2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.1.2空间向量的数乘运算》 课件
(
)
(2)已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面 ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点， 若 OQ 求式中x，y的值. ＝PQ ＋xPC ＋yPA ，
【解题探究】1.题(1)中向量 AE 如何用向量 AA 与向量 AC
表示？ AF 与 AE 关系如何？
知识点2
共线向量
1.对空间共线向量的两点说明 (1)类比理解:空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样, 平面共线向量的结论在空间共线向量中仍然成立. (2)共线的理解:“共线”这个概念具有自反性,也具有对称性, 即若a∥b,则b∥a.
2.共线向量充要条件的三个关注点 (1)区别:共线向量与直线平行的区别,直线平行不包括两直线 重合的情况,而我们说的两个共线向量a∥b,表示向量a,b的有 向线段所在直线既可以是同一直线,也可以是两条平行直线. (2)零向量:共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问 题的重要依据,条件b≠0不可遗漏. (3)方向向量的个数:直线的方向向量是指与直线平行或共线的 向量.一条直线的方向向量有无限多个,它们的方向相同或相反.
对空间任意一点O,点P在直线l上 推 的充要条件是存在实数t满足等
的充要条件是存在 有序实数对(x,y),
xAB yAC OP OA ta 向量a为直线l 式____________, 使 AP =__________ 论 方向向量 或在直线l取向量 AB 或对空间任意一点O, 的_________
知识点3
共面向量
1.对共面向量的两点说明 (1)共面的理解:共面向量是指与同一个平面平行的向量,可将 共面向量平移到同一个平面内. (2)向量的“自由性”:空间任意的两向量都是共面的.只要方 向相同,大小相等的向量就是同一向量,只要能平移到同一平面 上的向量都是共面向量.
2.对共面向量充要条件的两点说明:
【微思考】
(1)共面向量与直线与平面平行的定义是否一样?
提示:共面向量是指表示向量的有向线段所在的直线与平面平
行或表示向量的有向线段所在的直线在平面内 ,它与直线和平
面平行是不同的.
(2)在三个向量共面的充要条件中,若两向量a,b共线,那么结论 是否还成立? 提示:不成立.因为当p与a,b都共线时,存在不惟一的实数对 (x,y)使p=xa+yb成立.当p与a,b不共线时,不存在实数对(x,y) 使p=xa+yb成立.
3．三点P，A，B共线的三种充要条件 (1)存在实数t，使得 AP tAB 即 AP AB. ， (2)存在实数t，使得 OP OA tAB. (3)存在有序实数对(x，y)，使得 OP xOA yOB(其中x+y=1).
【知识拓展】共线向量定理推论的证明 推论:如果l为经过已知点A,且平行于已 知向量a的直线,那么对空间任一点O,点P在 直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式
【题型示范】 类型一 空间向量的数乘运算
【典例1】 (1)(2014·上海高二检测)已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点 E是A′C′的中点,点F是AE的三等分点,且AF=
1 1 A.AA ＋ AB ＋ AD 2 2 1 1 1 B. AA ＋ AB ＋ AD 2 2 2 1 1 1 C. AA ＋ AB ＋ AD 2 6 6 1 1 1 D. AA ＋ AB ＋ AD 3 6 6
对于△PAC可得 PO OQ PQ PO ，
1 PA PC ． 2
【自主解答】(1)选D.由条件AF＝ 所以AE=AF+EF=3AF, 所以 AF＝ AE＝ (AA ＋AC)
1 3 1 1 3 2
1 EF得EF＝2AF， 2
1 1 1 1 ＝ AA ＋AA ＋AC AA ＋AA ＋AB AD 3 2 3 2 1 1 1 AA ＋ AB ＋ AD. 3 6 6
2.题(2)中 OQ PQ xPC yPA ，你能确定哪些与向量 OQ ， PQ ，
PC ， PA 有关的三角形？
【探究提示】1.利用平行四边形法则 AE 1 AA AC ， AF
与 AE 可利用线段间的长度比例关系建立联系 AF＝ 1 AE.
3
2
2.解答本题需准确画图，有关的三角形是△POQ，可得
(4)错误,空间中的任意三个向量不一定是共 面向量.例如,对于空间四边形ABCD, AB ， AC ， AD 这三个向量就不是共面向量. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a= b.
