正弦定理与余弦定理

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正弦定理与余弦定理
一、三角形中的各种关系
设ABC ∆的三边分别是,,a b c ，与之对应的三个角分别是,,A B C .则有如下关系： 1、三内角关系
三角形中三内角之和为π（三角形内角和定理），即A B C π++=，； 2、边与边的关系
三角形中任意两条边的和都大于第三边，任意两条边的差都小于第三边,即
,,a b c a c b b c a +>+>+>；,,a b c a c b b c a -<-<-<；
3、边与角的关系 （1）正弦定理
三角形中任意一条边与它所对应的角的正弦之比都相等，即
2sin sin sin a b c
R A B C
===（这里，R 为ABC ∆外接圆的半径）. 注1：（I ）正弦定理的证明：
在ABC ∆中，设,,BC a AC b AB c ===, 证明：2sin sin sin a b c
R A B C
===（这里，R 为ABC ∆外接圆的半径）
证：法一（平面几何法）：
在ABC ∆中，作CH AB ⊥，垂足为H 则在Rt AHC ∆中，sin CH A AC =
；在Rt BHC ∆中，sin CH
B BC
=
sin ,sin CH b A CH a B ∴==sin sin b A a B ⇒=即
sin sin a b
A B
=
同理可证：
sin sin b c
B C
=
于是有
sin sin sin a b c
A B C
==
正弦定理指出了任意三角形中三边与其对应角的正弦值之间的一个关系式，也就是任意三角形的边角关系.
（Ⅲ）正弦定理适用的范围：
（i ）已知三角形的两角及一边，解三角形；
（ii ）已知三角形的两边及其中一边所对应的角，解三角形；
（iii ）运用::sin :sin :sin a b c A B C =解决角之间的转换关系. 注2：正弦定理的一些变式： （i ）::sin :sin :sin a b c A B C =； （ii ）sin ,sin ,sin 222a b c
A B C R R R
=
==
；
. （2）余弦定理
三角形中任意一条边的平方等于其他两条边平方的和减去这两条边与它们夹角的余弦的乘积的2倍，即
2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.
注1：（I ）余弦定理的证明： 法一（平面几何法）
在ABC ∆中，作CH AB ⊥，垂足为H 则在Rt AHC ∆中，sin CH CH A AC b =
=；cos AH AH
A AC b
==
注3：常选用余弦定理判定三角形的形状；
注4：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.
例1.在ABC ∆中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长. 例2.如下图所示，在四边形ABCD 中，已知,10AD CD AD ⊥=,14AB =，
60O BDA ∠=，135O BCD ∠=,求BC 的长.
例3.在ABC ∆中，已知7
5,4,cos()8
BC AC A B ==-=
，则cos C =()
A.
1116（3（i （ii （iii . 例1.（1（2cos71例2.在ABC ∆中，内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知2222a c b +=.
(1)若4
B π
=
，且A 为钝角，求内角A 与C 的大小；
（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.
二、关于三角形内角的常用三角恒等式
由三角形内角和定理：A B C π++=，有()A B C π=-+ 由此可得到：sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+；
又
222
A B C
π+=-
，
（1（2（3注： ①若②若 ①若②a b ≤，则无解.
四、三角形形状的判定方法 （1）角的判定； （2）边的判定；
（3）综合判定； （4）余弦定理判定.
注：余弦定理判定法：若c 是ABC ∆的最大边，则： ①222a b c +>⇔ABC ∆是锐角三角形； ②222a b c +<⇔ABC ∆是钝角三角形；
③2a 注：⇔1.设
2.A.
5183.在4、在ABC ∆中，4B π
=
，BC 边上的高等于1
3
BC ，则cos A =_____. 5、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若4cos 5A =
，5
cos 13
C =，1a =，则b =_____.
6、已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_____.
7、在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长. 8、在ABC ∆中，内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，已知
2,3
c C π
==
.
（1）若ABC ∆3，求,a b ；
（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.
9、设函数2()sin cos sin ()4f x x x x π
=--（x R ∈）.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若()02
C
f =，2c =，求ABC
∆面积的最大值.
10、已知向量3
(,sin )2
m x =u r ，(1,sin 3cos )n x x =+r ，函数()f x m n =⋅u r r .
（1）试求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，内角B 满足()3f B =，且
3b =，试求ABC ∆面积的最大值.
11、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且4a =，3cos 4
A =
，57
sin B =
，4c >. （1）求b ；
（2）求ABC ∆的周长.
12、设ABC ∆三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3
c π
=
，cos cos a A b B =.
（1）求角A 的大小；
（2）如图所示，在ABC ∆的外角ACD ∠内取一点P ，使得2PC =.过点P 分别作直线CA 、CD 的垂线，垂足分别是M 、N .设PCA α∠=，求
.
13、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）求C ；
（2）若c =ABC ∆∆14（1（215、)
B 平行（1（216A ，B （1（2【解析】（1）在OB
C ∆中，1)BC =，OB OC ==由余弦定理，有222cos 2OB OC BC BOC OB OC +-∠====⋅∴6
BOC π
∠=
于是
的长为
22
426
3
π
⨯=
（2）设AOC θ∠=，2
(0,)3
θπ∈
则2
3
BOC πθ∠=-
AOC BOC OACB S S S ∆∆=+四边形又2
(0,)3
θπ∈
∴5(,)666π
ππθ∈ 故当62
π
π
θ+
=
，即3
π
θ=
时，四边形OACB 的面积最大，且最大值为163
17、在△ABC 中，若2AB =，2AC BC =，求ABC S ∆的最大值.
【解析】（法一）由余弦定理，有222222
424cos 244a c b a a a B ac a a +-+--===
又由三角形三边关系，有：a b c a c b +>⎧⎨+>⎩，即22
22a a a a
⎧+>⎪⎨
+>⎪⎩222222a ⇒-<<+ 故当212a =，即23a =时，ABC S ∆最大，且max 128
[]82216
ABC S ∆=
== （法二）∵22
22
a b c a a p ++++=
= ∴222222
a a a a p a a +-+-=
-= 于是由海伦公式，有：()()()ABC S p p a p b p c ∆=---
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又由三角形三边关系，有：a b c a c b +>⎧⎨+>⎩
，即22a a ⎧>⎪⎨+>⎪
⎩22a ⇒<< 故当212a =
，即a =ABC S ∆
最大，且max []ABC S ∆===。