2018年高考数学(理)原创押题预测卷 03(新课标Ⅱ卷)(参考答案)
高考原创押题卷（二）数学理科试题含答案解析
高考原创押题卷（二）数学(理科)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{x ∈N |y ＝5－x }，A ＝{x ∈N *|x －4<0}，B ＝{2，4}，则(∁U A )∪B ＝( )A ．{2}B ．{4}C ．{2，4，5}D ．{0，2，4，5} 2．已知i 是虚数单位，直线2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为复数z (1－i)的实部与虚部，则复数z 的共轭复数为( )A.12－32iB.12＋32i C ．－12－32i D ．－12＋32i 3．若双曲线E ：x 22m －2－y 2m ＝1(m >1)的焦距为10，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±916xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝126，a 4＋a 10＝40，则2S n ＋30n 的最小值为( )A ．610＋1B ．20 C.412D ．195．在《九章算术》中有这样一个问题：某员外有小米一囤，该囤的三视图如图21所示(单位：尺)，已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.1，则该囤所储小米斛数约为( )图21A ．459B ．138C ．115D ．1036．已知某班某个小组8人的期末考试物理成绩的茎叶图如图22所示，并用图23所示的程序框图对成绩进行分析(其中框图中的a 表示小组成员的物理成绩)，则输出的A ，B 值分别为( )图22图23A ．76，37.5%B ．75.5，37.5%C ．76，62.5%D ．75.5，62.5% 7．已知在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝23，∠ACB ＝120°，AA 1＝4，则该三棱柱外接球的体积为( )A.162π3 B ．642π C ．32π D.642π38．p ：∃x 0∈R ＋，x 0ln x 0＋x 20－ax 0＋2<0为假命题的一个充分不必要条件为( )A ．a ∈(0，3)B ．a ∈(－∞，3]C ．a ∈(3，＋∞)D ．a ∈[3，＋∞) 9．已知a ＝2π⎠⎛024x －x 2d x ，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2＋ay 的取值范围为( )A .⎣⎡⎦⎤254，8B .⎣⎡⎦⎤315，2129C .⎣⎡⎦⎤8，2129D .⎣⎡⎦⎤315，810．若函数f(x)对定义域内任意x ，都有f(x)＋f(－x)＝0，且对定义域内任意x 1，x 2，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则称函数f(x)为“优美函数”．下列函数中是“优美函数”的是( )A ．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋11－e x ，x ≠0，0，x ＝0 B ．f(x)＝ln (3x ＋9x 2＋1)C ．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x>0，0，x ＝0，－x 2＋2x ＋1，x<0 D ．f(x)＝tan x11．已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图24所示，则关于函数g(x)＝－2A sin 2(ωx 2＋φ2＋A)，下列说法正确的是( )图24A ．g(x)的单调递增区间为（2k π3，2k π3＋2π9，k ∈Z ） B ．直线x ＝－5π18是曲线y ＝g (x )的一条对称轴C ．将函数f (x )图像上所有的点向左平移π6个单位长度，即可得到函数y ＝g (x )的图像D ．若函数g (x ＋m )为偶函数，则m ＝k π＋π3，k ∈Z12．已知函数y ＝(x －2)e x ＋1＋x 2－2x ＋a 恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2＋1] B ．(－∞，e 2＋1) C ．(e 2＋1，＋∞) D ．(e 2，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知二项式(ax ＋1)7展开式的各项系数和为128，(ax ＋1)7＝a 0＋a 1(ax ＋3)＋a 2(ax ＋3)2＋…＋a 7(ax ＋3)7，则a 4＝________．14．已知在△DEF 中，DE ＝2，EF ＝3，∠DEF ＝60°，M 是DF 的中点，N 在EF 上，且DN ⊥ME ，则DN →·DF →＝________．15．已知直线2x ＋y －2＝0与x 轴的交点是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C 的焦点F ，P 是抛物线C 上一点，以P 为圆心，|PF |为半径的圆截x 轴所得的弦长为2，则圆P 的方程为________________．16．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前40项和为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，b c ＝sin C －sin B －sin A cos Bsin A cos C －sin B .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，△ABC 是锐角三角形，求4S △ABCc ＋3c 的取值范围．18．(本小题满分12分)中国某文化研究机构为了解国人对中国传统戏剧的态度，随机抽取了68人进行调查，相关的数据如下表所示：不喜爱 喜爱 总计 五十岁以上(含五十岁) 10 b 22 五十岁以下(不含五十岁)c 4 46 总计521668(1)求2×2 (2)从喜爱传统戏剧的16人中随机抽取3人，设3人中五十岁以下(不含五十岁)的人数为X ，求X 的分布列与数学期望． 附：P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828公式： K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(n ＝a ＋b ＋c ＋d )．19．(本小题满分12分)在如图25所示的四棱锥P - ABCD 中，△P AB 是边长为4的正三角形，平面P AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，BC ＝2，∠ADC ＝60°，E 是CD 的中点．(1)求证：BE ⊥PC ；(2)求二面角A -PD -C 的正弦值．图2520．(本小题满分12分)已知A ，B 分别是离心率为32的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点与右顶点，右焦点F 2到直线AB 的距离为25－155.(1)求椭圆E 的方程；(2)过M (0，2)作直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求△OPQ 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)函数f (x )＝a (x －1)ln(x －1)＋(bx ＋1)(x －1)＋a ＋1(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线方程为x －y ＋1＝0，求实数a ，b 的值； (2)已知b ＝1，当x >2时，f (x )＞0，求实数a 的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 和极坐标系中，极点与原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 过点(1，1)，倾斜角α的正切值为－34，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l与曲线C的位置关系，若直线l与曲线C相交，求直线l被曲线C截得的弦长．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－1|－|2x－3|.(1)若f(x)≥m对0≤x≤3恒成立，求实数m的取值范围；(2)若f(x)的最大值为M，a，b∈R＋，a＋2b＝Mab，求a＋2b的最小值．参考答案·数学(理科)高考原创押题卷（二）1．D [解析] 由题知U ＝{0，1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，∴∁U A ＝{0，4，5}，∴(∁U A )∪B ＝{0，2，4，5}，故选D.2．B [解析] 由题知，直线2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别为－1，－2，所以z (1－i)＝－1－2i ，所以z ＝－1＋2i 1－i ＝－（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12－32i ，故复数z 的共轭复数为12＋32i ，故选B.3．C [解析] 由题知a 2＝2m －2，b 2＝m ，c ＝5，所以c 2＝2m －2＋m ＝25，解得m ＝9，所以a ＝4，b ＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，故选C.4．B [解析] 设公差为d ，由题知126＝S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5，解得a 5＝14，由2a 7＝a 4＋a 10＝40，得a 7＝20，所以d ＝a 7－a 52＝3，所以a 1＝a 5－4d ＝2，所以S n ＝32n 2＋12n ，所以2S n ＋30n＝3⎝⎛⎭⎫n ＋10n ＋1.令y ＝x ＋10x ，该函数在(0，10)上单调递减，在(10，＋∞)上单调递增，所以当n ＝3时，2S n ＋30n ＝20，当n ＝4时，2S n ＋30n ＝412，故2S n ＋30n 的最小值为20，故选B.5．C [解析] 由三视图知，该粮囤是由一个底面半径为3、高为6的圆柱和一个等底、高为2的圆锥组成的组合体，其体积为3.1×32×6＋13×3.1×32×2＝186(立方尺)，所以该囤所储小米斛数约为186÷1.62≈115，故选C.6．A [解析] 由程序框图，知输出的A 表示本小组物理成绩的平均值，B 表示本小组物理成绩大于或等于80分的人数占小组总人数的百分比，故A ＝55＋63＋68＋74＋77＋85＋88＋988＝76，B ＝38×100%＝37.5%，故选A.7．D [解析] 设该三棱柱的外接球的半径为R ，底面所在截面圆的半径为r ，由正弦定理，知2r ＝AB sin 120°＝2332＝4，所以r ＝2，所以R ＝r 2＋⎝⎛⎭⎫AA 122＝22＋22＝22，所以该三棱柱外接球的体积V ＝4πR 33＝4π×（22）33＝642π3，故选D.8．A [解析] 由题知綈p ：∀x ∈R ＋，x ln x ＋x 2－ax ＋2≥0是真命题，即a ≤ln x ＋x ＋2x对x ∈R＋恒成立．设f (x )＝ln x ＋x ＋2x (x >0)，∴f ′(x )＝1x ＋1－2x 2＝（x ＋2）（x －1）x 2，当0<x <1时，f ′(x )＜0，当x >1时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝3，∴a ≤3，故选A.9．B [解析] 令y ＝4x －x 2＝4－（x －2）2，∴(x －2)2＋y 2＝4(y ≥0)，∴⎠⎛024－（x －2）2d x 表示直线x ＝2，x 轴以及以(2，0)为圆心、2为半径的圆围成的14圆的面积，∴a ＝2π⎠⎛024－（x －2）2d x ＝2，∴目标函数z ＝x 2＋y 2＋2y ＝x 2＋(y ＋1)2－1表示可行域内点(x ，y)与点M (0，－1)之间距离的平方减去1.作出可行域如图中阴影部分所示，过M 作直线x ＋2y －4＝0的垂线，垂足为N ，由图知，N 在线段AB上，MN ＝|－2－4|12＋22＝65， ∴z min ＝⎝⎛⎭⎫652－1＝315.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，2x －y －4＝0，得C ⎝⎛⎭⎫103，83，∴MC ＝⎝⎛⎭⎫1032＋⎝⎛⎭⎫83＋12＝2213，∴z max ＝⎝⎛⎭⎫22132－1＝2129，∴z 的取值范围为315，2129，故选B .10．B [解析] 依题意，“优美函数”是奇函数，且在定义域上是增函数．