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人教A版高一数学必修四第二章 2.4.1向量在平面几何中的应用课件 (共12张PPT)
2.4.1 向量在平面几何中的应用
平面几何中的向量方法
向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2
a
2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条 对角线相交于M，设 AM xAC, BM yBD
则 AM xAC xAB xAD,
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意 一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接 DP、EF，求证DP ⊥EF。
平面几何中的向量方法
向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
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AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
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a
2ab
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b
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2ab
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a
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∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条 对角线相交于M，设 AM xAC, BM yBD
则 AM xAC xAB xAD,
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意 一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接 DP、EF，求证DP ⊥EF。
新课标人教A版数学必修4全部课件：平面向量的数量积及运算律
(× )
( ×)
(× ) (√ ) (× )
五.小结
(1)向量的数量积的定义及几何意义.
(2)数量积的5条性质. 六.作业
习题5.6 3,6
谢谢莅临指导！
再 见
Байду номын сангаас
四.课堂练习
判断下列各题是否正确
(1)若a=0,则对任意向量b,有a· 0------ (√) b=
(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a· b≠0-(3)若a≠0,且a· b=0,则b=0 ------------------(4)若a· b=0,则a=0或b=0 --------------------(5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------(6)若a≠0且a· c,则b=c ------------------b=a·
三.根据定义思考下列各题:
设a,b是非零向量，e是与b方向相同的 单位向量，θ是 a与 e的夹角，则 （1）a· e与e· a的关系是:__________ （2）命题p：a b,命题q:a· 0则p与q的关 b= 系是:__________ (3)当a与b同向时,a· b=__________ 当a与b反向时,a· b=__________ (4)cosθ=_______ │a·b│___│a│·│b│
平面向量的数量积是一个数量，而差向量、和 向量分别是一个向量。 思考2： 如图，作出│b│cosθ，并说出它的几何 意义；│a│cosθ的几何意义有是什么？
B b θ ┐ O a B1 A
（1）
B b θ B1 O
┐
B b
θ a ┓ a A O(B1)
（3）
A
（2）
│b│cosθ叫做向量b在向量a上的投影， │a│cosθ叫做向量a在向量b上的投影. a· b的几何意义： 向量a与b的数量积a· b等于a的长度│a│ 与b在a的方向上的投影│b│cosθ的积.
人教版A版高中数学必修4：向量的几何表示_课件4
思考6：如果非零向量
uuur AB
与
uuur CD
是相反
向量，通过平移使起点A与C重合，那么
终点B与D的位置关系如何？
A
B
D
C
探究（二）：平行向量与共线向量
思考1：如果两个向量所在的直线互相平 行，那么这两个向量的方向有什么关系？
方向相同或相反
2：方向相同或相反的非零向量叫做平行 向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行 向量所在的直线一定互相平行吗？
3：零向量0与向量a平行吗？ 规定：零向量与任一向量平行.
思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向. 如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条
与点向O，量分a所别在作O直uuAu线r 平=a行，的OuuB直ur 线=bl，，O在uuCulr上=任c，取那一
么点A、B、C的位置关系如何？
a
b
O
c
B
7对于向量a、b、c，若a // b， b // c， 那么a // c吗？
8对于向量a、b、c，若a =b， b =c， 那么a = c吗？
理论迁移
例1 判断下列命题是否正确：
（1）若两个单位向量共线，则这两个向
量相等；
（×）
（2）不相等的两个向量一定不共线；
（× ）
（3）在四边形ABCD中，若向量与共线，
O
F
OB = DC = EO = FA
D
E
例3 如图，在△ABC中，D、E、F分
别是AB、BC、CA边上的点，已知
uuur uuur uuur uuur A D = DB, DF = BE,
求证：DuuEur
=
uuur AF
.
A
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
人教A版数学必修4PPT课件平面向量4
数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① e1 ，e2 是两个不共线的向量； ② a 是平面内的任意向量； ③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做这一平面内所有向量 的一组基底.
一对实数
1, 2，使
a
1 e1
2
e
.
