周期和对称性
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
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函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义〔略〕，请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y 〔即x=0〕轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于〔0，0〕对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：〔1〕函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
假设写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称〔2〕函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数y = /(x)，如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x +T) = f(x)都成立，那么就把函数y = f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期2、对称性定义(略)，请用图形来理解。
3、对称性：我们知道：偶函数关于y (即宁0)轴对称，偶函数有关系式/(-X)= f(X) 奇函数关于(0.0)对称，奇函数有关系式f(X)+ f(-X)= 0 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：(1)函数y = /(x)关于x = a对称 <=> f(a + x) = f(a-x)f (a + x) = f{a - A)也可以写成/(A)=f(2a - x)或/(-x) = f(2a + x)简证:设点(％,)、)在)，=/(x)上,通过/(X)=/(2〃一x)可知,=/•(%) =，'(2" —工]), 即点(2a一x x,力)也在y = f(x)上，而点(西,—)与点(2。
一x{,关于x=a对称。
得证。
若写成：f(a+x) = f(b-x),函数>-=f(x)关于直线x= U/~A)+(Z—° = -对称2 2(2)函数y = f(x)关于点(0 b)对称O f(a + x) + f(a -x) = 2b上述关系也可以写成/(2«+ X)+/(-A)=2/?或f(2a-x) + f(x) = 2b简证：设点(Aj, y,)在y = /(x)上，即Vi =y(X])，通过/(2tz-x)4- f(x) = 2/?可知，f(2a - Xj) +f(x{) = 2b ,所以/(2«-x1) = 2Z?-/(x1) = 2Z?->'1 ,所以点(2a -Xj ,2b- )也在y = /(x)±,而点(2ci-,2b - y,)与(天，口)关于(。
必修一(6)周期性和对称性
函数的周期性和对称性知识点：（和定对称，差定周期）若函数()f x 在定义域上恒有()()f a x f b x +=-，则函数()f x 的对称轴为2a b x +=；若函数在定义域上恒有()()f x T f x +=则T 为()f x 的周期（一般我们都研究函数的最小正周期），nT 都是周期 1、一个图像的对称与周期性(1)若函数关于y 轴对称，则()f x =(-)f x (2)若函数关于原点对称，则()f x -=(-)f x （3）若函数关于x a =对称，则)()(x a f x a f -=+ （4）若函数关于点（a,b ）对称，则()()2f a x f a x b ++-= （5）函数)(x f y =满足)()(x f T x f -=+，则T x f 2)(的周期为 2、两个图像的对称性（1） )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
（2）)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
（3）)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
（4）)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于ay =对称。
（5）)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期 例如：求11()()(),(),()()1()f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=+=+的周期 二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 者 (2)()f x a f x +=-函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （ ）2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．53．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A 、2005B 、2C 、1D 、04． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222-x xC .122-x D.122-x x6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）A ．–2B ．–1C ．0D ．17.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.528.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2f ＝ ．9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_ 10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。
对称性与周期性
对称性与周期性对称性和周期性是自然界中广泛存在的重要概念。
它们不仅在数学中有着重要的应用，而且在物理、化学、生物等领域也具有重要的意义。
本文将分析对称性和周期性的概念、特征以及在不同领域中的应用。
一、对称性的概念与特征对称性是指一个物体或系统在某种变换下保持不变的特性。
在数学中，对称性可以分为几何对称和代数对称两种形式。
几何对称是指物体或图形在某种变换下形状、大小、位置等方面保持不变。
常见的几何对称包括轴对称和中心对称。
轴对称是指物体或图形在某条轴线旋转180°后仍能保持不变，如正方形、圆形等。
中心对称是指物体或图形绕某个点旋转180°后仍能保持不变，如十字花纹等。
代数对称是指在某种运算下，一个式子的值在变量的交换下保持不变。
常见的代数对称包括加法对称、乘法对称以及函数的对称性等。
加法对称是指两个数相加的结果与加法顺序无关，乘法对称是指两个数相乘的结果与乘法顺序无关。
函数的对称性是指函数的图像关于某条线、点或面具有对称性，如奇函数和偶函数。
二、周期性的概念与特征周期性是指一个函数、物体或系统在一定条件下以规律性的方式重复出现的特性。
周期性在数学中通过函数来描述，而在物理、化学中则包括波动、振动等现象。
函数的周期性是指函数在某个区间内以规律性的方式重复出现。
常见的函数周期包括正弦函数、余弦函数等三角函数。
正弦函数和余弦函数在一定区间内以波浪形式周期性地重复出现，具有确定的振幅、周期和相位。
物体或系统的周期性表现为某种规律性的重复运动或变化。
例如，地球绕太阳公转、物体在弹簧振动、原子核放射性衰变等都具有周期性。
这些周期性现象可以用数学模型来描述，为实现一定的预测和应用提供了基础。
三、对称性与周期性的应用对称性和周期性在不同领域中有着广泛的应用。
以下是一些具体的例子：1. 数学领域：对称性和周期性是数学中重要的研究对象。
对称性的研究涉及到群论、拓扑学等领域，而周期性则涉及到函数、级数等。
函数的周期性与对称性
