普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题大全数列部分

2009年普通高等学校招生全国统一考试试题汇编数列部分1．（全国1/20）在数列{}n a 中，1111112n nn a a a n ⎛⎫⎪⎝⎭’＋’＋＝＝＋＋. （1）设nn a b n ＝，求数列}{nb 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n s .解: （II ∴S 而k 项和，一 2．解:{}n a 是等差数列3．（全国2/14） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则45S S =.解析：由53,5a a =得1460a d +=，即40S =4．（全国2/19）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+（I ）设12n n nb a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列（II ）求数列{}n a 的通项公式。

5．（山东20）等比数列{}n a 的前n 项和为，已知对任意的,n N ∈，点(.)n n S 均在函数(01,,y bx r b b b r ==>≠且均为常数的图象上。

（Ⅰ）求r 的值。

（Ⅱ）当b=2时，记22(log 1)()n bn a n n ==∈证明：对任意的n N +∈ ，不等式1212111 (1)n n b b b n b b b +++>+成立解：:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n S b r=+,当1n =时,11a S b r==+,当2n ≥1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{na }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=,1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n-=+=+=1212n n b n b n ++=,所以121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=⋅⋅下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······12462n n b b b n n b b b n ++++=⋅⋅>+成立.1n =时,左边=32,右边=2,因为322>,所以不等式成立. 假设当n k =时不等式成立,即121211135721·······12462k k b b b k k b b b k ++++=⋅⋅>+成立.则当1n k =+时,左边=11212111113572123·······246222k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+所以当1n k =+时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知nS 求na 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 6．（北京14）已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =____________。

【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====.∴应填1，0. 7．（北京20）已知数集1212{,,}(1,2)n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的,(1)i j i j n ≤≤≤，i j a a 与ji a a 两数中至少有一个属于A 。

（I ）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）证明：11a =，且1211112;nn n a a a a a a a ---+++=+++（Ⅲ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列。

【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，∴该数集不具有性质P.由于66123612,13,16,23,,,,,,231236⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6， ∴该数集具有性质P.（Ⅱ）∵{}12,,n A a a a =具有性质P ，∴n n a a 与nn a a 中至少有一个属于A ， 由于121na a a ≤<<<，∴n n na a a >，故n n a a A∉.从而1nna Aa =∈，∴11a =.∵121na a a =<<<， ∴k n na a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nk a A k n a ∈=.又∵121n n n nnn a aa a a a a a -<<<<，∴211211,,,n n n n n n nn a aa aa a a a a a a --====， 从而121121n n n nn nnn a a a a a a a a a a a a --=+++=++++，∴1211112nnn a a a a a a a ---+++=+++.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当5n =时，有552343,a aa a a a ==，即25243a a a a ==，∵1251a a a =<<<，∴34245a a a a a >=，∴34a a A∉，由A 具有性质P 可知43a A a ∈.2243a a a =，得3423a a A a a =∈，且3221a a a <=，∴34232a a a a a ==， 534224321a a a a a a a a a ====，即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a8．（湖北15）已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。

若6a ＝1，m 所有可能的取值为__________。

【答案】4 5 32【解析】（1）若1a m =为偶数，则12a 为偶, 故223 a 224a mm a === ①当4m仍为偶数时，46832m m a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 故13232m m =⇒=②当4m 为奇数时，4333114a a m =+=+63144m a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 故31414m +=得m=4。

（2）若1a m=为奇数，则213131a a m =+=+为偶数，故3312m a +=必为偶数63116m a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，所以3116m +=1可得m=59．（湖北19）已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（n 为正整数）。

（Ⅰ）令2n n nb a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令1n n n c a n +=，12........nn T c c c=+++试比较n T 与521nn +的大小，并予以证明。

解析：（I ）在11()22n n n S a -=--+中，令n=1，可得1112n S a a =--+=，即112a = 当2n ≥时，21111111()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，， 11n 1112a (),212n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2.112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-=n 即当时，b .又1121,b a ==∴数列}{nb 是首项和公差均为1的等差数列.于是1(1)12,2n n n n n nb n n a a =+-⋅==∴=.(II)由（I ）得11(1)()2n n n n c a n n +==+，所以由①-②得231111111()()()(1)()22222n n n T n +=++++-+于是确定521n nT n +与的大小关系等价于比较221nn +与的大小由23452211;2221;2231;2241;225;<⨯+<⨯+<⨯+<⨯+<⨯可猜想当322 1.nn n ≥>+时，证明如下： 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设1n k =+时12222(21)422(1)1(21)2(1)1k k k k k k k +=>+=+=+++->++所以当1n k =+时猜想也成立综合（1）（2）可知 ，对一切3n ≥的正整数，都有22 1.nn >+ 证法2：当3n ≥时综上所述，当1,2n =时521n n T n <+，当3n ≥时521n nT n >+10．（福建3）等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于A ．1B 53 C 2 D 3【答案】 C 11．（福建15）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.5 12．（广东４）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=Ａ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n -【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得nn a 222=，>n a ，则nn a 2=，+⋅⋅⋅++3212log log a a2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-，选C.13．（广东21）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线nC 引斜率为(0)n n k k >的切线nl ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：1352112sin 1n nn n nx xx x x x x y --⋅⋅⋅⋅<<+解：（1）设直线nl ：)1(+=x k y n ，联立0222=+-y nx x 得0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，则)1(4)22(2222=+--=∆nn nk k n k ，∴12+=n n k n （12+-n n舍去）22222)1(1+=+=n n k k x n n n，即1+=n n x n ，∴112)1(++=+=n n n x k y n n n（2）证明：∵121111111+=+++-=+-n n n n nx x nn∴nn n x x x x x x +-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-1112531由于nn n n x x n y x +-=+=11121，可令函数x x x f sin 2)(-=，则x x f cos 21)('-=，令0)('=x f ，得22cos =x ，给定区间)4,0(π，则有0)('<x f ，则函数)(x f 在)4,0(π上单调递减，∴0)0()(=<f x f ，即x x sin 2<在)4,0(π恒成立，又4311210π<≤+<n ，则有121sin2121+<+n n ，即n n nn y x x x sin 211<+-.14．（江苏17）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+= （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.?[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。