2
不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
言论的花，开得愈大；行为的果子，结得愈小. ——冰心
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3.已知 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底， 那么下面四组向量中不能作为一组基底的是 ( C)
A．e1 和 e1＋e2 B．e1－2e2 和 e2－2e1 C．e1－2e2 和 4e2－2e1 D．e1＋e2 和 e1－e2 【解析】分析四个选项知，在 C 中，4e2－2e1＝ －2(e1－2 e2)．∴e1－2 e 2 与 4 e 2－2 e 1 共线，应选 C.
种表示是否唯一？请说明理由.
1.理解平面向量的基底的意义与作用. （重点） 2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他 向量都能够用基底来表达． （难点） 3.初步利用定理解决问题（如相交线交成线段 比的问题等）.
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量共线的向量 e1,e2 与该
平面内的任一向量 a 之间的关系.
a
e1
e2
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
a 1e1 2 e2
说明：① e1 ，e2 是两个不共线的向量； ② a 是平面内的任意向量； ③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做这一平面内所有向量 的一组基底.
一对实数
1, 2，使
a
1 e1
2
e
.
2
不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
言论的花，开得愈大；行为的果子，结得愈小. ——冰心
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3.已知 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底， 那么下面四组向量中不能作为一组基底的是 ( C)
A．e1 和 e1＋e2 B．e1－2e2 和 e2－2e1 C．e1－2e2 和 4e2－2e1 D．e1＋e2 和 e1－e2 【解析】分析四个选项知，在 C 中，4e2－2e1＝ －2(e1－2 e2)．∴e1－2 e 2 与 4 e 2－2 e 1 共线，应选 C.
种表示是否唯一？请说明理由.
1.理解平面向量的基底的意义与作用. （重点） 2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他 向量都能够用基底来表达． （难点） 3.初步利用定理解决问题（如相交线交成线段 比的问题等）.
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量共线的向量 e1,e2 与该
平面内的任一向量 a 之间的关系.
a
e1
e2
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
人教A版数学必修4PPT课件平面向量1
提示:
（1）a＋b与a和b 同向;（2）a＋b 的方向与长度大的向
量同向.
思考4：观察下列各图，| a＋b | 与| a |＋| b | 的大小关系 如何？试猜想，| a＋b | 与| a |－| b | 的大小关系如何？
C
a＋b
b
A
提示: a
B
a b
a＋b
a b
a+b
| a＋b || a |＋| b |，当且仅当 a与b 同向时取等号；
AB BC CD DF FA
AC CD DF FA
AD DF FA
AF FA 0
AB DF CD BC FA 0
6.如图，一艘船从 A点出发以 2 3km / h 的速度向垂直
于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速度向东流.求 船实际行驶速度的大小与方向.
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律
向量加法的运算
1.向量加法的运算法则
已知非零向量 a，b，在平面内任取一点A，
向
三角形 法则
作 AB a，BC b， 则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记作 a b，即 a b AB BC
量
AC. 这种求向量和的方法，称为向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如 何反映的？什么叫零向量和单位向量？
提示:
与向量有关的概念
名称
零向量 单位向量 相等向量 平行向量 (共线向量)
定义
长度为0的向量 长度等于1个单位的向量 长度相等且方向相同的向量 方向相同或相反的非零向量
（1）a＋b与a和b 同向;（2）a＋b 的方向与长度大的向
量同向.
思考4：观察下列各图，| a＋b | 与| a |＋| b | 的大小关系 如何？试猜想，| a＋b | 与| a |－| b | 的大小关系如何？
C
a＋b
b
A
提示: a
B
a b
a＋b
a b
a+b
| a＋b || a |＋| b |，当且仅当 a与b 同向时取等号；
AB BC CD DF FA
AC CD DF FA
AD DF FA
AF FA 0
AB DF CD BC FA 0
6.如图，一艘船从 A点出发以 2 3km / h 的速度向垂直
于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速度向东流.求 船实际行驶速度的大小与方向.
