四川省成都市高考数学零诊试卷
成都市2023-2024学年高二下学期7月零诊摸底模拟数学试题1
成都市2023-2024学年高二下学期7月零诊摸底模拟数学试题1注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、班级和准考证号填写在答卡上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）A ．20B ．30C ．40D ．502．的展开式中的系数是（ ）A ．48B ．-48C ．72D ．-723．已知离散型随机变量的分布列为若，则（ ）A ．2B ．3C ．6D ．74．曲线的单调增区间是（ ）A ．B ．C ．和D ．和5．已知数列满足，则“为等比数列”是“（，）”的（ ）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件6．已知函数的导函数的图象如下，则下面判断正确的是（ ）A ．在区间上是增函数B ．在上是减函数C ．当时，取极大值D ．在上是增函数7．在教育部和各省份教育厅组织的九省联考后，预计在4月份左右完全按照高考模式进行高考志愿模拟0123{}n a n n S 310S =620S =9S =()6(2)x y x y +-52x y ξ()1E ξ=()31D ξ+=22ln y x x =-()0,1[)1,+∞(],1-∞-()0,1()1,0-[)1,+∞{}n a 12a ={}n a m n m n a a a +⋅=m ∀*n ∈N ()y f x =()f x '()2,1-()f x ()1,2()f x 4x =()f x ()4,5()f x ξPm 4929n填报，对于某校的甲、乙、丙、丁4名同学，现有数学与应用数学、计算机、信息安全与密码管理三个专业可供选择，每名同学只能填报其中一个专业，每个专业至少有一名同学填报，则甲同学不填报数学与应用数学专业的方案种数为（ ）A ．8B ．16C ．12D ．248．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的焦距为（）A ．B ．C ．6D ．12二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
四川省成都市第七中学2024届高三零诊模拟考试数学(文)试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 下列命题中不正确的是（ ）A．一组数据的平均数，众数，中位数相同B ．有A ，B ，C 三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为，则这两组数据中较稳定的是乙D ．一组数的分位数为52. 已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（）A ．是函数的极大值B ．是函数的极小值C ．在区间上单调递增D．的零点是和3. 已知指数函数为，则函数的零点为（ ）A．B ．0C ．1D ．24.函数，则 f （log 23）=（ ）A ．3B ．6C ．12D ．245. 已知等边三角形ABC 的边长为，则的值为（ ）A．B．C．D．6. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）A ．B．C．D．7. 抛物线E ：x 2＝4y 与圆M ：x 2+（y ﹣1）2＝16交于A 、B 两点，圆心M （0，1），点P为劣弧上不同于A 、B 的一个动点，平行于y 轴的直线PN 交抛物线于点N，则的周长的可能取值是（ ）A ．8B ．8.5C ．9D ．108. 已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，，则（ ）A．B ．直线与双曲线渐近线的交点为，，则，，，四点共圆C．该双曲线的共轭双曲线的方程为D ．过的弦长为5的直线有且只有1条9. 已知复数为纯虚数，则复数的虚部为______.10. 已知双曲线C ：的两焦点分别为，，P 为双曲线C 上一点，若，则=___________.11.若则=_________.四川省成都市第七中学2024届高三零诊模拟考试数学（文）试题(高频考点版)四川省成都市第七中学2024届高三零诊模拟考试数学（文）试题(高频考点版)四、解答题12.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形是等边三角形，则双曲线离心率为_______，若的面积为，则___________．13.求数列的前n 项和．14.已知函数.（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）若的最小值为-2，求实数的值.15. 随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市发行2亿元消费券.为了解该消费券使用人群的年龄结构情况，该市随机抽取了50人，对是否使用过消费券的情况进行调查，结果如下表所示，其中年龄低于45岁的人数占总人数的.年龄(单位：岁)调查人数5m 1510n 5使用消费券人数51012721（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有的把握认为是否使用消费券与人的年龄有关.年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数合计使用消费券人数未使用消费券人数合计参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.（2）从使用消费券且年龄在与的人中按分层抽样方法抽取6人，再从这6人中选取2名，记抽取的两人中年龄在的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.16. （1），解方程；（2）定义：在R上的函数满足：若任意，都有，则称函数是R 上的凹函数．函数，求证：是凹函数.。
四川省成都市第七中学2024届高三零诊模拟考试数学(文 答案
1成都七中高2024届零诊模拟考试数学参考答案(文科)二、填空题：共4道小题，每题5分,共20分. 13. 00x ∃>，00tan x x ≤ 14. 0x y += 15. 80.5 16. 5[,2)4三、解答题：共5道大题，共70分.17. （12分）解：(1)由题设知2(1)()22f f x x x '−'=−+，取1x =−，则有(1)(1)32f f '−'−=+，即(1)6f '−=； 也即3213()2(1)32f x x x x f =−+−，取1x =，则有5(1)(1)6f f =−，即5(1)12f =. 故(1)6f '−=，5(1)12f =. ……6分 (2)由(1)知32135()2f x x x x =−+−，2()32(1)(2)f x x x x x '=−+=−−， 故max ()(1)12f x f ==，min ()(0)12f x f ==−. ……12分CF 中点H ，连接OH GH 、，如图所示：EBCF 是矩形，且2CB EB =，的中点，∴//OH BC 且12OH BC =， 12EF ，而//EF BC 且EF BC =. BC 且12AG BC =， ，是平行四边形，则//AO HG ，HG ⊂平面GCF ，.2224t tt−+，解得2,1()3t t==或舍去.故t的取值为23. ……12分21.（12分）解：(1)由()xf x e ax=−知()xf x e a'=−，1）当a e≤时，且有[1,)x∈+∞，()0f x'≥，()f x单增，故无极值；2）当a e>时，有(1,ln)x a∈，()0f x'<，()f x单减，而(ln,)x a∈+∞，()0f x'>，()f x单增，故()(ln)lnf x f a a a a==−极小值，()f x无极大值.综上，当a e≤时，()f x无极值；当a e>时，()f x极小值为lna a a−，()f x无极大值. ……4分(2)由(1)可知()1xf x e'=−，即有1111lntt t tλλ+>+−−，整理可令得(1)(1)()ln01tF t ttλλ+−=−>+, ……6分而22221(1)(1)(1)()(1)(1)t tF tt t t tλλλλ+−−'=−=++，……7分 1）当1λ≥时，且(1,)t∈+∞，有22(1)()0(1)tF tt tλ−'≥>+，()F t单增，()(1)0F t F>=，满足题设；……9分 2）当01λ<<时，且21(1,)tλ∈，有()0F t'<，()F t单减，()(1)0F t F<=，不满足题设；……11分综上，λ的取值范围为[1,)+∞. ……12分22.（10分）解：（1）由2sin2cosaρθθ=+，得22sin2cosaρρθρθ=+，故曲线的直角坐标方程为，即222()(1)1x a y a−+−=+；由sin()4πρθ−sin cos2ρθρθ−=，故直线的直角坐标方程为. ……4分（2）点P的直角坐标为(2,0)−，在直线上，而直线的标准参数方程为(t为参数），将其代入，整理可得.由题设知222(3)4(44)2(1)0a a a∆=+−+=−>，解得.又，.当1,1a a>−≠且时，有12,0t t>，则1212||||||||3)PM PN t t t t a+=+=+=+=解得2a=；当1a≤−时，有12t t≤，则1212||||||||||1|PM PN t t t t a+=+=−=−=，解得4a=−.故a的值为2或-4. ……10分C2222x y y ax+=+l2y x=+ll2xy⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222x y y ax+=+()2440t t a−++=1a≠12t t+=1244t t a=+3。
四川省成都市高2021届2020年高三零诊数学试卷(文科、理科)
四川省成都市高2021届2020年高三零诊数学试卷(文科、理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 $A=\{x|0<x<2\}$，$B=\{x|x\geq1\}$，则 $A\capB=$A) $\{x|0<x\leq1\}$ (B) $\{x|0<x<1\}$ (C) $\{x|1\leqx<2\}$ (D) $\{x|0<x<2\}$2.复数 $z=2i/(2-i)$（$i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3.已知函数 $f(x)=\begin{cases} |x-1|。
& x\leq 1 \\ e^{\ln x}。
& x>0 \end{cases}$，则 $f(f(2))=$A) 0 (B) 1 (C) $e^{-1}$ (D) 24.为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部、教育部、XXX等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”。
