第三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试(1992年)
第二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试(1991年)
第二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试一、选择题：1．如图1，已知8,5,6AB AP OB ===，则OP 的长是（ ）A ．2；B ．3；C ．4；D ．5；2．方程2560x x -+=的两个根是（ ）A ．1,6；B ．2,3；C ．2,3--；D ．1,6--； 3．已知ABC ∆是等腰三角形，则（ ）A ．AB AC =；B ．AB BC =；C ．AB AC =或AB BC =；D ．AB AC =或AB BC =或AC BC =；4.344134a b c -===+，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>；B ．a b c ==；C ．a c b =>；D ．a b c =>；5.若a b ≠，则(b a -等于（ ）B.C.6．已知,x y 都是正整数，那么三边是,x y 和10的三角形有（ ）A ．3个；B ．4个；C ．5个；D ．无数多个；7．两条直线相交所成的各角中，（ ）A ．必有一个钝角；B ．必有一个锐角；C ．必有一个不是钝角；D ．必有两个锐角；8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角（ ）A ．一个是锐角另一个是钝角；B ．都是钝角；C ．都是直角；D ．必有一个角是直角；9．方程2||10x x ++=有（ ）个实数根．A ．4；B ．2；C ．1；D ．0；10．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（ ）A ．26；B ．28；C ．36；D ．38；11．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是（ ）A ．179；B ．181；C ．183；D ．185；12.1>+）A ．25x +；B ．25x -；C ．1；D ．1-；13．方程543222010210x x x x x +--++=有一个实数根是（ ）14．当1a <-时，方程322(1)(1)(1)0a x a x a +++-+=的根的情况是（ ）A ．两负根；B ．一正根、一负根且负根的绝对值大；C ．一正根、一负根且负根的绝对值小；D ．没有实数根；15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地，甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走吗，若a b ≠时，则（ ）到达N 地．A ．二人同时；B ．甲先；C ．乙先；D ．若a b >时，甲先到达，若a b <时，乙先；二、填空题：1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于________度；2.有理化分母=________；3.0x =的解是x =________；4．分解因式：322322x x y xy y +++=________；5．若方程22(9)20x k x k +-++=的两个实数根互为相反数，则k 的值是________；6．如果2231x x --与2(1)(1)a x b x c -+-+是同一个多项式的不同形式,那么a b c+=________； 7．方程221991x y -=有________个整数解；8．当m ________时，方程2(1)230m x mx m -++-=有两个实数根；9．如图2，在直角ABC ∆中，AD 平分A ∠，且:2:1BD DC =，则B ∠等于________度．C B AFFED C BA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，,,,,,A B C D E F 和G ，连结每两个点的线段共可作出________条；11．,D E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于________度．12．如图4，ABC ∆中，9,120,AB AC BAC AD ===︒是ABC ∆的中线，AE 是ABD ∆的角平分线，//DF AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为________；13．在ABC ∆中，5,9AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是________；14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45︒，则这个三角形的面积是________；15．已知方程20x px q ++=有两个不相等的整数根，,p q 是自然数，且是质数，这个方程的根是________；答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y ＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x 为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．。
希望杯第三届(1992年)初中二年级第二试试题 答案
希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试试题答案与提示一、选择题提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)．8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)．10．原方程为|3x|=ax+1．(1)若a=3，则|3x|=3x+1．当x≥0时，3x=3x+1，不成立．(2)若a＞3．综上所述，a≥3时，原方程的根是负数．∴应选(B)．另解：（图象解法）设y1=|3x|，y2=ax+1。
