ⎪⋅⋅⋅⎝⎭, 其中()12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,n ⋅⋅⋅的一个排列，而()j j i σ=．利用变换群n S 中的元素∑去定义集合[]F x 到[]F x 的一个映射． [][]:F x F x σφ→,()()1212,,,,,n n i i i f x x x f x x x ⋅⋅⋅→⋅⋅⋅,其中()12,,n i i i f x x x ⋅⋅⋅是在多项式()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅中将1x 换成1i x ，2x 换成2i x ，⋅⋅⋅后所得到的多项式，显然σφ是集合[]F x 的一个变换．令{}|n n T S σφσ=∈，n T 是[]F x 的一些(n !个)变换组成的集合．定义“ ”为变换之间的乘法运算．证明代数系(),n T 为[]F x 的置换群．证明 任取,n S σθ∈，令12121212,n n n n i i i i i i j j j σθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭. 则有σθφφ：()()()121212,,,,,,,,n n n i i i j j j f x x x f x x x f x x x →→, σθφ： ()()1212,,,,,n n j j j f x x x f x x x →. 显然有θσθφσφφ=即运算满足封闭性．对,,n S σθϕ∀∈，则有对应的,,n T σθϕφφφ∈，可得等式：()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==，()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==， 所以()()σθϕσθϕφφφφφφ= 即运算满足结合律．对单位元n I S ∈，则有I n T φ∈ 显然有I Iσσφφωφφ== I I σσσφφφφ==． 令()11σσφφ--=，显然()n T ∈-1σφ， 可得:()()111I σσσσσσφφφφφφ---===． 显然由σφ的任意性可知n T 中每个元都有逆元．进而可知()n T 为[]F x 的置换群．令()12,,,n f x x x 是一个n 元多项式，令(){}|f n S T f f σσφφ=∈=，同理可证(),f S 满足群的各个条件，即f S 为群．则称()f S 为n 元多项式()12,,n f x x x 的对称群[]()289P -.6.2 几种特殊群 例1 设()n SL Q 是有理数域Q 上所有其行列式为1的n 阶矩阵的全体，()n SL Q 关于矩阵的乘法“”作成的代数系()(),n SL Q 为一个群，称之为特殊线性群[]()252P .证明 任取三个元(),,n A B C SL Q ∈，则考虑AB 其行列式的值:||||||1AB A B =⨯=，所以()n AB SL Q ∈，运算满足封闭．由矩阵的运算性质显然有:()()AB C A BC =既满足结合律．又有单位矩阵I ，||1I =即()n I SL Q ∈，显然I 为()n SL Q 里的单位元．再有()n SL Q 里每个矩阵的行列式的值为1，显然每个元都可逆，设1A -为A 的逆矩阵，则1AA I -=．由此可得11||||||1AA A A --=⨯=，易得1||1A -=，即()1n A SL Q -∈．由A 的任意性可知()n SL Q 中每个元都有逆元．所以()(),n SL Q 是一个群．例 2 设n Z 为对于模n 的剩余类，定义n Z 中的加法运算“⊕”．即对任n Z 中意元素[][](),01i j i j n ≤≤≤- [][][]i j i j ⊕=+．则()n Z ⊕构成群，称之为剩余类加群[]1(4951)P -．证明 由剩余类的性质，显然易知“⊕”满足封闭性，结合律．同样不难证明[]0为n Z 的单位元．对[]n i Z ∀∈，易得[]n i -为其逆元．很显然()n Z ⊕是一个群．例 3 假如A 是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面绕一个定点的所有旋转组成的集合G ，用θτ表示旋转θ角的旋转．定义运算“”:1212θθθθτττ+=，则(),G 是一个群，也称为平面运动群[]2(48)P ．