椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题
圆锥曲线垂直弦中点轨迹过定点问题
意椭圆与双曲线的差异性：非封闭图形，因此横双竖双内部的点要分开讨论）。 4. 局限：椭圆与双曲线和抛物线的表达形式有较大差异，对于抛物线中的上述结论需要重新讨论。
kMN
yM xM
yN xN
mb2 x0 a2 b2m2
a2 x0
mb2 x0 a2m2 b2
a2m2 x0
m a2 b2 =
a2 m2 1
a2 b2m2 a2m2 b2
m a2 b2 直线 lMN : y a2 m2 1
m a2 b2
x xM yM y a2 m2 1
a2
b2
椭圆分别交于
A、B、C、D
四点。设弦
AC、BD
的中点分别为
M、N，lMN
恒过定点
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
x2 y2
结论６：双曲线方程
C： a2 b2
1 ，过点 P 0, y0
y0 , b b,
作两条相互垂直的
1/4
2014.11.30
直线 l1 、 l2 与椭圆分别交于 A、B、C、D 四点。设弦 AC、BD 的中点分别为 M、N， lMN 恒过定点
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0 , y0 2 p iv. 抛物线方程 C： x2 2 py p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0, y0 2 p
五、 联系
《圆锥曲线曲线上直角弦过定点结论》其实是与《圆锥曲线垂直弦中点轨迹过定点结论》有巨大联系
椭圆中互相垂直的弦过定点问题 - (原创)
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b=+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
椭圆的弦的中点问题的解题方法及技巧
斜截式 y kx b
两点式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
截距式
x y 1 ab
一般式 Ax+By+C=0
不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴的直线 不垂直于x、y轴的直线
不垂直于x、y轴，不过原点的直线
2、斜率公式：k y2 y1 (或k y1 y2 )
AB
1 1 k2
y2 y1 2 4 y1 y2
例1.求直线y=x+1被椭圆x2 +2y2 =4所截得的 弦的中点坐标.
依据：中点坐标公式 法一：求交点，得中点 法二: 根系法.
设而不求，避免繁琐的运算
例2.已知一直线与椭圆4 x2+9 y2=36 交于A、B 两点，且
弦AB的中点坐标M 1，1 ，求直线AB的方程.
AB的中点M 1，1
x1 x2 1
2
y1 y2 1
2
8 x1 x2 18 y1 y2 0
AB：4 x 9y 13 0
k AB
4 9
检验：AB确实与椭圆相交
故：4 x 9y 13 0 为所求
一.直线方程的五种形式
点斜式 y y0 k(x x0)
2
A
求弦的中点的轨迹 法一；中点可用根系法
M
B
法二:点差法
例4.已知椭圆 1 2
x2 +y2 =1，及椭圆外一点M
0，2 ，过M的
直线与椭圆交于A、B 两点，求AB的中点的轨迹方程.
M A
B
解决与弦的中点有关问题： 三种类型;求中点，求以定点为中点的弦的直线方程
与椭圆焦点弦相关的过定点问题结论推导
与椭圆焦点弦相关的过定点问题结论推导下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!与椭圆焦点弦相关的过定点问题结论推导椭圆是一种常见的几何图形，其焦点和直径轴是定义其形状和特性的重要元素。
椭圆中定点定值问题(与焦点弦有关)
椭圆中的“定”二、与椭圆的焦点弦有关4. 椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的离心率为e ，PQ 为过椭圆焦点2F 而不垂直于x 轴的弦，且PQ的中垂线交x 轴于R ，则22PQ F R e=. 5.PQ 为过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的一个焦点2F 的弦，2F K 为焦准距，e 为椭圆的离心率，则222112PF QF e F K+=.6.（1）PQ 为过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 焦点F 的弦，PQ 的中垂线交F 所在的椭圆的对称轴于R ，直线RF 交F 所对应的准线于K ，则P 、K 、Q 、R 四点共圆.（2）弦MN （异于长轴）过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，过椭圆左顶点1A 的两条直线11,A M A N交椭圆的准线l 于,S T 两点,则以ST 为直径的圆一定过椭圆的右焦点2F 和2F 关于准线的对称点.