二次根式的复习课
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初三二次根式复习课件
a
b
ab ( a 0 , b 0 )
a 1 a 2 a 3 ....... a n ( a 1 0 ,a 2 0 ,..... a n 0 )
乘法公式的推广：
a 1 a 2 a 3 ........ a n
a
;
a b
(a 0, b 0)
2. 二次根式的性质
1. a ≥0(a≥0)(双重非负性) 2．( a)2 ＝a(a≥0)； 3.
a (a 0) a ＝|a|＝ ； a (a 0)
2
4. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； 5. a a ＝ (a≥0，b>0)． b b
3.二次根式的运算:
①加减法：先化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式； ② 乘法和积的算术平方根可互相转化:
作业布置：试卷
如图，实数在数轴上的位置， 化简 ：
a
2
a
b
2
(a b )
2
、
b
（2011山东）实数a在数轴上的位置如图所 示，则 ( a 4 ) ( a 1 1) 化简后为
2 2
0
5
a 10
a＋2 [2011· 州 ] 要使式 子 鄂 有意义， 则 a 的 取值范围 为 a _____．
[2011· 乌兰察布]
x＋1＋(y－2011) ＝0，则 x ＝____.
2
y
y
2x 3
3 2 x 1,
2x y
化简:
最简二次根式应满足的条件:
（1）被开方数中不含有能开得尽的因 数或因式． （2）根号内不含分母. （3）分母上没有根号.
二次根式复习课PPT课件ppt
米（树与地面垂直）。 C
A
B
-
2、如图，正方形花坛ABCD的面积为x-1,
那么它的边长是
。
A
D
B
C
-
3、如图，3×3的正方形网格中，请你只用无刻度的 直尺，画出一条长度为无理数的格点线段。
-
① (3)2 (3 2)2
②
125 45 1
5
③ 18• 3 9
④ (1 3 )2 2(3 1 )2(2 3 )2
(1)式子表达的意义不同 (2)a 的取值范围不同
-
请你来化简
( 2a)2 (a3)2
-
本领3: 会正确应用性质3、4
（1） 174174
（2） 17 17
44
（3） 1 7 4 1 7 4（4）
17 17 4 4
（5）17417 4 （6）174174
-
(2) (x 3 )5 ( x)x 3•5 x成 立的条件是_3_ __x_5 a ba•b(a0,b0)
3
-
1 若 （ a2） 22a，a则 的取值 范
2.化（ 简 2： 3） 2（ 32） 2 3化简 1 32： 42
-
(1) 2 12 1 48; 3
(2) 80.521255
-
学校决定在一块长为 54 米，宽为 6
米的长方形空地上种植草皮，问：
⑴ 铺满这块空地,需要购买多少平方米的 草皮? ⑵ 草坪的长是宽的多少倍?
a a(a0,b0) bb
-
（3）已知长方形的面积是 6 cm2,长是 3 cm， 则它的宽是___2___cm,周长为_(_2__3__2___2_)cm
a a(a0,b0) bb
a•ba(b a0,b0)
A
B
-
2、如图，正方形花坛ABCD的面积为x-1,
那么它的边长是
。
A
D
B
C
-
3、如图，3×3的正方形网格中，请你只用无刻度的 直尺，画出一条长度为无理数的格点线段。
-
① (3)2 (3 2)2
②
125 45 1
5
③ 18• 3 9
④ (1 3 )2 2(3 1 )2(2 3 )2
(1)式子表达的意义不同 (2)a 的取值范围不同
-
请你来化简
( 2a)2 (a3)2
-
本领3: 会正确应用性质3、4
（1） 174174
（2） 17 17
44
（3） 1 7 4 1 7 4（4）
17 17 4 4
（5）17417 4 （6）174174
-
(2) (x 3 )5 ( x)x 3•5 x成 立的条件是_3_ __x_5 a ba•b(a0,b0)
3
-
1 若 （ a2） 22a，a则 的取值 范
2.化（ 简 2： 3） 2（ 32） 2 3化简 1 32： 42
-
(1) 2 12 1 48; 3
(2) 80.521255
-
学校决定在一块长为 54 米，宽为 6
米的长方形空地上种植草皮，问：
⑴ 铺满这块空地,需要购买多少平方米的 草皮? ⑵ 草坪的长是宽的多少倍?