证明 1212G θθθθτττ+=∈封闭，结合律显然成立，单位元0e G τ=∈，再有对G θτ∈，其逆元，显1G θθττ--=∈然G 是一个群．例 4 若p 为素数，p N 表示关于模p 所有余数构成的集合，即小于p 的非负整数集合．定义pN中的运算“p ⋅”．对任意,p a b N ∈ 则 ()p b a b a p mod ⋅=⋅ 即代数系统{}p p N ⋅-,0是群，并称为模p 乘群，或模p 剩余乘群[]3(23)P .证明 任取{},,0P a b c N ∈-，(){}0mod -∈⋅=⋅p p N p b a b a 运算满足封闭性． 同样不难得知，运算满足结合律．很显然{}10p N ∈-，不难验证1为{}0p N -中的单位元．验证{}0p N -中元素有逆元，任取{}0p a N ∈-，则0a p <<，(),1a p =．因此有整数,c d 使得1c a d p ⋅+⋅=，从而得(),1c p =．当记mod p c c p =时，显然有1p c p ≤<，这表明{}0p p c N ∈-，进而可得等式：()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p a c p a c a c p p p()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p c a p c a c a p p p所以p c 是关于p ⋅的逆元．由a 的任意性可知{}0p N -中元素有逆元．所以说{}p p N ⋅-,0是群．参考文献：[1] 华中师范大学数学系《抽象代数》编写组.抽象代数[M].华中师范大学出版社.2000[2] 张禾瑞.近世代数基础[M].高等教育出版社.1978[3] 王兵山，李舟军.抽象代数[M].国防科技大学出版社.2001[4] 刘绍学.近世代数基础[M].高等教育出版社.1999[5] 吴品三.近世代数[M].北京：人民教育出版社.1979[6] 谢邦杰.抽象代数学[M].上海：上海科学技术出版社.1982[7] 姚慕生.抽象代数学[M].上海：复旦大学出版社.1998[8] N Jacobson.Basic Algebra [M]. W H Freeman and Company .1985。
近世代数--群的概念
所以结合律成立．
(3) 对任意的 a,b Zm ,
a b a b b a b a,
所以交换律成立．
(4) 对任意的 a Zm ，
a 0 a 0 a,
且
0 a 0 a a,
的代表元的选取无关即可．设
a a ', b b ',
则
m | a a ', m | b b '.
于是 m | (a a ') (b b ') (a b) (a ' b '),
m | (a a ')b (b b ')a ' (ab) (a 'b ').
从而
a b a ' b ', ab a 'b'. 所以+与 都是Zm上的代数运算.
的逆元记作 a, 并称a为 a 的负元．
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的 结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地, 将 不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
a b b a e. 则称 G关于运算“ ”构成一个群（group），记作 (G,) ．在不致引起混淆的情况下, 也G称为群．
注 1．(G2)中的元素 e 称为群 G的单位元
（unit element）或恒等元（identity）；
群的基本概念
定义2 定义 设 < G,* > 是群,若*满足交换律，则称 < G,* >是交 换群(Abel群)。 • 前面的例1，例2，例3，例4，例5都是交换群。 定义3 定义 设 < G,* > 是群，称G的势为群 < G,* > 的阶。 • 由定义3知有限群的阶就是G中元素的个数，无限群的 阶是G的势，即︱G︱。
例1 在< I,+ >群中，取 1∈I，有 10＝0, 1n＝n, 1-n＝-n, 1n+1-n＝n-n＝0。 例2 设X是由方程x4＝1的4个根组成的集合，即X＝{1,1,i,-i},其 中i＝ − 1 。设×是复数乘法，运算表如表1
× 1 -1 i -i
由表1知<X,*>是群.