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律
向量加法的运算
1.向量加法的运算法则
已知非零向量 a，b，在平面内任取一点A，
向
三角形 法则
作 AB a，BC b， 则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记作 a b，即 a b AB BC
量
AC. 这种求向量和的方法，称为向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如 何反映的？什么叫零向量和单位向量？
提示:
与向量有关的概念
名称
零向量 单位向量 相等向量 平行向量 (共线向量)
定义
长度为0的向量 长度等于1个单位的向量 长度相等且方向相同的向量 方向相同或相反的非零向量
新人教A版高中数学必修4第2章平面向量
来源教学内容： §平面向量的实际背景及大体概念教学目标 1． 了解向量的物理背景及在物理中的意义2． 理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会用字母表示向量，能读写已知图中的向量；3． 掌握向量的几何表示，明确向量的长度、零向量、单位向量的几何意义； 4． 了解共线向量、平行向量的概念，会根据图形判定是否平行、共线、相等．本节重点向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等 本节难点向量的概念 教学模式教学过程 主 要 内 容 及 板 书摘要与反思一、提出问题，引入新课： （1）我们已学了哪些既有大小又有方向的量？（2）角的正弦线、余弦线、正切线是怎样的图形？ 强调已学的位移、力、速度、加速度及三角函数线等都是既有大小又有方向的量．这种量就是我们本章所要研究的向量．1．向量：既有大小，又有方向的量2．数量：只有大小，没有方向的量。
二、新课教学（１）有向线段及有关概念一般，在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序， 终点B 一个为起点，一个为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段． 起点A以A 为起点，B 为终点的有向线段，记作AB ，线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作AB ．有向线段的三要素：起点、方向、长度． （２）向量的表示及模的概念①表示：向量通常用一条有向线段来表示，也可以用字母c b a ,,等来表示，或用表示有向线段的起点和终点的字母表示，如AB ．②模：有向线段的长度表示向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作AB ，,a 箭头所指的方向表示向量的方向．摘要与反思 主 要 内 容 及 板 书③零向量：长度为０的向量叫做零向量，记作0④单位向量：长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量．（３）平行向量（共线向量）与相等向量的概念①平行向量：方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量． 如图中，c b a ,,就是一组平行向量，记作 a ∥b ∥c ．任作一条与a 所在直线平行的直线l ,在l 上取一点Ｏ，则可在l 上分别作出c OC b OB a OA ===,,．这就是说，任一组平行向量都可移到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．规定：0与任一向量平行．②相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．（４）例题与练习例１（课本P84例1）例２（课本P85例2）例３．有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定相等？ 解：有下列两种情况之一，这两个向量一定相等．①两个长度相等的向量，方向也相同；②两个向量的长度都为零． 练习：1．课本P86，练习1，2，3，42．回答下列问题（１）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（２）不相等的向量一定不平行吗? （不一定）（３）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（４）与任何向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（５）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行（或共线向量）3．下列各种情况中，向量的终点各构成什么图形？（１） 把所有单位向量平移到同一个起点．（一个半径为１的圆）（２） 把平行于某一直线的所有单位向量平移到同一个起点．（两个点） （３） 把平行于某一直线的所有向量平移到同一个起点．（一条直线）三．小结：作 业Ｐ86 习题 A 组5；B 组2 后 记 a bc。
高中数学必修4第二章平面向量向量的概念及表示人教A版PPT课件
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练习：
在质量、重力、速度、加速度、身
高、面积、体积这些量中，哪些是
数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
BACK
22
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在下列结论中，哪些是正确的？
练习
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1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
BACK
20
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练习
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1、若两个向量在同一直线上，则这两个
向量是什么向量？
共线向量 或者说平行向量
2、共不线一向定量一定在一条直线上吗？
BACK
21
大小记为┃a┃
6
说金太明阳教1育：网
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我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段表
示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向
量也叫 自由向量
如图：他们都表示
a
a
同一个向量。
1、温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为 什么？ 不是，温度只有大小，没有方向。
2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
（ 2） BCFE
（ 3 ） 虽 然 O A //B C ， 且 | O A | = | B C | ，
但 是 它 们 方 向 相 反 ， 故 这 两 个 向 量 不 相 等 .