分别画出它们的图象．从图87中看出，当a≥3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限．二、填空题提示：1．∵49=7×7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21．2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)．而x1·x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0．8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴BG=AB-AG=14-10=4．10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）．三、解答题1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短．记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连结OB＇．则△ABO ≌△AB＇O．∴BO=B＇O．d(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB＇B＇CB＇O=CO-(B＇C+B＇O)＜0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．所以路线OABCO的距离最短．因此x与y是关于t的方程解二：由已知条件得两边加上a4+1，得显然0＜a＜1，0＜a2＜1．。
第8-21届希望杯全国数学邀请赛(初二)试题
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试一、选择题：1．－20001999, －19991998, －999998, －1000999这四个数从小到大的排列顺序是（AA ）－20001999<－19991998<－1000999<－999998 （B ）－999998<－1000999<－19991998<－20001999（C ）－19991998<－20001999<－1000999<－999998 （D ）－1000999<－999998<－20001999<－199919982．一个三角形的三条边长分别是a , b , c (a , b , c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x =2000, 80y =2000，则y1x 1+等于 （A ）2 （B ）1 （C ）21（D ）23 4．设a ＋b ＋c =0, abc >0，则|c |ba |b |ac |a |c b +++++的值是 （A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或15．设实数a 、b 、c 满足a <b <c (ac <0)，且|c |<|b |<|a |，则|x －a |＋|x －b |＋|x ＋c |的最小值是 （A ）3|c b a |++ （B ）|b | （C ）c －a （D ）―c ―a 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为 （A ）一切偶数 （B ）2或4或6或8 （C ）2或4或6 （D ）2或4 7．三元方程x ＋y ＋z ＝1999的非负整数解的个数有（A ）20001999个 （B ）19992000个 （C ）2001000个 （D ）2001999个 8．如图1，梯形ABCD 中，AB //CD ，且CD ＝3AB ，EF //CD ，EF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于（ ）。
希望杯”全国数学邀请赛初二试题hopec2-1-10
12 计算:
1 10 + 8 3 + 2 2 =_____. 2 3 − 2x 2 − 4x 13 已知: x = 3 − 1 ,那么 2 =_____. x + 2x − 1
14 计算:
1997 1999 + ( 1997 − 1999)( 1997 − 2001) ( 1999 − 2001)( 1999 − 1997)
+
2001 =_____. ( 2001 − 1997)( 2001 − 1999)
15 若x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1 则k=_____ 16 给出四个自然数a,b,c,d 其中每三个数之和分别是180 197 208 222 那a,b,c,d中最大的数的值是_____ 那么这个三角形的形状是_____ , ABF=25 则 ACE=_____
1 3 B. [ , ] 4 4
1 2 C. [ , ] 6 3
1 7 D. [ , ] 6 8
直角或钝角三角形 则这个四边形 [ ] 可能不是平行四边形 CD=BF 则 EDF = [ ]
在四边形ABCD中 一定是正方形 ABC中 AB=AC
若两条对角线AC B 一定是菱形 D E C
一定是平行四边形 D AC AB上 若BD=CE
25 某班男女同学分别参加植树劳动 要求男女同学各种8行树 男同学种的树比女同学种 的树多 如果每行都比预定的多种一棵树 那么男女同学种树的数目都超过100棵 如果每
行都比预定的少种一棵树 那么男女同学植树的数目都达不到100棵 这样原来预定男同学 种树_____棵 女同学种树_____棵
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第十届 希望杯
小学四年级希望杯历年数学竞赛试题与答案1-14届(最新全套完整版)
第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。
3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。
4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。
5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。
6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。
7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。
8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。
9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。
这时四个组的书一样多。
这说明甲组原来有书本。
10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。
11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。