(2)已知b=-5a(|a|=2),向量b的长度为
(1)表示式:共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式,说
明空间中任意一个平面都可以由两个不共线的平面向量表示
出来.
(2)正反两角度:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存 在有序实数对(x,y),使 MP xMA yMB. 满足这个关系式的点 P都在平面MAB内;反之,平面MAB内的任一点P都满足这个关系式.
②
当t=
1 时，OP 1 OA OB ． ③ 2 2
注：其中向量a叫做直线l的方向向量. ①和②都叫空间直线的向量表示式，③是线段AB的中点向量 公式．
【微思考】 (1)若空间中两向量共线,则它们的方向有什么关系? 提示:两向量共线,则它们的方向相同或相反. (2)在两向量共线的充要条件中,为什么要求b≠0? 提示:由于我们已经规定了0与任意向量平行,所以当b=0时,a与 b是共线向量,可如果a≠0,就不可能存在实数λ,使a=λb成立.
Байду номын сангаас
【要点探究】
知识点1 空间向量的数乘运算
1.数乘运算的三个关注点
(1)与实数运算的区别:数乘向量与数与数的乘法是有区别的, 前者结果是一个向量,后者结果是一个实数. (2)与加法、减法运算的关系:空间向量的数乘运算,实质是空 间向量的加减运算. (3)特殊情况:当λ =0或a=0时,向量λ a=0.
【即时练】 给出下列几个命题: ①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线; ②零向量的方向是任意的; ③若a∥b,则存在惟一的实数λ ,使a=λ b.其中真命题的个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 )
【解析】选B.①错误,若b=0,则a,b共线,b,c共线,但a,c未必共 线;②正确.这是关于零向量的方向的规定;③错误.若b=0,则有 无数多个λ使之成立.
a
零向量a除以它的模就可以得到它的单位向量.从向量a求向量 a°的过程就称为向量a的单位化.
【微思考】 (1)向量λ a的模与向量a的模比较何时扩大?何时缩小? 提示:向量a的模可以扩大(当|λ|>1时),也可以缩小(当|λ|<1 时). (2)向量λ a的方向与向量a的方向是否一致? 提示:向量a的方向可以不改变(当λ>0时),也可以改变(当λ<0 时).
2.对λ a的三点说明 (1)含义:λ a是实数λ 与向量a间的运算. (2)λ 的作用:λ 的正负影响着向量λ a的方向,λ 的大小影响着 向量λ a的长度. (3)a的作用:向量λ a与向量a一定是共线向量.
【知识拓展】非零向量的单位化 已知非零向量a和它的单位向量a°,显然向量|a|a°与向 量a等长且同向,所以有a=|a|a°或a°= a .由此可知,一个非
【解析】选A.①错.由于向量是可以自由平移的,所以空间任意 两个向量一定共面;②错.从正方体一顶点引出的三条棱作为三 个向量,虽然是两两共面,但这三个向量不共面,三个向量共面 时,它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行 ;③错.首先 a,b所在直线不一定能确定平面,其次在平行六面体ABCDA1B1C1D1中, AB， A1B1， DC 三向量共面,然而平面ABCD与平面 ABB1A1相交.
向与向量a的方向 .
4
,向量b的方
(3)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中, A1E＝ 1 A1C1，,若
AE＝xAA1＋y(AB ＋AD)， 则x=
,y=
.
【解析】(1)b与a的方向相反, 所以a=λb且实数λ<0,
| | 由|a|=|λ ||b|,所以 |a | 5 ， 故λ= 5 . |b | 7 7
OP OA tAB.
证明：因为l∥a， 所以对于l上任意一点P，存在惟一的实数t，使得 AP =ta.(*) 又因为对于空间任意一点O， 有 AP OP OA， 所以 OP OA ta， OP OA ta. 若在l上取AB=a，则有 OP OA tAB. 又因为 AB OB OA， 所以 OP OA t OB OA 1 t OA tOB. ① (**)
3.1.2 空间向量的数乘运算
1.空间向量的数乘运算是如何定义的?它满足哪些运 问题 算律? 引航 2.共线向量与共面向量的充要条件分别是什么? 3.实数与向量的乘积是向量吗?