OABC 13
例金2太：阳教在育网图中的4×5方格纸中有一个向量
AB ， 品质来自专业
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分别以图中的格点为起点和终点作向量，
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2.1
向
量
问题思考
新华网东京3月30日电：
日本部署“爱国者－3”型拦截导弹拟拦截可能 落入日本境内的朝鲜发射物。
目标
不考虑其他因素，导弹 击中拦截目标取决于导 弹运行的路程还是位移 ？
位移是有大小和方向的量
问题思考
质量
力
速度
(1)
(2)
(3)
问题：请指出与位移具有同样特征的量。
力、速度也是有大小和方向的量
归纳总结
向 量
向量的概念 向 量 的 定 义 表 零 示 向 方 量 法 单 位 向 量
向量的关系 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
概念辨析
一、判断
（1）若AB / /CD，则AB / /CD ；
（2）若AB / /CD，则AB / /CD；
（ 3 ） a与 b共线， b 与 c 共线，则 a与 c也共线；
讨论：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量， 它们的终点构成的集合是什么图形？
探究新知
1. 一 定义： .向量的概念及表示 既有大小又有方向的量称为向量
2.表示方法： １）几何方法——如何画 ２）代数方法——如何写
3.向量的长度：即向量的大小(或称为模) 记作 | AB | 或 | a | 4.两个特殊向量： 1）零向量
讨论：已知 1. | a || b | ，是否有a b ?
A（起点）
。
B（终点）
具有方向的线段叫做有向线段，记作有向线段 AB 有向线段的三个要素：起点、方向、长度
辨析：能把有向线段 AB写成 BA吗？ 注意：起点一定要写在终点的前面！
两个特殊向量： 1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0
规定： 0方向任意。
2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
2）单位向量
2.有两个大小非常特殊的向量，你能想到吗？
探究新知
长度相等且方向相同的向量叫做 1.相等向量： 相等向量。记作： ad
规定：零向量和零向量相等。
长度相等且方向相反的向量叫做 2.相反向量： 相反向量。记作：a c
A D
a b
C
B
c
d
探究新知 3.平行向量：
a b c
请结合向量的两个要素： 大小、方向及平行（共线 ）向量、相等向量、相反 向量、模相等的向量等相 关概念提出新的问题！
例题解析
例2.在如图所示的向量 a ,b , c ,d ,e 中(小 正方形的边长为1),是否存在:
(1)共线向量? (3)相等向量? (2)相反向量? (4)模相等的向量?
若存在,分别写出这些向量.
A（起点） B（终点）
i)用有向线段的起点与终点字母来表示； 如：上述向量可表示为 AB ii)用小写字母来表示；
如： a, b, c……
思考：向量 AB 或 a 的长度（即大小）如何用符号来 表示？
有向线段的概念
一般地，在线段AB的两个端点
中，规定一个顺序，假设A为起 点，B为终点，我们就说线段 AB具有方向。
b
a
d
c
e
课堂小结
向量
向量的概念 向 量 的 定 义 表 零 示 向 方 量 法 单 位 向 量 向量的关系 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
课本 P77
1, 2 , 3, 5
再见！
(1) 几何表示： 用有向线段表示； 有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向 (2) 代数表示：
（4）模相等的两个平行向量是相等的向量；
概念辨析
二、选择:
下列命题中正确的是
（A）向量的模是一个正实数；
（B）若 a b，则 a b 或a b
（C）共线的向量，若起点不同，则终点一定 不同； (D)不平行的向量一定不相等；
例题解析
例1、如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写 出图中与向量 OA 相等的向量。
d
一组方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量。 规定：零向量与任一向量平行。
a b c
记 做： a// b // c
探究新知
4.共线向量与平行向量的关系
a b c
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/ b// c
a,b,c为 共 线 向量