12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。
13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。
甲说：“我会开。
”乙说：“我不会开。
”丙说：“甲不会开。
”三人的话只有一句是真话。
会开车的是。
14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。
回校后，小明补给小光28元。
小明、小光各带了元，每本书价元。
历年希望杯初一竞赛试题精选及答案
1.1992年第三届希望杯初中一年级第二试试题及答案2.1995年第六届希望杯初中一年第二试试题及答案3.20XX年第二十届希望杯全国数学邀请赛初一第一试希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试题一、选择题（每题1分，共10分）1．若8.0473=521.077119823，则0.80473等于[ ]A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0.005210 77119823．2．若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是[ ]A．正数． B．负数．C．奇数．D．偶数．3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，则下列关系式中正确的是 [ ]A．-b＞a＞-a＞b．B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a．D．a＞b＞-a＞-b．4．在1992个自然数：1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，则其代数和一定是 [ ]A．奇数． B．偶数．C．负整数． D．非负整数．5．某同学求出1991个有理数的平均数后，粗心地把这个平均数和原来的1991个有理数混在一起，成为1992个有理数，而忘掉哪个是平均数了．如果这1992个有理数的平均数恰为1992．则原来的1991个有理数的平均数是 [ ]A．1991.5．B．1991．C．1992．D．1992.5．6．四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是[ ]A．a+d＜b+c．B．a+d＞b+c．C．a+d=b+c．D．不确定的．7.已知p为偶数,q为奇数,方程组199219933x y px y q-=⎧⎨+=⎩的解是整数,那么[ ]A.x是奇数，y是偶数．B．x是偶数，y是奇数．C．x是偶数，y是偶数．D．x是奇数，y是奇数．8．若x-y=2，x2+y2=4，则x1992+y1992的值是 [ ]A．4． B．19922．C．21992．D．41992．9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，并且3x-2y=1，那么代数式10x+y可以取到[ ]不同的值．A．1个．B．2个．C．3个．D．多于3个的．10．某中学科技楼窗户设计如图15所示．如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数．这四层组成四个三位数，它们是837，571，206，439．则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的[ ]二、填空题（每题1分，共10分）1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且11111,,,,,23456a b c d eb c d e f=====则fa=_____.2．若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于______．3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，则(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______．4．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b,a的形式,又可表示为0,ba,b, 的形式,则a1992+b1993=________.5．海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的25,又扔掉4个到大海中去,第二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的58,那么这堆核桃至少剩下____个.6．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3．那么a的取值范围是______．7．a，b，c是三个不同的自然数，两两互质．已知它们任意两个之和都能被第三个整除．则a3+b3+c3=______．8．若a=1990，b=1991，c=1992，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=______．9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图17中10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p．则p的最大值是______．10．购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种教具各一件共需______元．三、解答题（每题5分，共10分）1．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．2．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．(1)请你举例说明：“希望数”一定存在．(2)请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．答案与提示一、选择题提示：所以将8.0473=512.077119823的小数点向前移三位得0.512077119823，即为0.80473的值，选A．2．设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a3＜-a，∴a3+a＜0，a(a2+1)＜0，因为a2+1＞0，所以a＜0,即该数一定是负数，选B．