1 1 -1 i -i
定理9 定理 设< G,* >是循环群，a是生成元。 1)若a 的阶为m，则 < G,* > 与 < Nm,＋m > 同构； 2)若a 的阶为无穷，则 < G,* > 与 < I,＋> 同构。 定理10 设< G,* >是循环群，则< G,* >是交换群。 定理
4.5 子群 定义8 定义 设< G,* >是群，S⊆G且S≠∅。若< S,* >是< G,* >的子 代数系统且< S ,* >是群，则称< S,* >是< G,* >的子群。 定理13 设 < G,* > 是群， S⊆G 且 S≠∅。那么<S,*>是<G,*>的 定理 子群的充分必要条件是 1) ∀ a,b∈S，有a*b ∈S； 2) ∀ a∈S，有a-1∈S。 定理14 定理 设<G,*>是群， S⊆G 且 S≠∅ ，那么<S,*>是<G,*>的子 群充分必要条件是 ∀ a,b∈S，有a*b-1∈S。 定理15 定理 设 < G,* > 是有限群，︱G︱= n，S ⊆ G且S≠Ф,那么 < S,* > 是 < G,* > 的子群充分必要条件是 ∀ a,b∈S，有 a*b∈S。
群的定义——精选推荐
群的等价定义及证明风雷摘要：群是近世代数一门古老而丰富的分支，交换群在几何学扮演了很重要的角色，有限群建立了伽利略的方程理论，这两个领域为群的发展提供了原始动力.本文主要讨论群的定义，并证明了它们的等价性，我们的主要目的是通过群的定义而获得群的一些基本性质并为以后的学习打下坚实的基础，另外本文还举例说明了群的一些性质在编码中的应用.关键词:群；等价性；单位元；逆元1 引言近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系，即具有一些n 元运算的集合.代数系中最简单的是具有一个二元运算，本文主要论述的群就是这样的代数系，群是近世代数的一个重要分支，在自然科学的许多领域中都有应用，如在自动机理论中就用到半群和群，在信息安全与编码理论中就用到群.群只有一种代数运算，我们已经知道，一个代数运算用什么符号表示是可以有我们自由决定的，有时可以用“ ”，有时可以用“⋅”，在实际运用中，对于一个群的代数运算表示，为便利起见不用“ ”来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写 a b ，而写a b ⋅ ，因此我们不妨就把一个群的代数运算叫做乘法，当然一个群的乘法一般不是普通的乘法，下面主要就群的定义及其证明进行具体分析.2 群的第一定义设G 是一个非空集合，它对于一个叫作乘法的代数运算来说作成一个群，假如 ⅠG 对于这个乘法来说是闭的；Ⅱ 结合律成立：()()a bc ab c =对于的G 任意三个元素都成立;Ⅲ G 中有单位元素的存在，即存在元素e ，使的对于G 的每一元素a ，都有 ;ea ae a ==Ⅳ G 中元素有逆元，即对于G 的每一个元素a ，存在的G 元素1a -，使得11a a aa e --==.当群的运算“ ”满足交换律时，称(),G 为交换群，或阿贝尔群.例如，整数集Z 关于数的加法构成交换群(),G ，单位元是0，每一个数的逆元是它的负数，Z 关于数的乘法不够成群因为除了1,-1外的数没逆.例1 设G 为整数集，问：G 对运算4ab a b =++ 是否作成群？解：由于对任意整数显然4a b ++为由于惟一确定的整数，故Ⅰ成立.其次，有()(4)(4)48ab c a b ca b c a b c =++=++++=+++同理有()8a bc a b c =+++.因此，对G 中任意元素,,a b c 有 ()()ab c a bc =即Ⅱ成立.又因为对任意整数a 均有(4)(4)44a a a a -=-=-+=.即Ⅲ成立.最后，由于(8)(8)844a a a a a a --=--=--++=- 即Ⅳ成立.因此，整数集对代数运算“ ”作成一个群.例2 设 G ={1,-1,i,-i}，“。
论述群的概念
论述群的概念群的概念是一个由多个成员组成的社会单位，其成员之间存在着互动、沟通和合作。
在群中，成员之间通常具有共同的目标、共同的兴趣爱好、相似的特征或共享的价值观念。
群可以是一个小团体，如家庭、朋友圈；也可以是一个大型社会组织，如政府、企业、社会组织等。
群的概念与个体密切相关。
个体是群的组成单位，每个个体都具有不同的特征、需求和价值观。
群的形成是基于个体之间的相互联系和互动。
个体在群中可以相互影响、互相支持和合作，共同实现群体的目标和利益。
同时，群也提供给个体一种归属感和认同感，个体在群中可以找到自己的位置和角色。
