2青岛版九年级下册数学第一章图形的相似1.4.图形的位似(同步练习)
位似(5个考点)(题型专练+易错精练)(教师版) 2024-2025学年九年级数学下册(人教版)
专题27.3 位似（5个考点）【考点1 位似图形的识别】【考点2 位似图形性质】【考点3 位似图形的点坐标】【考点4 判定位似中心】【考点5 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】【考点1 位似图形的识别】1．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．【详解】解：A、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；B、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；C、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；D、△ABC与△A′B′C′对应边BC和B′C′不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；故选：D．2．如图，在正方形网格中，△ABC的位似图形可以是（）A．△BDE B．△FDE C．△DGF D．△BGF3．如图，线段AB∥CD∥EF,AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，则图中与△AOB位似的三角形是（）．A．△AOB B．△COD C．△EOF D．△EOF与△COD【答案】D【分析】本题考查位似图形．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，（对应边互相平行(或共线)），那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义，判定即可．【详解】解：∵AB∥CD∴△AOB∽△DOC，∵AB∥EF∴△AOB∽△FOE，∵AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，∴与△AOB位似的三角形有△DOC和△FOE．故选：D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN，则下列叙述不正确的是（）A．△AMO与△ABC位似B．△AMN与△BCO位似C．△ABO与△CDO位似D．△AMN与△ABD位似【答案】B【分析】本题主要考查了位似三角形，菱形的性质，三角形中位线定理根据位似三角形的概念：如果两个相似三角形的每组对应点所在的直线相交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，结合菱形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是线段AC、BD的中点，AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△ABO与△CDO位似，故C不符合题意；∵M是边AB的中点，∴OM是△ABC的中位线，∴OM∥BC，同理可得MN∥BD，ON∥AB，∴△AMO∽△ABC，△AMN∽△ABD，∴△AMO与△ABC位似，△AMN与△ABD位似，故A、D不符合题意；∵△AMN与△BCO每组对应点所在的直线没有相交于一点，∴△AMN与△BCO不位似，故B符合题意．故选B．5．下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF，这两个三角形不是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据位似图形的概念和性质，对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案．【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故选：B．【点睛】本题主要考查了位似变换，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．6．如图是与△ABC位似的三角形的几种画法，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据位似图形的性质判断即可．【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形都是△ABC的位似图形．故选：D．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．7．下列语句中，不正确的是（）A．位似的图形都是相似的图形B．相似的图形都是位似的图形C．位似图形的位似比等于相似比D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部【答案】B【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可．【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．8．下列每组的两个图形，是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.据此可得A. B.C. 三个图形中的两个图形都不是位似图形；而D.的对应顶点的连线能相交于一点，故是位似图形故选D.【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键.【考点2 位似图形性质】9．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1:2B．1:4C．4:1D．2：1【答案】B【分析】根据位似图形的概念求出△ABC 与△DEF 的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形，OA:OD =1:2，∴△ABC 与△DEF 的位似比是1:2．∴△ABC 与△DEF 的相似比为1:2，∴△ABC 与△DEF 的面积比为1:4，故选：B ．10．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O ，OE EA =32，则S 四边形EFGH S 四边形ABCD 等于（ ）A ．94B ．925C ．32D ．3511．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4:9，则OA:OD 为（）A．4:9B．2:3C．2:1D．3:112．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OD:OA=2:3，则△DEF与△ABC的周长之比为（）．A．2:3B．4:9C．9:4D．3:2【答案】A【分析】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关13．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若O B′:B′B=3:2，则△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比为（ ）A．3:5B．4:9C．4:25D．9:2514．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是A．1:1B．1:2C．1:4D．1:915．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA:A A′=1:2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．1：2B．1：4C．1：9D．4：9【答案】C【分析】本题考查了位似的性质和相似三角形的性质，得到△ABC和△A′B′C′的相似比是解题的关键．根据位似的性质得到△ABC∽△A′B′C′，相似比为OA:O A′=1:3,再根据相似三角形的性质得△ABC和△A′B′C′的面积之比即为相似比的平方．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，OA:A A′=1:2，∴OA:O A′=1:3，∴S△ABC :S△A′B′C′=12:32=1:9，故选：C．16．如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA,OB,OC,OD，若OA′OA =OB′OB=OC′OC=OD′OD=14，则四边形A′B′C′D′的面积与四边形ABCD的面积比为（）A．1:2B．1:4C．1:8D．1:1617．如图，△ABC和△DEF是位似图形，位似中心是O，若OA:OD=1:2，S△ABC =3，那么S△DEF=（）A．6B．9C．12D．18【答案】C18．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，AC:DF=2:3，若OC=8，则CF的长为（）A．12B．8C．6D．419．如图，点O是两个位似图形的位似中心，若O A′=A′A，则△ABC与△A′B′C′的周长之比等于．20．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA:AD=3:2，则△ABC与△DEF的面积比为．【答案】9:25【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可．【详解】解：∵OA:AD=3:2，∴OA:OD=3:5，∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC与△DEF的位似比为3:5，∴△ABC与△DEF的相似比为3:5，∴△ABC与△DEF的面积比为9:25，故答案为：9:25．【考点3 位似图形的点坐标】21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,1)，C(3,3)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2:1的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．(2,4)B．(6,8)C．(4,2)D．(6,6)【答案】D【分析】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC的位似比为2:1的位似图形是△A′B′C′，且C(3,3)，∴C′(2×3,2×3)，即C′(6,6)，故选：D．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A′上，A A′=2OA．若点B的坐标为(2,1)，则点B′的坐标为（）A．(4,2)B．(6,3)C．(8,4)D．(1,0.5)【答案】B【分析】本题考查的是位似变换．根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:3，再根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以原点为位似中心的位似图形，A A′=2OA，∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:3，∵点B的坐标为(2,1)，∴点B′的横坐标为2×3=6，点B′的纵坐标为1×3=3，∴点B′的坐标为(6,3)，故选：B．23．如图，△AOB与△A1O B1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为12，若点B的坐标为(−1，3)，则点B1的坐标为（ ）A．(2，−6)B．(1，−6)C．(−1，6)D．(−6，2)24．如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1:2，若点B坐标为(1,1)，则点D的坐标是（）A．(3,3)B．(4,4)C．(5,5)D．(6,6)25．如图，在直角坐标系中，先以原点为位似中心，将△ABC在第一象限内放大2倍得到△AB1C1，再将1△AB1C1绕着原点逆时针旋转90°，得到的△A2B2C2，若点C、C1、C2是对应点，则C2的坐标是（）1A ．(−5,2)B ．(−6,3)C ．(6,−4)D ．(−6,4)【答案】D 【分析】本题考查位似，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．根据位似，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；【详解】解：如图，△A 2B 2C 2即为所求．观察图象可知：C 2(−6,4)故选D ．26．已知关于原点位似的两个图形中，一组对应点的坐标为(2,4)和(−1,x )，则x 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．