3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点的距离，如图18所示．所以-b＞a＞-a＞b，选A．4．由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变．这个性质对n个整数也是正确的．因此，1，2，3…，1991，1992，的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-…-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，所以选B．5．原来1991个数的平均数为m，则这个1991个数总和为m×1991．当m混入以后，那1992个数之和为m×1991+m,其平均数是1992，∴m=1992，选C．6．在四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d．所以a+b＞b+c，成立，选B．7．由方程组以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数．由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B．8．由x-y=2 ①平方得x2-2xy+y2=4 ②又已知x2+y2=4 ③所以x，y中至少有一个为0，但x2+y2=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有x1992+y1992=01992+(±2)1992=21992，选C．9．设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得由于x，y取0—9的整数，10x+y=a的a值取非负整数．由(*)式知，要a为非负整数，23x必为奇数，从而x必取奇数1，3，5，7，9．三个奇数值，y相应地取1，4，7这三个值．这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11，34和57，选C．二、填空题提示：与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于6662-6622=(666+662)(666-662)=1328×4=5312．3．由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分组、凑项表示为含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，为此有(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000 -2(-496)=1992．4．由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是b=1．于是a=-1．所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．5．设这堆核桃共x个．依题意我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即目标是求m的最小正整数值．可知，必须20|x即x=20，40，60，80，……m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3，即9≤a＜12．可被第三个整除，应有b|a+c．∴b≥2，但b|2，只能是b=2．于是c=1，a=3．因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36．8．因为a=1990，b=1991，c=1992，所以a2+b2+c2-ab-bc-ca9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等于p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3个田字形所填数的总和为2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y于是得3p=65+x+y．要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21．所以3p=65+x+y≤65+21=86．所以p取最大整数值应为28．事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立．所以p的最大值是28．10．设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元．则依题意列得关系式如下：③×2-④式得x1+x2+x3+x4+x5=2×1992-2984=1000．所以购买每种教具各一件共需1000元．三、解答题1．解①（逻辑推理解）我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数不是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．由被11整除的判别法知x-y=0，11，22，33或44．但x+y与x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x-y也只能取奇数值11或33．于是有但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17．987654321的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3，偶位和减3才行。
希望杯第十三届(2002年)初中二年级第二试试题