1.向量的数乘运算
(1)数乘运算: 结果 λ 的范 围 λ >0 λ =0 λ <0 向量 实数λ 与空间向量a的乘积是一个_____ 方向关系 相同 方向_____ λ a=0,其方向是任意的 相反 方向_____ λ a的模是a的模的 |λ |倍 _______ 模的关系
答案: 5
7
(2)因为|a|=2,又b=-5a, 所以向量b的长度为10, 又因为-5<0,故向量b与a的方向相反. 答案:10 相反
1 AE ＝ AA ＋ A E ＝ AA ＋ A1C1 (3) 1 1 1 4 1 ＝AA1＋ AB ＋AD ． 4 1 所以x＝1，y＝ . 4 1 答案：1 4
OA tAB =a,则 OP =_________
高中数学人教A版选修2-1课件3.1.2 空间向量的数乘运算ppt版本
又������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������
=−
1 2
������������
+
������������
−
������������
−
1 2
������������ ,
∴2������������
=
1 2
分析:画出图形,根据向量的加减和数乘运算解题.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)如图所示, ������������ = ������������ + ������������,
由向量加法的平行四边形法则可得������������
=
1 2
(������������
+
������������ ),
,
������
=
−
12.
(2)∵ ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + 2������������
= ������������ + 2(������������ − ������������) = ������������ + 2������������ − 2������������.
2 ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + 3 ������������
1 = ������������ + 3 (������������ + ������������)
高中数学选修2-1精品课件：3.1.2 空间向量的数乘运算
(3)∵N 是 C′D′的中点，∴A→N＝12(A→C′＋A→D′) ＝12[(A→B＋A→D＋A→A′)＋(A→D＋A→A′)] ＝12(A→B＋2A→D＋2A→A′)＝12a＋b＋c. (4)∵CQ∶QA′＝4∶1， ∴A→Q＝A→C＋C→Q＝A→C＋45(A→A′－A→C) ＝15A→C＋45A→A′＝15A→B＋15A→D＋45A→A′ ＝15a＋15b＋45c.
(2)两向量共线的充要条件
对空间任意两个向量a，b (b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一
的实数λ，使a＝λb.
(3)共线向量的推论 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对 于空间任一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使O→P ＝O→A＋ta，①.其中向量 a 叫做直线 l 的__方__向__向__量___.在 l 上取A→B ＝a，则①式可化为O→P＝O→A＋tA→B，②.此推论可以用来判断任意 三点共线.
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要
条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
【预习评价】 已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外一点 O 满足O→M＝ 13O→A＋13O→B＋13O→C，试判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共 面.
提示 ∵O→A＋O→B＋O→C＝3O→M，∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋ (O→M－O→C)＝B→M＋C→M，即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， ∴向量M→A，M→B，M→C共面.
题型二 向量共线问题 【例 2】 如图，四边形 ABCD 和 ABEF
都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，则C→E与M→N是 否共线？ 解 方法一 ∵M，N 分别是 AC，BF 的中点，且四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形， ∴M→N＝M→A＋A→F＋F→N ＝12C→A＋A→F＋12F→B.①
人教A版高中数学选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算
空间四边形ABCD 中,M,G 分别是
BC,CD 边的中点,化简：
A
(1) AB 1 (BC BD);
2
1
(2) AG ( AB AC).
D
2
B
M
G C
第十七页，编辑于星期日：六点 十五分。
7.练习1
空间四边形ABCD中,M,G分别是BC,CD边的
中点,化简：
(1) AB 1 (BC BD); (2) AG 1 ( AB AC).
向量.
Noa
O
A
Imaage
第十四页，编辑于星期日：六点 十五分。
共面向量定理:如果两个向量 a, b
不共线,则向量p与向量 a, b共面的充要条
件是存在实数对 x, y使 p xa yb.
推论:空间一点P位于平面ABC内的充
要条件是存在有序实数对x,y使 OP=xAB+yAC
或对空间任一点O,有 OP=OA+xAB+yAC
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) k a＋kb
第二十二页，编辑于星期日：六点 十五分。
9.课后作业
P89 练习 1,2,3.
P97 习题3.1 A组 2,3.
第二十三页，编辑于星期日：六点 十五分。
第二十四页，编辑于星期日：六点 十五分。
第三页，编辑于星期日：六点 十五分。
1.回 顾
两向量的和与差
第四页，编辑于星期日：六点 十五分。
1.回 顾
第五页，编辑于星期日：六点 十五分。
1.回 顾
第六页，编辑于星期日：六点 十五分。
2.空间向量的数乘运算
高中数学人教A版选修2-1课件：3-1-2 空间向量的数乘运算
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
课前预习案
课堂探究案
探究一空间向量的数乘运算 【例1】 已知ABCD为正方形,P是ABCD所在平面外的一点,P在 平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点, 求下列各式中x,y的值.