12D ．−12【答案】A【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．27．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O(0,0)，A(3,0)，B(6,2).以点O为位似中心，在第三象限内作位似图形△OCD，与△OAB的位似比为1:3，则点D的坐标为（）A．(−1,−2)B．−2,−2C．(−2,−1)D．−2,−328．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(−3,−1)，(−1,−2)．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段A′B′，点A的对应点A′的坐标是(6,2)，则点B′的坐标是．【答案】(2,4)【分析】本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为−2，根据位似图形的性质即29．如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图像扩大为原的2倍，则点A的坐标为．【答案】(−2,2)或(2,−2)/(2,−2)或(−2,2)【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：由题意得：A的坐标为(−1×2,1×2)或(−1×(−2),1×(−2))，∴A的坐标为(−2,2)或(2,−2)，故答案为：(−2,2)或(2,−2)．30．如图，△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A′的坐标为(5,−2)，则点A的坐标为．【答案】(−10,4)【分析】本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可．【详解】解：由题意得：△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，又∵A′(5,−2)，且原图形与位似图形是异侧，∴点A的坐标是(5×(−2),−2×(−2))，即点A的坐标是(−10,4)．故答案为：(−10,4)．31．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为．【答案】(2，1)【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即可．【详解】解：如图，点P为位似中心，P(2，1)．故答案为：(2，1)．【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．【考点4 判定位似中心】32．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形OEFG和矩形ABCD是位似图形，对应点C和F的坐标分别为(−4,4)，(2,1)，则位似中心的坐标是（）A．(0,2)B．(0,2.5)C．(0,3)D．(0,4)∵∴GF//CD，CD=4，GF=∴∠PCD=∠PFG，∠DPC=∴△PFG∽△PCD，∴CD=PD，33．把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（）A．D点B．E点C．F点D．G点【答案】C【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可．【详解】解：如图，连接A A′、BB′、CC′，交于点F，由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点F，故选：C34．如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′是位似关系图，则位似中心是（）A．点O B．点P C．点Q D．点R【答案】A【分析】连接A A′,C C′交于点O，即可．【详解】解：如图，连接A A′,C C′交于点O，∴位似中心是点O．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．35．已知△ABC与△DEF是一对位似三角形，则位似中心最有可能的是（）A．O1B．O2C．O3D．O4【答案】A【分析】根据位似中心的定义判断即可．【详解】∵△ABC与△DEF是一对位似三角形，∴对应顶点的连线相交于一点，如图，位似中心是O1．故选：A．【点睛】本题考查位似图形的概念，掌握位似中心是对应点连线的交点是解题关键．36．下列图形中位似中心在图形上的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．【详解】A、，位似中点在图形内部，不合题意；B、，位似中点在图形上，符合题意；C、，位似中点在图形外部，不合题意；D、，位似中点在图形外部，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．37．如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段A′C′的端点都在小正方形的顶点上，且△A′B′C′与△ABC是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点A′，C′．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．(1)请在方格图中画出位似中心O；(2)请在方格图中将△A′B′C′补画完整．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心．（1）连接对应点并延长，交点即为位似中心；（2）由（1）可知，OC:O C′=1:2，则连接OB并延长，使O B′=2OB，再连接A B′、B′C即可．【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心；（2）解：补全△A′B′C′如图所示：38．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O．(1)请在图中画出点O的位置；(2)若AB=2DE=36，BC=20，求EF的长．【答案】(1)作图见解析(2)10【分析】本题主要考查位似变换，熟知位似图形性质是解题的关键．（1）根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置；（2）根据位似性质即可求得答案．【详解】（1）解：根据点O的位置如图所示．经过位似变换得到的，【考点6 画已知图形放大或缩小n 倍后的位似图形】39．如图，△ABC 在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为A (−1,2)，B (−3,3)，C (−3,1)．(1)画出△ABC 绕O 点逆时针旋转90°的△A 1B 1C 1；(2)以A 为位似中心，在网格中画出△ADE ，使△ADE 与△ABC 位似且面积比为4:1．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点．（1）根据旋转的性质作出点A 、B 、C 的对称点A 1、B 1、C 1，然后顺次连接即可；（2）以A 为位似中心，作出点A 、B 、C 的位似点，然后顺次连接即可．【详解】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求作的三角形．；（2）解：如图，△A DE1与△A D2E2即为所求作的三角形．140．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3．(2)证明△A′B′C′和△ABC相似．【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．（1）根据△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3作出图形即可；（2）利用相似三角形的判定定理证明即可．【详解】（1）解：如图所示：△A′B′C′即为所求，；41．如图，△ABC 在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为A (−1,2)，B (−3,3)，C (−3,1)．(1)以点B 为位似中心，在点B 的下方画出△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 位似且相似比为3:1；(2)点A 1的坐标为______，点C 1的坐标为______．【答案】(1)见解析(2)(3,0)，(−3,−3)【分析】本题考查了位似作图，图形与坐标，掌握位似的性质是解题的关键．（1）在网格中作出A 1、C 1，连接A 1C 1、BC 1、BA 1即可得到△A 1B 1C 1；（2）根据点的位置写出A 1、A 1、C 1的坐标即可．【详解】（1）△A 1B 1C 1即为所作；（2）点A 1的坐标为(3,0)，点C 1的坐标为(−3,−3)，故答案为：(3,0)，(−3,−3)．42．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)．(1)请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据位似的性质作图即可．【详解】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求．B2C2即为所求．2【点睛】本题考查作图−平移变换、位似变换，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键．。
初中数学青岛版九年级上册第1章 图形的相似1.4 图形的位似-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形（）A. 左上B. 左下C. 右下D. 以上选项都正确【答案】B【分析】本题考查了位似变换的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换，故最上面较大的“E”与左下的“E“是位似图形．【解答】根据位似变换的特点可知：最上面较大的“E”与左下的“E“是位似图形．选B．2.【答题】如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了位似变换的性质，根据已知得出FO＝a，CF＝a+1，CE＝（a+1），是解决问题的关键．根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO＝a，CF＝a+1，CE＝（a+1），进而得出点B的横坐标．【解答】∵点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，点B的对应点B′的横坐标是a，∴FO＝a，CF＝a+1，∴CE＝（a+1），∴点B的横坐标是（a+1）﹣1＝（a+3）．选D．3.【答题】在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为______．【答案】【分析】本题考查了位似变换以及待定系数法求反比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．直接利用位似图形的性质得出A′坐标，进而求出函数解析式．【解答】∵点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′，∴A′坐标为（﹣4，2）或（4，﹣2），∵A'恰在某一反比例函数图象上，∴该反比例函数解析式为．故答案为．4.【答题】如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝______．【答案】【分析】本题考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．【解答】∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，∴．故答案为．5.【答题】如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝______．【答案】【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．【解答】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，∴，则．故答案为．6.【答题】如图，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为______．【答案】（﹣9，﹣2）或（3，2）【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，位似图形的性质的运用，掌握位似的概念是解决问题的关键．