2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内. 1.若a ≠,(A)都是有理数. (B)一个是有理数,另一个是无理数. (C)都是无理数. (D)是有理数还是无理数不能确定.2.已知a>b>c,M=a 2b+b 2c+c 2a,N=ab 2+bc 2+ca 2,则M 与N 的大小关系是( ). (A)M<N (B)M>N (C)M=N (D)不确定的3.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角的时间是( ).(A)9时30分 (B)10时5分; (C)10时5511分 (D)9时32811分 4.有理数a 、b 、c 满足下列条件:a+b+c=0且abc<0,那么111a b c++的值是( ).(A)是正数 (B)是零(C)是负数 (D)不能确定是正数、负数或05.已知a b c ===,其中m>0,那么a,b,c 的大小关系是( ). (A)a>b>c (B)c>a>b; (C)a>c>b (D)b>c>a6.已知△ABC 中,∠A=60°,BC=a,AC=b,AB=c,AP 是BC 边上的中线,则AP 的长是( ).7.(Figure 1) In the parallelogram ABCD,AD=2AB,a point M is mid- point of segment AD,CE ⊥AB,if ∠CEM=40°,then the value of ∠DME it( ). (A)150° (B)140° (C)135° (D)130°8.如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分别是两组对边延长线的交点,EG 、FG 分别平分∠BEC 、∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则∠EGF 的大小是( ). (A)140° (B)130° (C)120° (D)110°40︒EMDCBA80︒60︒GFEDCBA9.设a i =1989+i,当i 取1,2,3,…,100时,得到100个分式iia (如i=5,则i i a =55198951994=+),在这100个分式中,最简分式的个数是( ).(A)50 (B)58 (C)63 (D)6510.一个长方体的棱长都是正整数,体积是2002, 若对应棱长相等的长方体算作同一种长方体,那么这样的长方体( ) (A)有6种 (B)有12种 (C)有14种 (D)多于16种 二、填空题:(每小题6分,共60分)11.某储蓄所每年工资支出10万元,其他固定支出每年17万元. 对于吸收的存款每年应付2.25%的利息,吸收来的存款全部存到上级银行,可得年利率4.05%的内部核算收入,那么该储蓄所为使内部核算没有亏损, 每年至少应吸收存款____________________________万元.12.化简35361015+--+,最后得_________.13.设x,y 都是有理数,且满足方程11402332x y πππ⎛⎫⎛⎫+++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么x-y 的值是________.14. 1516与3313的大小关系是1516________3313. (填“>”,“<”或“=”)15.If N is natural number,and 6(32)1N N <+<+,then the value of N is______.( natural number 自然数)16.如果1111a b a b+-=-+,那么(2+a)(2+b)+b 2=__________. 17.如图所示的八个点处各写一个数字,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数,则代数式:1()21()3a b c d e f g h a b c d e f g h +++-++++++-+++=_____.18.2001年某种进口轿车每辆标价40万元人民币,买此种车时还需另外交纳汽车标价的80%的关税,我国加入WTO 后,进口车的关税将逐渐下降.预计到2006年7月1日,关税降到25%,又因为科技的发展使成本降低,到2006年7月1日,该种车的标价降到2001年的65%,那么2006年7月1日后买一辆该种轿车将比2001 年少付人民币______万元.19.在△ABC 中,∠A=40°,H 是△ABC 的垂心,且H 不与B 、C 重合,则∠BHC 的大小等于_______. 20.如图,正九边形ABCDEFGHI 中,AE=1,那么AB+AC 的长是_______.三、解答题:(21题16分,22、23题各12分)要求:写出推算过程.21.如图,在锐角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F, BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.(1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线;(2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.PQ FED C BA22.已知在等式ax bscx d+=+中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数,解答:(1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数;(2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数.23.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作; 然后在AB的中点C处标注020022+=1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对应线段两端所标注的数字和的一半,即010012+与100120022+,称为第三次操作;照此下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少?2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、1.当两数不等时,两数的差为有理数,说明这两数都是有理数,,选(A).2.M-N=(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)= a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)∵ a>b>c ∴ b-c>0,c-a<0,a-b>0∵a2(b-c)≥0,b2(c-a)≤0,c2(a-b) ≥0∴a2(b-c)+c2(a-b)> b2(c-a)∴ M-N>0.选(B).3.把时针转动速度以“度/分钟”为单位,360112602=⨯(度/分钟)分针转动速度是36060=6(度/分钟)再成直角所用时间为18180(6)32211÷-=(分钟)所以下一次时针与分针成直角时间是83211分,选(D).4.由abc<0知a、b、c均不为0.∴(ab+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0ab+bc+ca=-12(a2+b2+c+2)<0∴111bc ac aba b c abc++++=>，选(A)5.