某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动。
已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：xxxxxxxx39 xxxxxxxx82 xxxxxxxx78 xxxxxxxx38xxxxxxxx48 xxxxxxxx15 xxxxxxxx77 xxxxxxxx17 xxxxxxxx92 若从随机数表第6行第9列的数开始向右数，则抽取的第5名学生的学号是A) 17 (B) 23 (C) 35 (D) 375.“$k=223$” 是“直线 $y=kx+2$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切”的A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件6.已知离心率为2的双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （$a>0,b>0$）与椭圆$\dfrac{y^2}{84}+\dfrac{x^2}{ab}=1$ 有公共焦点，则双曲线的方程为A) $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ (B)$\dfrac{x^2}{b^2}-\dfrac{y^2}{a^2}=1$ (C) $x^2-a^2y^2=b^2$ (D) $y^2-a^2x^2=b^2$7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果 $S$ 为A) $-1$ (B) $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$ (C) 0 (D) $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$8.设函数 $f(x)$ 的导函数是 $f'(x)$。
【精品高三数学试卷】2019-2020成都高三(上)零诊(文科)+答案
2019-2020学年四川省成都高三（上）零诊数学试卷（文科）一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合{||1|1}A x x =-<，2{|10}B x x =-<，则(A B = )A ．(1,1)-B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(0,1)2．（5分）若1122aii i+=++，则(a = ) A ．5i --B ．5i -+C ．5i -D ．5i +3．（5分）设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x <<时，2()f x x x =-，则5()(2f -=)A ．14-B ．12-C ．14D ．124．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( ) A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元5．（5分）设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则()A ．5166BO AB AC =-+B ．1162BO AB AC =-C ．5166BO AB AC =- D ．1162BO AB AC =-+6．（5分）执行如图的程序框图，则输出x 的值是( )A ．2016B ．1024C ．12D ．1-7．（5分）等差数列{}n a 中的2a 、4032a 是函数321()4613f x x x x =-+-的两个极值点，则2220174032log ()(a a a = )A ．624log +B ．4C ．323log +D ．324log +8．（5分）以下三个命题正确的个数有( )个 ①：若225a b +≠，则1a ≠或2b ≠；②：定义域为R 的函数()f x ，函数()f x 为奇函数是(0)0f =的充分不必要条件； ③：若0x >，0y >且21x y +=，则11x y+的最小值为32+A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在直线1CC 上，直线OP 与11B D 所成的角为α，则sin α为( )A ．1B ．32C ．12D ．变化的值11．（5分）函数2()sin (4cos 1)f x x x =-的最小正周期是( ) A ．3πB ．23π C ．π D ．2π12．（5分）已知抛物线22y mx =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同的焦点F ，P 是两曲线的公共点，若5||6PF m =，则此椭圆的离心率为( )A ．32B ．222- C ．333- D ．12二.填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．13．（5分）命题p ：“0x R ∃∈，200220x x ++”，则命题p 的否定p ⌝是 ．14．（5分）若m ，n 满足1400m n m n m n -⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，则2u m n =-的取值范围是 ．15．（5分）若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 ． 16．（5分）定义在区间(0,2)上的函数2()1f x x x t =-+-恰有1个零点，则实数t 的取值范围是三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上． 17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知4B π=，cos cos20A A -=．（1）求角C ；（2）若222b c a bc +=-+，求ABC S ∆．18．（12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；（2）估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率；（3）从样本中身高在165~180cm 之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm 之间的概率．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ． （1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，与x 轴负半轴交于(2,0)A -，离心率12e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，连接AM ，AN 并延长交直线4x =于3(E x ，3)y ，4(F x ，4)y 两点，若12341111y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．21．（12分）设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a < （1）当0a =时，()f x 的零点个数；（2）若()0f x <的整数解有且唯一，求a 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线2:sin()0,02)4l πρθρθπ-=．（1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标．2019-2020学年四川省成都高三（上）零诊数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．【解答】解：由A 中不等式变形得：111x -<-<， 解得：02x <<，即(0,2)A =2{|10}(1,1)B x x =-<=- (1,2)AB ∴=-故选：B ． 【解答】解：1122aii i+=++，1(2)(12)5ai i i i ∴+=++=， 51(51)5i i i a i i i i---∴===+-． 故选：D ．【解答】解：根据题意，()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数， 则511()()()222f f f -=-=-，又由当01x <<时，2()f x x x =-，则21111()()2224f =-=-，故511()()244f -=--=，故选：C ．【解答】解：由题意可得1(8.28.610.011.311.9)105x =++++=，1(6.27.58.08.59.8)85y =++++=，代入回归方程可得ˆ80.76100.4a=-⨯=， ∴回归方程为ˆ0.760.4yx =+， 把15x =代入方程可得0.76150.411.8y =⨯+=， 故选：B ． 【解答】解：D 为ABC ∆中BC 边上的中点，∴1()2AD AB AC =+， O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，∴23OD AD =， ∴1()3OD AB AC =+， ∴111151()()()232366BO BD OD BC AB AC AC AB AB AC AB AC =-=-+=--+=-+． 故选：A ．【解答】解：模拟执行程序框图，可得 2x =，0y =满足条件1024y <，执行循环体，1x =-，1y = 满足条件1024y <，执行循环体，12x =，2y = 满足条件1024y <，执行循环体，2x =，3y = 满足条件1024y <，执行循环体，1x =-，4y =⋯观察规律可知，x 的取值周期为3，由于102434131=⨯+，可得： 满足条件1024y <，执行循环体，1x =-，1024y = 不满足条件1024y <，退出循环，输出x 的值为1-． 故选：D ． 【解答】解：321()4613f x x x x =-+-，2()86f x x x ∴'=-+，等差数列{}n a 中的2a 、4032a 是函数321()4613f x x x x =-+-的两个极值点，240328a a ∴+=，240326a a =， ∴24032201742a a a +==，322201*********log ()log (46)233log 3a a a log log ∴=⨯=+=+． 故选：C ．