首先根据直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，解得点A和点B的坐标，再利用位似图形的性质可得点B′的坐标．【解答】∵y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝﹣3，∴点A和点B的坐标分别为（﹣3，0）；（0，1），∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，∴，∴O′B′＝2，AO′＝6，∴当点B'在第一象限时，B′的坐标为（3，2）；当点B'在第三象限时，B′的坐标为（﹣9，﹣2）．∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）．故答案为（﹣9，﹣2）或（3，2）．7.【答题】如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，，则＝______．【答案】【分析】本题考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．直接利用位似图形的性质得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，进而得出答案．【解答】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴，∴．故答案为．8.【答题】如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF 面积的，则AB：DE＝______．【答案】2：3【分析】本题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面积：△DEF面积＝，得到AB：DE=2：3．【解答】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF面积＝，∴AB：DE＝2：3，故答案为2：3．9.【答题】如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是______．【答案】12【分析】本题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．由△ABC与△A1B1C1为位似图形，位似比是1：2，即可得△ABC与△A1B1C1为相似三角形，且相似比为1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1，∵位似比是1：2，∴相似比是1：2，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：4，∵△ABC的面积为3，∴△A1B1C1的面积是3×4＝12．故答案为12．10.【答题】如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是______．【答案】（2，0）或【分析】本题考查了位似图形的性质，难度一般，注意掌握每对位似对应点与位似中心共线，另外解答本题注意分情况讨论，避免漏解．两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可．【解答】①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点，设直线CF解析式为y＝kx+b，将C（﹣4，2），F（﹣1，1）代入，得解得，即y＝，令y＝0得x＝2，∴O′坐标是（2，0）；②当位似中心O′在两个正方形之间时，可求直线OC解析式为y＝，直线DE解析式为y＝x+1，联立解得即．故答案为（2，0）或．11.【题文】如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．（1）求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若∠APC＝2∠ABC．求证：PD∥AB．【答案】见解答.【分析】本题考查了作图﹣相似变换，等腰三角形的性质，平行线的判定等，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．（1）尺规作图作出∠APD＝∠ABP，即可得到∠DPC＝∠PAB，从而得到△PCD∽△ABP；（2）根据题意得到∠DPC＝∠ABC，根据平行线的的判定即可证得结论．【解答】（1）如图：作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP；（2）证明：如图，∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，∴∠DPC＝∠ABC，∴PD∥AB．12.【题文】如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．【答案】见解答.【分析】本题考查了位似图形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O为旋转中心的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用位似的性质，找出点A2、B2、C2的位置，然后画出图形即可．【解答】（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．13.【答题】如图，（）图形是将已知图形按2：1放大后得到的图形．A. AB. BC. CD. D【答案】D【分析】本题考查位似图形.【解答】原图占2×3格，则放大2倍后图形应该占4×6格，选D.14.【答题】如图，△ABO与△CDO是以点O为位似中心的位似图形，若AB＝4，AO＝8，CO＝2，则线段CD的长度为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【分析】本题考查位似图形.【解答】∵△ABO与△CDO是以点O为位似中心的位似图形，∴△ABO∽△CDO，∴，即，解得CD＝1．选B．15.【答题】下列图形中不是位似图形的为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查位似图形.【解答】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．选B．16.【答题】如图所示的是两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】D【分析】本题考查位似图形.【解答】如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点D．选D．17.【答题】视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（）A. ①和④B. ②和③C. ①和②D. ②和④【答案】B【分析】本题考查位似图形.【解答】①和④、①和②、②和④，两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，都是位似图形；②和③，对应边不平行，不是位似图形，选B．18.【答题】如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且BC：EF＝3：2，则S△ABC：S△DEF＝______．【答案】9：4【分析】本题考查位似图形.【解答】∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，∵BC：EF＝3：2，∴，故答案为9：4．19.【答题】如图，根据所给信息，可知的值为______．【答案】【分析】本题考查位似图形.【解答】由题意可得，两三角形位似比为2，故的值为．故答案为．20.【答题】如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，点B在OD上，AE、CB分别是△OAB、△OCD的中线，则AE：CB的值为______.【答案】1：2【分析】本题考查位似图形.【解答】∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，又∵AE、CB分别是△OAB、△OCD的中线，∴AE：CB.。
九年级数学上册 图形的相似1.4图形的位似同步练习(答案不全)青岛版
图形的位似一、填空题1．如图1，点O 是四边形ABCD 与A B C D ''''的位似中心，则AB AB ''=________＝________＝________；ABC ∠= ________，O CB '∠= ________．2．如图2，2DC AB OA OC =∥，，则OCD △与OAB △的位似比是________．3．把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为________．4．两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线________，那么这样的两个图形叫做位似图形．5．位似图形的相似比也叫做________．6．位似图形上任意一对对应点到________的距离之比等于位似比．二、解答题7．画出下列图形的位似中心．8．将四边形ABCD 放大2倍．要求：（1）对称中心在两个图形的中间，但不在图形的内部．（2）对称中心在两个图形的同侧．（3）对称中心在两个图形的内部．9．如图3，四边形ABCD 和四边形A B C D ''''′位似，位似比12k =，四边形A B C D ''''和四边形A B C D ''''''''位似，位似比21k =．四边形A B C D ''''''''和四边形ABCD 是位似图形吗？位似比是多少？10．请把如图4所示的图形放大2倍．11．请把如图5所示的图形缩小2倍．参考答案1．B CBC''，C DCD''，D ADA''；A B C'''∠，OCB∠2．1 23．2 54．相交于一点5．位似比6．位似中心7．略．8．略．9．是位似图形，1 210．略．11．略．。
九年级数学上册第1章图形的相似1.4图形的位似学案(无答案)(新版)青岛版
图形的位似学习目标1.通过实验、操作、思考活动认识位似形.2.会利用位似形原理将一个图形放大或缩小.3.经历“探索—发现—猜想”，通过实际问题的研究，提高分析问题、解决问题的能力；4.懂得数学在现实生活中的作用，增强学好数学的信心.学习重点：理解位似是由位似中心和相似比决定的.学习难点：作位似图形以及求位似图形的相似比.学习过程：一、创设情景，感悟新知1.怎样作一个三角形的内接正方形呢？二、探索规律，揭示新知两个图形相似且对应点的连线相交于一点，像这样的相似形叫做位似形.三、尝试反馈，领悟新知1.如图，已知四边形ABCD，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1∶2.2.如图，已知O是坐标原点，B.C两点的坐标分别为（3，－1）、（2，1）.（1）以O为位似中心在y轴的将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；（2）分别写出B.C两点的对应点B‘、C‘的坐标；（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M’的坐标.3.如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心.利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大.（1）如图（1），点O是等边△PQR的中心，P‘、Q’、R‘分别是OP、OQ、OR的中点，则△P’Q‘R’与△PQR是位似三角形，△P’Q‘R’与△PQR的位似比，位似中心分别为（）A.2、点PB.、点PC.2、点OD.、点O（2）如图（2），用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形.阅读后证明相应问题.画法：①在△AOB画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连结OE并延长，交AB于点E‘，过E’作E‘C’∥EC，交OA于点C‘，作E’D‘∥ED，交OB于点D’；③连结C‘D’.则△C‘D’E‘是△AOB的内接三角形.求证：△C‘D’E‘是等边三角形.四、课堂练习，巩固新知1.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（）修正栏：A.原图形的外部B.原图形的内部C.原图形的边上D.任意位置2.两个图形是位似图形，则它们一定相似，反过来，两个图形相似，则它们（）A.一定位似B. 一定不位似C.不一定位似D.对应点的连线交于一点3.如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（6，4），C（0，4），画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA’B‘C’，使它的面积等于矩形OABC面积的，并分别写出A’、B‘、C’三点的坐标.4.印刷一张矩形的广告牌，如图，它的印刷面积是32dm2，上下空白各1dm，两边空白各0.5dm，设印刷部分从上到下的长为xdm。
