2018年高考理科数学预测密卷-含答案解析

2018年高考理科数学预测密卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．设集合M Z =，{}220N x x x =--<，则MN =（ ）A ．{}0 1，B ．{}1 0-，C ．{}1 2，D ．{}1 2-，2．已知i 是虚数单位，复数()220172i +的共轭复数为（ ） A ．34i - B ．34i + C ．54i - D ．54i +3．已知等比数列{}n a 的公比q =2，316,a =则其前2017项和2017S =（ ）A ．201924-B ．201822-C ．201824-D ．201922-4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输出的2a =，则输入的,a b 可能是（ ）A.15,18B.14,18C.12,18D.9,185.若实数,x y 满足不等式组102200x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2291241z x xy y =+++的最小值为（ ）A ．2B ．5C ．26D ．376.在ABC ∆中,,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边,若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++-1+有极值点，则sin(2)3B π-的最小值是（ ） A. 0 B. 33 D. -17．某学校需要把6名实习老师安排到A ，B ，C 三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到A 班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（ ）A ．24B ．36C ．48D ．728．如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1(7,0)F -的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22551728x y -= B ．2216x y -= C ．2216y x -= D ．22551287x y -=9．函数2()(1)cos()12x f x ex =-+的图象的大致形状是（ ）10．在三棱锥BCD A -中，△ABC 与△BCD 都是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为π1520，则△ABC 边长为（ ）A.33236433 611．如图所示，A ，B ，C 是半径为2 的圆O 上不同的三点，线段CO 的延长线与线段BA 交于圆外的一点D ，若2OC OA OB λμ=+（R λ∈，R μ∈），则λμ+的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(),2-∞-D ．()2,0-12. 已知实数b a ,满足2211a e b e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,则22()(ln )(0)a c b c c -+->的最小值为（ ） A ．21e e e -- B ．221e e e +- C ．21e e e +- D ．11e e+- 第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-23为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13. 已知9()2ax x -的展开式中，3x 的系数为94，则2221a dx x -⎰=__________. 14.已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体中最长的棱长是_____________.15．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，D 是AC 的中点，且25cos ,265B BD ==，则ABC ∆的最短边的边长为___________.16. 如图，已知椭圆2212x y +=的左、右顶点分别是A ，B ，过点B 作x 轴的垂线l ，点P 是直线l 的一点，连接PA 交椭圆于点C ，坐标原点是O ，则OP 与BC 所成角为______.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知数列}{n a 满足1*22()n n n S a n n N +=-+∈.（1）求23,a a ；（2）是否存在实数λ，使数列}2{n n a λ+为等差数列，若存在，求出请求出λ的值，若不存在，说明理由.18.（本小题满分12分）2017年两会继续关注了乡村教师的问题，随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障，流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题，为此，某市今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要2万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要5万元，已知现在该乡村中学无多余教师，为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市100所乡村中学在过去三年内的教师流失数，得到下面的柱状图：流失的教师数以这100所乡村中学流失教师数的频率代替1所乡村中学流失教师数发生的概率，记X 表示两所乡村中学在过去三年共流失的教师数，n 表示今年为两所乡村中学招聘的教师数.为保障乡村孩子教育部受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘.（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（Ⅲ）以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？