【解答】解：对于②，若225a b +≠，则1a ≠或2b ≠，因为逆否命题：1a =且2b =则225a b +=是真命题，所以①正确；对于②，函数()f x 的定义域为R ，函数()f x 为奇函数是(0)0f =的充分不必要条件，故选项②正确；对于③，若0x >，0y >且21x y +=，则11112()(2)332y xx y x y x y x y+=++=+++2，当且仅当212x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩即212x =-，21y =-时取“=”，故③正确；故选：D ．【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D ．【解答】解：连接AC ，BD 交于点O ， 则有BD AC ⊥，BD CP ⊥，即BD ⊥面OCP ， 又11//BD B D ， 所以11B D ⊥面OCP ， 又OP ⊂面OCP ， 所以11B D OP ⊥，又直线OP 与11B D 所成的角为α， 则sin 1α=， 故选：A ．【解答】解：函数2()sin (4cos 1)f x x x =-化简可得：223()4sin cos sin 4sin (1sin )sin 3sin 4sin sin3f x x x x x x x x x x =-=--=-=． ∴最小正周期23T π=． 故选：B ．【解答】解：设点2(2y P m，)y ，由抛物线的定义可得：25||226y m PF m m =+=，化为：2223y m =，又2m c =，2283c y ∴=；点P 在椭圆上，∴4222214y y m a b +=， 即222248193c c a b+=，又222b a c =-； 化为：422243790c a c a -+=， 即4243790e e -+=， 解得214e =或9， 又(0,1)e ∈， ∴椭圆的离心率为12e =． 故选：D ．二.填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p ：“0x R ∃∈，200220x x ++”，则命题p 的否定p ⌝是：x R ∀∈，2220x x ++>． 故答案为：x R ∀∈，2220x x ++>．【解答】解：由约束条件1400m n m n m n -⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩作出可行域如图，(4,0)A ，联立14m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得5(2B ，3)2．化目标函数2u m n =-为22m un =-， 由图可知，当直线22m un =-过A 时，直线在n 轴上的截距最小，z 有最大值为4； 当直线22m u n =-过B 时，直线在n 轴上的截距最大，z 有最小值为12-． 2u m n ∴=-的取值范围是：1[,4]2-．故答案为：1[,4]2-．【解答】解：圆22:60C x y x +-= 即22(3)9x y -+=，表示以(3,0)C 为圆心，半径等于3的圆．点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线与CP 垂直． 由于CP 的斜率为011312-=--，故弦MN 所在直线的斜率等于2，故弦MN 所在直线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-， 故答案为21y x =-．【解答】解：函数2()1f x x x t =-+-是开口向上的二次函数，对称轴为：12x =，函数的定义域为：(0,2)，函数2()1f x x x t =-+-恰有1个零点， 可得：△14(1)0t =--=解得54t =， 或(0)0(2)0f f ⎧⎨>⎩即104210t t -⎧⎨-+->⎩，解得11t -<．综上实数t 的取值范围是：{|11t t -<或5}4t =．故答案为：{|11t t -<或5}4t =．三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上． 【解答】解：（1）因为cos cos20A A -=， 所以22cos cos 10A A --=， 解得1cos 2A =-，cos 1A =（舍去）．所以23A π=，又4B π=，所以12C π=．（2）在ABC ∆中，因为23A π=，由余弦定理所以222222cos a b c bc A b c bc =+-=++， 又222b c a bc +=-+， 所以22a a =+， 所以2a =，又因为sin sinsin()1234C πππ==-=， 由正弦定理sin sin c aC A=得c ，所以1sin 12ABC S ac B ∆==．【解答】解：（1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400． （2）由统计图知，样本中身高在170~185cm 之间的学生有141343135++++=人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~185cm 之间的频率 350.570f ==故由f 估计该校学生身高在170~180cm 之间的概率0.5p = （3）样本中女生身高在165~180cm 之间的人数为10，身高在170~180cm 之间的人数为4． 设A 表示事件“从样本中身高在165~180cm 之间的女生中任选2人，至少有1人身高在170~180cm 之间”，则 P （A ）26210213C C =-=【解答】（1）证明：连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点， 侧面11BB C C 为菱形， 11BC B C ∴⊥，AO ⊥平面11BB C C ， 1AO B C ∴⊥， 1AOBC O =，1B C ∴⊥平面ABO ，AB ⊂平面ABO ，1B C AB ∴⊥；（2）解：作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ， BC AO ⊥，BC OD ⊥，AO OD O =，BC ∴⊥平面AOD ， OH BC ∴⊥， OH AD ⊥，BCAD D =，OH ∴⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒， 1CBB ∴∆为等边三角形，1BC =，34OD ∴=， 1AC AB ⊥，11122OA B C ∴==，由OH AD OD OA =，可得2274AD OD OA =+=，2114OH ∴=， O 为1B C 的中点， 1B ∴到平面ABC 的距离为217， ∴三棱柱111ABC A B C -的高217．【解答】解：（1）由题有2a =，12c e a ==．1c ∴=，2223b a c ∴=-=． ∴椭圆方程为22143x y +=．（2）法22222,1:(34)84120143y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， △222222644(34)(412)0129k m k m m k =-+->⇒<+，122834kmx x k -+=+，212241234m x x k -=+． 又AM AE k k = ∴3113110062422y y y y x x --=⇒=+++同理24262y y x =+ 又12341111y y y y +=+∴1212122112121212222()666y y x x x y x y y y y y y y y y ++++++=+= 1212214()y y x y x y ⇒+=+1212214()()()kx m kx m x kx m x kx m ⇒+++=+++1212(4)()280k m x x kx x m ⇒-+-+=，22228(412)24()(4)2800343434km m k m k m k m k k k--+⇒--+=⇒=+++． m k ∴=-，此时满足22129m k <+(1)y kx m k x ∴=+=-∴直线MN 恒过定点(1,0)．法2：设直线AM 的方程为：12x t y =-则1222112(34)120143x t y t y t y x y =-⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩， 0y ∴=或1211234ty t =+， ∴211111122111268223434t t x t y t t t -=-=-=++同理222226834t x t -=+，22221234ty t =+， 当34x =时，由3132x t y =-有316y t =． ∴16(4,)E t 同理26(4,)F t ，又12341111y y y y +=+， ∴221212123434121266t t t t t t +++=+，12121212()(34)126t t t t t t t t +++⇒=， 当120t t +≠时，124t t =-， ∴直线MN 的方程为121112()y y y y x x x x --=-- 122222221121111112222222221211112112121112112122212121212343468126868124(34)44444()()(1)6868343434343434(34)()3434t tt t t t t t t t t y x y x y x x x t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t -++---+⇒-=-⇒-=-⇒=-+=-=---+++++++++++++-++，∴直线MN 恒过定点(1,0)当120t t +=时，此时也过定点(1,0)综上直线MN 恒过定点(1,0)．【解答】解：（1）当0a =时，()(21)x f x e x =-；()(21)x f x e x '=+，当12x >-时，()0f x '>，函数单增，且12x >时，函数值都大于0；当12x <-时，()0f x '<，函数单减，且()0f x <，所以只有一个零点12x =．（2）观察发现(0)0f <，下证除整数0外再无其他整数．()(21)x f x e x a '=+-， ①当0x >时，1x e >，211x +>根据同向不等式乘法得到(21)1x e x +>，因为1a <， 所以()(21)0x f x e x a '=+->，所以函数单增，且x 趋于+∞时函数值显然很大很大； 但要保证只有唯一整数0，需要f （1）0>，因为f （1）0>恒成立，所以1a <． ②当0x <时，要保证只有唯一整数0，首先需要(1)0f -，得到32a e当1x <-时，1x e e <，211x +<-根据同向不等式得到1(21)x e x e +<-，又因32a e>， 所以()(21)0x f x e x a '=+-<，所以函数在1x <-单减，且(1)0f -> 综上所述：()0f x <的整数解有且唯一时，312a e<． （本题如果用于检测考试：第1问共（4分），但若没写出横线部分或者与之相同意思的式子扣2分，第2问共（8分），猜想（2分），第1部分（2分），第2部分（3分），答案等号（1分），伪证可以适当倒扣） [选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：（1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin()4l πρθ-=sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=． （2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程， 将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 转化为极坐标为(1,)2π．。