九年级数学上册 第1章 图形的相似 1.4 图形的位似同步练习(新版)青岛版
第一章1.4一、选择题1.以下说法错误的选项是()A. 如果把一个三角形的各边扩大为原来的5倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍B. 相似三角形对应高的比等于对应中线的比C. 如果把一个多边形的面积扩大为原来的5倍，那么它的各边也扩大为原来的5倍D. 相似多边形的面积比等于周长比的平方2.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积与△DEF面积之比为9：4，那么AO：DO的值为()A. 3：2B. 3：5C. 9：4D. 9：53.以下说法正确的选项是()A. 四条边相等的平行四边形是正方形B. 一条线段有且仅有一个黄金分割点C. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形D. 位似图形一定是相似图形4.在平面直角坐标系中，A(1,2)，B(4,6)，假设把线段AB扩大2倍得线段A′B′，假设A′(2,4)，那么B′的坐标可以是()A. (2,3)B. (3,2)C. (8,12)D. (12,8)5.以下说法中，正确的个数是()①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形假设全等，那么位似中心在两个图形之间；④假设五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，那么其中△ABC与△A′B′C′也是位似的，且位似比相等．A. 1B. 2C. 3D. 4欢迎下载6.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在()A. 原图形的外部B. 原图形的内部C. 原图形的边上D. 任意位置7.△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1:2，△ABC的面积是2，那么△DEF的面积是()A. 2B. 4C. 6D. 88.如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=5，那么ABCD的值为()A. 27B. 57C. 25D. 359.如图，△OCD和△OAB是位似三角形，那么位似中心是()A. 点AB. 点CC. 点OD. 点B10.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0)，以原点为位似中心，将线段放大得到线段AB.假设点B的坐标为(6,0)，那么点A的坐标为()A. (3,6)B. (2,6)C. (3,5)D. (2.5,5)二、填空题11.如图，△ABO顶点A(−2,4)，以原点O为位似中心，把△ABO，那么与点A对应的点A′的坐标是______．缩小到原来的1212.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3,1)，B′(6,2)假设△ABC的面积为m，那么△A′B′C′的面积=______．13.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(−4,4)、(0,4)，点C、D的坐标分别为(0,1)、(2,1).假设线段AB和CD是位似图形，且位似中心在y轴上，那么位似中心的坐标为______．14.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且BC：EF=3：2，那么S△ABC：S△DEF=______．三、解答题15.如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC(顶点均在正方形网格的格点上)，点A的坐标为(−4,3)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．(2)以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，欢迎下载且点A2的坐标为(8,−6)．(3)△ABC与△A2B2C2的位似比是______．16.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(1,1)．(1)将△ABC向左平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；(2)在第三象限内，以O为位似中心，将△ABC放大到原大的2倍，画出放大后对应的△A2B2C2；(3)写出A2的坐标______，C2的坐标______．17.如下图的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−3,2)，B(−1,3)，C(−1,1)，请按如下要求画图：(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1．欢迎下载。
初中数学青岛版九年级上册第1章 图形的相似1.4 图形的位似-章节测试习题(4)
章节测试题1.【答题】如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），以原点O为位似中心，将线段AB放大后得到线段CD. 若CD=2，则端点C的坐标为（）A. （2，2）B. （2，4）C. （3，2）D. （4，2）【答案】A【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】∵线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），∴AB＝1．∵以原点O 为位似中心，将线段AB放大后得到线段CD，CD＝2，∴两图形的位似比为1︰2，∴端点C的坐标为（2，2）．选A．2.【答题】已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出（）A. 1个B. 2个C. 4个D. 无数个【答案】B【分析】本题考查了对位似图形的认识．根据题意作图，注意有两种作法，在位似中心的两侧或同侧．【解答】如图，∴这样的图形可以作出2个．选B.3.【答题】下列说法中：①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似，则在五边形中连线组成的△ABC与△A'B'C'也是位似的．正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】利用位似的定义可知，位似图形一定是相似图形；但是相似图形不一定是位似图形，∵它是一种特殊的相似，∴①正确②错误，两个位似图形若全等，根据对应点一定相交于一点，可得到位似中心在两个图形之间，③正确；④若五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′'位似，则在五边形中连线组成的△ABC与△A′B′C′，画出图形，可得它也是位似．④正确．∴①③④正确．选C．4.【答题】如图所示，正方形EFGH是由正方形ABCD经过位似变换得到，点O是位似中心，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是（）A. 1：6B. 1：5C. 1：4D. 1：2【答案】C【分析】本题考查位似变换，解题关键在于利用相似的性质进行解答．由正方形EFGH是由正方形ABCD经过位似变换得到的，点O是位似中心，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，易求得位似比等于EH：AD=1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得正方形EFGH与正方形ABCD的面积比．【解答】∵正方形EFGH是由正方形ABCD经过位似变换得到的，点O是位似中心，∴正方形EFGH∽正方形ABCD，∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，∴EH=AD，即位似比为EH：AD=1：2，∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是1：4．选C．5.【答题】如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若表示△ADE的面积，表示四边形DBCE的面积，则=（）A. 1︰2B. 1︰3C. 1︰4D. 2︰3【答案】B【分析】本题考查了位似变换和相似三角形的性质，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，根据面积比等于相似比的平方可知S1：S2=1：4．【解答】∵以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，∴△ABC∽△ADE，∴它们的面积比是1：4，∴，选B.6.【答题】下列说法正确的是（）A. 两个位似图形对应点连线有可能无交点B. 两个位似图形对应点连线交点个数为或C. 两个位似图形对应点连线只有一个交点D. 两个位似图形对应点连线交点个数不少于个【答案】C【分析】本题考查位似图形的定义，多边形不仅相似，而且对应点连线交于一点，对应边互相平行的两个图形叫做位似图形，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，逐一进行判断即可．【解答】两个位似图形对应点连线必有交点，故A选项错误，两个位似图形对应点连线只有1个交点，故B选项错误，两个位似图形对应点连线只有一个交点正确，故C选项正确，两个位似图形对应点连线的交点只有1个，故D选项错误．选C．7.【答题】用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（）A. 原图形的外部B. 原图形的内部C. 原图形的边上D. 任意位置【答案】D【分析】本题考查图形的位似，解题的关键是掌握位似图形的性质和画法．画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．【解答】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的．选D．8.【答题】如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF=2：3，则下列结论不正确的是（）A. 四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B. AD与AE的比是2：3C. 四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D. 四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9【答案】B【分析】本题考查位似图形的性质.【解答】∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；A.四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；B.AD与AG是对应边，故AD：AE=2：3；故错误；C.四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；D.则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．选B．9.【答题】把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为______. 【答案】2:5【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．根据相似形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，即可解决．【解答】∵一个正多边形放大到原来的2.5倍，设原边长为1，则放大后为2.5，原图与新图的相似比为，即2：510.【答题】如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为______cm．【答案】50【分析】本题考查了位似变换．【解答】两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，则相似比是3：5，而周长的比等于相似比，较小图形周长为30cm，则较大图形周长为50cm．11.【答题】△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则与△ADF位似的三角形是______．