∵1ab=<，∴a>b;1bc=<, ∴c>b1ac=>,∴a>c ∴ a>c>b.选(C).6.如图延长中线AP到E,使PE=AP,连接EB,可得△ABC≌△APC,∴∠E=∠PAC, BE=AC=b.∴∠PAB+∠E=∠CAB=60°∴∠ABE=120°;作EF⊥AB延长线于F,∴∠EBF=180°-120°=60°∴∠BEF=300∴BF=12BE=12b.在Rt△BEF中,根据勾股定理:EF2=b2+22324b b⎛⎫=⎪⎝⎭.PFECBA在Rt △AEF 中,根据勾股定理=.∴ PA=12AE=12选(B)7.如图,连接CM,作MN ⊥EC 于N.∵ AB ⊥CE ∴MN ∥AB,且MN ∥CD,从N 为梯形AECD 的中位数. 由MN ⊥CE,MN 是EC 边中线,∴△EMC 为等腰△,∴∠ECM=∠MEC=40° ∠EMC=180°-2×40°=100° ∵ ∠ECD=∠AEC=90°,∴∠MCD=90°-40°=50°, 又∵ DC=12AD=DM,∴∠MCD=∠DMC=50°,∴ ∠EMD=∠EMC+∠CMD=100°+50°=150°.选(A) 8. 2∠4=360°-(60°-∠E)-(180°-∠F) =220°+∠E+∠F∵ ∠4=110°+12∠E+12∠F,0011260,38022E F ∠=-∠∠=-∠, ∴∠C=3600-(∠4+∠2+∠3)=3600-1100-12∠E-12∠F-600+12∠E-800+12∠F=360°-110°-60°-80°=110°选(D).9.当i=3n(n ≤33);i=13n(n ≤7);i=17n(n ≤5)这些数时;iia 不是质数, 这样的数共有: 33+7+5=45(个)其中i=13×3=39,i=13×6=78与i=17×3=51时,与i=3n 中的39,78,51重复, 所以不是质数的数共有 45-3=42个.所以100个分式中最简分式的个数是100-42=58个. 选(B).10.∵ x 3=2002=1×2×7×11×13,把1、2、7、11、13组成三数的乘积. 有如下14种: 1×1×2002 1×2×1001 1×7×286 1×11×182 1×13×154 1×14×143 1×22×91 1×26×77 2×7×143 7×11×26 11×2×91 13×2×77 14×11×13 22×7×13 选(C). 二、11.设每年至少应吸收存款x 万元,4.05 2.251017100100x x =++ x=1500万元 应填1500.432180︒60︒GFEDCBA12.原式=.13.1142332x x y yπππ+++=+,3223246x x y yπππ+++=+(32)(23)246x y x yππ+++=+∴3224236x yx y+=⎧⎨+=⎩,得126xy y=⎧⎨==-⎩∴x-y=18.14.1516-3313=316·516-313·1113=313(35·56-1113)=313(33·53·513-1113)=313(153·53-1113)显然,153·513-1113<0, ∴1516-3313<0, 填<.15.6233](5===53+3×52×+3×3×)2)3.取2.449时,原式=969.9,N=969.16.由原已知得 (1+a)(1+b)=(1-a)(1-b)∴ a+b=0原式=4+2a+2b+ab+b2=4+2（a+b）+ab+b2=4+ab+b2=4+b(a+b)=4.应填417. 因为,33d b c a c fa b++++==,,33b d g ac hc d++++==, ∴2()()3a b c d e f g ha b c+++++++++=,设a+b+c+d=m,e+f+g+h=n,∴a+b+c+d=23m n+,∴m=23m n+,∴m=n,即a+b+c+d=e+f+g+h∴11()2211()33a b c d e f g h m na b c d e f g h m n+++-+++-=+++-+++-=2323323234m n m mm n m m--⨯=⨯=--.18.根据题意,得 80652540140139.5100100100⎛⎫⎛⎫+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭应填39.519.分锐角三角形和钝角三角形两种情况,如图:(1)αHCBAγβ(2)HCBA如图1.由∠A=40°,得∠ABH=50° ∴∠α=40°,∠BHC=180°-α=140°如图2.由∠A=40°,得∠β=50° ∴∠r=∠β=50 ∴ ∠BHC=90°-∠r=90°-50°=40° 应填140°或40°.20.正九边形内角和为(9-2)×1800=12600,每个内角为1400, ∠CAB=(1800-1400)÷2=20连接AH,作HM,GN 分别垂直AE 于M,N.∴ ∠HAM=140°-2 ×20°-40°=60°,∴∠AHM=30° 设AM=EN=x,MN=y四边形HGNM 是矩形,所以HG=y,即正九边形边长为y, 在Rt △AHM 中,∠AHM=∠30°∴ AH=2AM=2x ∴ AB+AC=y+2x而x+y+x=1 ∴ 2x+y=1 ∴ AB+AC=1, 应填1.三、解答题(按参考答案,酌情给分) 21.证明(1)连接PD 、PE 、QD 、QE. 因为 CE ⊥AB,P 是BF 的中点, 所以 △BEF 是直角三角形,且 PE 是Rt △BEF 斜边的中线, 所以 PE=12BF. 又因为 AD ⊥BC,所以 △BDF 是直角三角形,且PD 是Rt △BDF 斜边的中线, 所以 PD=12BF=PE, 所以 点P 在线段DE 的垂直平分线上.同理可证,QD 、QE 分别是Rt △ADC 和Rt △AEC 斜边上的中线,所以 QD=12AC=QE,PQFEDCBA所以 点Q 也在线段DE 的垂直平分线上. 所以 直线PQ 垂直平分线段DE.(2)当△ABC 为钝角三角形时,(1)中的结论仍成立. 如右图,△ABC 是钝角三角形,∠BAC>90°.原题改写为:如右图,在钝角△ABC 中,AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高,DA 与CE 的延长线交于点F,BF 的中点为P,AC 的中点为Q,连接PQ 、DE. 求证:直线PQ 垂直且平分线段DE.证明 连接PD,PE,QD,QE,则PD 、PE 分别是Rt △BDF 和Rt △BEF 的中线, 所以 PD=12BF, PE=12BF, 所以 PD=PE,点P 在线段DE 的垂直平分线上. 同理可证 QD=QE,所以 点Q 在线段DE 的垂直平分线上. 所以 直线PQ 垂直平分线段DE.22.(1)当a=c=0,d ≠0时, s=bd 是有理数. 