19. （本小题满分12分）如图，已知DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，AC //DF ，四边形BCDE 为直角梯形，DE //BC ，BC CD ⊥，点G 为ABC ∆的重心，N 为AB 中点，AG ⊥平面BCDE ，M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点.（Ⅰ）求证：GM //平面DFN ； （Ⅱ）若二面角M BC D --的余弦值为74，试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值.20. （本小题满分12分） 已知点M 是抛物线E :22y px =的准线与对称轴的交点，F 是抛物线的焦点，N 是抛物线上一点满足NF m NM =，当m 取最小值时，点N 横坐标为1.（I ）求抛物线E 的方程；（II ）直线)0(≠+=k b kx y 交x 轴于点C ，交抛物线E 于不同的两点B A ,，点B 关于x 轴的对称点为P ，点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：Q P A ,,三点共线.21.（本小题满分12分）已知函数()ln 3(f x a x bx a R =--∈且0)a ≠（1）若a b =，求函数()x f 的单调区间；（2）当1a =时，设()()3g x f x =+，若()g x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：12ln ln 2x x +>．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,11,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的方程为ρ=，定点(6,0)M ，点N 是曲线1C 上的动点，Q 为MN 的中点.（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2） 已知直线l 与x 轴的交点为P ，与曲线2C 的交点为A ，B ，若AB 的中点为D ，求||PD 的长．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|22||22|,f x x x x R =+--∈.（1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若方程()2f x a x +=有三个实数根，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题.1.【答案】A 【解析】因为{}{}22012N x x x x x =--<=-<< ，所以MN ={}0 1，，故选A. 考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合的交集.2．【答案】A【解析】因为()2201722(2)34i i i +=+=+，所以共轭复数为34i -，选A. 考点：共轭复数概念，n i 的周期性，复数运算.3．【答案】A【解析】根据题意可得，20172019120174(12)4,2412a S -===--. 考点：等比数列通项及求和.4．【答案】B【解析】执行程序，可知a=14，b=18时，b=18-14=4，由a ＞b ，则a 变为14-4=10，由a ＞b ，则a 变为10-4=6，由a ＞b ，则a 变为6-4=2，由a ＜b ，则b 变为4-2=2，由a=b=2，则输出的a=2考点：程序框图5.【答案】B【解析】作出可行域，如图所示，2(32)1z x y =++设32x y μ=+变形成322y x μ=-+可知过点)1,0(A 时纵截距最小，此时2μ=，[2,)μ∴∈+∞，min 5Z =.考点：简单的线性规划. 6.【答案】D【解析】由已知可得()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根()2222222224401cos (,)223b ac ac a c b ac a c b B B ac ππ⇒∆=-+->⇒+-<+-⇒=<⇒∈min 52(,),sin(2)13333B B ππππ∴-∈-=-.考点：函数的极值, 余弦定理,三角函数最值.7．【答案】C 【解析】先考虑甲不能到A 班的方案：112254()C 60C C =,减去其中乙和丙安排到同一班级的方案111232()C 12C C =，即48种，选C.考点：排列组合8.【答案】C【解析】由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以1212AF AF BF a -==，所以24BF a =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，1260F AF ∠=︒，由余弦定理得22243616264cos60c a a a a =+-⨯⨯⨯︒，解得 21a =，所以 26b =，双曲线的方程为2216y x -=，故选C. 考点：双曲线的定义和标准方程. 9．【答案】B【解析】由已知可得()()()f x f x f x -=-⇒是奇函数⇒排除A 、C ；又1()022e f =<排除D,故选B. 考点：函数的图象. 10.【答案】D【解析】取BC 的中点为M ，E 、F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的中心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接AM 、DM 、OF 、OE 、OM 、OB ，则E 、F 分别在AM 、DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，OM ⊥BC ，AM ⊥BC ，DM ⊥BC ，所以∠AMD 为二面角A —BC —D 的平面角，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以AM ⊥DM ，又a ，所以FM EM ==AM 31，所以四边形OEMF 为正方形，所以OM=，在直角三角形OMB 中，球半径OB=22BM OM +=22265()()6212a a a +=，所以外接球的体积为24π55201531212a a π⨯⨯=，故选D.考点：三棱锥的外接球问题. 11．【答案】D【解析】因为2OA OB OC ===,2OC OA OB λμ=+,所以()224OC OA OBλμ=+，展开得2244216OA OB λμλμ++⋅=，所以222cos 4AOB λμλμ++∠=,当60AOB ∠=时，()2224λμλμλμλμ++=+-=即()244λμλμ+=+<,所以22λμ-<+<.