北京市八一学校2021届高三上学期10月月考数学试题+含答案

北京市八一学校2021届高三年级十月月考试卷

一、选择题

1．已知集合{}

24A x x =∈

B ．{}1,2-

C ．{}1,0,1,2-

D ．{}2,1,0,1,2--

2．已知向量(),1a t =，()1,2b =．若//a b ，则实数t 的值为（ ） A ．2-

B ．2

C ．12

-

D ．

12

3．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（ ） A ．sin y x =

B ．cos y x =

C ．y x x =

D ．ln y x =

4．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

5．要得到函数sin 23y x π?

?=- ??

?的图象，只需要将函数sin2y x =的图象（ ）

A ．向左平移

3π

个单位

B ．向左平移

6π

个单位 C ．向右平移3

π

个单位

D ．向右平移6

π

个单位

6．在ABC △中，5AB =，sin 2sin A C =，4

cos 5

B =，则AB

C △的面积为（ ）

A ．10

B ．15

C ．20

D ．30

7．已知函数()3ln f x x m x =+在区间[]1,2上不是单调函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(),3-∞-

B ．[]24,3--

C ．()24,3--

D ．()24,-+∞

8．已知函数()21f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．10,2?? ???

B ．1,12?? ???

C ．()1,2

D ．()2,+∞

9．在ABC △中，90BAC ∠=?，2BC =，点P 在BC 边上，且()

1AP AB AC ?+=，则AP 的取值范围是（ ）

A ．1,12?? ???

B ．?

???

C ．1,12??

????

D ．?

???

10．已知集合A ，B 满足：（i ）A B ?=Q ，A B ?=?； （ii ）1x A ?∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈；

（iii ）1y B ?∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：

①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．③④ D ．②③

二、填空题

11．已知复数2z i =-，则z =______．

12．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为______． 13．已知向量a ，b 的夹角为60?，2a =，1b =，则2a b +=______．

14．已知函数()21

,,x ax x a

f x x x a e -?

=?≥??（a 为常数）．若()112f -=，则a =______；若函数()f x 存在最大值，则a

的取值范围是______．

15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730

02

t

N N -=?（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的______；经

过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的

12至3

5

，据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3≈） 三、解答题

16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520S =． （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从①2q =；②1

2

q =；③1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T ． 17．在ABC △中，1

cos 7

A =

，8BC =，7AC =．

（I ）求B 的大小；

（II ）若D 是BC 的中点，求AD 的长．

18．已知函数()222cos f x x x m =++（m ∈R ）． （I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 的单调递增区间；

（III ）对于任意0,2x π??

∈????

都有()0f x <恒成立，求m 的取值范围．

19．设函数()2ln f x x ax x =+-（a ∈R ）． （I ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；

（II ）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围． （III ）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，求证：切点的横坐标为1． 20．已知函数()ln x

f x x a

=

+（0a >）． （I ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （II ）当1a =时，证明：()1

2

x f x -≤

； （III ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．

21．已知无究数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n ?∈N ，1n n n a b c +=-，1n n n b c a +=-，1n n n c a b +=-．记{}max ,,n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．

（I ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （II ）若11a =，1b =2，求满足23d d =的1c 的所有值；

（III ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1a ，1b ，1c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，

{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．

答案 1．C 2．D 3．B 4．D 5．D

6．B

7．C

8．B

9．A

10．D

1112．63n - 13．

14．

12；(],0-∞ 15．1

2

；4011 16．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，

又因为()

112

n n n S na d -=+

，且12a =， 所以5101020S d =+=，故1d =． 所以1n a n =+．

（II ）由（I ）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =． 若选择条件①2q =，可得41312

b b q ==， ()()()1122n n n T a b a b a b =-+-++-

()()1212n n a a a b b b =++

+-++

+

()()11121n

n b q n a a q

-+=--

()131

222

n n n -+=

-+， 若选择条件②1

2q =，可得41332b b q ==．

()()()1122n n n T a b a b a b =-+-++-

()()1212n n a a a b b b =++

+-++

+

()()11121n

n b q n a a q

-+=--

()

632642

n n n -+=

+-． 若选择条件③1q =-，可得4

13

4b b q ==-， ()()()1122n n n T a b a b a b =-+-++-

()()1212n n a a a b b b =++

+-++

+

()()11121n

n b q n a a q

-+=--

()()()

32112

n

n n +=

+--． 17．解：（I ）∵在ABC △中，1

cos 7

A =，8BC =，7AC =，

∴sin A ， ∵由正弦定理

sin sin BC AC

A B

=

，可得7sin 7sin 8AC A B BC ?===

又AC BC <，可得B 为锐角， ∴3

B π

=

．

（II ）∵在ABC △中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-??，可得

2221

87277AB AB =+-???，可得：22150AB AB --=，

∴解得5AB =，或3-（舍去）， ∵D 是BC 的中点， ∴()

1

2

AD AB AC =

+，两边平方可得：()

2222211125725721447AD AB AC AB AC ??=++?=++???= ???,

∴21AD =AD

18．（I ）因为()222cos f x x x m =++

2cos21x x m =+++

2sin 216x m π?

?=+++ ??

?．

所以()f x 的最小正周期22

T π

π==． （II ）由（I ）知()2sin 216f x x m π?

?=+++ ??

?．

又函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ??

-++????（k ∈Z ）．

由2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-+≤+≤

+，k ∈Z ，

得3

6

k x k π

π

ππ-

+≤≤

+，k ∈Z ．

所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ??