四川省成都市2022届高三文科数学零诊考试试题
一、单选题二、多选题1.若函数（其中，）图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为-1，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D ．向左平移个单位长度2. 复数（i 为虚数单位）的虚部为A．B．C．D．3. 已知函数的导函数为，且对任意，，，若，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．4.已知函数（），记，，.则m ，n ，p 的大小关系为（ ）A．B．C．D．5. 已知，，则（ ）A．B．C．D．6.已知数列的前n项和满足，，则数列的前10项和为（ ）A ．4162B ．4157C ．2146D ．21427. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）A．B ．C．D ．18.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，则（ ）A．B．C．D．9.如图，正方体的棱长为4，则下列命题正确的是（ ）A ．两条异面直线和所成的角为45°B ．若分别是的中点，过三点的平面与正方体的下底面相交于直线，且，则C ．若平面，则平面截此正方体所得截面面积最大值为D ．若用一张正方形的纸把此正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是12810.（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．11. 某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为：抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是（ ）四川省成都市2022届高三文科数学零诊考试试题四川省成都市2022届高三文科数学零诊考试试题三、填空题四、解答题A ．这次抽样可能采用的是抽签法B ．这次抽样不可能是按性别分层随机抽样C ．这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率D ．这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率12. 在三棱柱中，D ，E ，F ，H 分别为，AB ，，BC 中点，G 为△重心，则（ ）A ．DF ∥平面ABCB ．FG∥平面C ．FG ，为异面直线D ．AF ，GH 为异面直线13. 已知和均为等差数列，若，，则的值是________.14. 已知空间四面体满足，则该四面体外接球体积的最小值为______．15.已知等比数列满足，则_________．16.已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：.17. 已知函数，在定义域内有且只有一个零点，存在， 使得不等式成立.若，是数列的前项和.（I ）求数列的通项公式；（II ）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（为正整数），求数列的变号数；（Ⅲ）设（且），使不等式恒成立，求正整数的最大值.18. 如图，四棱锥的底面为正方形，二面角为直二面角，，点M为棱的中点．(1)求证：；(2)若，点N是线段上靠近B 的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．19. 设函数．（其中为自然对数的底数）(1)若，求在处的切线方程；(2)证明：，当时，．20.已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，若有两个零点，求实数的取值范围.21. 设函数（），其图象在点，处的切线的斜率分别为，．（1）求证：；（2）若函数的递增区间为，求的取值范围．。
四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试文科数学试题(解析版)
成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟数学试题（文科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数i(,z a b a b =+∈R )满足23i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（）A.B.C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算法则，复数相等的条件以及复数模的概念求解.【详解】由已知得()()2i i 3i a b a b ++-=-，即3i 3i a b +=-，由复数相等的条件得331a b =⎧⎨=-⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，则1i z =-，所以z =，故选：A .2.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低【答案】B 【解析】【分析】根据图一中甲的得分情况可判断ABC 的正误，结合图二可判断图一丢失的数据，计算两者的均值后可判断D 的正误.【详解】对于甲，其得分的极差大于或等于28919-=，故A 错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C 错误；乙的数据由小到大依次为：9,14,15,16,17,18,19,20乙得分的中位数为161716.52+=，故B 正确.乙得分的平均数为914151819171620168+++++++=，从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15，另一个可设为m ，其中1015m <<，故其平均数为912131520262812313316888m m ++++++++=>>，故D 错误.故选：B.3.某老师为了了解数学学习成绩得分y （单位：分）与每天数学学习时间x （单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据100100115600,11200i i i i x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，并据此求得y 关于x 的线性回归方程为 56y bx=+ .若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（）A.106 B.122C.136D.140【答案】C 【解析】【分析】利用回归方程经过样本中心可求b ，故可估计这位同学每天数学学习时间约80分钟后的数学成绩.【详解】由题设可得56001120056,112100100x y ====，故1125656b =⨯+ ，故1b = ，故 56y x =+，故当80x =时，8056136y =+=，故选：C.4.利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 是s 与n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于A.πB.4π C.2π D.22π【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图可知由几何概型计算出x ，y 任取（0，1）上的数时落在221x y +<内的频率，结合随机模拟实验的频率约为概率，即可得到答案．【详解】解:根据程序框图可知P 为频率，它趋近于在边长为1的正方形中随机取一点落在扇形内的的概率21414πππ⨯⨯=故选B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.5.已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线2y x =有两个公共点，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由题意，联立方程求解，根据一元二次方程的求解公式，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案.【详解】由题意，联立可得210kx y y x-+=⎧⎨=⎩，消去y 整理可得：210x kx --=，则240k ∆=+>恒成立，则直线10kx y -+=与抛物线2y x =必定有两个交点，则p q ⇒显然成立，q p ⇒不成立，故选：A.6.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【分析】假设四人中任意一人猜对，根据合情推理即可求解.【详解】假设甲猜对比赛结果，则乙也猜对比赛结果，所以假设不成立，所以甲没猜对比赛结果，即得第一名的是1,2,3或6；若乙猜对比赛结果，则1,2或6号选手中的其中一名获得第一名，此时丙也猜对比赛结果，所以乙也没有猜对比赛结果，所以3号选手获得第一名，则只有丁猜对了比赛结果.故选：D .7.已知1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的定义域以及特殊值检验即可求解.【详解】由已知得函数()f x 的定义域为()()1,00,-⋃+∞，由此排除选项D ,由于110112e ln 222f ⎛⎫-==< ⎪⎝⎭+，由此排除选项A 和C ,故选：B .8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A.B. C.4D.【答案】B 【解析】【详解】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥-P ABC ，其中面积最大的面为：122PBC S =⨯= .