当,OA OB 趋近于射线OD 时，由平行四边形法则可知22OC OE OF OA OB λμ=+=+,此时0,0λμ<>且λμ>，所以0λμ+<，因此λμ+的取值范围是()2,0-，故选D.考点：平面向量的数量积. 12.【答案】C【解析】用x 代换a ，用y 代换b ，则,x y 满足2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,以x 代换c ，可得点(,ln )x x ，满足ln y x =，所以求22()(ln )a c b c -+-的最小值即为求圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上的点Q 到曲线ln y x =上的点P 的距离的最小值.由圆的对称性知,只需考虑圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,1ee C 到曲线ln y x =上的点距离的最小值.设曲线ln y x =上任一点()''11,ln ,,|x t P t t y y x t ==∴=,即经过P 的切线斜率为t1,由切线垂直于直线PC ,所以ln 011,1t t t e e -⨯=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭即：21ln 0t t e t e ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭.不妨设()21ln g x x x e x e ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则()()()()()1120,230,2,3g x x e x x g x g x x e ⎛⎫''=+-+><<>∴ ⎪⎝⎭时，在为增函数,又()01ln 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=e e e e e e g ,即当()1,e P 时线段PQ 长度最小,为eee e -+=-+221111,故选C. 考点：1.求切线方程；2.函数的单调性；3.两点间距离公式.二、填空题.13.【答案】9ln 5. 【解析】由二项式9(a x 的展开式为39992199()((1)rr r r r r r rr a T C C a x x ---+==-，令8r =，可得88834399(1)92T C a x ax -=-=⨯，令49924a -⨯=，解得4a =．则4222442119()ln(1)ln(1)ln 221115adx dx x x x x x =-=--+=--+⎰⎰ 考点：二项式定理的应用,定积分计算. 14.【答案】8.【解析】由题设三视图中所提供的信息可知该几何体的直观图如图所示：CA4,AB AD DE CF ====8CDEF ==,AE BC BF ====.故最长的棱长为8.考点：三视图. 15．【答案】【解析】1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，∴1sin sin cos sin sin cos sin 3A A C C A A C +=，即1sin sin sin 3A B C=.由cosB =得sin B =， ()C A B π=-+，∴()3sin A A B =+，则sin cos A A =，得tan 1A = ∴4A π=，则221264c b+=， 1sin sin 53A C ⨯=且1sin sin 23B C ⨯=，∴,535c b c a ===，∴222913265105a a a +-=. 解得a =6bc ==.∴ABC ∆的最短边的边长 考点：1、解三角形；2、三角恒等变换. 16.【答案】2π. 【解析】设)Pt ，则直线PA的方程为y x =，由2212xyy x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得2222(4)280t x x t+++-=，解得1x=224xt=+，则点C的坐标是2224(,)44tt t++，故直线BC的斜率BCkt=-，由于直线OP的斜率OPk=，故1BC OPk k⨯=-，∴OP BC⊥.考点：直线与椭圆的位置关系.三、解答题.17.【答案】（1）239,25a a==；（2）存在实数1λ=-，使数列}2{nnaλ+为等差数列.【解析】（1）∵122nn nS a n+=-+∴11221(2)nn nS a n n--=-+-≥从而12221nn n na a a-=--+，即：1221(2)nn na a n-=+-≥可得13a=，22122219a a a=+-⇒=，332322125a a a=+-⇒=.（2）若}2{nnaλ+为等差数列，则)2(22222331λλλ+=+++aaa，3259282λλλ++++=，1λ=-.当=1λ-时，111122211222nn n nn n na a a----+--==+.即：1111122n nn na a-----=,数列1{}2nna-为等差数列.∴存在实数1λ=-，使数列}2{nnaλ+为等差数列.考点：递推公式的应用, 等差数列的定义，数列探索性问题.18.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）19；（Ⅲ）19n=.【解析】（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一所高校在三年内流失的人才数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而04.02.02.0)16(=⨯==XP；16.04.02.02)17(=⨯⨯==XP；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==XP；24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ； 08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ； 04.02.02.0)22(=⨯==X P .（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示两所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元）. 