对选项A ，定义域为R ，∀x ∈R 且x ≠0，f (－x )＝e －x ＋11－e －x ＝e x ＋1e x －1＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，∵f (－1)＝e －1＋11－e －1>0＞f (1)＝e ＋11－e ，∴f (x )在定义域内不是增函数，故A 不是“优美函数”；对选项B ，∵9x 2＋1>9x 2，∴9x 2＋1>|3x |，∴9x 2＋1＋3x >|3x |＋3x ≥0，∴f (x )的定义域为R ，f (x )＋f (－x )＝ln(3x ＋9x 2＋1)＋ln[－3x ＋9（－x ）2＋1]＝ln[(3x ＋9x 2＋1)(－3x ＋9x 2＋1)]＝ln[9x 2＋1－(3x )2]＝ln 1＝0，∴该函数是奇函数，∵f ′(x )＝3＋18x29x 2＋13x ＋9x 2＋1＝39x 2＋1＞0，∴该函数在R 上是增函数，∴该函数是“优美函数”；对选项C ，∵f ⎝⎛⎭⎫－14＝－⎝⎛⎭⎫－142＋2×⎝⎛⎭⎫－14＋1＝716＞f ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫142＋2×14－1＝－716，∴该函数在R 上不是增函数，故该函数不是“优美函数”；对选项D ，由y ＝tan x 的图像知，该函数在定义域上不单调，故不是“优美函数”．故选B.11．C [解析] 由图知A ＝3，f (0)＝3sin φ＝332，∴sin φ＝32，∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴ωπ18＋π3＝π2，∴ω＝3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3.∵g (x )＝－2A sin 2ωx 2＋φ2＋A ＝A cos(ωx ＋φ)＝3cos （3x ＋π3）.令2k π－π≤3x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，解得2k π3－4π9≤x ≤2k π3－π9，k ∈Z ，∴g (x )的单调递增区间为（2k π3－4π9），（2k π3－π9），k ∈Z ，故A 错；∵g ⎝⎛⎭⎫－5π18＝3cos3×⎝⎛⎭⎫－5π18＋π3＝0，∴直线x ＝－5π18不是曲线y ＝g (x )的对称轴，故B 错；∵将f (x )的图像向左平移π6个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y ＝3sin3⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin π2＋⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，故C 正确；∵g (x ＋m )＝3cos3(x ＋m )＋π3＝3cos3x ＋3m ＋π3为偶函数，∴3m＋π3＝k π，k ∈Z ，∴m ＝k π3－π9，k ∈Z ，故D 错．故选C. 12．B [解析] 由题知，方程(x －2)e x ＋1＋x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的解，即方程(x －2)e x＋1＝－x 2＋2x －a 恰有两个解．设g (x )＝(x －2)e x ＋1，φ(x )＝－x 2＋2x －a ，则函数y ＝g (x )的图像与y ＝φ(x )的图像恰有两个交点．因为g ′(x )＝e x ＋1(x －1)，当x <1时，g ′(x )＜0，当x >1时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以当x ＝1时，g (x )取得最小值g (1)＝－e 2.因为φ(x )＝－x 2＋2x －a ＝－(x －1)2－a ＋1，所以当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝1－a ，则1－a >－e 2，所以a <1＋e 2，故选B.13．－280 [解析] 令x ＝1，得(a ＋1)7＝128，解得a ＝1，∴(ax ＋1)7＝(x ＋1)7＝ [－2＋(x＋3)]7，∴a 4＝C 47×(－2)3＝－280. 14.92 [解析] 设EN →＝λEF →，∴DN →＝EN →－ED →＝λEF →－ED →.EM →＝12(ED →＋EF →)．∵DN ⊥ME ，∴DN →·EM →＝12(ED →＋EF →)·(λEF →－ED →)＝12[(λ－1)EF →·ED →＋λ|EF →|2－|ED →|2]＝12[(λ－1)×2×3×12＋λ×32－22]＝0，解得λ＝712，∴DN →·DF →＝712EF →－ED →·(EF →－ED →) ＝712|EF →|2－1912ED →·EF →＋|ED→|2 ＝712×32－1912×2×3×12＋22＝92. 15．x 2＋y 2＝1或(x －2)2＋(y ±22)2＝9 [解析] 由题知F (1，0)，故抛物线C 的焦点在x 轴上，设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝1，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，根据抛物线的定义，知|PF |＝1＋x 0，圆心P 到x 轴的距离为|y 0|，由垂径定理，得(1＋x 0)2＝y 20＋12，即(1＋x 0)2＝4x 0＋1，解得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，y 0＝0，|PF |＝1，圆P 的方程为x 2＋y 2＝1；当x 0＝2时，y 0＝±22，|PF |＝3，圆P 的方程为(x －2)2＋(y ±22)2＝9.16.7（240－1）15 [解析] 由题设知a 2－a 1＝1①， a 3＋a 2＝2②， a 4－a 3＝22③，a 5＋a 4＝23，a 6－a 5＝24，a 7＋a 6＝25，a 8－a 7＝26，a 9＋a 8＝27，a 10－a 9＝28，a 11＋a 10＝29，a 12－a 11＝210，…，a 38－a 37＝236，a 39＋a 38＝237，a 40－a 39＝238，∴②－①得a 1＋a 3＝1，③＋②得a 4＋a 2＝3×2，同理可得a 5＋a 7＝24，a 6＋a 8＝3×25，a 9＋a 11＝28，a 10＋a 12＝3×29，…，a 37＋a 39＝236，a 38＋a 40＝3×237，∴a 1＋a 3，a 5＋a 7，a 9＋a 11，…，a 37＋a 39是首项为1，公比为24，项数为10的等比数列，a 2＋a 4，a 6＋a 8，a 10＋a 12，…，a 38＋a 40是首项为6，公比为24，项数为10的等比数列，∴数列{a n }的前40项和为1－16101－16＋6（1－1610）1－16＝7（240－1）15.17．解：(1)由b c ＝sin C －sin B －sin A cos B sin A cos C －sin B 及正弦定理，得b c ＝c －b －a cos Ba cos C －b ，即c 2－bc －ac cos B ＝ab cos C －b 2，2分 由余弦定理，得c 2－bc －ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab－b 2，整理得c 2＋b 2－a 2＝bc ，4分 ∴cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，5分∵0<A <π，∴A ＝π3.6分(2)由正弦定理，得2sin π3＝b sin B ＝csin C ，∴b ＝43sin B ，c ＝43sin C ，8分 ∴4S △ABC c ＋3c ＝4×12c bc sin π3＋3c ＝3(b ＋c )＝4(sin B ＋sin C )＝4sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝4sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝4332sin B ＋12cos B ＝43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.10分由(1)知B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ＜π2，∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3，∴32<sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1，∴6<43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤43，∴4S △ABCc ＋3c 的取值范围为(6，43].12分18．解：(1)由题知b ＝22－10＝12，c ＝52－10＝42.由2×2列联表中的数据，得K 2＝68×（10×4－42×12）252×16×22×46≈17.388＞6.635，4分∴有99%的把握认为喜爱传统戏剧与年龄有关． 5分(2)X 的可能取值为0，1，2，3，6分P (X ＝0)＝C 312C 316＝1128，P (X ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370，P (X ＝2)＝C 112C 24C 316＝970，P (X ＝3)＝C 34C 316＝1140，9分∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P11283370970114010分∴E (X )＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.12分19．解：(1)证明：设AB 的中点为F ，连接PF ，EF ，BE ，FC ，设FC ∩BE ＝O ， ∵△P AB 是边长为4的正三角形，∴PF ⊥AB ，BF ＝2. ∵平面P AB ⊥平面ABCD ，∴PF ⊥平面ABCD ， ∵BE ⊂平面ABCD ，∴PF ⊥BE .2分∵E 是CD 的中点，底面ABCD 是平行四边形，BC ＝2， ∴EF ∥BC ，AB ∥CD ，BF ＝BC ，∴四边形BCEF 是边长为2的菱形，∴BE ⊥FC . ∵FC ∩PF ＝F ，∴BE ⊥平面PFC . 又PC ⊂平面PFC ， ∴BE ⊥PC .5分(2)由(1)知，PF ＝23，PF ⊥平面ABCD ，四边形BCEF 是边长为2的菱形，∠FBC ＝60°，BE ⊥FC ，∴OB ＝OE ＝3，OC ＝OF ＝1.以O 为原点，过O 作PF 的平行线为z 轴，以OC ，OB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则C (1，0，0)，F (－1，0，0)，E (0，－3，0)，P (－1，0，23)，∴F A →＝CE →＝(－1，－3，0)，∴A (－2，－3，0)，CD →＝2CE →＝(－2，－23，0)，∴D (－1，－23，0)，∴AD →＝(1，－3，0)，DP →＝(0，23，23).7分设平面P AD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝x 1－3y 1＝0，m ·DP →＝23y 1＋23z 1＝0， 令y 1＝1，则x 1＝3，z 1＝－1，∴m ＝(3，1，－1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝－2x 2－23y 2＝0，n ·DP →＝23y 2＋23z 2＝0，令y 2＝1，则x 2＝－3，z 2＝－1，∴n ＝(－3，1，－1)，9分 ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－3×3＋1×1－1×（－1）（－3）2＋12＋（－1）2×（3）2＋12＋（－1）2＝－15，11分设二面角A -PD -C 的平面角为θ，则sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－152＝265， ∴二面角A -PD -C 的正弦值为265.12分20．