【答案】△ABC【分析】本题考查位似变换，三角形中位线定理，解题关键在于掌握其性质定义．利用三角形中位线定理以及位似变换的定义得出即可．【解答】∵点D.E.F分别是AB、BC、AC的中点，∴DF∥BC，ED∥AC，EF∥AB，∴△ADF∽△ABC，则△ADF与△ABC是位似图形．故答案为△ABC．12.【答题】雨后操场，小明从他前面2米远的一小块积水中看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水的距离为20米，小明眼睛离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．【答案】15【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用相似三角形对应线段成比例解题，∵人和旗杆均垂直于地面，∴平行，构成两个相似三角形．【解答】假设旗杆高x米，则，∴x=15．13.【题文】如图，已知△ABC中，AB=12，BC=8，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，且相似比为．（1）根据题意确定D、E的位置，画出简图；（2）求AD、AE和DE的长．【答案】（1）两种情况，图见解答；（2）第一种情况：AD=4，AE=2，DE=；第二种情况：AD=2，AE=4，DE=.【分析】本题考查了的是相似三角形的性质．（1）根据题意直接画出图形；（2）利用相似三角形的对应边成比例解答．【解答】（1）如图．（2）当DE∥BC时，如图1，根据相似三角形的相似比可得，△ADE∽△ABC，∴，即，解得AD=4，AE=2，DE=．当△ADE∽△ACB，即，如图2，，解得AD=2，AE=4，DE=．14.【题文】如图，方格中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间的连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（-1，-1）．（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得△A2B2C2，画出△A2B2C2的图形并写出B2的坐标；（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1∶2，画出△AB3C3的图形．【答案】（1）作图见解答，（-9，-1）；（2）作图见解答，（5，5）；（3）作图见解答．【分析】本题的难点是第三问，即把△ABC以点A为位似中心放大，就是在AB、AC的延长线上取点B3、C3，使B3C3=2BC，也就是说，BC是△AB3C3的中位线．（1）△ABC各点向左平移8格后得到新点，顺次连接得△A1B1C1；（2）△ABC的另两点绕点C按顺时针方向旋转90°后得到新的两点，顺次连接得△A2B2C；（3）利用位似放大的性质作图．【解答】（1）画出的△A1B1C1如图所示，点B1的坐标为（-9，-1）；（2）画出的△A2B2C的图形如图所示，点B2的坐标为（5，5）；（3）画出的△AB3C3的图形如图所示．15.【题文】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A （3，0），B（4，4），C（-2，3），将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以-2．（1）画出以变化后的四个点为顶点的四边形；（2）由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比．【答案】（1）答案见解答；（2）位似，O（0，0），2.【分析】本题考查作图-位似变换，解题关键在于掌握作图法则．（1）将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以-2得O（0，0），A′（-6，0），B′（-8，-8），C′（4，-6），顺次连接各点即可；（2）根据位似图形的定义可知得到的四边形与四边形OABC位似，根据图形可得出位似中心及位似比．【解答】（1）如图所示，四边形OA′B′C′即为所求四边形；（2）∵将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以-2可得出四边形OA′B′C′，∴各对应边的比为2，对应点的连线都过原点，∴得到的四边形与四边形OABC位似，位似中心是O（0，0），与原图形的相似比为2.16.【答题】将反比例函数的图象以原点为位似中心，按相似比放大得到的函数的图象，则的值为______．【答案】4【分析】本题考查位似图形的性质，根据题意找到对应点是解题关键．先在反比例函数y=找出一点（1，1），根据位似图形性质找到对应点（2，2）即可求出k的值．【解答】由题意可得（1，1）在y=反比例函数的图象上，∵将反比例函数y=的图象以原点为位似中心，按相似比2：1放大得到的函数y=的图象，∴对应点为：（2，2），∴k=4．故答案为4.17.【答题】三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是______．【答案】1:3【分析】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．由△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），根据位似图形的性质，即可求得△A′B′C′与△ABC的位似比．【解答】∵△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），∴△A′B′C′与△ABC的位似比是1：3．故答案为1：3．18.【答题】下列说法：①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③位似图形对应顶点的连线相交于一点；④位似图形的对应边互相平行．其中正确的有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【分析】本题考查了位似变换的性质，熟练掌握相似图形的性质是解题关键．如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，再利用相似图形的性质得出对应边和对应顶点之间的关系．【解答】①位似图形一定是相似图形，此选项正确；②相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，此选项错误；③位似图形对应顶点的连线相交于一点，根据位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，此选项正确；④位似图形的对应边互相平行（或共线），此选项错误．故正确的有2个，选B．19.【答题】下列说法正确的是（）A. 相似两个五边形一定是位似图形B. 两个大小不同的正三角形一定是位似图形C. 两个位似图形一定是相似图形D. 所有的正方形都是位似图形【答案】C【分析】本题考查了相似图形与位似图形的联系与区别，属于简单题，熟悉位似图形的概念是解题关键．根据相似图形与位似图形的概念进行解题．【解答】A.相似两个五边形不一定是位似图形，位似图形一定相似，但相似图形不一定位似，故错误，B.两个大小不同的正三角形不一定是位似图形，要看是否能找到位似中心，故错误，C.两个位似图形一定相似图形，正确，D.所有的正方形都是位似图形，错误，∵不一定找到位似中心，选C．20.【题文】如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．画出位似中心点O，并直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比．【答案】图见解答；点O即为位似中心，△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1．【分析】本题考查了位似图形的性质，找到位似中心，根据网格结构求出对应边长是解题关键．连接对应点并延长，交点即为位似中心，对应边的比即为相似比．【解答】如图所示，点O即为位似中心，△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1．。
青岛版2020九年级数学1.4图形的位似自主学习基础过关练习题2(附答案详解)
青岛版2020九年级数学1.4图形的位似自主学习基础过关练习题2（附答案详解） 1．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2)-，AB x ⊥轴于点B ，以原点O 为位似中心，将OAB 放大为原来的2倍，得到11△OA B ，且点1A 在第二象限，则点1A 的坐标为（ ）．A ．(2,4)-B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(2,4)-D ．(2,4) 2．如图，将△ABC 的三边缩小为原来的12，下列说法：①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长之比为2∶1；④△ABC 与△DEF 的面积之比为4∶1.其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE =1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是（ ）A ．3B ．5C ．4D ．14．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，点D 是线段AB 上的一点，连接CD ．过点B 作BG⊥CD，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ，给出以下三个结论：①AG AF AB FC =；②若点D 是AB 的中点，则AF=23AB ；③若12BD AD =，则S △ABC =6S △BDF ；其中正确的结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③ 5．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为()1,2C ，()2,0D ，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 的坐标为()6,0，则点A 的坐标为( )A ．()2,5B ．()2.5,5C ．()3,5D ．()3,6 6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1是以点P 为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点P 的坐标为（ ）A ．（﹣4，﹣3）B ．（﹣3，﹣4）C ．（﹣3，﹣3）D ．（﹣4，﹣4） 7．观察右图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（ ）A ．平移B ．轴对称C ．旋转D ．位似 8．如图，点G 是△ABC 的重心，则△GEC 与△BGC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．2∶1D ．3∶19．如图，以点O 为位似中心，将ABC 放大得到DEF ，若AD OA ABC =，的面积为4，则DEF 的面积为（ ）A ．2B ．8C ．16D ．2410．已知()1,2A ，()3,0B ，将AOB 以坐标原点O 为位似中心扩大到OCD （如图），()4,0D ，则点C 的坐标为________．11．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶3，点E 的坐标为(3，3)，则点A 的坐标是________．12．如图，平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，已知△DEF 的面积为1，则四边形ABFE 的面积为_____．13．如图，E 、P 、F 分别是AB 、AC 、AD 的中点，则四边形AEPF 与四边形ABCD________ （填“是”或“不是”）位似图形．14．如图，已知矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，P 是位似中心，若点B 的坐标为()2,4，点E 的坐标为()1,2-，则点P 的坐标为______．15．如图，将边长为4的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是______．16．ABC 与111A B C 是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4:9，已知位似中心O 与A 的距离为2，则A 到1A 的距离为________．17．