当c ≠0时,s=()a ad ad cx d b b ax b a c c c cx d cx d c cx d ++--+==++++, 其中:a c 是有理数,cx+d 是无理数,adb c-是有理数.要使s 为有理数,只有adb c-=0,即 bc=ad.综上知,当a=c=0且d ≠0或c ≠0且ac=bd 时,s 是有理数. (2)当c=0,d ≠0,且a ≠0时,s 是无理数.当c ≠0时,s=()a ad ad cx d b b ax b a c c c cx d cx d c cx d ++--+==++++ 其中: a c 是有理数,cx+d 是无理数,adb c-是有理数.所以 当adb c-≠0,即bc ≠ad,s 为无理数.综上知,当c=0,a ≠0,d ≠0或c ≠0,ac ≠bd 时,s 是无理数. 23.设第n 次操作后,线段AB 上所标注的数字和是a n ,那么第n+1次操作后,使得除A 、B 两点外,其他的数字都再加上一次(两边各加上一半),而A 、B 两点的数字, 则再加上它们的一半,即 102002(2002)21001(1)22n n n n a a a a n +=+-++=-≥ 又因为 a 1=2002+0=2002所以 a 2=2a 1-1001=3003所以 a 11=2a 10-1001=2(2a 9-1001)-1001=22·a 9-(2+1)·1001=…=210·a 1-(29+28+27+…+2+1)·1001 =1024.2002-(1024-1).1001=1026025.答:经过11次操作后,在线段AB上标注的所有数字的和为1026025.。
“希望杯”全国数学邀请赛简介
“希望杯”全国数学邀请赛简介 这⼀邀请赛⾃1990年以来，已经连续举⾏了⼆⼗⼆届。
22年来，主办单位始终坚持⽐赛⾯向多数学校、多数学⽣，从命题、评奖到组织⼯作的每个环节，都围绕着⼀个宗旨：激发⼴⼤中学⽣学习的兴趣，培养他们的⾃信，不断提⾼他们的能⼒和素质。
这⼀活动只涉及初⼀、初⼆、⾼⼀、⾼⼆四个年级，不涉及初三、⾼三，不与奥赛重复，不与中考、⾼考挂钩，不增加师⽣负担，因此受到⼴⼤师⽣的欢迎。
该竞赛⼀直受到原国家教委的肯定，并被列⼊原国家教委批准的全国性竞赛活动的名单中，同时愈来愈多的数学家、数学教育家对邀请赛给予热情的关⼼和⽀持。
到第⼗届为⽌，参赛城市已超过500个，参赛学⽣累计598万。
“希望杯”全国数学邀请赛已经成为中学⽣中规模、影响最⼴的学科课外活动之⼀。
据介绍，该竞赛活动分两试进⾏。
第⼀试（每年三⽉进⾏）以各地（省、市、县、〔区〕、学校）为单位组织参赛学⽣，在全国各参赛学校同时进⾏，各测试点按命题委员会下发的评分标准进⾏阅卷、评分，从中按七分之⼀的⽐例按成绩择优选拔参加第⼆试的选⼿。
第⼆试（每年四⽉进⾏）由当地《数理天地》编委分会或地、市级教研室或教育学院、教科所、教师进修学校统⼀组织，测试结束后，各测试点将试卷密封，向组委会挂号寄出，由命题委员会阅卷，从中按⼋分之⼀的⽐例按成绩评定⼀、⼆、三等奖，分别授予⾦、银、铜奖牌及获奖证书。
对组织⼯作做得出⾊的地区或学校，组委会颁发“希望杯”数学邀请赛组织奖。
⽇本国算数奥林匹克委员会对此项赛事⾮常关注，该委员会事务局局长若杉荣⼆先⽣专程来华同邀请赛组委会洽谈参赛事宜，并从1996年开始，已连续三年组织⽇本部分中学⽣参加了竞赛活动，由此开创了我国社会团体举办同类竞赛⾛出国门的先例。
近年来，美国、德国的有关组织也与组委会联系合作事宜。
希望杯杯徽 ★圆形，表⽰⼴阔的天空。
★英⽂hope（希望）形如⼀只展翅飞翔的鸟。
喻义：“希望杯”全国数学邀请赛为⼴⼤的青少年在科学思维能⼒上的健康发展开辟了⼀个⼴阔的空间，任他们⾃由翱翔。
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第三届“希望杯”全国数学邀请赛
初二第2试
一、选择题：
1．2293287325-=（ ）
A ．47249；
B ．45829；
C ．43959；
D ．44969；
2．长方形如图43．已知2,1AB BC ==，则长方形的内接三角形的面积总比数( )小或相等（ ） A.47；B.1；C.23；D.13
；
3．当6,8x y ==时，66422422x y x y x y +++的值是（ ）
A ．1200000254000-；
B ．1020000250400-；
C ．1200000250400-；
D ．1020000254000-；
4．等腰三角形的周长为a ，一腰的中线将周长分成5:3，则三角形的底边长为（ ）
A.6a ；
B.35a ；
C. 6a 或85a ；
D.45
a ； 5.222222362310x xy y x xz y y z -++++++=的,,x y z 的值适合（ ）
A.230200x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩；
B.3260232x y z x y z x y z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩
；
C.32620232x y z x y z x y z +-=-⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩；
D.00232x y z x y z x y
z -+
=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩
；
6.四边形如图44，31,302AB BC A B C =
=∠=∠=∠=︒，则D 点到AB 的距离是（ ） A.1；B.12；C.14；D.18
； 7．在式子|1||2||3||4|x x x x +++++++中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是（ ）
A ．1；
B ．2；
C ．3；
D ．4；
8．一个等腰三角形如图45，顶角为A ∠，作A ∠的三等三分线,AD AE （即123∠=∠=∠），若BD x =，DE y =，EC z =，则有（ ）
A ．x y z >>；
B ．x z y =>；
C ．x z y =<；
D ．x y z ==；
9．已知方程2
(1)(|2||10|)5a x a a x a +++--+=有两个不同的实根，则a 可以是（ ）
A ．5；
B ．9；
C ．10；
D ．11；
10.正方形如图46，1,AB BD =和AC 都是以1为半径的圆弧，则无阴影的两部分的面积的差是（ ） A.12π-；B.14π-；C.13π-；D.16
π-；
二、填空题：
1.
=的所有根的和的值是________；
2.已知a b a b +=
-=ab =________；