解：(1)由题知，e ＝c a ＝32，∴c ＝32a ，∴b ＝a 2－c 2＝12a ，∴A ⎝⎛⎭⎫0，a 2，B (a ，0)，F 2⎝⎛⎭⎫32a ，0， ∴直线AB 的方程为x ＋2y －a ＝0， ∴32a －a 12＋22＝25－155，解得a ＝2，∴b ＝1，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，显然直线l 的斜率一定存在，故设直线l 方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0，整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0， 由Δ＝(16k )2－4×12(1＋4k 2)>0，得k 2>34，x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，7分∴|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫－16k 1＋4k 22－4×121＋4k 2＝4（1＋k 2）（4k 2－3）（1＋4k 2）2，原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2，9分 ∴S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝44k 2－3（1＋4k 2）2，设t ＝4k 2－3，则4k 2＝t 2＋3，t >0， ∴S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤42t ·4t＝1，当且仅当t ＝4t ，即k ＝±72时，取等号，11分∴△OPQ 的面积的最大值为1.12分21．解：(1)f (x )的定义域为(1，＋∞)，f ′(x )＝a ln(x －1)＋a ＋2bx ＋1－b ，由题知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2b ＋1＋a ＋1＝3，f ′（2）＝a ＋4b ＋1－b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1.4分 (2)当b ＝1时，f (x )＝a (x －1)ln(x －1)＋(x ＋1)(x －1)＋a ＋1， 当x >2时，由f (x )＞0，知f （x ）x －1＝a ln(x －1)＋a ＋1x －1＋x ＋1＞0，设g (x )＝a ln(x －1)＋a ＋1x －1＋x ＋1(x >2)，∴g ′(x )＝ax －1－a ＋1（x －1）2＋1＝x 2＋（a －2）x －2a （x －1）2＝（x －2）（x ＋a ）（x －1）2.7分当a ≥－2时，－a ≤2，g ′(x )＞0，∴g (x )在区间(2，＋∞)上是增函数， ∴g (x )＞g (2)＝a ＋1＋2＋1≥0，解得a ≥－4， ∴a ≥－2；9分当a <－2时，－a >2，当2<x <－a 时，g ′(x )＜0，当x >－a 时，g ′ (x )＞0， ∴g (x )在区间(2，－a )上是减函数，在区间(－a ，＋∞)上是增函数， ∴g (x )min ＝g (－a )＝a ln(－a －1)＋a ＋1－a －1－a ＋1＝a ln(－a －1)－a ，由题知g (x )min ＝a ln(－a －1)－a ＞0，即ln(－a －1)<1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <－2，－a －1<e ，解得－e －1<a <－2.11分综上所述，实数a 的取值范围为(－e －1，＋∞)． 12分22．解：(1)由题知tan α＝－34＜0，0<α<π，∴π2<α<π，sin α＝－34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得⎝⎛⎭⎫－34cos α2＋cos 2α＝1，解得cos α＝－45， ∴sin α＝35，∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数).3分由ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝4sin θ＋4cos θ，即ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得x 2＋y 2－4x －4y ＝0， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＝0.5分(2)∵12＋12－4×1－4×1＝－6<0，∴点(1，1)在圆x 2＋y 2－4x －4y ＝0内部， ∴直线l 与曲线C 相交.7分设直线l 与曲线C 的交点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎨⎧x ＝1－45t ，y ＝1＋35t(t 为参数)代入x 2＋y 2－4x －4y ＝0，整理得t 2＋25t －6＝0，∴t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－6，∴|MN |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎫－252－4×（－6）＝21515，故直线l 被曲线C 截得的弦长为21515.10分23．解：(1)∵f (x )＝|x －1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1，3x －4，1<x <32，2－x ，x ≥32， ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数，在区间⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，∵f (0)＝－2，f (3)＝－1， ∴当0≤x ≤3时，f (x )min ＝f (0)＝－2，则m ≤－2. 5分 (2)由(1)知，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝12， ∴a ＋2b ＝12ab ，∴2b ＋4a＝1，∴a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫2b ＋4a ＝8＋2⎝⎛⎭⎫a b ＋4ba ≥8＋2×2ab ×4ba＝16， 当且仅当4b a ＝ab ，即a ＝2b ＝8时，a ＋2b 取得最小值16.10分。
2018年高考数学(理)原创押题预测卷 01(新课标Ⅱ卷)(参考答案)
2018年高考原创押题预测卷01【新课标Ⅱ卷】理科数学·参考答案123456789101112D ABAAB DCCDCD13．−16014．4.515．2716．①④17．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在Rt ADB △中，AB =4，ABD ∠=60°，ADB ∠=90°，∴260cos =︒=AB BD ，在BCD △中，由题知，︒=∠120BDC ，BCD ∠sin =1，由正弦定理得，BCD BDBDC BC ∠=∠sin sin ，∴BDC BD BC ∠∠=sin =31120sin 2︒=33.……………………………6分18．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图中，锻炼时间在[20，40）的频率为0.0025×20=0.05，锻炼时间在[40，60）的频率为0.0075×20=0.15，锻炼时间在[60，80]的频率为0.0200×20=0.4，∴锻炼时间的中位数在[60，80）内，设锻炼时间的中位数为x ，则0.050.15(60)0.020.5x ++-⨯=，解得75=x ，∴人们锻炼时间的中位数为75分钟.………………………………5分（Ⅱ）由频率分布直方图知，锻炼时间在[20，40）的人数为0.0025×20×40=2，锻炼时间在[40，60）的人数为0.0075×20×40=6，锻炼时间在[100，120）的人数为0.0050×20×40=4，锻炼时间在[120，140]的人数为0.0025×20×40=2，∴X 的可能取值为0，1，2，3，4，………………………………7分∴)0(=X P =22642286C C C C =143，)1(=X P =1122112646422286C C C C C C C C +=3516，)2(=X P =22111122242642622286C C C C C C C C C C ++=14039，)3(=X P =1122112622422286C C C C C C C C +=211，)4(=X P =22222286C C C C =4201，………………………………9分∴X 的分布列为X 01234P1433516140392114201…………………………10分∴()E X =0×143+1×3516+2×14039+3×211+4×4201=67.…………………………12分19．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在Rt PAD △中，因为AP PD ==AB 3，PD AP ⊥，所以AB AP AD 362==，在ABD △中，22222)33()36(AB AB AB BD AD =+=+，所以AD BD ⊥，......................................................................................................................................1分又因为平面P AD ⊥平面ABD ，平面P AD I 平面ABD =AD ，⊂BD 平面ABD ，所以⊥BD 平面P AD ，...........................................................................................................................2分又∵⊂AP 平面P AD ，所以AP BD ⊥，............................................................................................3分因为PD AP ⊥，PD BD D =I ，........................................................................................................4分所以⊥AP 平面PBD ，因为⊂AP 平面PBA ，所以平面PBA ⊥平面PBD ................................................................................................................5分（Ⅱ）设AD 、AB 的中点分别为O ，F ，连接OP ，OF ，∴BD OF //，∵AD BD ⊥，∴AD OF ⊥，∵PD AP =，∴AD OP ⊥，∵平面P AD ⊥平面ABD ，平面P AD I 平面ABD =AD ，⊂OP 平面P AD ，∴⊥OP 平面ABD ，................................................................................................................................6分∴OP OF OA ,,两两互相垂直，以O 为原点，向量OA ，OF ，OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -（如图），另设2PA =，则22=AD ，则)0,0,2(A ，)0,02(-D ，)0,2,2(-B ，2,0,0(P ，∴AD =)0,0,22(-，AP =)2,0,2(-，AB =)0,2,22(-，....................................................7分设(),,x y z =n 是平面P AB 的法向量，则00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0222022y z x ，令1=z ，则1=x ，2=y ，则n =)1,2,1(.……………………9分设直线AD 与平面P AB 所成角的大小为θ（θ为锐角）.∴θsin |||AD |AD ⋅n =2221)2(122|122|++⨯⨯-=21，………………11分∴直线AD 与平面P AB 所成角的正弦值为21.................................................................................12分20．（本小题满分12分）（Ⅱ）①当直线MN PQ ,有一条斜率不存在时，437PQ MN +=+=．……6分②当PQ 斜率存在且不为0时，设方程为(1)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y .联立方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=1)1(22y x x k y ，消去y 整理得01248)43(2222=-+++k x k x k ．