(1)������������ = ������������+x������������ +y������������; (2)������������=x������������ +y������������ + ������������ .
分析：先根据题意画出图形,然后利用三角形法则或平行四边形 法则表示出指定向量,再根据对应向量的系数相等,求出x,y即可.
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
课前预习案
课堂探究案
解： (1)如图所示 ,������������ = ������������ + ������������ ,
由向量加法的平行四边形法则可得������������ = (������������ + ������������),
定义
充要 条件
首页
课前预习案
课堂探究案
共线 (平行 )向量 如果 l 为经过点 A 平行于已 知非零向量 a 的直线 ,那么对 于空间任一点 O ,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t, 使������������ = ������������+ta①,其中 a 叫做 直线 l 的方向向量,如图所示. 推论
答案：A
首页
课前预习案
课堂探究案
2.共线向量与共面向量
共线 (平行 )向量 表示空间向量的有向线段所 在的直线互相平行或重合,则 这些向量叫做共线向量或平 行向量 对于空间任意两个向量 a,b(b ≠0),a∥ b 的充要条件是 存在实数 λ 使 a=λb
2014年人教A版选修2-1课件 3.1 空间向量及其加减运算
返回目录
1. 什么是空间向量? 它与平面向量有什么 相同和异同?
2. 空间任意两向量是共面向量吗?
3. 空间向量怎样进行加减运算?
问题1. 如图, 一块均匀的 F3 正三角形面的钢板质量为500 kg, 在它的顶点处分别受力 F1, F2, F1 F3, 每个力与同它相邻的三角形 F2 C 的两边之间的夹角都是60, 且 |F1|=|F2|=|F3|=200kg. 这块钢板 A B 在这些力的作用下将会怎样运 500 kg 动? 这三个力至少为多大时, 才 能提起这块钢板? 关于三个力 F1, F2, F3 的运算, 实际是向量 AF1, BF2 , CF3 的运算, 这三个向量不是同一平面内 的向量, 这就是我们要学习的空间向量.
【课时小结】
【空间向量的加减法】 问题3. 类比平面向量, 你认为空间向量的加减 法应怎样运算? 我们已经知道, 空间任意两个向量都可以平移到 同一个平面内, 成为讨论平面向量的问题. 那么平面向量的加减法运算法则同样也适用于空 间向量. D D 空间两向量相加减, 将两向量移到同一平面, D 按平面向量的加减进行 B C 类比平面向量, 你认为空间向量的加减 法应怎样运算? 我们已经知道, 空间任意两个向量都可以平移到 同一个平面内, 成为讨论平面向量的问题. 那么平面向量的加减法运算法则同样也适用于空 间向量. D D 空间向量的加法运算 也满足交换律及结合律: D
ab=ba. (ab)c=a(bc).
本章内容
3.1 空间向量及其运算
3.2 立体几何中的向量方法 第三章 小结
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算课时作业 新人教A版选修2-1
空间向量的数乘运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是( )A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量【解析】选C.由题意知,==-,所以向量,,是共面向量.2.(2014·沈阳高二检测)下列命题中正确的是( )A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面C.空间任意两个向量共面D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb【解析】选C.对A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行,错误.当b=0时不成立;B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面,错误,因为空间平行的向量也是共面的;C.空间任意两个向量共面,正确;D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb,错误,当b=0时不成立.【变式训练】与共线是直线AB∥CD的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若与共线,则∥,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线;而若AB∥CD,则必有与共线.3.(2014·西安高二检测)对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是( )A.=++B.=++C.=-++D.以上都不对【解析】选B.因为=++,所以3=++,所以-=(-)+(-),所以=+,所以=--,所以P,A,B,C共面.【变式训练】对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6=+2+3,则( )A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面【解析】选B.由6=+2+3,得(-)=2(-)+3(-),即=2+3.由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面.4.已知两非零向量e1,e2不共线,设a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ,μ≠0),则( ) A.a∥e1 B.a∥e2C.a与e1,e2共面D.以上三种情况均有可能【解析】选C.若a∥e1,则存在实数t使得a=t e1,所以t e1=λe1+μe2,所以(t-λ)e1=μe2,则e1与e2共线,不符合题意.同理,a与e2也不平行.由向量共面的充要条件知C正确.5.(2014·南宁高二检测)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则等于( )A.2-B.-+2C.-D.-+【解析】选A.由已知得2(-)+(-)=0,所以=2-.6.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c【解析】选A.=+=+(-)=+-=-a+b+c.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知e1,e2是不共线向量,a=3e1+4e2,b=-3e1+8e2,则a与b是否共线(填是或否).【解析】设a=λb,即3e1+4e2=λ(-3e1+8e2)=-3λe1+8λe2,所以⇒所以不存在λ,使a=λb,即a与b不共线.答案:否8.(2014·福州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用,,表示向量,则= .【解析】=++=++(+)=++(-+)=++.答案:++9.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,=a,=b,=c,若=x a+y b+z c,则x+y+z= .【解析】在△OBD中,=+=+-=+-=+--(-)=+-=a-b+c,故x+y+z=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=,=2.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.