（3）弦MN 过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，椭圆的准线l 交椭圆的对称轴于点D ,则22MDF NDF ∠=∠.（4）P 为椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 上任一点，2F 为椭圆右焦点，过P 作椭圆的切线交椭圆的右准线于点N ，则222ON PF b k k a=-.7.(1,2,3,)n n P Q n =为过圆锥曲线的一个焦点2F 的弦，n n P Q 的中垂线交2F 所在的曲线的对称轴于n R ，则过,,(1,2,3,)n n n P Q R n =的圆必交于同一点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭.8. 弦AB （异于长轴）过椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 的焦点，过B A ,两点分别作椭圆的两条切线交圆222x y a +=于,M M '两点，则（1）MM '是圆222x y a +=的一条直径，且四边形MM BA '为梯形；（2）角APB ∠为锐角；（3）若两切线的交点为P ，当点P 为2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，APB ∆的面积最小，其最小值为4b ac.9.在椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 通径（过焦点且垂直于焦点轴的弦）的延长线上任取一点()00,P x y 作椭圆两条切线12,PP PP ，则切点弦12PP ，x 轴和准线l 三线共点.10.直线l 是过椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，它与经过椭圆左顶点1A 的切线交于点N ，椭圆的左焦点F 和点N 的的连线FN 与左准线交于点M ，则椭圆的右顶点2A ，切点P 及点M 三点共线.11.直线l 是过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，它与经过椭圆右顶点2A 的切线交于点N ，椭圆的左焦点F 和点N 的的连线FN 与左准线交于点M ，则椭圆的左顶点1A ，切点P 及点M 三点共线.12.直线l 是过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，过该椭圆右的左焦点1F 作1F N l ⊥，且与椭圆的左准线交于点M ，则椭圆的中心O ，切点P 及点M 三点共线.、13. 如图，点F 是椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点，直线l 是椭圆的右准线，点P 在椭圆上且PF x ⊥轴，AB 是经过右焦点F的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，则2PA PB PM k k k +=.14. 过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的焦点(),0F c 作倾斜角为θ的直线，交椭圆于,A B 两点，则2221cos ep AB e θ=-（e 为离心率，p 为焦参数（通径长的一半））. 15. 弦AB 过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的焦点F ，且AF FB λ=（点A 位于点B 之上），则弦AB 所在直线的斜率()()()222110,11e k λλλλ+=-≠≠±-.。
相交弦中点所在直线过定点问题探究
即
ｙ１ － ｙ２
３
( ｘ － ２) ＋ .
ｘ１ － ｘ２
４
Ｂ( ｍꎬｎ) 的两直线 ｌ１ ꎬｌ２ 斜率分别为 ｋ１ ꎬｋ２ ꎬｋ１ ≠ｋ２ 且
Ｈ( ｘ２ ꎬｙ２ ) ꎬＣ ( ｘ３ ꎬｙ３ )ꎬＤ ( ｘ４ ꎬｙ４ )ꎬ因为 ＣꎬＤ 两点在椭
即
ｙ１ － ｙ２
ｘ１ ｙ２ － ｘ２ ｙ１
ｘ ＋
ｘ１ － ｘ２
２
１
因为 ｋ１ ＋ ｋ２ ＝ － １ꎬ所以
３
３
整理ꎬ得 ｙ ＝ æç ｋ２１ ＋ ｋ１ ＋ ö÷( ｘ － １) ＋ .
４
４
è
ø
即－
３
所以直线 ＧＨ 过定点 æç １ꎬ ö÷
è ４ ø
方法 ２ ( 作差法) 由题意设直线 ｌ１ ꎬｌ２ 的方程
分别是 ｙ ＝ ｋ１ ( ｘ － １) ꎬｙ ＝ ｋ２ ( ｘ － １) .
－ ｋ２ ) ＋ ４ｂ( ｋ１ ＋ ｋ２ ) ( ｋ１ － ｋ２ ) .
由于 ｋ１ ≠ｋ２ ꎬ所以 － ３ ＝ ４ｋ(ｋ１ ＋ ｋ２ ) ＋ ４ｂ(ｋ１ ＋ ｋ２ ).
所以 ＧＨ 所在直线方程为 ｙ ＝ ｋｘ － ｋ ＋
即 ｙ ＝ ｋ( ｘ － １) ＋
３
.
４
所以直线 ＧＨ 过定点(１ꎬ
３
.
４
③ － ④ꎬ得
.
ｂ２ ＋ ａ２ ｋ２１
ｋ２１ ｍａ２ － ｋ１ ｎａ２ ｎｂ２ － ｍｂ２ ｋ１
ꎬ ２ ２
).