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，且5BC =，3AD =，矩形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，如果设边EF 的长为(03)x x <<，矩形EFGH 的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是________．18．如图，以O 为位似中心将四边形ABCD 放大后得到四边形''''A B C D ，若4OA =，'8OA =，则四边形ABCD 和四边形''''A B C D 的周长的比为________．19．已知：如图，ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为()0,3A 、()3,4B 、()2,2C （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．()1以点B为位似中心，在网格内画出111A B C与ABC位似，且位似比A B C，使111为2:1，点1C的坐标是________；()2A BC的面积是________平方单位．111A B C是位似图形，且顶点都在格点上，每个小正方形的边长20．如图，ABC与'''都为1．(1)在图上标出位似中心D的位置，并写出该位似中心D的坐标是________；A B C的面积比．(2)求ABC与'''21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点都在格点上，且坐标分别为A（-2,4），B（-2,1），C（-5,2）.（1）在坐标系中，标出三个顶点坐标，并画出△ABC；（2）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（3）将的三个顶点的横坐标和纵坐标同时乘以，得到对应的点、、，画出22．已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ； （2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1；（3）四边形AA 2C 2C 的面积是 平方单位．23．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，ABC 与 A B C '''∆是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．()1画出位似中心点O ；()2直接写出ABC 与'''A B C 的位似比；()3以位似中心O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出'''A B C 各顶点的坐标．24．如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，()1,1B --，() 1把ABC 绕点C 按顺时针旋转90后得到111A B C ，请画出这个三角形并写出点1B 的坐标；() 2以点A 为位似中心放大ABC ，得到222A B C ，使放大前后的面积之比为1:4，请在下面网格内出222A B C ．25．数学活动课上，励志学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD （∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB ，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB ，过点C 作CH⊥AD 于点H ，求证：AE=2FH ；在证明这道题时，励志学习小组成员小颖同学进行如下书写，请你将此证明过程补充完整证明:设DH=x ，由由题意，CD=2x ，3，∴AD=2AB=4x ，∴AH=AD ﹣DH=3x ，∵CH ⊥AD ，∴22AH CH +3，（3）深入探究在（2）的条件下，励志学习小组成员小漫同学探究发现23AE AF AC +=，试判断小漫同学的结论是否正确，并说明理由26．类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.（1）尝试探究如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC边上一点，AE与BD交于点G，过点E作EF⊥AE交AC于点F，若BECE=2，则EFEG的值是；（2）拓展迁移如图（2），在矩形ABCD中，过点B作BH⊥AC于点O，交AD相于点H，点E是BC 边上一点，AE与BH相交于点G，过点E作EF⊥AE交AC于点F.①若∠BAE=∠ACB，sin∠EAF=23，求tan∠ACB；②若BEaCE，BCAB=b（a＞0，b＞0），求EFEG的值（用含a，b的代数式表示）．图（1）图（2）27．已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点.（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；（3）若AC5BF=1，连接CF，则CF的长度为 .参考答案1．A【解析】∵点A 的坐标为(1,2)-，以原点O 为位似中心，将OAB 放大为原来的2倍，得11△OA B ，且点1A 在第二象限，∴点1A 的坐标为(2,4)-，故答案为：A ．2．D【解析】【分析】由题意可知△ABC 与△DEF 是位似图形，△ABC ∽△DEF ，相似比为：2：1，面积比为：4：1，据此即可得答案.【详解】由题意可知将△ABC 的三边缩小为原来的12得△DEF ， ∴△ABC ∽△DEF ，相似比为：2：1，∴面积比为：4：1，∴①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长之比为2：1；④△ABC 与△DEF 的面积比为4：1，∴其中正确的有：①②③④共4个，故选D.【点睛】本题考查了位似图形的定义与性质．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．注意位似图形是特殊的相似图形． 3．A【解析】试题解析：如图所示：，作E 关于BC 的对称点E ′,点A 关于DC 的对称点A ′,连接A ′E ′，四边形AEPQ 的周长最小， ∵AD =A ′D =3,BE =BE ′=1，∴AA ′=6,AE ′=4.∵DQ ∥AE ′,D 是AA ′的中点，∴DQ 是△AA ′E ′的中位线，∴123212DQ AE CQ DC CQ ='==-=-=；， ∵BP ∥AA ′，∴△BE ′P ∽△AE ′A ′， ∴BP BE AA AE '=''， 即164BP =， 解得：BP =1.5，∴CP =BC −BP =3−1.5=1.5，S 四边形AEPQ =S 正方形ABCD −S △ADQ −S △PCQ −S △BEP =1119222AD DQ CQ CP BE BP -⋅-⋅-⋅， 1131393211322222，=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= 故选A.点睛：相似三角形对应边成比例.4．C【解析】∵∠ABC=90°，∠GAD=90°，∴AG ∥BC ，∴△AFG ∽△CFB ， ∴AG FG AB FB=， ∴①正确．∵∠BCD +∠EBC=∠EBC +∠ABG=90°，∴∠BCD=∠ABG ，∵AB=BC ，∴△CBD ≌△BAG ，∴AG=BD ，∵BD=12AB ， ∴12AG BC =， ∴12AF FC =， ∴13AF AC =，∵AB ，∴AF=AB ， ∴②正确；∵AG ∥BC ， ∴AG AF AB CF=， ∵AG=BD ，12BD AD =， ∴13BD AB =， ∴13AF CF =， ∴AF=14AC ， ∴S △ABF =14S △ABC ； ∴S △BDF =13S △ABF ，∴S △BDF =112S △ABC ， 即S △ABC =12S △BDF∴③错误；故选C【点睛】相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的基本性质，同底的两三角形的面积比是高的比，解本题的关键是用比例的基本性质推导线段的比，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．5．D【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出A 点坐标．【详解】∵以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，D （2，0），点B 的坐标为（6，0）， ∴13OD OB ， ∴位似比为13， ∵C （1，2），∴点A 的坐标为：（3，6）．故选D ．【点睛】此题主要考查了位似图形以及坐标与图形的性质，正确得出位似比是解题关键． 6．A【解析】【分析】延长A 1A 、B 1B 和C 1C ，从而得到P 点位置，从而可得到P 点坐标．【详解】如图，点P 的坐标为（-4，-3）．故选A．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．7．A【解析】试题分析：观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．解：A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．故选A．点评：考查图形的四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．8．A【解析】试题解析：点G是ABC△的重心，:1:2.GE BG∴=GEC和BGC同高，它们的面积比等于底边之比.故选A.9．C【解析】【详解】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA:OD=1:2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1:4，∵△ABC的面积为4，∴△DEF的面积为：16.故选C.【点睛】相似三角形的的面积比等于相似比的平方.10．48, 33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由将△AOB以坐标原点O为位似中心扩大到△OCD（如图），D（4，0），B（3，0），即可求得其位似比，继而求得答案．【详解】∴OB:OD=3:4，∵将△AOB以坐标原点O为位似中心扩大到△OCD，∴位似比为：3:4，∵A(1,2)，∴点C的坐标为：(43,83)，故答案为：(43,83).【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握位似变换的概念进行解答. 11．(0，1)【解析】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为13：，∴OA：OD=13：.∵E的坐标为(3，3)，∴D的坐标为(0，3)，∴OD=3,∴OA=331÷=，∴A点的坐标为：（0，1）．12．5．【解析】【分析】根据平行四边形的性质和三角形的相似性即可求解.【详解】解：在ABCD中, E为AD的中点,AD//BC,DE=BC,△DEF∽△BCF, 相似比为,设△DEF 的高为h, 则△BCF的高为2h ,△DEF 的面积为1,即DE·h=1,即,h=,=12.,故答案：5.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质.13．是【解析】由已知易得：AF:AD=AP:AC=AE:AB ，∴PF ∥CD ，PE ∥BC ，∴△APF ∽△ACD ，△AEP ∽△ABC ，∴四边形AEPF ∽四边形ABCD ，∴根据位似图形的定义：“两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，则这两个图形叫位似图形”可知：四边形AEPF 和四边形ABCD 是位似图形.即答案为：“是”.14．()2,0-【解析】分析：由矩形OABC 中，点B 的坐标为（2，4），可求得点C 的坐标，又由矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，P 是位似中心，点C 的对应点点E 的坐标为（-1，2），即可求得其位似比，继而求得答案．详解：∵四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（2，4）， ∴OC=AB=4，OA=2， ∴点C 的坐标为：（0，4），∵矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，P 是位似中心，点E 的坐标为（-1，2）， ∴位似比为：2， ∴OP ：AP=OD ：AB=1：2， 设OP=x ，则1x 22x =+， 解得：x=2， ∴OP=2， 即点P 的坐标为：（-2，0）．点睛：此题考查了位似变换的性质，难度中等．注意求得矩形OABC 与矩形ODEF 的位似比是解此题的关键．15．8【解析】分析：首先根据勾股定理求出EF 的长度；然后证明AEF BGE ∽，列出关于BGE △的三边长的比例式，求出三边的长度即可解决问题．