-++????

（k ∈Z ）．

（III ）因为02

x π≤≤

，所以

72666x π

π

π

≤+

≤

．

所以1sin 2126x π??-≤+≤ ???．所以2sin 2136m x m m π?

?≤+++≤+ ???．

当26

2

x π

π

+

=

，即6

x π=

时，()f x 的最大值为3m +，

又因为()0f x <对于任意0,2x π??

∈????

恒成立，所以30m +<，即3m <-．

所以m 的取值范围是(),3-∞-．

19．解：（I ）1a =时，()2ln f x x ax x =+-（0x >）， ∴()()()211121x x f x x x x

-+'=+-

=

， 10,2x ??∈ ???，()0f x '<，1,2x ??

∈+∞ ???

，()0f x '>，

（列表）， ()f x 的减区间为10,2?? ???，增区间1,2??

+∞ ???

．

（II ）()1

2f x x a x '=+-，∵()f x 在区间(]0,1上是减函数，

∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立， 即1

20x a x

+-≤对任意(]0,1x ∈恒成立， ∴1

2a x x

≤

-对任意(]0,1x ∈恒成立， 令()1

2g x x x

=

-，∴()min a g x ≤，易知()g x 在(]0,1单调递减， ∴()()min 11g x g ==-．∴1a ≤-．

（III ）设切点为()(),M t f t ，()12f x x a x '=+-，切线的斜率1

2k t a t

=+-， 又切线过原点()f t k t =

，()1

2f t t a t t

=+-， 即22ln 21t at t t at +-=+-， 所以2ln 10t t +-=，

存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以1t =是方程21ln 0t t -+=的解．

唯一性：令()21ln g t t t =-+（0t >），此时()1

20g t t t

'=+>，即()g t 在()0,+∞上单增，所以1t =是方程

21ln 0t t -+=的唯一解．即切点的横坐标为1．

20．解：函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()

2

ln 1a x x f x x a -+

+'=

+． （I ）因为()10f =，()1

11

f a '=+，

所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1

011

y x a -=-+， 即()110x a y -+-=． （II ）当1a =时，()ln 1

x

f x x =

+．

欲证()12x f x -≤

，即证ln 1

12

x x x -≤+， 即证22ln 10x x -+≤．令()22ln 1h x x x =-+， 则()()()2112

2x x h x x x x

--+'=

-=

． 当x 变化时，()h x '，()h x 变化情况如下表：

所以函数()h x 的最大值为()10h =，故()0h x ≤． 所以()1

2

x f x -≤

． （III ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由如下： 令()ln 1a

g x x x

=-+

+， 因为()2210a x a

g x x x x +'=--=-<，

所以()g x 在()0,+∞上单调递减． 注意到()110g a =+>． 且()111

11ln 110a a a a a g e e a e e ++++??

=-+

+=-< ???

．

所以存在()

11,a m e +∈，使得()0g m =．

当()0,x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在()0,m 上单调递增； 当(),x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(),m +∞上单调递减． 故函数()f x 在定义域内不是单调函数．

21．（I ）由211b c a =-，得112c -=，所以13c =±； 由322c a b =-，得223a -=，所以25a =±，

又211133a b c b =-=-≥-，故25a =，18b =，18b =±． 所以1b ，1c 的所有可能值为

18b =，13c =； 18b =，13c =-； 18b =-，13c =； 18b =-，13c =-．

（II ）若11a =，12b =，记1c x =，

则22a x =-，21b x =-，21c =-，22,011,121,2x x d x x x -≤

=≤

-≥?，

311a x =--，312b x =--，321c x x =---，

当01x ≤<时，3a x =-，31b x =-，31c =，31d =，由32d d =，得1x =，不符合； 当12x ≤<时，32a x =-，31b x =-，332c x =-，32,1 1.5

1,1.52x x d x x -≤

，

由32d d =，得1x =，符合；

当2x ≥时，32a x =-，33b x =-，31c =-，31,23

2,3

x d x x ≤

由32d d =，得2x =，符合；

综上，1c 的所有取值是2-，1，1，2．

（III ）先证明“存在正整数3k ≥，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数3k ≥，k a ，k b ，k c 都不为0，

由1a ，1b ，1c 是非零整数，且1a ，1b ，1c 互不相等，得*1d ∈N ，*2d ∈N ． 若对任意3k ≥，k a ，k b ，k c 都不为0，则*k d ∈N ， 即对任意1k ≥，*k d ∈N ．

当1k ≥时，{}1max ,k k k k k k a b c b c d +=-<≤， 1k k k k b c a d +=-<，1k k k k c a b d +=-<，

所以，{}1111max ,,k k k k k d a b c d ++++=<． 所以，{}k d 严格单调递减， 由2d 为有限正整数，

所以，必存在正整数3m ≥，使得0m d ≤，矛盾．

所以，存在正整数3k ≥，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0． 不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，

，10k a -≠，

则11k k b c --=，且111k k k b c a ---=≠， 否则，若111k k k b c a ---==，

因为1110k k k a b c ---++=，则必有1110k k k a b c ---===，矛盾． 于是，110k k k b c a --=-≠，110k k k c a b --=-≠，且k k b c =-， 所以，10k a +=，1k k b c +=，1k k k c b c +=-=-，

依次递推，即有：对n k ?≥，0n a =，1n k b c +=，1n k c c +=-，且0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0． 综上，结论成立．