2221222143124,438k k x x k k x x +-=+-=+∴．……9分221212(1)[()4]PQ k x x x x ∴=++-2(1)k +22222431244)438(k k k k +-⨯-+-=2243)1(12k k ++．把1k -代入上式，得2234)1(12k k MN ++=，222284(1)(43)(34)k PQ MN k k +∴+=++，设1),0(12>≠+=t k k t ，28411+12PQ MN t t∴+=-+，1t >，设211()12g t t t =-++=49)11(2+--，1t >，令t m 1=，则)1,0(1∈=t m ，)(m g =44921(2+--m （10<<m ），∴449)()(12≤=<t g m g ，∴7)(84748<≤t g ，48[7)7PQ MN ∴+∈，．综上，PQ MN +的取值范围是[7,748].……12分21．（本小题满分12分）学科！网【解析】（Ⅰ）易知函数)(x f 的定义域为),1(+∞，)(x f '=b bx a x a -+++-12)1ln(，由题知，⎩⎨⎧=-++='=+++=114)2(3112)2(b b a f a b f ，解得⎩⎨⎧-==13b a .……………………4分（Ⅱ）当1=b 时，)(x f =1)1)(1()1ln()1(++-++--a x x x x a ，由当2>x 时，)(x f ＞0知)(-x x f =11)1ln(++-++-x a x a ＞0，设)(x g =1)(-x x f =111)1ln(++-++-x x a x a (2>x )，………………6分∴)(x g '=1)1(112+-+--x a x a =22)1(2)2(---+x a x a x =2)1())(2(-+-x a x x ，………7分当2-≥a 时，2≤-a ，)(x g '＞0，∴)(x g 在），（∞+2上是增函数，∴当2>x 时，)(x g ＞)2(g =121+++a ≥0，解得4-≥a ，∴2-≥a 时，满足题意，……………………9分当2-<a 时，2>-a ，∴当a x -<<2时，)(x g '＜0，当a x ->时，)(x g '＞0，∴)(x g 在区间),2(a -上是减函数，在区间),(+∞-a 上是增函数，∴min )]([x g =)(a g -=111)1ln(+---++--a a a a a =a a a ---)1ln(，由题知min )]([x g =a a a ---)1ln(＞0，即1)1ln(<--a ，即21e a a <-⎧⎨--<⎩，解得e 12a --<<-，……………………11分综上所述，实数a 的取值范围为(e 1,)--+∞.………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（Ⅰ）消去直线l 参数方程中的t 得，250x y --=，………2分由0cos 2=+θρ得，0cos 22=+θρρ，将222y x +=ρ，x =θρcos 代入得圆C 的直角坐标方程为0222=++x y x .…………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C 的圆心C （−1，0），半径为1，∴||AB 表示圆C 上点B 与直线上点A 的距离，………………7分∵圆心C 到直线l 的距离为22|1205|2(1)d =+-=557，∴||AB 的最小值为157-.………………10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（Ⅱ）由题知)3()(++x f x f =|1||2|++-x x ≥|12|---x x =3，∴)3()(++x f x f 的最小值为3，∴322≤+m m ，解得13≤≤-m ，∴实数m 的取值范围为]1,3[-.………………10分。
2024年新高考数学押题密卷(二)
2024年新高考数学押题密卷（二）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1,2,0,2A =-，{}2,B y y x x x A ==+∈，{}2Z 60C x x x =∈-≤.则B C ⋂=（）A ．{}0,2B ．{}0,2,6C ．{}1,2,0,2-D ．{}0,2,6,22．用最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5,6)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若6130i i x ==∑，则61i i y ==∑（）A ．11B ．13C ．63D ．783．在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅=（）A ．16B ．16-C ．20D ．20-4．已知函数22()sin cos (),()f x x x x f x =-∈'R 是()f x 的导数，则以下结论中正确的是（）A ．函数π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数B ．函数()f x 与()f x '的值域相同C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增5．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的体积为（）A ．8πB ．8π3C D ．36．已知集合1111,,,,2,32323A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，若,,a b c A ∈且互不相等，则使得指数函数x y a =，对数函数log b y x =，幂函数c y x =中至少有两个函数在(0,)+∞上单调递增的有序数对(,,)a b c 的个数是（）A ．16B ．24C ．32D ．487．已知数列{}n a 的各项均为正数，记()12n A n a a a =+++ ，()231n B n a a a +=+++ ，()342n C n a a a +=+++ ，*n ∈N ，设甲：{}n a 是公比为q 的等比数列；乙：对任意*n ∈N ，()A n ，()B n ，()C n 三个数是公比为q 的等比数列，则（）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分又不必要条件8．设O 为坐标原点，直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭，且与C 交于,M N 两点，其中M 在第一象限，则下列正确的是（）A ．C 的准线为14x =-B ．1344MF NF MF NF ++⋅的最小值为38C ．以MN 为直径的圆与x 轴相切D ．若(0,)Q p 且MQ MF =，则180ONQ OMQ ∠+∠>二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数12,z z ，则下列命题正确的是（）A ．若12=z z ，则12=±z z B ．若21z z =，则2121z z z =C ．若1z 是非零复数，且2112z z z =，则12z z =D ．若1z 是非零复数，则1110z z +≠10．已知函数()()2e xf x x ax b =++，下列结论正确的是（）A ．若函数()f x 无极值点，则()f x 没有零点B ．若函数()f x 无零点，则()f x 没有极值点C ．若函数()f x 恰有一个零点，则()f x 可能恰有一个极值点D ．若函数()f x 有两个零点，则()f x 一定有两个极值点11．正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当0λ=，1μ=时，AP 与平面ABC 所成角为π4B ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥C ．当1λ=，12μ=时，平面1AB P ⊥平面1A ABD ．若1AP =，则点P 的轨迹长度为π2第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
泄露天机2018高考押题卷理科数学(一)
泄露天机2018高考押题卷理科数学(一) 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（一）注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.选择题用铅笔在答题卡上标记选项，非选择题在答题卡上作答。
3.考试结束后将试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
1.复数z=a+ai(a∈R)的共轭复数为z，满足z=1，则复数z 为（）A。
2+iB。
2-iC。
1+iD。
i解析】根据题意可得，z=a-ai，所以z^2=a^2+1=1，解得a=0，所以复数z=i。
2.集合A={θ|0＜θ＜π/2.2＜sinθ≤1}，B={φ|4/5＜φ＜1}，则集合AB={θ|π/4＜θ＜π/2.4/5＜sinθ≤1}。
解析】A可以化为{θ|π/6＜θ＜π/2}，所以AB为{θ|π/4＜θ＜π/2.4/5＜sinθ≤1}。
3.从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为3/4.解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A，a，另一对短鼻子野生小鼠为B，b，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4×3=12种，拿出的野生小鼠不是同一表征的事件为(A,a)，(a,A)，(B,b)，(b,B)，所以概率为3/4.1.将函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)的图像向左平移π/6个单位长度后得到函数y=sin2x+3cos2x的图像，求ϕ的可能值。
解析：将函数y=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位长度，得到函数y=2sin2x的图像。
因此，ϕ=π/6.2.在XXX墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱，假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱的数量为多少？解析：构成一个以首项为70缗，末项为31缗，项数为40层，公差为1的等差数列，则和为S=40×(70+31)=2020缗，这一堆铜钱的数量为2020×1000=2.02×106枚。
押题预测卷02-决胜2024年高考数学押题预测模拟卷(新高考九省联考题型)含答案
决胜2024年高考数学押题预测卷02数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若(12i)(32i)2i z ---=+，则z =（ ）A 33i - B. 33i+ C. 33i-+ D. 33i--2．已知向量(2,0),(a b ==-r r，则a r 与()a b -r r 夹角的余弦值为（ ）A. B. 12-C.123． “直线1sin 102x y q +-=与cos 10x y q ++=平行”是“π4q =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．若()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，则246a a a ++=（ ）A. 64B. 33C. 32D. 315．公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.3D 打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用3D 打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为h 的水平截面的面积S 可以近似用函数()()2π9S h h =-，[]0,9h Î拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（ ）A. 27πB. 81πC. 108πD. 243π.6.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为a b c ､､，若()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，且c =2ba -的取值范围为（ ）A. ()1,2-B. ö÷øC. æççèD. (-7．