【例2】 f（x）是定义在R上的以3 为周期的奇函数，且 f （ 2 ）＝ 0 ， 则方程 f （ x ）＝ 0 在区间（ 0 ， 6 ） 内解的个数的最小值是 ( ) A．2
C．4
B．3
D． 5
【解析】
∵ f （ x ）为奇函数， ∴ f （ 0 ）＝ 0 ，又 函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0， ∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝ 0，f（3）＝0，f（5）＝0， ∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.
3、关于点(a,0)对称
练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析 式 答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称
⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有 f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
函数周期性解题的一道经典试题
2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)
⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式
解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直 线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立
区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析 式 解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意 一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y) 在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为 所求 结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x ）是周期函数，且2|a ｜是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f （x －a ） ②f（x ＋a)＝－f （x ） ③f（x ＋a ）＝1/f(x ） ④f（x ＋a)＝－1/f （x)2、函数的对称性与周期性性质5 若函数y ＝f(x ）同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x ）必为周期函数,且T ＝2|a －b ｜性质6、若函数y ＝f （x ）同时关于点（a ，0）与点（b ，0)中心对称，则函数f （x ）必为周期函数,且T ＝2|a －b|性质7、若函数y ＝f （x ）既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|3。
函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-,则()f x 具有对称性:“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称例题分析:1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数,)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时,x x f =)(,则)5.47(f 等于 （ ） (A ）0。
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专题：函数的周期性对称性1、周期函数的定义一般地，对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f y =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的一个周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
显然，若T 是函数的周期，则)0,(≠∈k z k kT 也是)(x f 的周期。
如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。
说明：1、周期函数定义域必是无界的。
2、周期函数不一定都有最小正周期。
【可让学生举出反例，随后教师给出例子：函数()()f x C C =为常数】 推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期；)2()2(Tx f T x f -=+，则)(x f 周期为T ；()f x 的周期为)(x f T ω⇔的周期为ωT。
2、常见周期函数的函数方程：（1）函数值之和定值型，即函数)()()(b a C x b f x a f ≠=+++对于定义域中任意x 满足)()()(b a C x b f x a f ≠=+++，则有)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=特例：()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型 若)()()(可正可负，C b a C x b f x a f ≠=+⋅+，则得)]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+，所以函数)(x f 的周期是)(2a b T -=（3）分式型，即函数)(x f 满足)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+由)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+得)2(1)2(b x f a x f +-=+，进而得1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由前面的结论得)(x f 的周期是)(4a b T -=特例：()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； )(11)(x f a x f +-=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数.)(11)(x f a x f -=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数. )(11)(x f a x f -=+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数.1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1)(1)()(+-=+x f x f a x f ，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1)(1)()(-+=+x f x f a x f ，则()x f 是以a T 2=为周期的周期函数.1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.（4）递推型：)()()(a x f x f a x f --=+（或)2()()(a x f a x f x f ---=），则)(x f 的周期T = 6a （联系数列）()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；，，满足)0())(()()(≠=+=a x f g a x f x f y 其中)()(1x g x g =-，则)(x f y =是以a 2为周期的周期函数。