当19=n 时，1920.68(1925)0.2(19225)0.08EY =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯(19235)0.0440.4+⨯+⨯⨯=.当20=n 时，2020.88(2025)0.08(20225)0.04EY =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯40.8=.可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n . 【考点】概率与统计、随机变量的分布列19. 【答案】（1）证明见解析；（2）3π. 【解析】（Ⅰ）连AG 延长交BC 于P ，因为点G 为ABC ∆的重心，所以23AG AP =又23AM AF =，所以23AG AM AP AF ==，所以GM //PF ；因为AC //DF ，DE //BC ，所以平面ABC //平面DEF ， 又DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，N 为AB 中点，P 为BC 中点, NP //AC ,又AC //DF ，所以NP //DF ，得,,,P D F N 四点共面GM ∴//平面DFN（Ⅱ）由题意，以P 为原点，PC 为x 轴，PE 为y 轴，PA 为z 轴建立空间直角坐标系， 设CD m =，则11(1,0,0),(1,,0),(,,0),(1,0,0),(22C D m A F m B N --，2,3AM AF =12(,33m M ∴，42(2,0,0),(,33m BC BM ==设平面MBC 的法向量(,,)n a b c =，则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取(0,3,2)n m =-，平面BCD 的法向量(0,0,1)v =，所以二面角M BC D --的余弦值2cos 434n vm n vθ⋅===⋅+，m =，又52(,,636m MN -=-，(0,,0)CD m = 1cos ,2NM CD MN CD NM CDm ⋅〈〉===⋅,直线MN 与CD 所成角为3π. 考点：空间线面的平行的判定及向量的数量积公式等有关知识的综合运用. 20.【答案】（I ）24y x =；（II ）证明见解析. 【解析】（I ）设(,),(,0),(,0)22p pN x y M F -，则px NF m NM +=====∴当且仅当2p x =时，m 取得最小值.所以抛物线方程为：24y x =. （II ）由条件可知)0,(k b C -，则)0,(kbQ .联立⎩⎨⎧=+=xy b kx y 42，消去y 得0)42(222=+-+b x bk x k ，0)1(164)42(222>-=--=∆bk k b bk .设()())(,,,212211x x y x B y x A <，则()22,y x P -,21424,2421221k bk bk x k bk x x ---=-=+.2142422k bkbk x -+-= 因为 1212,AP y y k x x +===-11110()2AQ y k kx b k b kx b x kk-+====--⎣⎦ 所以Q P A k k AQ AP ,,,=三点共线. 考点：抛物线定义,直线与抛物线的位置关系.21.【答案】（1）当0>a 时，函数()x f 的单调增区间是()1,0，单调减区间是()+∞,1，当0<a 时，函数()x f 的单调增区间是()+∞,1，单调减区间是()1,0；（2）见解析. 【解析】（1）由()3ln --=ax x a x f 知()xx a x f )1(-=' 当0>a 时，函数()x f 的单调增区间是()1,0，单调减区间是()+∞,1， 当0<a 时，函数()x f 的单调增区间是()+∞,1，单调减区间是()1,0. （2）()ln g x x bx =-,设()g x 的两个相异零点为1x ，2x ，设120x x >>， ∵1()0g x =，2()0g x =，∴11ln 0x bx -=，22ln 0x bx -=， ∴1212ln ln ()x x b x x -=-，1212ln ln ()x x b x x +=+， 要证12ln ln 2x x +>，即证12()2b x x +>， 即121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即1122122()ln x x x x x x ->+，设121x t x =>上式转化为2(1)ln 1t t t ->+（1t >）， 设2(1)()ln 1t g t t t -=-+， ∴22(1)'()0(1)t g t t t -=>+， ∴()g t 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0g t g >=，∴2(1)ln 1t t t ->+， ∴12ln ln 2x x +>．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数与方程、不等式.22.【答案】（1）22(3x y +=；（2. 【解析】（1）由题意知，曲线1C的直角坐标方程为2212360x y x ++-+=.设点(',')N x y ，),(y x Q . 由中点坐标公式得⎩⎨⎧=-=y y x x 2'62'，代入2212360x y x ++-+=中，得点Q 的轨迹2C的直角坐标方程为22(3x y +=.（2）P的坐标为0) ，设l的参数方程为,21,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） 代入曲线2C的直角坐标方程得：2(330t t -++=，设点A ，B ，D 对应的参数分别为1t ，2t ，3t，则123t t +=123t t =，||=PD 1233||||22t t t +==. 考点：求动点的轨迹方程，直线的参数方程中参数的几何意义． 23.【答案】（1）3(,]4-∞（2）11a -<<.【解析】（1）原不等式等价于143x <-⎧⎨-≤⎩或1143x x -≤≤⎧⎨≤⎩或143x >⎧⎨≤⎩，得1x <-或314x -≤≤∴不等式()3f x ≤的解集为3(,]4-∞． （2）由方程()2f x a x +=可变形为11+--+=x x x a ． 令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如下:。