a a(a0,b0) bb
-
（3）已知长方形的面积是 6 cm2,长是 3 cm， 则它的宽是___2___cm,周长为_(_2__3__2___2_)cm
a a(a0,b0) bb
a•ba(b a0,b0)
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
数学八年级下《二次根式》复习课件
a
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
首页
上页
下页
知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
人教版八年级下册数学《二次根式的加减》二次根式说课复习教学课件
a
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第 十六章 二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第 十六章 二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1
第二十一章二次根式课件复习
三、二次根式的加减
二次根式的加减法的一般步骤： 最简二次 首先将每个二次根式化为_______根式, 其次找出其中_________ 同类二次根式 同类二次根式 最后合并_________
课后反思及感悟
1.你知道使二次根式有意义的条件吗? 被开方数是非负数,而分母不为0 ________________________
被开方数的取值范围 2.利用二次根式的性质解题需要注意什么? ____________________
3.二次根式的加减运算过程中应注意什么? 不是同类二次根式不能合并 ____________________
第二十一章 二次根式
复习目标： 1.理解二次根式的概念,了解被开方数必 须是非负数 的理由； 2.理解二次根式加减乘除运算法则，会用它们进行 有关实数的简单四则运算； 3.掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字 母的取值问题； 4.能灵活应用二次根式的性质,通过二次根式的计算 提高逻辑思维能力与运算能力。
一、二次根式的概念及性质 • ①形如说 a a ≥0 ）的式子叫做二次根式。 （ • ②当a ≥0时， • ③
二、二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则 a × ②二次根式的除法法则
பைடு நூலகம்a b
b =____ (a≥0,b≥0) ab
ab =____ (a≥0, b＞0)
③我们规定在二次根式运算中，最后结果要符合如下两个特点： 分母 （1）被开方数不含_____； （2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
二次根式复习说课稿人教版
二次根式复习说课稿人教版一、教学目标本次复习课旨在帮助学生巩固和深化对二次根式的理解和应用。
通过对人教版教材中二次根式相关知识点的回顾，学生应达到以下目标：1. 理解二次根式的定义及其性质。
2. 掌握二次根式的化简方法。
3. 能够运用二次根式解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算技能。
二、教学重点与难点1. 教学重点：- 二次根式的定义和性质。
- 二次根式的化简技巧。
- 二次根式在实际问题中的应用。
2. 教学难点：- 理解二次根式中的被开方数非负的条件。
- 掌握复杂的二次根式混合运算。
三、教学过程1. 引入新课- 通过回顾一次方程的解法，引导学生思考方程中未知数的系数可能为负数时，解的性质如何变化，从而自然过渡到二次根式的学习。
2. 知识点回顾- 定义：介绍二次根式的定义，强调其作为算术平方根的逆运算。
- 性质：讲解二次根式的基本性质，如非负性、平方性质等。
- 化简：通过例题演示如何将二次根式化为最简形式。
- 运算：复习二次根式的加减乘除运算规则。
3. 例题讲解- 选取典型题目，展示如何运用二次根式解决具体问题。
- 分析解题步骤，强调解题过程中的注意事项。
4. 课堂练习- 设计不同难度的练习题，让学生在课堂上进行实践操作。
- 鼓励学生相互讨论，共同解决难题。
5. 总结归纳- 总结本次复习的主要内容和方法。
- 强调二次根式在数学和其他学科中的重要性。
6. 作业布置- 根据学生的掌握情况，布置适量的作业，以巩固课堂所学。
四、教学方法1. 启发式教学：通过提问和引导，激发学生的思考，帮助他们自主构建知识体系。
2. 互动式教学：鼓励学生参与讨论，通过小组合作解决问题，提高他们的交流和合作能力。
3. 案例分析：通过具体的数学问题，让学生在解决实际问题中体会二次根式的应用价值。
五、教学评价1. 过程评价：观察学生在课堂上的参与度和讨论情况，了解他们对知识点的掌握程度。
2. 结果评价：通过课堂练习和作业完成情况，评估学生对二次根式相关知识的掌握和运用能力。
二次根式复习课件
பைடு நூலகம்
二 次 根 式
两个公式
a 2、 b
(
a (a 0, b 0) b a 0 （ａ 0）
a )2 a
,a 0 a 2 a {a a ,a 0
三个性质
四种运算
加 、减、乘、除
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
15
a b
2
2
②
3a
a2 1
③
x 100
第九章二次根式复习
刘艳琴
复习目标
• 1.掌握二次根式和最简二次根式的概念。 • 2.理解二次根式的性质和二次根式的运算法 则。 • 3.会用二次根式的性质和法则进行运算以及 解决一些实际问题。
知识结构
三个概念
二次根式
最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
1 1 2
(2)
4a 2 16a 2
y x
(a≥0)
例2：把下列各式化成最简二次根式
(1 ) 4 (2)x
2
(x>0)
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
• 这节课你有什么收获？
达标练习一
2 -4
1 当x=- 9 时，最小值为3
6＜l＜10
二 次 根 式
两个公式
a 2、 b
(
a (a 0, b 0) b a 0 （ａ 0）
a )2 a
,a 0 a 2 a {a a ,a 0
三个性质
四种运算
加 、减、乘、除
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
15
a b
2
2
②
3a
a2 1
③
x 100
第九章二次根式复习
刘艳琴
复习目标
• 1.掌握二次根式和最简二次根式的概念。 • 2.理解二次根式的性质和二次根式的运算法 则。 • 3.会用二次根式的性质和法则进行运算以及 解决一些实际问题。
知识结构
三个概念
二次根式
最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
1 1 2
(2)
4a 2 16a 2
y x
(a≥0)
例2：把下列各式化成最简二次根式
(1 ) 4 (2)x
2
(x>0)
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
• 这节课你有什么收获？
达标练习一
2 -4
1 当x=- 9 时，最小值为3
6＜l＜10
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D.a 1
1- 3
2
解： 3 3 1
题型4:同类二次根式 1.下列与 A.