本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．9.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线290x y +-=的距离为() A.655B.C.455D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得圆在第一象限，根据几何关系可设圆的方程为222()()x a y a a -+-=，a >0，代入()1,2即可求出a ，根据点到直线距离公式即可求出答案．【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(),a a ，则半径为a ，0a >．故圆的方程为222()()x a y a a -+-=，再把点(2,1）代入，222(2)(1)a a a -+-=，解得5a =或1，故要求的圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y -+-=．故所求圆的圆心为()5,5或()1,1；故圆心到直线290x y +-=的距离655d ==或655d ==；故选：A ．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ︒∠=，则双曲线的C 的渐近线方程为（）A.2y x =± B.32y x =±C.y =D.233y x =±【答案】D 【解析】【分析】由题可得12PF F △是直角三角形，则可得121||2OP F F c ==.又在OPN 中，由余弦定理可求得||PN b =，根据勾股定理可知PN ON ⊥，则在Rt PMN 中，利用||tan ||MN MPN PN ∠=可得3b a =，即渐近线方程为3y x =±.【详解】连接OP ，则由120PF PF ⋅=可知12PF PF ⊥，则在12Rt PF F 中，121||2OP F F c ==，在OPN 中，tan b PON a ∠=，则cos aPON c∠=，又||ON a =，则由余弦定理得：222||||||2||||cos PN OP ON OP ON PON =+-⋅⋅∠，解得||PN b =，由222||||||OP ON PN +=知PN ON ⊥，即PN MN ⊥，所以在Rt PMN 中，||tan ||MN MPN PN ∠=，即2ab =233b a =，所以所求渐近线方程为：233y x =±.故选D .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用余弦定理解三角形，属于中档题.11.若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A.16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.⎛-∞ ⎝C.16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.⎛-∞ ⎝【答案】C 【解析】【分析】求出函数的导数，根据原函数有两个极值点可求2a >，再根据零点的性质可得()3222448x a x a =--、()3211448x a x a =--，据此可用a 表示12()()f x f x +，利用导数可求其范围.【详解】2()24f x x ax '=-+，因为()f x 存在两个极值点1x 和2x ，故1x 和2x 为2240x ax -+=的两个不同的根，故24160a ∆=->且211240x ax -+=，222240x ax -+=，122x x a +=，故2a <-（舍）或2a >且21124x ax =-，所以()()322111111242244448x ax x a ax x a x a =-=--=--，同理()3222448x a x a =--，故()()()()2121212121()()44162843f x f x a x x a a a x x x x ⎡⎤+=-+--+-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212441622883a a a a a a a ⎡⎤=---⨯-+⎣⎦3338448833a a a a a =-+=-+，设()348,23a s a a a =-+>，故()2480s a a '=-+<，故()s a 在()2,+∞上为减函数，故()()321621633s a s <=-=，故12()()f x f x +的取值范围为：16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选：C.12.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则下列说法错误的是（）A.1B MBC -的外接球面积为9πB.直线//PQ 平面11A BCC.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为3π【答案】D 【解析】【分析】可证明正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故可判断C 的正误，利用面面平行的判定定理可判断B 的正误，利用补体法可求1B MBC -的外接球的直径后可判断A 的正误，利用向量的方法可求D到平面MNP 的距离，从而可求点Q 的轨迹长度，故可判断D 的正误.【详解】如图，设111,,A D A A BC 的中点分别为,,S R T ，连接,,,,PS SR RM MT TN .由正方体的性质可得11//A C RN ，而SP 为三角形111A D C 的中位线，故11//SP A C ，故//SP RN ，故,,,S P R N 四点共面，同理，,,,S P T N 也四点共面，故,,,,S P R N T 五点共面，同理,,,R N T M 也四点共面，故,,,,,S P R N T M 六点共面.正方体被平面MNP 截得的截面为六边形，SP PN NT TM MT RS SP =======，因为平面MNP I 平面11B BCC NT =，平面MNP I 平面1A DDA SR =，而平面11//B BCC 平面1A DDA ，故//NT SR ，而NT 为三角形1BCC 的中位线，故1//NT BC ，故1//SR BC ，但PSR ∠与11AC B ∠方向相反，故PSR ∠与11AC B ∠互补，而11A C B △为等边三角形，故1160A C B ∠=︒，故120PSR ∠=︒，同理120SRM RMT MTN TNP NPS ∠=∠=∠=∠=∠=︒，故正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故C 正确.由11//A C RN ，RN ⊄平面11A B C ，11AC ⊂平面11A B C ，故//RN 平面11A B C ，同理故//RS 平面11A B C ，而,,RN RS R RN RS =⊂ 平面MNP ，故平面11//A B C 平面MNP ，而PQ ⊂平面MNP ，故//PQ 平面11A B C ，故B 正确.对于A ，将三棱锥1B MBC -补成如图所示的长方体11MBCG HB C P -，其中,H G 分别为11A B 、DC 的中点，则其外接球的直径即为11MBCG HB C P -3=，故三棱锥1B MBC -的外接球的表面积为2π39π⨯=，故A 正确.建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2D M N P ，故()()2,1,1,2,0,2MN MP =-=-，设平面MNP 的法向量为(),,m x y z = ，则00m MN m MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故20220x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1z y ==，故()1,1,1m = ，而()0,1,2DP =，故D 到平面MNP的距离为DP md m⋅== 而2DQ =，故点Q 的轨迹为平面MNP 与球面的截面（圆），1=，故圆的周长为2π12π⨯=，故D 错误.故选：D.【点睛】思路点睛：空间几何题外接球的半径的求法，可先根据几何性质确定球心的位置，然后把球的半径放置在可解的图形中求解，也可以通过补体转化为规则几何体的外接球的半径，而与球的截面的计算问题，则需计算球心到截面的距离.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题2:0,p x x a x∀>+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】a <【解析】【分析】根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围.【详解】因为p ⌝是假命题，故p 为真命题，因为0x >，故2x x+≥x =时，等号成立，故a <.故答案为：a <.14.在同一平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x xy =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到图形C '.点P 在曲线C '上，则点P到直线:60l y +-=的距离的最小值为____________.【答案】6152【解析】【分析】通过2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，然后代入到曲线C 的方程即可得到曲线C '的方程，再设()2cos P θθ利用点到直线的距离公式、辅助角公式及三角函数的性质计算可得.【详解】由2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中得22()()143x y ''+=．即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程，设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离d ==其中（25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=），所以当sin()1θϕ+=时min d =，即点P 到直线l 的距离最小值为6152-.故答案为：615215.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数是()f x '.有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式π()2cos 3f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为_________.