ｂ２ ＋ ａ２ ｋ２１
ａ ｋ１ ＋ ｂ２
ｋ２２ ｍａ２ － ｋ２ ｎａ２ ｎｂ２ － ｍｂ２ ｋ２
ꎬ ２ ２
).
ｂ２ ＋ ａ２ ｋ２２
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m -代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b =+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
高考数学讲义椭圆之中点弦问题
2014年二轮复习椭圆之中点弦问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455椭圆之中点弦问题高考大纲自检自查必考点圆锥曲线总结：直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。
其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
中点弦常考题型（1）1||||PQ ABPB PA PQ AB k k =⇔⊥⇔=-设1122(,),(,)A x y B x y ，注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,x x 的，其它点不要随便设为1122(,),(,)A x y B x y .Q 为弦AB 的中点.设直线方程为y kx m =+，不要设为y kx b =+，因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222()1x kx m a b ++=，即222222212()10k km m x x a b b b +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.自检自查必考点P QBAOyx21222212Q kmx x b x k a b+==-+ 22222222222222222111Q Q k m k m m k m m b b a b a y kx m m k k k a b a b a b -++=+=-+==+++ （由Q x 求Q y 分子是可消去的）故中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b-++ 定点P 设为(,)s t则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km km k x ss b b a b s k a b -+-+-===---+--+ 故222222221()11()m k t a a b km k k s b a b-+=---+ 2222222211()()km k km k kt s a a b b a b -+=++ 22222111()()()k km kt s a b a b -=++（2）以,OA OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上1212,22Q Q x x y yx y ++== 易知P 点坐标212222221P Q km b x x x x k a b ==+=-+1212122()P Q y y y y kx m kx m k x x ==+=+++=++ 222222222222222211k m m k m m b a b a k k a b a b -++==++注意：1.不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ，因为点P 不在直线上. 2.由P x 求P y 分子是可消去的.故2222222222(,)11km m b a P k k a b a b -++在椭圆上. 则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b-+++= 两边同时乘以22221()k a b +得22222222222441()k m m k a b a b a b +=+ 2222222241(1)()m k k a b a b+=+ 注意：分母不要通分和化简，均采用整体法进行处理. （3）弦AB 的垂直平分线交,x y 轴分别为点,N M中点Q 的坐标为22222222(,)11km mb a k k a b a b-++ 垂直平分线方程为222222221()11m km a b y x k k k a b a b-=-+++ 令0x =，得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b -+ 令0y =，得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+【例1】 已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.【例2】 证明在椭圆222210x y a ba b +=（＞＞）中，若直线l 与椭圆相交于M N 、两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.例题精讲【例3】 在直角坐标平面内，已知点(2,0),(2,0)A B -， P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为34-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点1(,0)2作直线l 与轨迹C 交于E F 、两点，线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.【例4】 设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e =,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上一动点()00,P x y 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的取值范围.【例5】 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A B O 、，为坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b=+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222222(,)a s b ta b a b ++。
设AB 的直线为()x s m y t -=-，则CD 的直线方程为1()x s y t m-=--， 222222()0x s m y t b x a y a b -=-⎧⎨+-=⎩，2222222222()2()()0m b a y b ms m t y b s mt a b ++-+--=， 2112222()mb s mt y y m b a --+=+，由中点公式得22222222()()(,)a s mt mb mt s M m b a m b a --++ 直线MN 的方程为：22222222()()()MN b m mt s a s mt y k x b m a b m a ---=-++， 即222222()MN a s b t y k x a b a b -=-++，所以直线MN 恒过定点222222(,)a s b ta b a b++。
重庆高2018级理科二诊20（本题满分12分）已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆22143x y +=的左右焦点。
（2）过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l （均不与x 轴重合）分别与椭圆交于ABCD 四点。
线段AB ，CD 的中点分别是M ，N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标。