已知正实数,,a b c 满足2131412,3,4a b c a b c a b c a b c+++=-=-=-，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. a b c<<C. a c b<< D. b a c<<8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF Ð=，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则22122212313e e e e +++的最小值是（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A. 数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位数是8.5B. 若随机变量()()2~2,10.68X N P x s>=，，则()230.18P x £<=C. 设A B ，为两个随机事件，()0P A >，若()()P BA PB =∣，则事件A 与事件B 相互独立D. 根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 4.712=c ，依据0.05a =的卡方独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.0510．若函数2222()2sin log sin 2cos log cos f x x x x x =×+×，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为pB. ()f x 的图象关于直线4x p=对称C. ()f x 的最小值为1-D. ()f x 的单调递减区间为2,24k k p p p æö+ç÷èø，k ZÎ11．设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（ ）A ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-å三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..12．已知集合{}24A x x =-<<，122x B x ìü=>íýîþ，则A B =I ______________.13．已知A 为圆C ：()22114x y +-=上动点，B 为圆E ：()22134x y -+=上的动点，P 为直线12y x =上的动点，则PB PA -的最大值为______________.14.已知数列{}n a 的通项公式为122311,3+==++×××++n n n n a S a a a a a a n ，若对任意*N n Î，不等式()432n n S n l +<+恒成立，则实数l 的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系.16．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为平行四边形，2,90AB AD ABD Ð===o ，矩形BDEF 所在平面与底面ABCD 垂直，M 为CE 的中点.的（1）求证：平面BDM P 平面AEF ；（2）若平面BDM 与平面BCF CE 与平面BDM 所成角的正弦值.17．已知函数()()ln 1f x x a x a =--ÎR .（1）若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线为x 轴，求a 的值；（2）讨论()f x 在区间(1,)+¥内极值点的个数；18．已知抛物线：22y x =，直线:4l y x =-，且点,B D 在抛物线上．（1）若点,A C 在直线l 上，且,,,A B C D 四点构成菱形ABCD ，求直线BD 的方程；（2）若点A 为抛物线和直线l 的交点（位于x 轴下方），点C 在直线l 上，且,,,A B C D 四点构成矩形ABCD ，求直线BD 的斜率．19．若无穷数列{}n a 的各项均为整数．且对于,,i j i j *"Î<N ，都存在k j >，使得k j i j i a a a a a =--，则称数列{}n a 满足性质P ．（1）判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…；②2n b n =+，1n =，2，3，…．（2）若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}3∣n n a *Î=N 为无限集；（3）若周期数列{}n a 满足性质P ，请写出数列{}n a 的通项公式（不需要证明）．决胜2024年高考数学押题预测卷02数 学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2023年高考考前押题密卷--数学(新高考Ⅱ卷)(全解全析)
2023年高考考前押题密卷数学·全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．【改编】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U B A = ð（）A ．{5}B ．{2,4}C ．{4,5}D ．{3,5}【答案】B【解析】由题设可得{}U 2,4,5A =ð，故(){}U 2,4A B = ð，故选：B.2．已知i 12iz=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．2i -+B ．2i-C ．2i+D ．2i--【答案】C【解析】因为i 12iz=-，则()i i 122i z =-=+.故选：C.3．将向量OP =绕坐标原点O 顺时针旋转30︒得到1OP，则1OP OP ⋅= （）A ．0BC ．2D ．【答案】D【解析】根据题意可知1111OP OP OP =⋅==D4．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm ，足径14.4cm ，高3.8cm ，其中底部圆柱高0.8cm ，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（）（附：圆台的侧面积()πS R r l =+，R ，r 为两底面半径，l 为母线长，其中π的值取3，5.04≈）A ．2313.52cmB ．2300.88cmC ．2327.24cmD ．2344.52cm 【答案】A【解析】设该圆台的母线长为l ，两底面圆半径分别为R ，r （其中R r >），则222.5R =，214.4r =， 3.80.83h =-=，所以 5.04l ===≈，故圆台部分的侧面积为()()21π311.257.2 5.04278.964cm S R r l =+≈⨯+⨯=，圆柱部分的侧面积为222π0.867.20.834.56cm S r =⋅=⨯⨯=，故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为212278.96434.56313.524cm S S +≈+=.故选：A.5．某病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生（含一名主任医师）､5名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（）A ．38B ．310C ．611D ．617【答案】D【解析】记“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”为事件A ，则()2231134343432245C C C C C C C C 0172P A +==+，记“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”为事件B,则()()()()213432453C C 3610,C C 10117207P AB P AB P B A P A ==∴===∣，故选：D 6．已知ππ4k θ≠+()k ∈Z ，且cos 2cos sin 3πcos 2θθθθ=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则ππtan tan 242θθ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．133-B ．53C ．13-D ．83【答案】A【解析】因为cos 2cos sin 3πcos 2θθθθ=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以s sin cos 2cos in θθθθ--=，即2cos 2co s s s in in θθθθ=-+，所以222cos sin c n os in i s s θθθθθ-=-+，所以221tan tan tan θθθ-=-+，解得1tan 2θ=-或tan 1θ=，因为ππ4k θ≠+()k ∈Z ，所以1tan 2θ=-，所以2πtan tanπππ2tan 4tan tan 2tan tan 2π4241tan 1tan tan 4θθθθθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭+23112211311121122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=+=-⎛⎫⎛-⎫+⨯-⎭- ⎪ ⎪⎝⎭--⎝.故选：A 7．已知0.1e 1=-a ，0.1b =，ln1.1c =，则（）A ．c<a<b B ．b<c<a C ．c b a <<D ．a b c<<【答案】C【解析】设()e 1x f x x =--，求导()e 1xf x '=-，所以当0x ≥时，()0f x '>，()f x 单调递增，故()()0.10f f >，即0.1e 10.10-->，所以a b >；设()()ln 1g x x x =-+，求导()1111x g x x x '=-=++，所以当0x ≥时，()0g x '≥，()g x 单调递增，()()0.10.1ln1.100g g =->=，所以b c >，故a b c >>.故选：C8．已知函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，满足33222f x f x x ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记()()g x f x '=，其导函数为()g x '且()3g x '-的图象关于原点对称，则()992g g ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭（）A ．0B ．1C ．4D ．3【答案】B【解析】由()3g x '-关于原点对称，则(3)g x -关于y 轴对称，且()()33g x g x -=-'+'，所以()g x 关于3x =对称，()g x '关于(3,0)对称，且(3)0g '=，又33222f x f x ⎛⎫⎛⎫''++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33222g x g x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 关于3(,1)2对称，综上，(6)()g x g x -=，(3)()2g x g x -+=，则(6)(3)2g x g x -+-=，所以3393(6(3)()()22222g g g g -+-=+=，而3(12g =，故9()12g =，又()(3)0g x g x ''--=，则()g x '关于32x =对称，即(3)()g x g x ''-=，所以()()3g x g x ''=-+，则()()()9630g g g =-=''='，所以()9912g g ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（）A ．可以估计，该地区年夜饭消费金额在24000]320（，家庭数量超过总数的三分之一B ．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个C ．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元D ．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元【答案】ABD【解析】由题意得，年夜饭消费金额在(2400,3200]的频率为350.35100=，故A 正确；若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为472000940100⨯=，故B 正确；平均数为4000.0812000.220000.2528000.3536000.0844000.042216⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），故C 错误；中位数为221600800230425+⨯=（元），故D 正确．