【解题指南】先利用三角形法则进行向量的加减运算,将表示成其他向量,然后进一步用a,b,c表示.【解析】如图所示,连接AN,则=-=+-=+-(+)=+(-)-(+)=c+(b-c)-(a+b)=-a+b+c.【拓展延伸】数形结合法表示向量用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算.解题时要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量.本题也可以先将表示为=++.11.(2014·武汉高二检测)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,若点M满足=++.(1)判断,,三个向量是否共面.(2)判断点M是否在平面ABC内.【解析】(1)由已知,得++=3,所以-=(-)+(-),所以=+=--.所以向量,,共面.(2)由(1)知向量,,共面,三个向量的基线又过同一点M,所以四点M,A,B,C共面,所以点M在平面ABC内.【变式训练】直线AB,CD为两异面直线,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量,,共面. 【证明】如图,在封闭图形ABNM中,=++, ①在封闭图形CDNM中,=++, ②又因为M,N分别为线段AC,BD的中点,所以+=0,+=0,①+②得2=+,即=+,所以向量,,共面.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·泰安高二检测)如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为平面ABC内一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量的为( )A.+2+2B.-3-2C.+3-2D.+2-3【解析】选 C.根据A,B,C,P四点共面的充要条件可知=x+y.由图知x=3,y=-2,所以=+3-2.2.(2014·济南高二检测)下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若a,b共线,则a与b所在直线平行;④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0正确;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件,错误;③若a,b共线,则a与b所在直线平行,错误,有可能是共线、平行或者其中有零向量;④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R)且x+y+z=1,则P,A,B,C 四点共面.【变式训练】在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( )A.=3-2-B.+++=0C.++=0D.=-+【解析】选C.因为++=0,所以=--,所以M与A,B,C必共面.3.(2013·温州高二检测)空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于( )A. B.3 C.3 D.2【解析】选B.-+=-(-)=-=+=+2=3.4.(2014·石家庄高二检测)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x++,则x的值为( )A.1B.0C.3D.【解析】选D.因为=x++,且M,A,B,C四点共面,所以x++=1,x=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知i与j不共线,则存在两个非零常数m,n,使k=m i+n j是i,j,k共面的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).【解析】若i不平行于j,则k与i,j共面⇔存在惟一的一对实数x,y使k=x i+y j.答案:充要6.有下列命题:①若∥,则A,B,C,D四点共线;②若∥,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).【解析】根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且,有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2=-4b,所以a∥b,故③正确;易知④也正确.答案:②③④三、解答题(每小题12分,共24分)7.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面.【证明】如图,过B1作l3∥l1取点C2∈l3且BC=B1C2.因为=,=,所以=2,=2.因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线,所以=λ=2λ,=μ=2μ.于是=+=+=+(-)=(+)=(2λ+2μ)=λ+μ.因此,,共面.故M,N,P,Q四点共面.8.已知斜三棱柱ABC-A′B′C′,设=a,=b,=c.在面对角线AC′上和棱BC上分别取点M和N,使=k,=k(0≤k≤1).求证:(1)与向量a和c共面.(2)MN∥面A′AB.【证明】(1)显然=k=k b+k c,且=+=a+k=a+k(-a+b)=(1-k)a+k b,=-=(1-k)a+k b-k b-k c=(1-k)a-k c.因此,与向量a和c共面.(2)由(1)知与向量a,c共面,a,c在面A′AB内,而不在面A′AB内,所以MN∥面A′AB.。
人教A高二数学选修2-1 空间向量的数乘运算(1) ppt1[1]
17
课外思考题:
如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量
AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为
a
⑴∵ AP // aO,∴存即在，唯一P,实A,数Bt三 点R ,共使 A线P。 t或a .表示
∴ 点 P 在直线 l为上 ： 唯一实数 t R, 使 AP t a ①
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
∵ A 、B 、P 、O 四点在同一个平面内,且 OP xOA yOB
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA、OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴x y1
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
学习共面
比为 1
2
，N分 A1D 成的比为2，设
AB a, AD b, AA1 c,试用 A1
D1
a, b, c 表示 MN 。
B1
C1
N
A
M
B
D C
7
例3、已知 ABCD ABCD 是平行六面体。
（1）化简 1 AA BC 2 AB ，并在图中标出其结果；
2
3
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面 BCCB对角线 BC
(3) 3 ( AB AD AA1 )
A1 G
B1 M
高中数学选修2-1第3章3.1.2空间向量的数乘运算课件人教A版
1 2 1 2 1 2 1 2
-5-
3.1.2 空间向量的数乘运算
目标导航
知识梳理 知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.共线向量与共面向量 (1)①共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量. ②对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 a=λb.