bc a
平行向量就是共线向量， 共线向量就是平行向量！
说明：我们所研究的向量为自由向量，只与大小 和方向有关，与有向线段的起点位置无关，有向线 段只是向量的一种几何表示！
向
量
问题思考
新华网东京3月30日电：
日本部署“爱国者－3”型拦截导弹拟拦截可能 落入日本境内的朝鲜发射物。
目标
不考虑其他因素，导弹 击中拦截目标取决于导 弹运行的路程还是位移 ？
位移是有大小和方向的量
问题思考
质量
力
速度
(1)
(2)
(3)
问题：请指出与位移具有同样特征的量。
力、速度也是有大小和方向的量
归纳总结
向 量
向量的概念 向 量 的 定 义 表 零 示 向 方 量 法 单 位 向 量
向量的关系 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
概念辨析
一、判断
（1）若AB / /CD，则AB / /CD ；
（2）若AB / /CD，则AB / /CD；
（ 3 ） a与 b共线， b 与 c 共线，则 a与 c也共线；
讨论：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量， 它们的终点构成的集合是什么图形？
探究新知
1. 一 定义： .向量的概念及表示 既有大小又有方向的量称为向量
2.表示方法： １）几何方法——如何画 ２）代数方法——如何写
3.向量的长度：即向量的大小(或称为模) 记作 | AB | 或 | a | 4.两个特殊向量： 1）零向量
讨论：已知 1. | a || b | ，是否有a b ?
A（起点）
。
B（终点）
具有方向的线段叫做有向线段，记作有向线段 AB 有向线段的三个要素：起点、方向、长度
辨析：能把有向线段 AB写成 BA吗？ 注意：起点一定要写在终点的前面！
两个特殊向量： 1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0
规定： 0方向任意。
2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
2）单位向量
2.有两个大小非常特殊的向量，你能想到吗？
探究新知
长度相等且方向相同的向量叫做 1.相等向量： 相等向量。记作： ad
规定：零向量和零向量相等。
长度相等且方向相反的向量叫做 2.相反向量： 相反向量。记作：a c
A D
a b
C
B
c
d
探究新知 3.平行向量：
a b c
请结合向量的两个要素： 大小、方向及平行（共线 ）向量、相等向量、相反 向量、模相等的向量等相 关概念提出新的问题！
例题解析
例2.在如图所示的向量 a ,b , c ,d ,e 中(小 正方形的边长为1),是否存在:
(1)共线向量? (3)相等向量? (2)相反向量? (4)模相等的向量?
若存在,分别写出这些向量.
A（起点） B（终点）
i)用有向线段的起点与终点字母来表示； 如：上述向量可表示为 AB ii)用小写字母来表示；
如： a, b, c……
思考：向量 AB 或 a 的长度（即大小）如何用符号来 表示？
有向线段的概念
一般地，在线段AB的两个端点
中，规定一个顺序，假设A为起 点，B为终点，我们就说线段 AB具有方向。
b
a
d
c
e
课堂小结
向量
向量的概念 向 量 的 定 义 表 零 示 向 方 量 法 单 位 向 量 向量的关系 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
课本 P77
1, 2 , 3, 5
再见！
(1) 几何表示： 用有向线段表示； 有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向 (2) 代数表示：
（4）模相等的两个平行向量是相等的向量；
概念辨析
二、选择:
下列命题中正确的是
（A）向量的模是一个正实数；
（B）若 a b，则 a b 或a b
（C）共线的向量，若起点不同，则终点一定 不同； (D)不平行的向量一定不相等；
例题解析
例1、如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写 出图中与向量 OA 相等的向量。
d
一组方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量。 规定：零向量与任一向量平行。
a b c
记 做： a// b // c
探究新知
4.共线向量与平行向量的关系
a b c
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/ b// c
a,b,c为 共 线 向量
bc a
平行向量就是共线向量， 共线向量就是平行向量！
说明：我们所研究的向量为自由向量，只与大小 和方向有关，与有向线段的起点位置无关，有向线 段只是向量的一种几何表示！