【答案】ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x=，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】依题意令()()cos f x F x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xF x x'+'=，因为当ππ22x -<<时，()()cos sin 0f x x f x x '+<，所以当2,ππ2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0F x '<，∴()F x 在ππ,22⎛⎫⎪⎝⎭-上单调递减，则π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭ 等价于π()3πcos cos 3f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭>，即π()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴π3ππ22x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得ππ23x -<<，所以所求不等式的解集为ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭16.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，经过抛物线上一点P ，作斜率为34的直线交C 的准线于点Q ，R 为准线上异于Q 的一点，当PQR PQF ∠∠=时，PF =______．【答案】259##729【解析】【分析】根据题设条件确定P 在第一象限内，且PF QF ⊥，设2(,)4m P m 且0m >，结合0FP FQ ⋅= 得到关于m 的方程并求值，又214m PR PF ==+即可得结果.【详解】不妨令R 为过P 点垂直于准线的垂足，又PQR PQF ∠∠=，即QF 为FQR ∠角平分线，Q 是斜率为34的直线与抛物线准线的交点，则P 在第一象限内，而PR QR ⊥，且||||PR PF =，根据角平分线性质知：PF QF ⊥，如上图示，令2(,)4m P m 且0m >，则直线PQ 为23()44m y m x -=-，令=1x -，则21631216Q m m y --=，由222231*********(1,)(2,)20416216m m m m m m mFP FQ m ----⋅=-⋅-=-+= ，整理可得322381232(4)(38)0m m m m m -+-=+-=，则83m =，故225149m PR PF ==+=.故答案为：259三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1y =-（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，利用导数可得11ea -<<-，再利用导数求出函数()f x 在区间()1,e 上的最大值，结合已知最大值列式，解得2ea =-，不满足11ea -<<-，从而可得结论.【小问1详解】当1a =-时，()ln f x x x =-+，0x >，(1)1f =-，1()1f x x'=-+，()01f '=，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=，即1y =-.【小问2详解】假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，因为()ln f x ax x =+，0x >，1()f x a x'=+，若0a ≥，则()0f x '>在区间()1,e 上恒成立，()f x 在区间()1,e 上单调递增，此时()f x 在区间()1,e 上无最大值；故a<0，令()0f x '>，得10x a<<-，令()0f x '<，得1x a >-，则函数()f x 在1(0,a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，因为函数()f x 在开区间()1,e 上有最大值为3-，所以11e a<-<，即11ea -<<-，所以函数()f x 在1(1,a-上单调递增，在1(,e)a-上单调递减，所以max 1()f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11(ln a a a ⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭11ln a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭3=-，得2e a =-，又11ea -<<-，所以2e a =-不成立，故不存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在区间[)60,70内的人数为400.（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间[]80,100内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的事件概率.【答案】（1）0.04a =，0.03b =，0.02c =；（2）中位数为71.7，平均数为73；（3）25【解析】【分析】（1）先由在区间[)60,70内的人数求出a 值，再根据等差数列的性质和频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求出,b c 的值；（2）设中位数为x ，根据中位数左侧直方图的面积为0.5求解中位数，利用平均数等于每个小矩形的面积乘上小矩形底边中点的横坐标之和求解平均数；（3）先利用分层抽样求出抽取的5人中4人来自区间[)80,90，1人来自区间[]90,100，再利用古典概型求出抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的概率.【小问1详解】由已知可得4001000100.04a =÷÷=，则()0.0050.040.005101b c ++++⨯=，即0.05b c +=，又∵a ，b ，c 成等差数列，∴20.04b c =+,解得0.02c =，0.03b =，【小问2详解】∵()0.0050.04100.450.5+⨯=<，()0.0050.040.03100.750.5++⨯=>，∴设中位数为x ，且[)70,80x ∈，∴()()0.0050.0410700.030.5x +⨯+-⨯=，解得71.7x ≈，即中位数为71.7，平均数为()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，【小问3详解】成绩位于区间[)80,90内的学生有0.021********⨯⨯=人，成绩位于区间[]90,100内的学生有0.00510100050⨯⨯=人，通过分层抽样抽取了5人中来自区间[)80,90的人数为2005420050⨯=+人，来自区间[]90,100的人数为505120050⨯=+人，抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的概率为114125C C 2C 5P ==.19.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且24AB AD ==，60DAB ∠=︒，1AD D D ⊥.（1）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（2）若112D D D B ==，求三棱锥1D CC B -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）在ABD △中，利用余弦定理求出BD ，可得AD BD ⊥，再加上1AD D D ⊥，可得AD ⊥平面11D DBB ，进而可得平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（2）取BD 的中点O ，由（1）可得出1D O ⊥面ABCD ，通过11//D C 平面ABCD ，得111113D CC B C DCB D DCB BCD V V V O D S ---=⋅== ，代入条件可得答案.【详解】（1）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒则BD ==222AD BD AB ∴+=即AD BD ⊥，又1AD D D ⊥，1BD D D D⋂=AD ∴⊥平面11D DBB 又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD .（2）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD⊥由（1）可知平面11D DBB ⊥面ABCD ，而平面11D DBB ⋂面ABCD BD=1D O ⊂平面11D DBB ，故1D O ⊥面ABCD .因为12D D =，DO =，则11D O =因为11//D C 平面ABCD所以111113D CC B C DCB D DCB BCD V V V O D S ---=⋅==111sin 2232623BC D C CB D ⋅∠=⨯=⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查锥体体积的计算，关键是利用线面平行转换锥体的顶点求体积，是中档题.20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.以点,F E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.（1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段AE 交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）记（1）问所得图形为曲线C ，若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线,TM TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=（2）存在点()3,0T 使得TM k 和TN k 之积为109-.【解析】【分析】（1）建立直角坐标系，利用椭圆的定义求椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程，并与椭圆方程联立，根据斜率的定义求解.