12
2
是同类二次根式的有:( B )
B.
1 2
C. 27
D.
2 3
2.下列与
a b 不是同类二次根式的有:( D ) （题中 a 0,b 0 ）
3
A.
ab 4
B.
b a
2008 2008
2
（7）( 3 2） （2 3 ）
通过这节课的学习， 谈谈你的收获。
祝你成功！
二次根式
概念
最简二次根式 同类二次根式
二 次 根 式
a 0 (a 0)
( a a (a 0)
性质
( a 2 a
ab a b (a 0, b 0)
x3
1 3x
x2 5
3 1 2x
②
3x 2
5 1 x
③
⑤
④ ⑥
⑧
2 x
⑦
x 1
2
2.（2005.吉林）当 3.(2005.青岛)
≤3 x _____时， 3 x 有意义。
a=4 a 4 4 a 有意义的条件是______
4.求下列二次根式中字母的取值范围
1 x5 3 x
C.1
题型3:化简
把下列二次根化为最简二次根式
(1) 48
3 (2) 2
3 (5) 24
3 (3) 3 5
(4) 0.4
2
(6) 3a b(a 0,b 0)
变式应用
1.式子
( a 1) a 1 成立的条件是（ D ）
2
A.a 1
2、 化简
B.a 1
C .a 1
a a b b
(a 0, b 0)
运算
a b ab(a 0, b 0)
a a (a 0, b 0) b b
a(a 0) 0(a 0) a(a 0)
a (2) a ) (a 0)
(3) a a
2
注：若
a a 则 a 0;
2
若 a2 a 则
a 0;
2.二次根式的性质(2)：
a a (a 0 , b 0) b b
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用， 原来所学的乘法公式（如 (a b)(a b) a2 b2 ,
(a b)2 a2 2ab b2 ）仍然适用。
题型1:二次根式有意义的条件 1.当x取何值时，下列二次根式有意义： ①
解：
x 5 0 3 x 0
①
②
解得
5 x 3
说明：二次根式被开方 数大于等于0，所以求二 次根式中字母的取值范 围常转化为不等式(组)
已知 y
2 x
5 y x 2 5, 则 ____ 2 x
?
题型2:二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 2x y 0 ,求 解：由题意，得 解得
1 C. ab
D.
ab
2 2
题型5: 计算
1 (1) 153 5 2
(2) 3x 6 xy
(3)(3 48 4 27) 2 3
1 (4) 12( 75 3 3 48)
20 5 1 (5) 12 3 5
（6) ( 3 2)( 3 2)( 2 3)
(4) ab (a 0,b 0) a b
a a (5) (a 0 b b b 0)
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则 二次根式除法法则
二次根式的加减： 类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
a b (a 0 , b 0) ab
（2）满足下列两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式；
（3）几个二次根式化成最简二次根 式后，如果被开方数相同，那么这 几个二次根式叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质(1)：
（1） 非负性 ：
2
a0(a )
x y
的值.
x 4 0且2 x y 0
x 4, y 8
x y 4 (8) 4 8 12
2.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
x 1 3( y 2) 0 ,则
2
x y 的值为( D )
D.-1
A.3
B.-3
复习目标
加深理解二次根式的有关概念；
熟练掌握二次根式有意义的条件； 熟练运用二次根式的化简和加
减、乘除、乘方混合运算；
本章知识
1.二次根式的有关概念：
（1）二次根式（2）最简二次根式（3）同类二次根式
（1）形如
a (a 0)
非负数
的 式子叫做二次根式.
（即一个
的算术平方根叫做二次根式）
二次根式有意义的条件: 注意： 被开方数大于或等于零