详解：由题意得：EF=DF(设为x)，则AF=4−x；而AE=2，由勾股定理得：2222(4)x x=+-，解得：52x=；53422AF=-=；由题意得：90,90GEF D A B∠=∠=︒∠=∠=︒，∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠BEG，∴∠AFE=∠BEG；∴△AEF∽△BGE，∴EF AF AEEG BE BG==，∴52102282,333322EG BG⨯⨯====，∴△EBG的周长10828.33=++=故答案为：8.点睛：考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 16．1【解析】【分析】利用位似图形的性质得出位似比进而求出位似中心O与A1的距离即可得出答案.【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为4：9，∴两图形的位似比为：2：3，∵位似中心O 与A 的距离为2，∴位似中心O 与A 1的距离为3，∴A 到A 1的距离为：1．故答案为1.【点睛】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出O 与A 1的距离是解题关键.17．2553y x x =-+ 【解析】【分析】设边EF 的长为x （03x <<），则3AN x =-，进而利用已知得出AEH ABC ~，进而得出EH 的长，即可得出答案.【详解】设边EF 的长为x （03x <<），则3AN x =-，//EH BC ，∴AEH ABC ~，∴AN EH AD BC=， ∴335x EH -=， 解得：()533EH x =-， 矩形EFGH 的面积为y ， ∴y 关于x 的函数解析式是：()2553533y x x x x =-⨯=-+. 故答案为：2553y x x =-+. 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及根据实际问题列二次函数解析式，根据已知得出EH 的长是解题关键.18．1:2【解析】【分析】由以O 为位似中心将四边形ABCD 放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA=4，OA ′=8，可求得四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的位似比，继而求得四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的周长的比．【详解】∵以O 为位似中心将四边形ABCD 放大后得到四边形A′B′C′D′，OA=4，OA′=8， ∴四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的位似比为：OA ：OA′=4：8=1：2，∴四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的周长的比为：1：2．故答案为：1：2．【点睛】此题考查了位似变换与相似多边形的性质．注意位似就是相似，相似三角形的周长的比等于相似比．19．()1,0； 10【解析】【分析】（1）如图，根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（2）利用等腰直角三角形的性质得出△111A B C 的面积．【详解】（1）如图，根据位似图形的性质，△111A B C 为所求作的图形．点1C 的坐标为：（1，0），（2）∵211A C =2224+=20，211B C =2224+=20，211A B =2226+=40，∴211A C +211B C =211A B∴△111A B C 是等腰直角三角形，∴△111A B C 面积是：12××平方单位．故答案为（1）（1，0）；（2）10【点睛】主要考查位似图形，尺规作图，熟练掌握位似图形的性质是解题关键.20．(1)见解析，（7，0）；(2)14.【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质得出位似中心即可；（2）利用相似三角形的性质得出△ABC与△A′B′C′的面积比．【详解】(1)如图所示：()7,0D；(2)∵ABC A B C'''∽，∴2'''11()24ABCA B CSS==．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及相似三角形的性质，根据题意得出D点位置是解题关键．21．详见解析【解析】【分析】（１）在平面直角坐标系xOy中，分别描出点A、B、C三点并连接出△ABC（２）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（３）直接利用将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2，得出各对应点，进而得出答案；【详解】(1)如图所示：，△ABC即为所求；(2)如图所示：△A1B1C1，即为所求(2)如图所示：将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以−2,得到△A2B2C2的各点坐标，图中△A2B2C2即为所求；【点睛】本题考查了作图-位似变换, 作图-轴对称变换，熟练掌握这两种图形变形性质是解题关键. 22．（1）图见解析，C1（2，﹣2）；（2）图见解析；（3）7.5【解析】【分析】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置连线成图即可；（3根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．【详解】（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为（2，﹣2）；（2）如图所示：（3）四边形AA 2C 2C 的面积1151527.522=⨯⨯+⨯⨯= 故答案为7.5．【点睛】 此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键23．（1）见解析；（2）2:1；（3）()'6,0A -，()'3,2B -，()'4,4C -．【解析】【分析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O ；（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC 与△A′B′C′的位似比为2：1；（3），连接B′O 并延长，使OB″=OB′，延长A′O 并延长，使OA″=OA′，C′O 并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．【详解】（1）图中点O 为所求；（2）△ABC 与△A′B′C′的位似比等于2：1；（3）△A″B″C″为所求；A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）．【点睛】此题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．24．见解析.【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案．【详解】()1如图所示：111A B C ，即为所求，点1B 的坐标为：()5,5； ()2如图所示：222A B C ．【点睛】考查了位似变换和旋转变换，解题关键是正确得出对应点位置．25．（1）①见解析，②见解析；（2）见解析；（3）正确【解析】（1）先证△ABC ，△ACD 都是等边三角形，再证△BCE 和△ACF 全等即可；（2）先证△ACE ∽△HCF ，再利用相似三角形的性质即可得出答案；（3）利用（2）中证得的结论利用等量代换即可得出答案.解：（1）①∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD =120°， ∴∠D =∠B =60°，∵AD =AB ，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∴∠B =∠CAD =60°，∠ACB =60°，BC =AC ， ∵∠ECF =60°， ∴∠BCE +∠ACE =∠ACF +∠ACE =60°， ∴∠BCE =∠ACF ，在△BCE 和△ACF 中，B CAF BC ACBCE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BCE ≌△ACF ．②∵△BCE ≌△ACF ，∴BE =AF ，∴AE +AF =AE +BE =AB =AC ．（2）∴AC 2+CD 2=AD 2，∴∠ACD =90°， ∴∠BAC =∠ACD =90°， ∴∠CAD =30°， ∴∠ACH =60°， ∵∠ECF =60°， ∴∠HCF =∠ACE ，∴△ACE ∽△HCF ， ∴AE AC FH CH==2， ∴AE =2FH ．(3)结论正确如图2中，由（2）可知，设FH a =，则2AE a =，设HC =，则3AH x =，易知AC =，∴3AF x a =-，∴()22236AE AF a x a x +=+-==.点睛：本题是一道操作探究题.熟练应用几何图形的性质是解题的关键.26．（1）12；（2）①5；②1ab 【解析】【分析】 （1）过E 作EN ⊥AC 于N ，EM ⊥BD 于M ，由四边形ABCD 是正方形，得到AC ⊥BD ，∠ACB=∠DBC=45°，于是得到四边形OMEN 是矩形，△BEM 与△CEN 是等腰直角三角形，求得2ME NE=，然后根据△EMG ∽△ENF ，即可得到结论； （2）①过E 作EN ⊥AC 于N ，EM ⊥BD 于M ，根据四边形ABCD 是矩形，②过E 作EN ⊥AC 于N ，EM ⊥BH 于M ，得到四边形OMEN 是矩形，由△MEG ∽△NEF ，得到 EF EN EG EM =， 由于△ABC ∽△CNE ，求出CN EN b=，由于△BEM ∽△BCO ，得到 EM BE OC BC=， 求出EM=a•CN ，即可得到结论． 【详解】(1)过E 作EN ⊥AC 于N ，EM ⊥BD 于M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ,∠ACB =∠DBC =45°， ∴四边形OMEN 是矩形，△BEM 与△CEN 是等腰直角三角形，∴2290,,MEN EM EN ∠===， ∵BE CE=2,∴2ME NE =, ∵EF ⊥AE ，∴∠MEG =∠NEF ，∴△EMG ∽△ENF ，∴12EF NE EG ME ==；故答案为：12；(2) ①过E作EN⊥AC于N，EM⊥BD于M，sin∠EAF=2,3ENAE=设2,3,EN x AE x==则5,AN x=90,90, BAE AEB ACB OBC∠+∠=∠+∠=∠BAE=∠ACB，,AEB OBC∠=∠,GB GE∴=同理可得：,BAG ABG∠=∠,GB AG=13,22AG EG BG AE x∴====点G是AE的中点，1,2OG EN x==容易证明AOG△≌,EMG,MG OG x==15,22ME OA AN x===31,22BM BG MG x x x=-=-=152tan tan5xBMACB BEMEMx ∠=∠===②过E作EN⊥AC于N，EM⊥BH于M，∵BH ⊥AC ，∴四边形OMEN 是矩形，∴90MEN ∠=，∵AE ⊥EF ，∴∠MEG =∠NEF ，∴△MEG ∽△NEF , ∴ EF EN EG EM=， ∵90ABC CNE ACB ACB ∠=∠=∠=∠，，∴△ABC ∽△CNE ， ∴BC CN b AB EN==， ∴CN EN b =， ∵EM ⊥BH ，AC ⊥BH ，∴EM ∥AC ，∴△BEM ∽△BCO ， ∴EM BE OC BC=， ∵BE a CE=， ∴1BE a BC a =+， ∴1EM a OC a =+， ∵ON =EM ，∴EM a CN=， ∴EM =a ⋅CN ，∴1.CNEF EN bEG EM a CN ab===⋅故答案为：1.ab【点睛】属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.27．(1)见解析;(2)见解析;(3)2.【解析】试题分析：（1）根据题意补全图形；（2）由旋转的性质得到∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，进而得到∠CAD+∠E=90°，即可的得到结论；（3）易证△ADC∽△BDF，△ADB∽△CDF，由相似三角形的性质即可得到结论．试题解析：解：（1）补全图形如下：（2）证明：∵ΔCBE由ΔCAD旋转得到，∴ΔCBE≌ΔCAD，∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，∴∠CBE+∠E=∠CAD+∠E，∴∠BCE=∠AFE=90°，∴AF⊥BE．（3）∵∠ACB=∠DFB=90°，∠CDA=∠FDB，∴△ADC∽△BDF，∴AD BD ACDC DF BF==，∴AD CDBD DF=．∵∠ADB=∠CDF，∴△ADB∽△CDF，∴AB DBCF DF=，∴51AB ACCF BF==，∴1051CF=，∴CF2．。