设直线:(1)AB y k x =-，联立椭圆方程223412x y +=得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，222218424343M k k x k k =⋅=++，222218424343M k k y k k =⋅=++，222444343N k x k k==++,213(1)34N N k y x k k =--=+ 由题意，若直线BS 关于x 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于y 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在x 轴上。
设该定点坐标(,0)t ，N M M N M N MM N M N My y x y y x y t t x x x y y ---=⇒=---，代入,M N 坐标化简得47t =，所以过定点4(,0)7。
结论（一）以00(,)x y 为直角定点的椭圆22221x y a b +=内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)a b b a x y a b b a --⨯⨯++。
推论1：以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在y 轴上。
证明：设右顶点(0,)P b ，设y kx b =+，1y x b k=-+ 222222y kx b b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222()20a k b x a bkx ++=⇒， 212222,a bk x a k b -=+，将k 换成1k-得：222222a bk x a b k =+ 由题意，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在y 轴上。
设该定点坐标(0,)t ，1212121121212121211()()kx b x x x b t y y y y x x yk t x x x x x x x -+-+---=⇒==----，2222122211()x x k b b a t b k x x b a +-=⨯+=-+，所以过定点2222()(0,)b b a b a -+。
推论2：以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在x 轴上。
证明：设右顶点(,0)P a ，设x my a =+，1y x a m=-+ 222222x my a b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222()20b m a y b amy ++=⇒， 212222b am y b m a -=+，将m 换成1m-得：222222b am y b a m =+由题意，若直线BS 关于x 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于y 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在x 轴上。
设该定点坐标(,0)t ，1212121121212121211()()my a y y y a y y y x y y xm t t x x x y y y y -+-+---=⇒==----，2222122211()y y m a a b t a m y y a b+-=⨯+=-+，所以过定点2222()(,0)a a b a b -+。
下面探求ABP ∆面积的最大值：2222()a a b x my a b -=++代入椭圆得：22442222222222()4()20()a a b a b b m a y b my a b a b --++⨯⨯+=++ 2422242224[()4]()a b a b m a a b ++∆=+，222242122222222221()2([]2()ABPa ab ab a b S a y y a b a b a b m a b ∆-=⨯-⨯-=⨯=++++242224()a b a b ≤+，当且仅当0m =时等号成立取最大值。
面积在2m ∈[0,)+∞单调递减。
结论2：以00(,)x y 为直角定点的抛物线22y px =内接直角三角形的斜边必过定点0(2x p +，0)y -结论3：以00(,)x y 为直角定点的双曲线22221x y a b -=内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)a b a b x y a b b a++--重庆高2018级文科二诊20（本题满分12分）已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆22143x y +=的左右焦点，B 为椭圆的上顶点。
（2）过点B 作两条互相垂直的直线与椭圆交于S ，T 两点（异于点B ），证明：直线ST过定点，并求该定点的坐标。
（2）解：设1122(,),(,)S x y T x y ，直线:BS y kx =，联立椭圆方程得：22(43)0k x ++=，1243x k -=+，2243k x k -==+， 由题意，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在y 轴上。
设该定点坐标(0,)t，1212121121212121211((kx x x x t y y y y x x yk t x x x x x x x -----=⇒==----，代入1x ，2x化简得t =，所以过定点。
重庆巴蜀中学高2018级届月考卷九理科20（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点分别是1F ，2F ，上顶点M ，右顶点为(2,0)N ，12MF F ∆的外接圆半径为2。
（1）求椭圆C 的标准方程； (2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过点N ，求ABN ∆面积的最大值。
解：（Ⅰ）∵右顶点为(20)，，∴2a =，122MF MF ==，∵121sin 2MO b bMF F MF a ∠===，2122424sin 2MF R b MF F b ====∠，∴1b =， ∴椭圆的标准方程为2214x y +=．……………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为my x b =+，1122()()A x y B x y ，，，， 与椭圆联立得222(4)240m y mby b +-+-=，∴21212222444mb b y y y y m m -+==++，． ……………………………………………（6分）∵以AB 为直径的圆经过点N ，∴0NA NB =， ∵1122(2)(2)NA x y NB x y =-=-，，，， ∴1212122()40x x x x y y -+++=，①……………………………………………（7分）∵121228()24b x x m y y b m -+=+-=+，2222121212244()4b m x x m y y mb y y b m -=-++=+， 代入①式得2516120b b ++=，∴65b =-或2b =-（舍去），故直线l 过定点605⎛⎫⎪⎝⎭，． ……………………………………………………（9分）∴121622||255ABN S y y ⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭△ …………（10分）令222564()[0)(4)t h t t m t +==∈+∞+，，， 则228()0251281120425h t t t t ⎛⎫'>⇒++<⇒∈-- ⎪⎝⎭，，∴()h t 在[0)t ∈+∞，上单调递减，max ()(0)4h t h ==， ∴0m =时，max 1625ABN S =△． …………………………………………………（12分）(一般化结论)：直线AB 与椭圆2222:1x y C a b+=交于,A B 两点，P 为上顶点。