群的结构是群的组织形式和成员之间的关系网络。
群的结构可以是松散的，成员之间联系较少；也可以是紧密的，成员之间联系频繁。
群的结构影响着群的运作方式和发展路径。
在群的结构中，通常会存在一些领导者或核心成员，他们在群体中具有较高的权威和影响力，可以带领群体朝着共同的目标前进。
群的功能是群的存在和运作的目的和作用。
群体的功能多种多样，可以包括情感支持、信息交流、知识传递、资源共享、决策制定等。
群的功能可以满足个体需求和群体利益，促进成员之间的相互了解、合作和发展。
群的功能可以帮助群体应对来自外部环境的挑战和压力，提高群体的适应能力和竞争力。
群的发展是群从形成到成长和演变的过程。
群的发展是一个动态的过程，包括形成阶段、成长阶段、稳定阶段和解散阶段。
群的发展过程中，群的目标、结构和功能可能会发生变化，成员之间的互动和关系也会逐渐建立和调整。
群的发展需要成员之间的积极参与和努力，同时也受到外部环境的影响。
群的效能是群体达到目标和完成任务的能力和效果。
群的效能可以通过群的目标达成程度、群内成员的满意度和群体的绩效来衡量。
群的效能受到多个因素的影响，如成员之间的合作程度、沟通效果、领导水平和资源支持等。
高效能的群体通常具有明确的目标、积极的态度、有效的组织和协作能力。
总之，群的概念是一个由多个成员组成的社会单位，具有共同的目标、共同的兴趣爱好、相似的特征或共享的价值观念。
群的作用和意义
群的作用和意义随着社交网络的发展和普及，群已经成为我们日常生活中不可或缺的一部分。
群的作用和意义也逐渐被人们认识和重视。
本文将从群的定义、群的作用、群的意义三个方面来探讨群的作用和意义。
一、群的定义群是由一组人组成的社会系统，它们在一定时间内以某种方式相互接触、相互影响，并以某种方式相互依赖。
群是一种人际关系的形式，是人们为了实现某种目标而聚集在一起的集体行为。
二、群的作用1. 社交交流群是人们进行社交交流的场所。
通过群，人们可以结交志同道合的朋友，分享彼此的经验和感受，扩大社交圈子，增进自己的人际关系。
2. 信息传递群是信息传递的重要途径。
在群中，人们可以分享各种信息，包括新闻、娱乐、科技等等。
通过群，人们可以了解到最新的资讯，增强自己的知识储备。
3. 知识共享群也是知识共享的场所。
在群中，人们可以分享自己的知识和经验，帮助他人解决问题，提高自己的学习能力。
通过群，人们可以学习到更多的知识，提高自己的素质。
4. 情感支持群是情感支持的场所。
在群中，人们可以倾诉自己的烦恼和困惑，得到他人的理解和支持。
通过群，人们可以减轻自己的心理负担，增强自己的心理健康。
5. 合作协作群也是合作协作的场所。
在群中，人们可以共同合作，实现某种目标。
通过群，人们可以互相帮助，共同进步，提高自己的工作效率。
三、群的意义1. 社会化群是社会化的表现。
通过群，人们可以与他人进行交流和互动，增加自己的社会经验，提高自己的社会适应能力。
同时，群也可以促进社会的发展和进步。
2. 情感支持群的意义也在于情感支持。
在群中，人们可以得到他人的理解和支持，减轻自己的心理负担，增强自己的心理健康。
同时，群也可以促进人际关系的和谐和稳定。
3. 价值观传递群也是价值观传递的场所。
通过群，人们可以传递和分享自己的价值观，促进价值观的传承和发展。
同时，群也可以帮助人们塑造正确的价值观，提高自己的道德水平。
4. 个人成长群的意义还在于个人成长。
通过群，人们可以学习到更多的知识和技能，提高自己的素质和能力。
群的几个基本定义
Exercise 找出 C 群中和 C 共軛的元素
3v 3
對稱群裏互相共軛的元素集合起來，定義成群裏的一個 class(類)
3 2 1 2 ' " 1. 在 C 3v 中， E , C3 C3 , V V V ，每一個類的階數分別為 1, 2, 3。群的階數除以類的階數為
3
若 g 階的群 G 是 h 階群 H 的一個子群，即 G = {G =E, G , G ……G }，X 是群 H 中的一個
1 2 3
g
元素，則共軛子群(conjugate subgroup) X-1 GX = { X-1G X, X-1G X, X-1G X……X-1G X}
1 2 3
g
若群中的每個元素 X 都使 X-1 GX = G ，則子群 G 被稱為群 H 的正規子群 (normal subgroup/normal divisor) 或不變子群 (in variant subgroup) 或自共軛子群 (self-conjugate sub group) Exercise 子群 G = { E, C3, C32}。証明子群 G 是群 C 的正規子群?
