不等关系与不等式的基本性质j
高中数学必修五-不等关系与不等式
不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
不等关系与不等式的基本性质
l 2 π( ) > 100 π 2 2 l 即 > 100 4 π
如图，用两根长度均为 的绳子 的绳子， 如图，用两根长度均为l的绳子，分别围成一个 正方形和圆。 正方形和圆。
3、当l=8时，正方形和圆哪个大？l=12呢？ 、 时 正方形和圆哪个大？ 呢 当l=8时，正方形的面积为 时 82 ≈ 5.1(cm2 ) 圆的面积为 4π 4<5.1,
a b
1 a
哪个大？ 2、已知 a b =－1，则a和b哪个大？
3、如图，若数轴上的两点 、B表示的数分别为 、如图，若数轴上的两点A、 表示的数分别为 如图所示，则下列结论正确的是（ 如图所示，则下列结论正确的是（ ） A、b-a＞0 B、a-b＞0 、 ＞ 、 ＞ C、2a+b＞0 D、a+b＞0 、 ＞ 、 ＞
练习： 练习：
2、判断对错： 判断对错： （1）如果a＞b，那么ac＞bc。 如果a 那么ac＞bc。 ac （2）如果a＞b，那么ac2＞bc2。 如果a 那么ac 那么a （3）如果ac2＞bc2,那么a＞b。 如果ac 解：（1）是错的。当c是负数时，ac＜bc. ：（1 是错的。 是负数时，ac＜ （2）是错的。当c=0时，ac2=bc2. 是错的。 c=0时 （3）是对的。 是对的。
练 一 练
2、用适当的符号表示下列关系： 用适当的符号表示下列关系： (1) a是负数； a＜0 是负数； (3) a与b的和小于5； 的和小于5
a＋b＜5
(2) a是非负数；a≥0 a是非负数 是非负数； (4) x与2的差大于－1； 的差大于－
x－2＞－1 ＞－1
(5) x的4倍不大于7； 倍不大于7
l 2 ( ) ≤ 25 4 2 l 即 ≤ 25 16
不等关系与不等式 课件
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
《不等关系与不等式》 知识清单
《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在我们的日常生活中，不等关系无处不在。
比如，一个人的身高不可能低于0 米；购买商品时，所花费的金额不能超过自己携带的钱数；汽车的速度不能超过限速等等。
不等关系可以用文字语言来描述，也可以用数学符号来表示。
常见的表示不等关系的词语有：大于（＞）、小于（＜）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）。
例如：“小明的体重超过 50 千克”可以表示为“小明的体重＞ 50 千克”；“班级人数不超过 60 人”可以表示为“班级人数≤ 60 人”。
二、不等式不等式是用不等号将两个代数式连接起来所形成的式子。
1、不等式的基本性质（1）对称性：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a；如果 b ＜ a，那么 a ＞ b。
例如，5 ＞ 3，那么 3 ＜ 5。
（2）传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c。
比如，5 ＞ 3，3 ＞ 1，所以 5 ＞ 1。
（3）加法性质：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c。
例如，7 ＞ 5，两边同时加 2，得到 9 ＞ 7。
（4）乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc；如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc。
比如，3 ＞ 1，两边同时乘以 2（2 ＞ 0），得到 6 ＞ 2；但如果两边同时乘以－2（－2 ＜ 0），则得到－6 ＜－2。
2、一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。
其一般形式为 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）。
解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（如果有分母）；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为 1。
例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 9：首先，移项得到 2x ＞ 9 5，即 2x ＞ 4；然后，系数化为 1，得到 x ＞ 2。
3、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0（a ≠ 0）的不等式叫做一元二次不等式。
不等关系与不等式的性质教学课件ppt
不等式在经济学中的应用
不等式在物理学中的应用
不等式在计算机科学中的应用
不等式的实际应用
不等式与方程的联系与区别
04
在数学表达式中，不等式和方程都包含未知数，这使得它们都可以用来描述数量之间的关系。
表达式中都包含未知数
在求解不等式和方程的过程中，我们都会使用到一些相同的数学方法，比如因式分解、配方等。
柯西不等式的证明
柯西不等式可以通过数学归纳法和向量的性质进行证明。
柯西不等式的应用
柯西不等式在数学和物理中有着广泛的应用，如最优化问题、信号处理等。
柯西不等式的形式
柯西不等式可以表达为`∑(a_i^2) * ∑(b_i^2) ≥ (∑a_i * b_i)^2`，其中a_i和b_i是实数。
柯西不等式
在购买产品时，不同品牌或型号的产品质量之间存在不等关系，如优良和一般。
产品质量不等
03
角度不等
在几何学中，不同的角之间存在角度不等关系，如锐角和钝角。
数学中的不等关系
01
大小不等
在数学中，不同的数之间存在大小不等关系，如大于和小于。
02
距离不等
在几何学中，不同的点之间的距离之间存在不等关系，如靠近和远离。
03
不等式的定义
02
01
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不改变方向。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以（或除以）正数，不等号不改变方向。
反对称性
如果a>b，则b<a；如果a<b，则b>a。
反身性
即任何实数都大于0。
不等式的证明方法
高中数学： 不等关系与不等式含解析
∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.
∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1
＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)
( )( ) 1
1
a1－ b1－
＝4 2
2 >0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
1
1
∵(a1b1＋a2b2)－2＝2a1b1＋2－a1－b1
当 x＝3时，f(x)＝g(x)； 4
当 0＜x＜1，或 x＞3时，f(x)＞g(x)．
能力提升
13．若 0<a1<a2,0<b1<b2，且 a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( )
A．a1b1＋a2b2
B．a1a2＋b1b2
1
C．a1b2＋a2b1
D.2
答案 A
解析 方法一 特殊值法．
∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，
1
1
∴0<a1<2，0<b1<2. 又 a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1， a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－a21－b21，
a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1， ∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a21＋b21－2a1b1 ＝(a1－b1)2≥0，
4．若 x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则( )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<a<c
不等关系和不等式的基本性质
不等关系和不等式的基本性质知识点一．不等关系),,,(≤≥<>要求：能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解. 一．用不等式表示：（1）a 是非负数；______________ （2）x 与5的和不小于0；______________（3）y 与1的差不大于6；___________(4)x 的3倍与8的和比y 的2倍小，用不等式表示为 1.“x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是 ( )A.2x －3≤8B.2x －3≥8C.2x －3＜8D.2x －3＞82.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足( )A 、x ＜8B 、x ＞8C 、x ＜－8或x ＞8D 、－8＜x ＜83.如图，天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克，则图中显示物体质量的范围是（ ） A.大于2千克 B.小于3千克C.大于2千克且．小于3千克D.大于2千克或．小于3千克4.下列不等关系一定成立的是（ ）A.0>xB.0<-xC.01>+xD.02>x5.如果10<<x ，则下列不等式成立的（ ） A 、x x x 12<< B.x x x 12<< C.21x x x << D.x x x<<21 6.若0x x +=，则x 的取值范围是（ ）A.0x ≤B.0x <C.0x >D.0x ≥ 7.若m 满足|m|＞m ，则m 一定是( )A.正数B.负数C.非负数D.任意有理数知识点二．不等式的基本性质：若b a >，则ac ? bc 若a=b ，则ac = bc性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不改变。
符号表示：如果b a >，那么c b c a +>+,c b c a ->-性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不改变。
不等关系与不等式 课件
【精彩点拨】 本题关键是要提取问题中所提供的表示不等关系的信息：①
身高不足 1.2 m，②身高 1.2 m～1.5 m，③身高超过 1.5 m，抓住表示不等关系的
词语即可．
【自主解答】 设身高为 h m，
文字表述
符号表示 票价
身高不足 1．2 m
h<1.2 免票
身高在1.2 m ～1.5 m间 1.2≤h≤1.5
【提示】 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等 式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将 2<a－b<4 与－2<a＋ b<2 两边相加得 0<a<3，又将－4<b－a<－2 与－2<a＋b<4 两边相加得出－3<b<2， 又将该式与 0<a<3 两边相加得出－3<a＋b<3，多次使用了这种转化，导致了 a ＋b 范围的扩大．
性质 7(乘方性)
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
性质 8(开方性)
a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)
用不等式(组)表示不等关系
你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足 1.2 m 的免票，身高 1.2 m～1.5 m 的儿童火车票为半价，身高超过 1.5 m 的儿童买全 价票．你能用不等式表示这些规定吗？
推论
性质4(可乘性)
式子表达 a>b⇔b<a a>b，b>c⇒a>c a>b⇒a＋c>b＋c a＋b>c⇒a>c－b a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc
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教学过程
一、复习预习 1.理解不等号的意义：
大于： > 小于： < 大于等于： ≥ 小于等于： ≤
不大于：≤ 不小于： ≥
2.用不等号连接下列式子：
－2 > －3， a 2
≥ 0， x ＋5 > x ＋2， －a －1 > －a －6， 2
1- > 31-. 二、知识讲解
考点1
不等式的概念：一般地，有符号>，<，≤，≥，≠连接的式子叫做不等式。
考点2
列不等式：列不等式同列方程一样，关键是找出不等关系，常用的表示不等式的关键词有“大 不等关系与不等式的基本性质
适用学科
数学 适用年级 初二 适用区域
北师大版 课时时长（分钟） 60
知识点 不等式的定义
不等式的基本性质 教学目标 知识与技能：理解不等式的概念，学会列不等式，理解不等式的基本性质，