-10-
3.1.2 空间向量的数乘运算
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.向量共面的充要条件及其应用 剖析:(1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是:存在有序 实数对(x,y),使������������ = ������������������ + ������������������ . 满足这个关系式的点P 都在平面 MAB 内;反之,平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式.这个充要 条件常用来证明四点共面. (2)共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据,也可 用来把已知共面条件转化为向量式,以便应用向量这一工具.另外,在 许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x,y,z),使得对于空间任意一 点 O,都有������������ = ������������������ + ������������������ + ������������������ , 且x+y+z=1 成立,则 P,A,B,C 四 点共面”作为判定空间中四点共面的依据.
-6-
3.1.2 空间向量的数乘运算
目标导航
知识梳理 知识梳理
重难聚焦
典例透析
(2)①共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. ②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件 是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
人教A版高中数学选修2-1课件11.12高二理科《3.1.2空间向量的数乘运算》
空推间论一点P位于平面MAB内的充要条件是 存在有序实数对x，y，使
MP＝xMA＋yMB
或对空间任一定点O，有 OP＝OM＋xMA＋yMB．
例题讲解
例题讲解
• 灿若寒星整理制作
高中数学课件
复习引入
复习引入
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
推论 如果l为经过已知点A且平行于已知 非零向量→a的直线，那么对任一点O，点
P在直线l上的充要条件是存在实数t，满
足等式 OP＝OA＋t→a． ① P
例题讲解
例题讲解
例题讲解
例题讲解
新课讲授
新课讲授
如果两个向量a、b→不共→线，则向量p与向→
量a、b→共面→的充要条件是存在实数对x、y
，使
→p＝x→a＋y→b．
空推间论一点P位于平面MAB内的充要条件是 存在有序实数对x，y，使
MP＝xMA＋yMB
或对空间任一Байду номын сангаас点O，有 OP＝OM＋xMA＋yMB．
向量→a叫做直线l的方向向量．
a
A
l O
新课讲授
推论 如果l为经过已知点A且平行于已知 非零向量→a的直线，那么对任一点O，点
P在直线l上的充要条件是存在实数t，满
足等式 OP＝OA＋t→a． ① P 向量→a叫做直线l的方向向量． B a
在l上取AB＝a， 则①可化成
A
OP＝OA＋tAB，
l
OP＝(1－t)OA＋tOB． O
新课讲授
OP＝OA＋ta．
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算
即������������ =y������������ +z������������ .
∴点 P 与点 A,B,C 共面.
+
������������
=
2 3
������������
−
������������
+
1 3
������������1
=23 (������������
+
������������ )-������������
+
1 3
(������
������1
+
������1 ������1 )
=23 (������������
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.设 M 是△ABC 的重心,记������������=a,������������=b,������������=c,则������������=(
)
答案:D
解析:∵M 是△ABC 的重心,
∴������������
=
2 3
������������
目标导航
预习导引
123
已知在空间四边形 OABC 中,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,
点 G 在 MN 上,且 MG=2GN.设������������=a,������������=b,������������=c,则用 a,b,c 表示向