-1
-1 0 0 1 1 2
-1
3 2 1 - 2 1 2 3 2
-1
3 2 1 - 2
(R)
1 R
3 2
11
2 (R)
2 2 =1 (E)11 2 (E)11 +1 (C3 ) V 2 (C3 )11 +1 (C3 )11 2 (C3 )11 ' ' " " +1 ( V )11 2 ( V )11 +1 ( V )11 2 ( V )11 +1 ( V )11 2 ( V )11
1群的定义
ea = a 对于 G的任何元 a 都成立, 这样的 e 称为左单
位元；
Ⅳ ．对于G 的每一个元a ，在G 里存在一个元,记 为 a 1，能让 1
a a=e
这样的 a 1称为 a 的左逆元. 注1 群 G与运算联系在一起. 例4. (平凡群) G 只包含一个元 g．乘法是 gg = g ． 对于这个乘法来说作成一个群． G 例5. 在数集中,关于熟习的运算,发现一些群的正 反面的例子
ae = a(a a) = L= a
1
G 群的定义II 我们说，一个不空集合 对于一个 群的定义 叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如: Ⅰ． 对于乘法来说是闭的: 对于 a, b ∈ G G
ab ∈ G ； Ⅱ．结合律成立：a (bc) = (ab)c ,对于 a, b, c ∈ G ；
III’． 里至少存在一个 e ，能让 G
a 1 a = e
成立．这里 e 是一个固定的左单位元． 由V， ya = e 可解． (3) 定义I 定义III ，已经完成。 定义I 定义III 已经完成。
1.6 几个进一步的概念
以下我们还要说明几个名词和符号． 一个群G 的元素的个数可以有限也可以无限．我 们规定 定义1 一个群叫做有限群 有限群，假如这个群的元的 有限群 个数是一个有限数．不然的话，这个群叫做无限 无限 群的阶． 群．一个有限群的元的个数叫做这个群的阶 群的阶
ae = a 对于 G的任何元 a 都成立, 这样的 e 称为右单
位元； Ⅳ’．对于G 的每一个元a ，在G 里存在一个元,记 为 a 1，能让 1 aa = e 这样的 a 1称为 a 的右逆元. 证明: 证明 (1)定义I 证明定义II, 已经完成 (2)定义II证明定义I, 需要类似的二步(作业)
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关于群的定义的一点注记
群是指一组拥有相同或相近的目标或兴趣的人员组成的社会结构。
这种结构可以是临
时性的，但也可以是持久性的，并有可能持续几个世纪。
这种群体的社会结构可以利用这
些人们共同追求的某种目标，比如信仰、政治或科学理论的合作，来提高彼此的生活质量。
群体的关系通常是从一致性，通过识别互相的价值观，到共同的最终目标的方式发展的。
群体可以根据其所要达到的目标而分成几种不同类型，如宗教群体、犯罪组织、慈善
机构、教育机构等。
这些群体类型拥有不同的组织结构、利益关系和任务组织，并且有它
们各自的规则和运作方式。
人们在群体中可以获得社会支持、获得良好的情感，从而获得心理上的支撑。
群体的
力量更强大，也更加有效，这也意味着它可以增加对某些特定事务的重视程度。
另外，群体也可以利用社会网络的影响来达到目标，使通过互动的过程更有效地间接
影响某一行为或态度。
通过了解不同社会群体的影响，可以更容易地实现某些社会变革。
此外，群体也可以使用相似的行为模式和规范来促进共同的目标，并促进社会发展。
这些行为模式可以从看不到的文化传统、言论、价值观和行为模式中找到，从而形成传播
和使用的特定模式。
总之，群体是一种社会结构，它将人们以共享思想感情和共同追求的目标的方式聚集
在一起，可以通过建立团体的共同价值观和行为模式来实现共同的目标，有助于提高各自
的生活质量，增强社会影响力，促进社会发展。