故选：ABD ．10．已知双曲线:C 22213x y a -=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线28y x =的焦点与双曲线C 的焦点重合，点P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为y =B ．17PF =C ．12F PF △的面积为D ．126cos 7F PF ∠=【答案】AB【解析】由已知，抛物线的焦点坐标为()2,0，所以双曲线右焦点()22,0F ，即2c =.又23b =，所以2221a c b =-=，所以，双曲线的方程为2213y x -=.对于A 项，双曲线的C的渐近线方程为by x a=±=，故A 项正确；对于B 项，联立双曲线与抛物线的方程222138y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，整理可得，23830x x --=，解得3x =或13x =-（舍去负值），所以3x =，代入28y x =可得，y =±.设(P ，又()12,0F -，所以17PF =，故B 项正确；对于C项，易知122211422F PF S F F =⨯⨯⨯⨯ ，故C 项错误；对于D 项，因为25PF =，所以，由余弦定理可得，22212121212cos 2PF PF F F F F P P P F F +⨯=-∠222754296275357+-==≠⨯⨯，故D 项错误.故选：AB.11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为边AD 的中点，点P 为线段1D B 上的动点，设11D P D B λ=，则（）A ．当13λ=时，EP //平面1AB CB．当12λ=时，PEC ．PA PC +的最小值为3D ．当1C ∈平面CEP 时，14λ=【答案】BC【解析】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，11(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,0)A B C D B E ，111()2,22,(2,,22),D D P D B B λλλλ==-=-，则点(2,2,22)P λλλ-，对于A ，13λ=，224(,,)333P ，124(,,)333EP =- ，而1(2,2,0),(0,2,2)AC AB =-= ，显然1112(2)22)0,22220D B AC D B AB ⋅=⨯-+⨯=⋅=⨯-⨯= ，即1D B是平面1AB C 的一个法向量，而10124(22323)3(EP D B -⨯⋅=-+⨯⨯≠+ ，因此EP 不平行于平面1AB C ，即直线EP 与平面1AB C 不平行，A 错误；对于B ，(21,2,22)EP λλλ-=-，则||EP = ，因此当12λ=时，PE，B 正确；对于C ，(22,2,22),(2,22,22)AP CP λλλλλλ-==---，于是||||AP CP +==≥ 当且仅当23λ=时取号，C 对于D ，取11A D 的中点F ，连接1,,EF C F CE，如图，因为E 为边AD 的中点，则11////EF DD CC ，当1C ∈平面CEP 时，P ∈平面1CEFC ，连接111B D C F Q = ，连接BD CE M = ，连接MQ ，显然平面1CEFC 平面11BDD B MQ =，因此1MQ D B P = ，111//,BB CC CC ⊂平面1CEFC ，1BB ⊄平面1CEFC ，则1//BB 平面1CEFC ，即有1//MQ BB ，而1111112D Q D F QB B C ==，所以1111113D P D Q D B D B λ===，D 错误.故选：BC 12．记()f x '、()g x '分别为函数()f x 、()g x 的导函数，若存在0x ∈R ，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”，则下列说法正确的为（）A ．函数()e xf x =与()1g x x =+存在唯一“S 点”B ．函数()ln f x x =与()2g x x =-存在两个“S 点”C ．函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“S 点”D ．若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，则e 2a =【答案】ACD【解析】令()()()h x f x g x =-.对于A 选项，()e 1x h x x =--，则()e 1xh x '=-，由()0h x '<可得0x <，由()0h x '>可得0x >，所以，函数()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以，()()00e 010h x h ≥=--=，所以，()()000h h '==，此时，函数()e xf x =与()1g x x =+存在唯一“S 点”，A 对；对于B 选项，()ln 2h x x x =-+，则()111xh x x x-'=-=，函数()h x 的定义域为()0,∞+，令()0h x '=可得1x =，且()1ln11210h =-+=≠，所以，函数()ln f x x =与()2g x x =-不存在“S 点”，B 错；对于C 选项，()()22222h x x x x x x =-+-=--+，则()21h x x '=--，令()0h x =可得220x x +-=，解得1x =或2-，但()130h '=-≠，()230h '-=≠，此时，函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“S 点”，C 对；对于D 选项，()2ln 1h x ax x =--，其中0x >，则()12h x ax x'=-，若函数()21f x ax =-与()ln g x =存在“S 点”，记为0x ，则()()2000000ln 10120h x ax x h x ax x ⎧=--=⎪⎨=-='⎪⎩，解得02x a ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩D 对.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【改编】在()52231x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为______．【答案】200-【解析】()55522222313x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的展开式中x 的项为322322355223C C 24040200x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以展开式中x 的系数为200-．故答案为：200-.14．曲线212e x y x-=在点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为___________.【答案】880x y +-=【解析】因为212212121214332e 2e 2e 2e 2e (1)x x x x x x x x x y x x x --------'===，所以1212(1)2|818x k y =⨯-'===-，所以切线方程为：148()2y x -=--，即：880x y +-=.故答案为：880x y +-=.15．已知圆22:8O x y +=及圆()()22:11A x a y -++=，若圆A 上任意一点P ，圆O 上均存在一点Q 使得45OPQ ∠=︒，则实数a 的取值范围是______.【答案】a -≤【解析】由(,1)A a -，即A 在1y =-上运动，而P 为圆A 上任意一点，要使圆O 上存在一点Q 使45OPQ ∠=︒，即过P 点相互垂直的两直线与圆A 有交点且OP 与两条垂线的夹角均为45︒即可，所以，只需P 为射线OA 与圆A 交点时，使过P 点相互垂直的两直线与圆A 有交点且OP 与两条垂线的夹角均为45︒，如上图，上述两条垂线刚好与圆O 相切为满足要求的临界情况，所以，只需OP ，r 为圆O 半径，即4OP ≤，又11OP OA =+=14+≤，可得a -≤.故答案为：a -≤≤16．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆G 上异于A ，B 的动点，过F 作直线AP 的垂线交直线BP 于点(,)M m n ，若0m a +=，则椭圆G 的离心率为__________．【答案】12/0.5【解析】不妨设直线AP 的斜率大于0，设为k ，则直线AP 的方程为()y k x a =+，直线FM 的方程为1()y x c k=--，所以,a c M a k +⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2BM a c k ak +=-，由,P P PAPB P P y y k k x a x a ==+-，则222P PA PB P y k k x a =-，又22221P P x y a b +=，即22222P P b x y b a=-，所以2222222222(1PP PA PBP P x b y b a k kx a x a a-===---，所以222BM PA a c b k k a a+⋅==--且222b a c =-，解得12e =(负值舍去)．故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知{}n a 为等差数列，且1223n n a a n +=-+．（1）求{}n a 的首项和公差；（2）数列{}n b 满足()11,321,313k k n n n n k a a b a k n k+⎧=-⎪⋅=⎨⎪-⋅-≤≤⎩，其中k 、n *∈N ，求601i i b =∑．【答案】（1）21n a n =-；（2）6012041i i b ==∑【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=，由1223n n a a n +=-+可得()112123a nd a n d n +=+--+⎡⎤⎣⎦，即()12320d n a a -++-=，所以，120320d a d -=⎧⎨+-=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-.（2）因为()11,321,313k k n n n n k a ab a k n k+⎧=-⎪⋅=⎨⎪-⋅-≤≤⎩，则()()()()1,322121121,313n n n k k k b n k n k ⎧=-⎪-+=⎨⎪-⋅--≤≤⎩，所以1475811111335573941b b b b ++++=++++⨯⨯⨯⨯ 11111111201233557394141⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；()()()258115659258115659b b b b b b a a a a a a ++++++=-+-++- 3220120=-⨯⨯=-；()()()369125760369125760b b b b b b a a a a a a ++++++=-++-+++-+ 3220120=⨯⨯=.因此，()()()601475825859369601i i b b b b b b b b b b b b b ==++++++++++++++∑ 20201201204141=-+=.18．（12分）如图，在ABC 中，D ，E 在BC 上，2BD =，1DE EC ==，BAD CAE ∠=∠．（1）求sin sin ACBABC∠∠的值；（2）求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）sin sin ACBABC∠∠=（2）(0,.【解析】（1）因为2BD =，1DE EC ==，BAD CAE ∠=∠，所以1sin 2211sin 2ABDAECAB AD BADS AB AD S AC AE AC AE EAC ∠∠⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ ，1sin 3212sin 2ABE ADCAB AE BAES AB AE S AC AD AC AD DAC ∠∠⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ ，故223AB AC=，即AB AC =则在ABC中，根据正弦定理可得，sin sin ACB ABABC AC∠∠==；（2）设AC x =，则=AB，由4,4,x x ⎧>⎪-<解得1)1)x -<<，在ABC中，2222cos 2AB BC AC ABC AB BC ∠+-=⋅则422223264sin 1cos 48x x ABC ABC x ∠∠-+-=-=，()2224221619213264sin 244ABCx x x S AB BC ABC ∠--+-+-⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，由1)1)x <<，得21616x -<+2048ABC S <≤ ，故ABC面积的取值范围为(0,．