3．如图47，在ABC ∆中，60,75,ACB BAC AD BC ∠=∠=︒⊥于,D BE AC ⊥于,E AD 与BE 交于H ，则CHD ∠=∠________；
4.已知
x =323551424x x x +++的值是________； 5．如图48，已知边长为a 的正方形,ABCE E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是________；
6. 已知4,4x y xy +==-，那么33
33x y x y
+=-________；
7．在正ABC ∆中（如图49），D 为AC 上一点，E 为AB 上一点，,BD CE 相交于P ，若四边形ADPE 与BPC ∆的面积相等，那么BPE ∠=________；
8.已知方程2191500x x --=的一个正根为a
+┉
=________； 9．某校男生若干名住校，若每间宿舍住4名，则还剩20名未住下；若每间宿舍住8名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生________名．
10．n 是自然数，1914n +与103n +都是某个不等于1的自然数d 的倍数，则d =________；
三、解答题：
1.若,,,0a b c d >，证明：在方程 2102x ++=，2102
x ++=，
21202x a bx ab +++=，21202
x d ax bc +++=中，至少有两个方程有不相等的实数根；
2．（1）能否把1,2,3,,1992⋅⋅⋅这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，…，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明；
（2）把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明．如果能够，请给出一种分组法；
答案与提示
一、选择题
提示：
5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy 化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．
6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．
7．由∠A=36°，AB=AC ，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC ．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD ．∴应选(B)．
8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．
∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．
9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．
同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．
∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)．
10．原方程为|3x|=ax+1．
(1)若a=3，则|3x|=3x+1．
当x≥0时，3x=3x+1，不成立．
(2)若a＞3．
综上所述，a≥3时，原方程的根是负数．
∴应选(B)．
另解：（图象解法）
设y1=|3x|，y2=ax+1。
分别画出它们的图象．从图87中看出，当a≥3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限．
二、填空题
提示：
1．∵49=7×7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21．
2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)．而x1·x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则
4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．
6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．
其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0．
8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴BG=AB-AG=14-10=4．
10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有
3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①
由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得
n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．
但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．
∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）．
三、解答题
1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：
OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短．
记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连结OB＇．则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O．
d(OABCO)-d(OACBO)
=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)
=AB+CO-AC-BO
=AB+CO-AB＇B＇CB＇O
=CO-(B＇C+B＇O)＜0
同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．所以路线OABCO的距离最短．
因此x y是关于t的方程
解二：由已知条件得
两边加上a4+1，得
显然0＜a＜1，0＜a2＜1．。