九年级数学上册第1章图形的相似1.4 图形的位似练习(新版)青岛版
1.4 图形的位似1．在平面直角坐标系中，已知点A (－3,6)，B (－9，－3)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是( ) A ．(－1,1) B ．(－9,18)C ．(－9,18)或(9，－18)D ．(－1,2)或(1，－2)2．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似中心，OD ＝12OD ′，则A ′B ′∶AB 为( )A ．2∶3B ．3∶2C ．1∶2D ．2∶1第2题图 第3题图3．如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1,0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( ) A ．－12aB ．－12(a ＋1)C ．－12(a －1)D ．－12(a ＋3)4．如图，△ABC 与△A 1B 1C 1为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1∶2，已知△ABC 的面积为3，那么△A 1B 1C 1的面积是__ __.第4题图 第5题图5．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，点O 是位似中心，若OA ＝2AA ′，S △ABC ＝8，则S △A ′B ′C ′＝__ __.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(3,0)，(2，－3)，△AB ′O ′是△ABO 关于点A 的位似图形，且O ′的坐标为(－1,0)，则点B ′的坐标为 .第6题图7．已知：如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(3,4)，C(2,2)．(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；(2)以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2∶1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．（第7题图）8．如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，A为位似中心，已知矩形ABCD周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB，AD的长．（第8题图）9．如图，在△ABC的内部任取一点O，连结AO，BO，CO，并在AO，BO，CO这三条线段的延长线上分别取点D，E，F，使ODOA＝OEOB＝OFOC＝12，连结DE，EF，FD，于是得到△DEF.你认为△DEF与△ABC相似吗？为什么？你认为它们也具有位似图形的特征吗？(第9题)10．数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB 上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA ，OB 和AB ︵上，有一部分同学是过样画的，如图①，若在扇形OAB 内画出正方形CDEF ，使得点C ，D 在OA 上，点F 在OB 上，连结OE 并延长，交AB ︵于点G ，过点G 作GJ ⊥OA 于点J ，作GH ⊥GJ 交OB 于点H ，再过点H 作HI ⊥OA 于点I .(1)请问他们画出的四边形GHIJ 是正方形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．(2)还有一部分同学是用另外一种不同于图①的方法画出的，请你参照图①的画法，画出这个正方形(保留痕迹，不要求证明)．(第10题)参考答案1．D 2．D3．D 【解析】把图形向右平移1个单位长度，则点C 的坐标与原点O 重合，与B 对应点的B ′的横坐标变为a ＋1，此时△ABC 以原点为位似中心的位似图形是△A ′B ′C ，则与点B ′对应的点的横坐标为－12(a ＋1)，把该点的横坐标向左平移一个单位长度则得到点B 的横坐标为－12(a ＋1)－1，即为－12(a ＋3)．4．125．18 【解析】△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形且由OA ＝2AA ′.可得两位似图形的位似比为2∶3，所以两位似图形的面积比为4∶9，又由△ABC 的面积为8，得△A ′B ′C ′的面积为18.6． (53，－4) 【解析】如答图，过点B ′作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D 两点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，∴BE ∥B ′C ，∴BE B ′C ＝AB AB ′＝AE AC.∵△AB ′O ′是△ABO 关于点A 的位似图形，∴OB ∥B ′O ′.∴AO AO ′＝AB AB ′，∴BE B ′C ＝AE AC ＝AO AO ′.∵A (3,0)，O ′(－1,0)，B (2，－3)，∴AO ＝3，AO ′＝4，BE ＝3，AE ＝1，∴3B ′C ＝34，1AC ＝34，∴B ′C ＝4，AC ＝43，∴OC ＝AO －AC ＝3－43＝53，又∵B ′在第四象限， ∴B ′(53，－4)．第6题答图7．【解】(1)如答图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1(2，－2);(2)如答图，△A 2BC 2即为所求，C 2(1,0)，△A 2BC 2的面积等于10.第7题答图8．【解】∵矩形ABCD 的周长＝24，∴AB ＋AD ＝12，设AB ＝x ，则AD ＝12－x ，AB ′＝x ＋4，AD ′＝14－x . ∵矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形， ∴AB AB ′＝AD AD ′，即x x ＋4＝12－x 14－x， 解得x ＝8，∴AB ＝8，AD ＝12－8＝4. 9．【解】 △DEF ∽△AB C.理由如下： ∵OD OA ＝OE OB ＝OFOC，∠EOF ＝∠BOC ，∠DOE ＝∠AOB ，∠FOD ＝∠COA ，∴△DOE ∽△AOB ，△EOF ∽△BOC ，△FOD ∽△COA ， ∴DE AB ＝OE OB ＝EF BC ＝OF OC ＝FDCA，∴△DEF ∽△ABC .它们具有位似图形的特征，且它们是以点O 为位似中心的位似图形． 10．【解】 (1)四边形GHIJ 是正方形．证明如下： ∵GJ ⊥OA ，GH ⊥GJ ，HI ⊥OA ，∴∠GJI ＝∠JIH ＝∠JGH ＝90°， ∴四边形GHIJ 是矩形． 易知FC ∥HI ，EF ∥GH ，∴△FOC ∽△HOI ，△EFO ∽△GHO ， ∴OF OH ＝FC HI ，OF OH ＝EFGH ，∴FC HI ＝EF GH. 又∵FC ＝EF ， ∴HI ＝GH .∴矩形GHIJ 是正方形．(2)如答图，正方形MNGH 即为所求．第10题答图。
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1.4.1 图形的位似
一．填空题
1. _______________________________如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（1 , 1）,点C的坐标为（4, 2）, 则这两个正方形位似中心的坐标是．
2 •如图，△ ABC与厶A'BC是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________ .
1 题图
2 题图
3 •下列关于位似图形的说法：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似
图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个
点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比•其中正确的是
_______________ （只填序号）
4. ____________________________________________________________________________ 如图，△ ABC W^ ABC'是位似图形，且位似比是 1 : 2,若AB= 2 cm,贝U A'B' = ___________________ cm, 并在图中画出位似中心O.
4 题图
5 题图
5. ________________________________________________________ 如图，五边形ABCDEf五边形A'BCD'E'是位似图形，且位似比为2.如果五边形ABCDE的面积为16 cm2，周长为20 cm，那么五边形A'BCD'E'的面积为_____________________________________________________ ，周长为 _______ .
二. 选择题
1 ．下列说法正确的是（）
A. 两个等腰三角形一定是位似图形
B. 位似图形一定是相似的几何图形
C. 位似图形对应顶点的连线一定不在同一直线上
D. 位似图形一定是全等图形
2 .如图，在菱形ABCD中，对角线AC BD相交于点O M N分别是边AB AD的中点，连接OM
ON MN则下列叙述正确的是（）
A. A AOM^A AON都是等边三角形
B. 四边形MBOF和四边形MOD!都是菱形
C. 四边形AMOF与四边形ABCD是位似图形
D. 四边形MBC创四边形NDCG都是等腰梯形
3. △ ABC WA A B C是位似图形，且△ ABC WA A B' C的位似比是1：2，已知△ ABC的面积是
3，则厶A B' C'的面积是（）
A. 3 B . 6 C . 9 D . 12
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4
•如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上的一个“顶点”的坐标为( a , b),
那么大"鱼”上对应"顶点”的坐标为()
A. (—a,—2b)
B. (-2a,—b)
C. (-2a,—2b)
D. (—2b,—2a)
5.如图，在厶ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(一1, 0).以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ ABC的位似图形，并把△ ABC的边长放大到原来的2倍，记所得图形是厶A'BC.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是()
1 1 1 1
A.——a
B.——(a + 1)
C.——(a —1)
D.——(a+ 3)
2 2 2 2
6 .如图，线段AB两个端点的坐标分别为A (6, 6), B (8, 2)，以原点0为位似中心，在第
1
一象限内将线段AB缩小为原来的1后得到线段CD,则端点C的坐标为()
2
A.( 3, 3)
B.( 4, 3)
C.( 3, 1)
D.( 4, 1)
三.问答题
1. 如图，点E、F分别是」ABCD勺边AB和CD的延长线上的点，连接EF,分别交AD BC于点H G写出图中的位似三角形.
2. 如图，△ ABC在方格纸中.
(1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系.使A、C两点的坐标分别为(2 , 3)、C(6 , 2)，并求出点
B的坐标.
(2) 以原点O为位似中心，相似比为2,在第一象限内将厶ABC放大，画出放大后的图形△ A' B' C，.
(3) 计算△ A B' C'的面积S.
参考答案一． 1.(－2，0)
2. (9 ，0)
3. ②③
4．4 图略I F I I I I It I 广厂T r "n T' i「
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5．4 cm 10 cm
二 1.B
2.C
3. D
4. C
5. D
6. A
三.1.图中的位似三角形有△ EBG与厶EAH △ EBg A FCG △FDH △丘人日与厶FCG △FDH^A FCG △EAH与△ FDH
2. (1) 略(2) 略(3)S=16。