19．（12分）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.（1）若此次知识问答的得分()2,X N μσ ，用样本来估计总体，设μ，σ分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求()50.594P X <≤的值；（2）学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为34，抽到价值20元的学习用品的概率为14.从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为ξ元，求ξ的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈14.5≈，30.3758=.【答案】（1）0.8186；（2）分布列见解析，32516，6500元【解析】（1）由折线图可知：350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.0565μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()222235650.02545650.1555650.20σ=-⨯+-⨯+-⨯+()()()22275650.22585650.195650.05210+-⨯+-⨯+-⨯=，所以14.5σ≈，()265,14.5X N ~，所以()()0.95450.682750.59420.818622P X P X μσμσ<≤=-<≤+=+=.（2）由题意可知ξ的可能取值为10，20，30，40，则()3558P X ≤=，()5558P X >=，()339108432P ξ===，()31533572084844128P ξ==⨯+⨯⨯=，()5131530284464P ξ==⨯⨯=，()511540844128P ξ==⨯⨯=，所以ξ的分布列为ξ10203040P9325712815645128()95715532510203040321286412816E ξ=⨯+⨯⨯+⨯=，故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为325320650016⨯=元.20．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E ，F ，G 分别为棱11A B ，1AA ，1CC ，1BB 上的点，且11A D B D =，12AE A E =，12C F CF =，12BG B G =.（1）证明：//EF 平面1C DG ；（2）若16AA =，24BC AC ==，四边形11BCC B 为矩形，平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1AC C G ⊥，求平面1C DG与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）51【解析】（1）如图,连接,BF BE ,取GB 的中点H ,连接1A H .因为111111//,,2,2CC BB CC BB C F CF BG B G ===,所以1//C F BG ,且1C F BG =.所以四边形1C FBG 是平行四边形.所以1//BF C G .因为BF ⊂平面11,C DG C G ⊂面1C DG ，所以//BF 平面1C DG ,易得点G 为1B H 的中点,因为点D 为11A B 的中点,所以1//DG A H .因为12AE A E =.所以113AA A E =.又11111//,=,3AA BB AA BB BB HB =,所以1//A E HB 且1A E HB =,所以四边形1A EBH 为平行四边形.所以1//BE A H ,所以//BE DG .因为BE ⊂平面1,C DG DG ⊂平面1C DG .所以//BE 平面1C DG .因为BE BF B = ,所以平面//BEF 面1C DG .因为EF ⊂平面BEF ,所以//EF 平面1C DG ,（2）因为四边形11BCC B 为矩形,所以1BC CC ⊥.因为平面11BCC B ⊥平面11ACC A ,平面11BCC B 平面111ACC A CC =,所以BC ⊥平面11ACC A ，因为AC ⊂平面11ACC A ,所以BC AC ⊥，因为1AC C G ⊥,所以AC BF ⊥.因为,BF BC B BF ⋂=⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B .又1CC ⊂平面1BCC B ,所以1AC CC ⊥.以C 为原点,1,,CB CA CC的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,6),(2,1,6),(4,0,4),(0,2,4),(0,0,2)C D G E F ,所以11(2,1,0),(4,0,2),(2,1,2),(0,2,2)C D C G ED EF ==-=-=--，设平面1C DG 的法向量为()111,,n x y z =,则11111120,420,n C D x y n C G x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 令11x =,得112,2z y ==-.所以平面1C DG 的一个法向量为(1,2,2)n =-.设平面DEF 的法向量为()222,,m x y z =,则22222220,220,m ED x y z m EF y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ 令21y =,得2231,2z x =-=.所以平面DEF 的一个法向量为3,1,12m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面1C DG 与平面DEF 所成的锐二面角为θ,则||cos |cos ,|||||n m n m n m θ⋅=〈〉=,所以平面1C DG 与平面DEF所成锐二面角的余弦值为51.21．（12分）已知点M 为双曲线2222:1(0)2x y C a a a -=>+右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线20x -=互相垂直．（1）证明：点M 到C 的两条渐近线的距离之积为定值；（2）已知C 的左顶点A 和右焦点F ，直线AM 与直线1:2l x =相交于点N ．试问是否存在常数λ，使得AFM AFN λ∠=∠若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在2λ=，理由见解析【解析】（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线20x +-=互相垂直，a=1a =．所以双曲线C 的方程为2213y x -=．设点M 的坐标为()00,x y ，则220013y x -=，即220033x y =-．双曲线的两条渐近线1l ，2l0y y -=+=，则点M到两条渐近线的距离分别为12d d ==，则2200123344x y d d -===．所以点M 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为定值．（2）存在2λ=．①当02x =时，3MF AF ==，又N 是AM 的中点，所以45AFN MFN ∠=∠=︒，所以2AFM AFN ∠=∠，此时2λ=．②当02x ≠时．ⅰ）当M 在x 轴上方时，由()()001,0,,A M x y -，可得001AM y k x =+，所以直线AM 的直线方程为()0011y y x x =++，把12x =代入得()0013,221y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭．所以00003211122NFy y x k x ⨯+==-+-，则00tan 1y AFN x ∠=+．由二倍角公式可得()()()0000222000002121tan 22111y x x y y AFN x x y y x ⨯++∠===-+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭．因为直线MF 的斜率002MF y k x =-及tan MF AFM k ∠=-，所以0tan 2y AFM x ∠=-，则tan tan 2AFM AFN ∠=∠．因为()π0,π,0,2AFM AFN ⎛⎫∠∈∠∈ ⎪⎝⎭，所以2AFM AFN ∠=∠．ⅱ）当M 在x 轴下方时，同理可得2AFM AFN ∠=∠．故存在2λ=，使得2AFM AFN ∠=∠．22．（12分）已知函数()()ln 1f x x =+，()2g x ax x =+.（1）当1x >-时，()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（2）已知*n ∈N ，证明：111sinsin sin ln2122n n n+++<++ .【答案】（1）0a ≥；（2）证明见解析【解析】（1）令()()()ln 11h x x x x =+->-，则()1111x h x x x '=-=-++，当10x -<<时，()0h x '>，则函数()h x 在()1,0-上单调递增，当0x >时，()0h x '<，则函数()h x 在()0,∞+上单调递减，所以，()()max 00h x h ==，即()ln 1x x ≤+，所以，当0a ≥时，()2ln 1x x ax x +≤≤+，即()()f x g x ≤，当a<0时，取010x a=->，由于()0ln 1ln10x +>=，而2200110ax x a a a⎛⎫+=⋅--= ⎪⎝⎭，得()2000ln 1x ax x +>+，故()()00f x g x >，不合乎题意.综上所述，0a ≥.（2）证明：当0a =时，由（1）可得()ln 1x x ≤+，则ln 1≤-x x ，可得11ln1x x ≤-，即1ln 1x x -≤-，即()1ln 11x x x≥->，令111t x =-，所以，1t x t =-，所以，1ln1t t t ≥-，即()()1ln ln 11t t t t --≥>，所以，()()1ln ln 1n k n k n k≤+-+-+，{}0,1,2,,k n ∈ ，令()()sin 0g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，故()()00g x g >=，则()sin 0x x x <>，所以，()()11sinln ln 1n k n k n k n k<≤+-+-++，{}0,1,2,,k n ∈ ，所以，111sinsin sin 122n n n+++++ ()()()()()ln 1ln ln 2ln 1ln 2ln 21n n n n n n <+-++-+++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()2ln 2ln ln 2n n n n=-==.。
2018年高考数学(理)原创押题预测卷 02(新课标Ⅱ卷)(全解全析)
x2 3
y2
1
（
y
0
），所以曲线
理科数学 第 2页（共 12页）
9．【答案】B
【解析】输入 n 2, k 1，继续运行程序， k 3, n 3 ； k 7, n 4 ； k 5, n 5 ，符合输出 k 的值
为 5 ，跳出循环，故判断框中的条件应该为 n 5? ，故选 B.
10．【答案】C
【解析】设等比数列 an 的公比为 q ，由已知得 2a2n1 a2n1q 0 ，因为 a3 0 ，则 a2n1 0 ，所以
2
2
2
所以 T 2n 1 3n 1 ，（10 分）
4
4
故数列 nan
的前
n
项和为
2n 4
1
3n
1 4
n(n
1)
.（12
分）
18．（本小题满分 12 分）学-科网
【答案】（Ⅰ） y bx2 a ；（Ⅱ） y 2.0x2 60.0 ；（Ⅲ）见解析.
【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断， y bx2 a 适合作为销售量综合指数与销售价格指数的回归方程类
理科数学 第 7页（共 12页）
(e3 ln 3 3, ) .