【小问1详解】如图，以EF 所在的直线为x 轴，EF 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，设(,)M x y 为椭圆上一点，由题意可知||||||6||4MF ME AE EF +==>=，∴点M 的轨迹点,E F 为焦点，长轴2||||6a MF ME =+=的椭圆，∵26a =，24c =，∴3,2a c ==，∴2225b a c =-=，则椭圆的标准方程为22195x y +=，【小问2详解】设直线l 的方程为1x my =+，将直线方程和椭圆方程联立221951x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=，其中()()222100160592045720m m m ∆=++=+>，设()()1122,,,M x y N x y ，1212221040,5959m y y y y m m --+==++，则1212TM TN y yk k x t x t ⋅=⋅--()()121211y y my t my t =+-+-()12221212(1)(1)y y m y y m t y y t =+-++-，消去12y y +和12y y ⋅可得()22240599(1)TM TN k k t m t -⋅=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则290t -=，∵0t >，∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-，∴存在点()3,0T 使得TM k 和TN k 之积为109-.21.已知函数()()ln 1f x x x a x =--.（1）若()0f x ≥，求实数a 的值；（2）已知*n ∈N 且2n ≥，求证：111sin sin sin ln 23n n+++< .【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意分析得到1x =是函数()h x 的极小值点，则()10h '=解得1a =再代入验证符合题意；（2）由（1）可得，()1ln 11x x x ≥-≥.令111k x=-得到(){}1ln ln 1,2,3,,k k k n k ≤--∈ .令()sin (0)g x x x x =->，利用导数证明出sin (0)x x x <>，得到(){}11sinln ln 1,2,3,,k k k n k k<≤--∈ ，累加即可证明.【小问1详解】由()0f x ≥，得1ln 10x a x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭.令()1ln 1h x x a x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，则()()2210,a x ah x h x x x x-=-='≥.注意到()10h =，所以1x =是函数()h x 的极小值点，则()10h '=，所以()1101ah -=='，得1a =.当1a =时，()21x h x x -'=，则函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h ≥=，满足条件，故1a =.【小问2详解】由（1）可得，()1ln 11x x x≥-≥.令111k x=-，则1k x k =-，所以1ln1k k k ≥-，即(){}1ln ln 1,2,3,,k k k n k ≤--∈ .令()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x ='-≥，且()g x '不恒为零，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，故()()00g x g >=，则sin (0)x x x <>，所以(){}11sin ln ln 1,2,3,,k k k n k k<≤--∈ ，令k 分别取2,3,,n ，累加得：][][()111sin sin sin ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln 23n n n n⎡⎤+++<-+-++--=⎣⎦ .即证.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数证明不等式.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数).若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点,A B 是曲线C 两动点，60AOB ∠=︒，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠（2）334【解析】【分析】（1）首先将直线方程化为普通方程，再联立消去k ，即可得到曲线C 的普通方程；（2）由cos x ρθ=、sin y ρθ=得到曲线C 的极坐标方程，设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（π2θ≠），即可表示OA 、OB ，则1sin 2AOB S OA OB AOB =⋅∠△，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，则直线1l 的普通方程为y kx =-，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数)，则直线2l 的普通方程为2x y k -=，依题意0k ≠，由2y kx x y k =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去k 得2(2)y y x -=-，整理得22(1)1(0)x y x +-=≠，所以曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠.【小问2详解】因为曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠，cos x ρθ= ，sin y ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为()()22cos sin 11ρθρθ+-=（π2θ≠），故曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=（π2θ≠）．设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（π2θ≠），则12sin OA ρθ==，2π2sin 3OB ρθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，1sin 2AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠ 1ππ2sin 2sin sin 233θθ⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭πsin 3θθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭23sin cos 2θθθ=+31cos 23sin 22222θθ-=⨯+⨯12cos 22θθ⎫=-⎪⎪⎝⎭π26θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 216θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，AOB S 有最大值334．。
四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题(1)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知，设，，则有（ ）A．B．C．D．2. 已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）A．B．C．D． 3. 的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（ ）A．B．C．D．4. 若函数是增函数．则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.已知集合，集合，则A B =（ ）A．B．C．7. 已知复数z 在复平面上对应的点为，为虚数单位，则下列正确的是（ ）A．B．C．D．是实数8. 在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（ ）A．当点的坐标为时，B ．当点的坐标为时，直线的斜率为C ．存在点，使得为钝角D ．存在点，使得9. 设，若关于x 的不等式在上恒成立，则的最小值是________________．10.如图，正四棱台的上､下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为___________.11. 把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有__________种．四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题(1)四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题(1)四、解答题12.函数的定义域是______．13.在平面直角坐标系中，已知定点，，半径为的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且在轴右侧，圆被轴截得的弦长为．(1)求圆的方程；(2)当变化时，是否存在定直线与动圆相切？如果存在求出定直线的方程；如果不存在，请说明理由．14. 如图所示，直角梯形PABC 中，，，D 为PC 上一点，且，将PAD 沿AD 折起到SAD位置．(1)若，M 为SD 的中点，求证：平面AMB ⊥平面SAD ；(2)若，求平面SAD 与平面SBC 夹角的余弦值．15. 如图，已知，､分别为边､上的点，且，与交于，设存在和使.（1）求和的值；（2）用表示.16. 已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB =2，AB 1⊥BC 1，O ，O 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值.。