并学会灵活运用；
过程与方法：通过对不等关系的理解，进而探索不等式的性质，使学生能
够从逻辑关系上严谨地分析问题，提高分析和解决问题的能力,学会转化的
数学思想方法；
情感态度与价值观：使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与性质的学习
活动中，不断增强主体意识，综合意识。
教学重点
用不等式表示实际问题中的不等关系，并用不等式研究含有不等关系的问题，掌握不等式的基本性质。
教学难点 用不等式准确表示出不等关系，灵活运用不等式的性质。
于”“小于”“不大于””不小于”“超过”“至多”“非负”等。
考点3
不等式的性质：（1）不等式的两边都加上或者减去同一个整式，不等号的方向不变；用字母表示：若a>b,则有a+c>b+c,a-c>b-c 。
（2）不等式的两边都同时乘或者除以同一个正数，不等号的方向不变；用字母表示：若a>0,b>0,则ac>bc,c
b c a >。
（3）不等式的两边都同时乘或者同一个负数，不等号的方向要改变，用字母表示：若a>b,c<0,则ac<bc,c
b c a <。
易错点1
对文字语言理解不准确，不等关系的表示有两种：文字语言与符号语言，对“不大于”“不小于”“至少”“非负数”等文字的理解是将文字语言转化为符号语言的关键，易出现的错误是对某些文字语言理解的不准确，从而导致解题错误。
易错点2
应用不等式的基本性质3时，忽略改变不等号的方向，一定要注意当不等式的两边同时乘以 或者除以一个负数时要改变不等号的方向。
三、例题精析
【例题1】
【题干】 某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t （℃）的变化范围是（ ）
A ．t ＞33
B ．t≤24
C ．24＜t ＜33
D ．24≤t≤33
【答案】D
【解析】
根据不等式的性质，由题意某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，用不等式把它表示出来．
【例题2】 【题干】
①x+y=1；②x≤y；③x -3y ；④x 2-3y ＞5；⑤x＜0中属于不等式的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】B
【解析】
①中不含有不等号，所以不是不等式；
②中含有不等号，所以是不等式；
③中不含有不等号，所以不是不等式；
④中含有不等号，所以是不等式；
⑤中含有不等号，所以是不等式．
故是不等式的有②④⑤．
故选B ．
【例题3】
【题干】 下列不等式总成立的是（ ）
A ．4a ＞2a
B ．a 2＞0
C ．a 2＞a
D ．02
12≤-a 【答案】D
【解析】
A 、a 为0或负数时不成立，
B 、a=0时不成立，
C 、a=0时不成立，
D 、正确．
故选D ．
四、课堂运用
【基础】 已知ab=4，若-2≤b≤-1，则a 的取值范围是（ ）
A ．a≥-4
B ．a≥-2
C ．-4≤a≤-1
D ．-4≤a≤-2
【答案】D
【解析】
根据条件可以求得b=
a
4，然后将b 的值代入不等式-2≤b≤-1，通过解该不等式即可求得a 的取值范围． 【巩固】
若a ＞b ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A ．a+m ＞b+m
B ．a （m 2+1）＞b （m 2+1）
C.2
2b a -<- D ．a 2＞b 2
【答案】D
【解析】A 、根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，故a+m ＞b+m 一定成立，故此选项不合题意；
B 、根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变，故a （m 2+1）＞b （m 2+1）一定成立，故此选项不合题意；
C 、根据不等式的基本性质2，不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变，22b a -<-一定成立，故此选项不合题意
D 、根据不等式的基本性质，a ，b 若都为负数，a 2＞b 2不成立，故a ＞b ，则不一定成立的是a 2＞b 2，故此符合题意。
【拔高】 已知a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么下列判断正确的是（ ）
A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a
B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b
C ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a
D ．1+a ＞1-b ＞a ＞-b
【答案】C
【解析】
∵a＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，
∴-b ＞a ，1+a ＞-b ，∴1-b ＞1+a ，
∴1-b ＞1+a ＞-b ＞a ．
故选C 。
课程小结
不等关系的正确理解，以及不等式的基本性质：
（1）不等式的两边都加上或者减去同一个整式，不等号的方向不变；
（2）不等式的两边都同时乘或者除以同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边都同时乘或者同一个负数，不等号的方向要改变。
课后作业
【基础】 已知a ＞b ，若c 是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A 、 a+c ＜b+c C 、 ac ＜bc
B 、 a-c ＞b-c D 、 ac ＞bc 【答案】B
【解析】
A 、∵a ＞b ，c 是任意实数，∴a+c ＞b+c ，故本选项错误；
B 、∵a ＞b ，c 是任意实数，∴a-c ＞b-c ，故本选项正确；
C 、当a ＞b ，c ＜0时，ac ＜bc ，而此题c 是任意实数，故本选项错误；
D 、当a ＞b ，c ＞0时，ac ＞bc ，而此题c 是任意实数，故本选项错误．
故选B．
【巩固】
下列不等关系中，正确的是（）
A、a不是负数表示为a＞0；
B、x不大于5可表示为x＞5
C、x与1的和是非负数可表示为：x＋1＞0
D、m与4的差是负数可表示为m－4＜0
【答案】D
【解析】用不等式表达数量关系
【拔高】
若，则下列式子错误的是
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】
不等式的性质有三个
1，不等式两边同加同减一个数或一个式子，不等号不变。
2，不等式两边同乘同除一个数或一个式子（大于零），不等号不变。
3，不等式两边同乘同除一个数或一个式子（小于零），不等号改变。