（Ⅱ）由已知得 g(x) ln x x m (x 2)e x 0 ，
m (x 2)ex ln x x 在 x (0,3]上恒成立，（6 分）
设 h(x) (x 2)e x ln x x, x (0,3] ，
x (0, x0 ) 时， h(x) 0; x (x0 ,1) 时， h(x) 0 ，
函数 h(x) 在 (0, x0 ) 上单调递增，在 (x0 ,1) 上单调递减，在 (1,3) 上单调递增，
由 u(x0 )
高考考前押题密卷(全国甲卷) 数学理试题
数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A．14 B．74．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制扇形统计图如图所示，在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约A ．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为B ．该公司在华东地区的营收额比西南地区､东北地区及湖北省的营收额之和还多C ．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的三倍还多D ．该公司2022年营收总额约为30800万元5．函数的图象大致为（ ） ()21ln 11x x x f x x x -+⎛⎫= ⎪--⎝⎭． ．C ．6．数列中，{}n a n a 做期盼数，则区间[1,A ．20237．已知，函数0w >A ．平面 //BD 11CB DC ．与共面1D C 1AC 11．若存在，使得关于[)1,x ∞∈+（ ）A ．B ．四边形5AB = 255,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分．是其左、右顶点，M 是椭圆上分别与椭圆交于C ，D 两点． ，求的内切圆的最大面1CF D.(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：. 22e a mn a <<（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2f x x =-+m ，正数a ，b ，c 满足a b ++2023年高考考前押题密卷（全国甲卷）数学（理科）·参考答案题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分．设，则ABI θ∠=BAI ∠在中，由正弦定理得，ABI △因为分别是的中点，所以，且，（1分）,H F 11,DD CC //HF AB =HF AB 所以是平行四边形，所以.因为，所以ABFH AH 14DD DG =14DD DG =又，所以是的中点.（5分）12DD DH =2DH DG =G DH 又因为是的中点，所以，所以，所以四点共面．E AD //EG BF ,,,B E G F （2）如图2，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，D 1,,DA DC DD ,,x y z 则，，，，，()2,2,0B ()1,0,0E (0,C )0,2,1()2,0,0A ()12,0,2A 1C ，.（7分） ()10,2,2BA =- ()12,0,2BC =- ，)z（2）①设，则(4,)(0)P t t ≠， 2:2PB l x y t=+联立方程，得226234120x y t x y ⎧=-⎪⎨⎪21．【详解】（1）由题意，(f 所以有两个不相等正根，即ln 3a x x+=记函数，则()3ln h x x x x =-h 令，得，令()0h x '=2e x =(h x '所以函数的单调递增区间为()3ln h x x x x =-要使有两个不相等正根，则函数3ln a x x x =-由图知，故实数a 的取值范围20e a <<（2）函数定义域为()f x ()(0,,f '+∞当时，，在0a ≤()0f x ¢>()f x (0,+当时，若时，0a >0x a <<()0f x '<第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【详解】（1）当时，，0x ≤()2342f x x x x =--=-+解，即，解得；()10f x ≥4210x -+≥2x ≤-当时，，02x <≤()2322f x x x x =-+=+解，即，解得，无解； ()10f x ≥2210x +≥4x ≥当时，，2x >()2342f x x x x =-+=-解，即，解得.（4分）()10f x ≥4210x -≥3x ≥综上所述，不等式的解集为. （5分）()10f x ≥(][),23,-∞-+∞ （2）由（1）可知，.()24,022,0242,2x x f x x x x x -≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩当时，；0x ≤()422f x x =-+≥当时，；02x <≤()222f x x =+>当时，，（7分）2x >()426f x x =->所以函数的最小值为2，所以，所以.（8分）()f x 2m =2a b c ++=由柯西不等式可得，，（9分） ()()()()222222231114a b c a b c a b c ++=++++≥++=当且仅当时，等号成立.所以，所以。
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.（5
分）学科-网
（Ⅱ）将
x
1
3 5
t (t
为参数）代入
y2
4x
，整理得，
4t 2
15t
25
0
，
y
4 5
t
设点 M , N 对应的参数分别为 t1, t2 ，则
t1
t2
15 4
, t1t2
25 4
0
，∴ t1, t2
异号，
理科数学 第 5页（共 8页）
∴
1
1
1
=
1
| t1 | | t2 | | t1 t2 | =
+∞）是增函数；（2 分）
当1 a e ，0 x ln a 或 x 1 时， f (x) ＞0，当 ln a x 1 时， f (x) ＜0，∴ f (x) 在 (0, ln a) 上
是增函数，在 (ln a,1) 上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；（3 分） 当 a e 时， f (x) ≥0，∴ f (x) 在（0，+∞）上是增函数，（4 分） 当 a e ， 0 x 1或 x ln a 时， f (x) ＞0，当1 x ln a 时， f (x) ＜0，∴ f (x) 在（0,1）上是 增函数，在（1，ln a) 上是减函数，在 (ln a,) 上是增函数.（5 分）
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
【解析】（Ⅰ）由
x
y
1 4t 5
3 5
t
(t
为参数），消去参数
t
得直线
l
的普通方程为
4
x
3
y
4
0
.
∵ sin 2 4 cos ，∴ 2 sin 2 4 cos ，
x
由
y
cos sin
得曲线 C
的直角坐标方程为
y2
4x
| CD | sin B
，
即 sin CDB | BC | sin B
2 3 5
3
=
10
，（7 分）
| CD | 2 10 10
5
∴ cos CDB
1 sin 2 CDB =
10
，
10
∴ sin ACD sin(CDB 45）= sin CDB cos 45 cos CDB sin 45
5216 22 46
∴能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为是否喜爱传统戏剧与年龄有关.（5 分）
19．（本小题满分 12 分）
【解析】 （Ⅰ）如图，连接 AC，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB = CD ， AB // CD ， ∵ AB = AD =2，∴ AD = DC =2， ∵ CDA 60 ，∴ △ADC 是正三角形， ∵ E 是 CD 的中点，∴ AE ⊥ DC ， ∴ AE ⊥ AB ，（2 分） ∵平面 PAB ⊥平面 ABCD ，平面 PAB 平面 ABCD AB ， ∴ AE 平面 PAB ， ∵ PB 平面 PAB ，∴ AE PB ，（4 分） ∵ PA AB ， F 是 PB 的中点， ∴ AF ⊥ PB ， ∵ AE AF A ，∴ PB ⊥平面 AEF ，
∴椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 .（5 分） 43
21．（本小题满分 12 分）
【解析】（Ⅰ）易知 f (x) 的定义域为（0，+∞），
f
(x) =
ex (x 1) x2
a x
a x2
=
(x
1)(e x x2
a)
，（1
分）
当 a 1 ， 0 x 1时， f (x) ＜0，当 x 1 时， f (x) ＞0，∴ f (x) 在（0,1）上是减函数，在（1，
2018 年高考原创押题预测卷 03（新课标Ⅱ卷）
理科数学·参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
B
C
B
A
C
D
B DABAB
13．60
15． (x 3)2 ( y 2 2)2 9
14．B 县
16． (1,2)
17．（本小题满分 12 分）
（Ⅱ）在 △BCD
中，由正弦定理，得
| BC | sin CDB
设平面
AEF
的法向量为
m
=
(x,
y,
z)
，则
m
AE
3x 0 ，取 y 1，则 x 0, z 1，
m AF y z 0
∴ m = (0,1,1) ，（10 分）
设直线 PD 与平面 AEF 所成角为 ，则
sin = | m DP| =
| 3 0 11 2 (1) |
1
=.
| m | | DP | ( 3)2 12 22 02 12 (1)2 4
| PM | | PN | | t1 | | t2 | | t1 || t2 | | t1t2 |
(t1 t2 )2 4t1t2 = | t1t2 |
(15)2 4 ( 25)
4
4
25
=1.
4
（10 分）
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
【解析】（Ⅰ）由题知，不等式 f (x) x2 2x 5 ，即 | x 1| x2 2x 5 ，等价于
理科数学 第 2页（共 8页）
∴ PB EF .（6 分）
（Ⅱ）∵平面 PAB ⊥平面 ABCD ，平面 PAB 平面 ABCD AB ， PA AB ，
∴ PA ⊥平面 ABCD ，∴ PA ⊥ AD ， PA ⊥ AC ，（7 分）
由（Ⅰ）知，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，
以 A 为原点，以 EA, AB, AP 分别为 x, y, z 轴的正方向，如图，建立空间直角坐标系 O xyz ，则
E( 3,0,0) ，D( 3,1,0) ，P(0,0,2) ，B(0,2,0) ，F (0,1,1) ，∴ AE = ( 3,0,0) ，AF =（0,1,1），
DP = ( 3,1,2) ，（9 分）
理科数学 第 4页（共 8页）
综上所述，当 a 1 时， f (x) 的增区间为（1，+∞），减区间为（0,1）； 当1 a e 时， f (x) 的增区间为 (0, ln a) ，（1，+∞），减区间为 (ln a,1) ； 当 a e 时， f (x) 的增区间为（0，+∞），无减区间； 当 a e 时， f (x) 的增区间为（0,1），（ lna ，+∞），减区间为（1，ln a) ；（6 分）
x 1
x 1
x
1
x2
2x
5
或
x
1
x2Biblioteka 2x5，解得 x 4 或 x 2 ，
∴原不等式的解集为{x | x 2 或 x 4} .（5 分）
理科数学 第 6页（共 8页）
理科数学 第 7页（共 8页）
理科数学 第 8页（共 8页）
∴直线 PD 与平面 AEF 所成角的正弦值为 1 .（12 分） 4
20．（本小题满分 12 分）
【解析】（Ⅰ）∵ e c = 1 ，∴ a 2c ，∴ b a2 c2 3c ，（2 分） a2
理科数学 第 3页（共 8页）
S ∴ △AF2B
1 (a 2
c)b
3c2 2
3
，
2
解得 c 1，∴ a 2 ， b 3 ，
3
=
10
2
10
2
=
5 .（10 分）
10 2 10 2 5
在 △ACD
中，由正弦定理得，
| sin
AD | ACD
| CD | sin A
，
∴|
AD
|
|
CD
|
sin
ACD
=
2
10 5
5 5
= 4 .（12 分）
sin A
2
5
2
18．（本小题满分 12 分）
理科数学 第 1页（共 8页）
【解析】（Ⅰ）由题知， b =22−10=12， c =52−10=42，（2 分） 由列联表中的数据，计算 K 2 的观测值为 k = 68 (10 4 42 12)2 ≈17.3877＞6.635，（4 分）学-科网