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２01５年四川省成都市高考数学零诊试卷（理科)一、选择题．本大题共1０小题，每小题5分,共5０分，在每小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得.1.（5分)(２01４•成都模拟）已知向量＝(5,﹣3),=（﹣6，４），则+＝（)A。
（1,１） B.(﹣1，﹣1)ﻩＣ。
(１，﹣1）ﻩD。
（﹣1，1）2．(5分)(2014•成都模拟）设全集U＝｛１，2，3，4｝,集合S=｛l，3｝，Ｔ=｛4｝,则（∁U S)∪T 等于（)A．{2,４｝B．{4｝ C．∅ﻩD．{1,３，4}3。
（5分）(２014•成都模拟）已知命题p：∀x∈R,2x=5，则￢p为( ）A。
∀x∉R,2ｘ=5 Ｂ．∀ｘ∈R，2x≠5 C.∃x０∈R，２=5 Ｄ.∃x0∈R，2≠54。
(5分）（2０14•成都模拟)计算21og６3＋log64得结果就是(）A．log62 B。
2ﻩＣ．lｏg63ﻩD．35.(5分)（２015•青岛模拟）已知实数x,y满足,则z＝4x+y得最大值为（)A.1０B．８ﻩC．２D.06。
(5分)（２014•成都模拟）关于空间两条不重合得直线ａ、b与平面α，下列命题正确得就是( )A.若a∥b，b⊂α,则a∥αﻩB.若ａ∥α，b⊂α，则ａ∥ｂC。
若a∥α,ｂ∥α,则a∥bﻩD.若ａ⊥α，b⊥α，则a∥b7.(５分)（2014•成都模拟）PM2、5就是指大气中直径小于或等于2、5微米得颗粒物,也称为可A肺颗粒物,般情况下ＰM２、5浓度越大，大气环境质量越差,茎叶图表示得就是成都市区甲、乙两个监测站某1０日内每天得PＭ2、5浓度读数(单位:μg／m3）则下列说法正确得就是（）A．这ｌ0日内甲、乙监测站读数得极差相等B.这１０日内甲、乙监测站读数得中位数中，乙得较大Ｃ．这10日内乙监测站读数得众数与中位数相等D.这10日内甲、乙监测站读数得平均数相等8.(5分)(2014•成都模拟)已知函数f（x）=sinωx＋ｃosωx（ω＞0）得图象与直线y=﹣２得两个相邻公共点之间得距离等于π，则ｆ(x）得单调递减区间就是（)Ａ。
[ｋπ+，ｋπ+］,k∈zﻩB。
[ｋπ﹣，kπ+］，k∈zＣ．［２kπ＋,２kπ+]，k∈z D。
［２kπ﹣，2kπ+］，k∈z9。
（５分)(２０14•成都模拟)已知定义在R上得偶函数f(x）满足f（4﹣x)=f（ｘ),且当ｘ∈（﹣1，3]时,f（x）=则ｇ（x)＝f（x）﹣|1gx|得零点个数就是（)A。
7ﻩB．8 C.9 Ｄ.101０．（5分）(2015•河南模拟）如图，已知椭圆Ｃl:+y2=１,双曲线C2：＝1(a>0，b〉0）,若以C1得长轴为直径得圆与C2得一条渐近线相交于A,Ｂ两点，且Ｃ1与该渐近线得两交点将线段ＡB三等分，则Ｃ2得离心率为（）A。
5 B.ﻩＣ. D。
二、填空题:本大题共５小题，每小题5分，共２５分答案填在答题卡上.11．（5分)（2０15•兰州一模）已知α∈(０，),cosα＝，则sin(π﹣α）＝。
1２.(５分）（201４•成都模拟）当x＞1时，函数得最小值为。
13。
(５分）(20１4•成都模拟)如图就是一个几何体得本视图,则该几何体得表面积就是。
14．(5分）（2０14•成都模拟）运行如图所示得程序框图,则输出得运算结果就是.１5.(5分）(2０14•成都模拟)已知直线y=k(x+)与曲线y=恰有两个不同交点,记k得所有可能取值构成集合A;P（x，y）就是椭圆+=l上一动点,点P1(ｘ１，y1）与点P关于直线y=x+l对称，记得所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1,λ２，则λ1＞λ2得概率就是.三、解答题：本大题共6小题,共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤．1６.(1２分)(２014•成都模拟）已知等差数列｛ａｎ}得前ｎ项与为Ｓｎ,且a２=3，Ｓ7=49,n∈N*。
(I）求数列{a n}得通项公式；(Ⅱ)设b n＝，求数列{ｂｎ｝得前n项与Ｔｎ．17。
（12分）(2014•成都模拟）在△ＡBC中，角A,B,C所对得边分别就是a,b，c，已知向量=(a﹣b，c﹣a），=（ａ+ｂ，c)且•=０。
(Ⅰ）求角Ｂ得大小；（Ⅱ）求函数f（Ａ）=sｉn（Ａ+）得值域。
18.(１2分）(2０14•成都模拟）某地区为了解高二学生作业量与玩电脑游戏得情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样得方法，得到一个容量为200得样本统计数据如表：认为作业多认为作业不多总数喜欢电脑游戏72名3６名108名不喜欢电脑游戏3２名60名92名（I）已知该地区共有高二学生4250０名,根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多得人有多少名?（Ⅱ）在A,Ｂ,C,D，E，Ｆ六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多得概率.１9。
（12分）（2014•成都模拟）如图,已知⊙O得直径AB=3，点C为⊙O上异于A，Ｂ得一点,VＣ⊥平面AＢC，且VC=2，点M为线段ＶB得中点．（I）求证：BC⊥平面V AC;(Ⅱ）若AC＝1，求二面角M﹣V A﹣C得余弦值．20．(13分）（2014•成都模拟）在平面直角坐标系xOｙ中,点P就是圆ｘ2+ｙ2=4上一动点，ＰD⊥x轴于点Ｄ,记满足=（＋)得动点M得轨迹为Γ。
（Ⅰ）求轨迹Γ得方程；(Ⅱ）已知直线l:y=ｋx+ｍ与轨迹F交于不同两点Ａ，B,点G就是线段AB中点,射线OＧ交轨迹Ｆ于点Q，且＝λ,λ∈R。
①证明:λ2m2=4ｋ2+1；②求△AOB得面积S（λ)得解析式,并计算Ｓ（λ)得最大值.21。
（14分)（20１4•成都模拟）巳知函数ｆ(x)＝x1nx,ｇ(x)=ax2﹣ｂx,其中a，b∈R．（Ｉ)求函数f（ｘ）得最小值;(Ⅱ)当a>0，且a为常数时,若函数ｈ（ｘ)＝x[g（x）+１]对任意得x１＞x2≥4，总有>０成立，试用a表示出b得取值范围;（Ⅲ）当ｂ=﹣a时,若f（x+１)≤g（ｘ)对x∈[0，+∞）恒成立，求a得最小值.2015年四川省成都市高考数学零诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1、D。
2。
、A.3、D。
4. B。
5。
B。
６。
D7. C.8．A9. D.1０．C。
二、填空题：11。
. 12。
3。
1３. 28+12。
14。
15。
16.(１２分)(２014•成都模拟)已知等差数列｛aｎ｝得前n项与为Sｎ,且a2＝3,S７=49，ｎ∈N＊. （I）求数列｛ａn｝得通项公式;(Ⅱ)设ｂn=，求数列{bｎ｝得前n项与T n．【分析】（Ⅰ）根据等差数列，建立方程关系即可求数列{a n}得通项公式。
（Ⅱ）求出数列｛bｎ}得通项公式，利用等比数列得求与公式即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列得公差就是d,∵a2＝3，Ｓ7=４９，∴，解得,∴a n＝a1+(n﹣１）d=１+2(n﹣1)=２n﹣１．(Ⅱ）b n===2n，则数列｛b n}为等比数列，则数列{b n}得前n项与T n＝．1７。
（１2分)（２014•成都模拟）在△ABC中,角A,B，C所对得边分别就是ａ,ｂ,ｃ,已知向量=（ａ﹣b,ｃ﹣a）,=(a+b,c）且•=０。
（Ⅰ)求角B得大小；(Ⅱ)求函数ｆ（A)＝sｉn(A＋）得值域.【解答】解:（Ⅰ)∵=（a﹣ｂ，c﹣a),=(a＋ｂ，ｃ),且•=０,∴（ａ﹣b）(ａ＋b）﹣c（a﹣c）=0,即ａ2+c２=b２+ａc，∴coｓＢ＝＝，∵B∈(0，π），∴B＝；(Ⅱ）由(Ⅰ）得：A=π﹣﹣C∈(0,),∴A+∈（,),∴sin(A+）∈(，1]，则ｆ（A)=sin(Ａ+）得值域为(，１].18．（12分）(2０14•成都模拟）某地区为了解高二学生作业量与玩电脑游戏得情况,对该地区内所有高二学生采用随机抽样得方法，得到一个容量为２０0得样本统计数据如表:认为作业多认为作业不多总数喜欢电脑游戏72名３6名108名不喜欢电脑游戏３2名60名９2名(I）已知该地区共有高二学生42500名,根据该样本估计总体,其中喜欢电脑游戏并认为作业不多得人有多少名?(Ⅱ）在Ａ，Ｂ,Ｃ,D,E，Ｆ六名学生中，但有A,Ｂ两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名,求至少有一名学生认为作业多得概率。
【分析】(I）根据样本数据统计表，可得2０0名学生中喜欢电脑游戏并认为作业不多得人有３6名，求出其占总人数得概率,再乘以高二学生得总数即可；(Ⅱ）求出至少有一名学生认为作业多得事件得个数,与从这六名学生中随机抽取两名得基本事件得个数，两者相除，即可求出至少有一名学生认为作业多得概率就是多少.【解答】解：(Ⅰ）42500×答:欢电脑游戏并认为作业不多得人有76５0名．（Ⅱ）从这六名学生中随机抽取两名得基本事件得个数就是至少有一名学生认为作业多得事件得个数就是:1５﹣=1５﹣6=9(个)所有至少有一名学生认为作业多得概率就是。
答：至少有一名学生认为作业多得概率就是.19。
（12分）（2０14•成都模拟）如图，已知⊙Ｏ得直径AＢ＝3，点C为⊙O上异于Ａ，B 得一点，VC⊥平面ABC，且VＣ＝2,点M为线段VB得中点.（Ｉ）求证:BC⊥平面V AC;（Ⅱ)若AＣ=1，求二面角M﹣V A﹣C得余弦值.【分析】（Ⅰ）由线面垂直得VC⊥ＢC，由直径性质得AＣ⊥ＢC，由此能证明ＢC⊥平面ＶAC.（Ⅱ)分别以AC，BC,VC所在直线为x轴,y轴，z轴,建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣V A﹣C得余弦值。
【解答】(Ⅰ）证明：∵VＣ⊥平面ABC，BC⊂平面AＢC，∴VC⊥ＢC，∵点Ｃ为⊙O上一点，且ＡB为直径,∴ＡC⊥BC，又∵VC，AC⊂平面V AC，VＣ∩ＡC=C，∴BC⊥平面V AC.(Ⅱ）解:由(Ⅰ）得BC⊥VＣ，VC⊥ＡＣ，AC⊥BＣ,分别以AＣ,BＣ，ＶＣ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则Ａ（1,０,0），Ｖ(0,0，２）,B（0，２，0），=（１，０，﹣2）,，设平面VＡC得法向量＝=(0,2，0），设平面VAM得法向量=（ｘ，y，ｚ）,由，取y=,得∴,∴coｓ〈＞==，∴二面角M﹣V A﹣Ｃ得余弦值为。
２0。
（１3分）（201４•成都模拟）在平面直角坐标系xOｙ中,点P就是圆ｘ2+y2=４上一动点,PD⊥x轴于点D，记满足=（+）得动点M得轨迹为Γ。
（Ⅰ)求轨迹Γ得方程;（Ⅱ）已知直线ｌ:y=ｋx+m与轨迹F交于不同两点A,B,点G就是线段ＡＢ中点，射线ＯG 交轨迹Ｆ于点Q,且=λ,λ∈Ｒ。
①证明:λ2m2=4k2+1;②求△ＡＯB得面积S(λ)得解析式,并计算Ｓ（λ）得最大值.【分析】(Ⅰ）利用代入法求椭圆方程;（Ⅱ）设A（x1，ｙ1），B（x2,ｙ2）,由直线代入椭圆方程,消去y，得（1+4k2）x2+8ｋｍx+４m2﹣４=0，由此利用根得判别式、韦达定理、中点坐标公式,结合已知条件能证明结论。