【这些周期的证明教师可做个示范，其余留给学生课后进行证明】3、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。
即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心），则该函数必为周期函数。
相关结论如下：结论1：两线对称型：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =，即()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =- ()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =- ∴(2)(2)f a x f b x -=- ∴()(22)f x f b a x =-+∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。
【注意：上述2a b -不一定是最小正周期。
若题目所给两条对称轴x a =、x b =之间没有其他对称轴，则2a b -是最小正周期。
具体可借助三角函数来进行分析。
下同。
】 结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，即()()2f a x f a x c ++-=和()()2f b x f b x c ++-=()a b ≠，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-证明：由()()2f a x f a x c ++-=⇒()(2)2f x f a x c +-=()()2f b x f b x c ++-=⇒()(2)2f x f b x c +-= 得(2)(2)f a x f b x -=- 得()(22)f x f b a x =-+∴函数()y f x =是以22b a -为周期的函数。
结论3：一线一点对称型：如果函数()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =-证明：()()2()(2)2f a x f a x c f x f a x c ++-=⇒+-= ()()()(2)f b x f b x f x f b x +=-⇒=- (4())(2(42))f b a x f b a b x -+=---(42)(2(22))2(22)f a b x f a b a x c f b a x --=--+=--+ 2(2(2))2(2)c f b a x c f a x =---=--2(2())22()()c c f x c c f x f x =--=-+=推论1：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =推论2：如果偶函数()f x 的图像关于直线(),a c （0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a =推论3：如果奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a =推论4：如果奇函数()f x 关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =【函数的奇偶性、对称性、周期性的代数特征有相仿之处，这三性都是有函数方程决定的，方程的不同特征决定了函数不同的性质，要注意其共性与个性。
】 【函数的奇偶性是函数对称性中的特殊情况，奇函数对称中心为（0,0），偶函数对称轴为y =0，带入结论1-3，可得推论1-4，所以学生在记忆时只需记住结论1-3即可，减少工作量】 【同理，教师可示范性给出一个结论的证明过程，其余可让学生进行证明】典例精讲一 利用周期性求值：例1、（★★）函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则))5((f f =___ 1-5_____。
例2、（★★）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 ( B)A 、－1B 、0C 、1D 、2例3、（★★）已知奇函数)(x f 满足)18(log ,2)(,)1,0(),()2(21f x f x x f x f x 则时且=∈-=+的值为 。
()21222229log 82(2)()(2)(4)99(log 18)(log 18)(4log 18)(log )(log )8899(log )288f x f x f x f x f x f f f f f f +=-∴=-+=+=-=-==-=-=-=-Q 解：，【提问：当所要求的值不在定义域中时，怎样通过变换将要求的函数值转化到已知解析式的这一段定义域中去？除了充分利用周期性外，还要注意题中的已知条件，如奇偶性、对称性等。
】例4、 （★★★）()f x 的定义域是R ，且(2)[1()]1()f x f x f x +-=+,若(0)2008f =求 f (2008)的值。
(4)11(2)11(4)1()(8)(4)1(2)1(4)1(4)18(2008)(0)2008f x f x f x f x f x f x f x f x f x f f +--+--++====++-++++++∴==解：周期为，二 利用周期性求解析式：例5、（★★★）已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()1f x x =+. 求()f x 在(1,2)上的解析式。
解法1：从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 ∵(1,2)x ∈ , 则(2,1)x -∈--∴2(0,1)x -∈, ∵ 2T =，是偶函数∴ ()()(2)213f x f x f x x x =-=-=-+=- (1,2)x ∈ 解法2：（从图象入手也可解决，且较直观）()(2)f x f x =+如图：(0,1)x ∈, ()1f x x =+.∵是偶函数 ∴(1,0)x ∈-时()()1f x f x x =-=-+ 又周期为2，(1,2)x ∈时2(1,0)x -∈- ∴()(2)(2)13f x f x x x =-=--+=-例6、（★★★）已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =(11)x -≤≤是奇函数.又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-. （1）证明：(1)(4)0f f +=； （2）求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；（3）求()y f x =在[4,9]上的解析式.解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，且在[1,1]-上是奇函数，∴(1)(1)(51)(4)f f f f =--=--=-，∴(1)(4)0f f +=. ②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->， 由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =， ∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤.③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤ 而2(1)2(12)53f =--=-，∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，从而10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-. ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+. 当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩. 【由以上两例可以看出，已知周期函数某个周期内的解析式，求另一个周期内的解析式，只要当成是函数图象的平移来做即可。